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Diário das pequenas descobertas da vida.
Sábado, 15 de Julho de 2006
Erros normais
Há, na estrutura do Mundo, padrões e valores que unem as coisas mais aparentemente díspares. No Cognosco referiu-se o exemplo da razão de ouro, φ, no artigo Só phi é d'ouro

Curva de GaussMas há outros padrões imersos na estrutura da realidade que são comuns a uma grande variedade de fenómenos.
Uma delas é a justificação matemática do conhecido provérbio «No meio está a virtude».
(Não sou grande amigo de provérbios, como expliquei em Provérbios e Adivinhas, o que não significa que, nos contextos apropriados, não possam ter a sua validade...)
A chamada Curva de Gauss.
(Gauss foi um profícuo Matemático do final do século 18 e início do 19. Para se ter uma ideia da sua importância, há perto de 200 termos matemáticos que ostentam o seu nome. Ver o artigo Simples mente para uma história curiosa sobre a sua infância.)

Esta curva (também chamada Curva Normal ou em Forma de Sino) tem um aspecto singelo mas contém a chave para muitos segredos e mistérios do Mundo.

~ Será surpreendente saber que a altura de um grupo de pessoas está ligada, por esta curva, ao peso dos leões existentes em África?
~ Será surpreendente saber que o número de erros tipográficos dos livros publicados por uma editora está ligada, por esta curva, à duração dos jogos da Taça do Mundo de Futebol?
~ Será surpreendente saber que as notas nos exames de acesso à Universidade estão ligadas, por esta curva, ao número de ramos que uma árvore tem?
~ Será surpreendente saber que o QI (Quociente de Inteligência) dos Portugueses está ligado, por esta curva, ao comprimento dos Tubarões-Brancos existentes no Mundo?
~ Será surpreendente saber que a relação do número de filhas e filhos dos casais europeus está ligada, por esta curva, ao número de cabelos existentes na cabeça dos seus pais?
~ Será surpreendente saber que o número de gotas de chuva que cai durante uma tempestade está ligado, por esta curva, ao número diário de leitores de um jornal?

Para perceber estas ligações (e muitas mais, que muitos mais exemplos se podiam dar) é necessário primeiro compreender o que é a Curva de Gauss, qual a sua História, como tem o nome que tem, quais as suas características, como surge e como é construída.

Esta curva está ligada a dois valores que, em qualquer conjunto de valores, podem ser calculados: a média e o desvio-padrão.
A média (μ) pode ser entendida como um valor que está o mais próximo possível de todos os valores estudados;
O desvio-padrão (δ) é basicamente a média das diferenças de cada valor à média do conjunto;

As características mais significativas desta curva são:
~ é simétrica em relação ao seu centro (que é a sua média);
~ a média é também o valor mais frequente (moda) e a valor central (mediana);
~ 68,27% de todos os valores situa-se entre a média menos o desvio-padrão e a média mais o desvio-padrão;
~ </b>95,45%</b> situam-se entre a média menos 2 vezes o desvio padrão e a média mais 2 vezes o desvio-padrão;
~ 99,73% situam-se entre a média menos 3 vezes o desvio-padrão e a média mais 3 vezes o desvio-padrão;

de MoivreA primeira referência que se conhece a esta curva surge num artigo de Abraham De Moivre em 1734. A intenção de De Moivre era a de estudar de que forma distribuições binomiais à medida que o número de observações aumentava.
(Uma distribuição binomial é o estudo do número de acontecimentos em que só há duas possibilidades: ou ocorre ou não ocorre. Por exemplo, uma distribuição binomial pode ser formada pela pontuação que se obtem no lançamento de 10 dados. O que De Moivre procurava compreender, com o seu artigo, ao que acontecia à medida que mais e mais lançamentos do dado eram feitos: 10, 100, 1 000, 10 000, 100 000,...)
Laplace (1749-1827), outro importante Matemático, complementou o artigo de De Moivre em 1812.

Laplace usou depois a Distribuição normal (o nome da distribuição de valores associada à Curva de Gauss) para estudar a distribuição de erros em experiências.
Outro Matemático, de nome Legendre, introduziu, em 1805, o Método dos Mínimos Quadrados, um método pelo qual se procura uma função que melhor se aproxime de um conjunto aleatório de valores para, desta forma, permitir fazer previsões.
Suponha-se a título de exemplo, que se estudava o número de fumadores em Portugal em diferentes anos. Colocando os valores obtidos num gráfico obter-se-ia uma nuvem mais ou menos dispersa de pontos. Mas, usando o Métodos dos Mínimos Quadrados, podia-se encontrar uma função que permitiria prever, com alguma certeza, quantos fumadores existirão em Portugal em 2100...)
Mas o já citado Carl Friedrich Gauss afirmou, aquando da publicação de Legendre, que já usava um método semelhante desde 1794 e, em 1809, usou a Distribuição Normal para demonstrar rigorosamente o método.

Vários foram os Matemáticos que foram nomeando esta curva e a distribuição a ela associada: Joufrett criou a designação «Curva em Forna de Sino» em 1872, Galton introduziu o nome «distribuição normal». O nome «Curva de Gauss» foi sendo progressivamente usada desde o seu uso, por Gauss, para demonstrar o Método dos Mínimos Quadrados. Gauss não a criou, não a nomeou, não a complementou... No entanto, ficou com o seu nome associado a esta universal curva. Ironias da História...

Como surge então esta famosa curva de tantos fenómenos diferentes?
Suponha-se que se tem 2 dados, com seis faces cada.
Lançam-se 10 vezes os dados e soma-se o número de pintas.
Lançam-se 100 vezes os dados e soma-se o número de pintas.
Lançam-se 1 000 vezes os dados e soma-se o número de pintas.
Lançam-se 10 000 vezes os dados e soma-se o número de pintas.

Colocando num gráfico de barras os valores obtidos constata-se que, à medida que aumenta o número de lançamentos que se efectua, mais se aproxima a forma do gráfico da Curva de Gauss.
Em termos práticos, acima de meia dúzia de lançamentos, a forma da distribuição dos valores obtidos é suficientemente semelhante à curva de Gauss para se poder usar as suas características especiais para fazer previsões e cálculos.

Por exemplo, sabendo que os QI's de um grupo de 1 000 pessoas têm uma Distribuição Normal e que o QI médio é 110 e o desvio-padrão 12 então sabemos que:
~ 68,27% dessas pessoas têm um QI entre 98 (110-12) e 122 (110+12). Ou seja, 682 pessoas têm um QI entre 98 e 112. Ou ainda a probabilidade de uma pessoa desse grupo ter um QI entre 98 e 112 é 68,27%;
~ 95,45% (954) das pessoas têm um QI entre 86 e 134;
~ 99,73% (997) das pessoas têm um QI entre 74 e 146;

O curioso é que a maioria dos fenómenos, em que há um conjunto de valores com uma característica aleatória, têm uma distribuição aproximadamente normal

Isto é garantido, sem margem para dúvidas, por um teorema matemático chamado
Teorema do Limite Central que afima (em termos latos) que:
qualquer distribuição de suficientes valores aleatórios tem uma distribuição aproximadamente normal e quanto maior for o número de valores maior é a aproximação à distribuição normal.
(A partir de 30 valores a distribuição pode-se considerar, em termos práticos, Normal)

A altura de um grupo de mais de 30 pessoas tem uma distribuição normal, logo em termos gráficos desenha uma Curva de Gauss;
O peso dos leões existentes em África é uma Curva de Gauss;
O número de erros tipográficos dos livros publicados por uma editora é uma Curva de Gauss;
A duração dos jogos da Taça do Mundo de Futebol é uma Curva de Gauss;
As notas nos exames de acesso à Universidade é uma Curva de Gauss;
O número de ramos que uma árvore tem é uma Curva de Gauss;
O QI (Quociente de Inteligência) é uma Curva de Gauss;
O comprimento dos Tubarões-Brancos existentes no Mundo é uma Curva de Gauss;
A relação do número de filhas e filhos é uma Curva de Gauss;
O número de cabelos existentes na cabeça das pessoas é uma Curva de Gauss;
O número de gotas de chuva que cai durante tempestades é uma Curva de Gauss;
O número diário de leitores de um jornal é uma Curva de Gauss;
(Talvez a questão da aleatoriedade dos jogos do Mundial pareça estranha. Afinal os jogos duram 90 minutos... Mas a verdadeira duração depende do tempo de desconto dado pelos árbitros e este é um fenómeno aleatório em cada jogo...

A maioria dos fenómenos têm um padrão comum, a Curva de Gauss
Apesar de parecerem imprevisíveis e sem ligação nem regularidade há uma padrão regular que surge em grupos suficientemente grandes (claro que «grande» é subjectivo: há mais de 6 mil e 600 milhões de pessoas no Mundo e basta um grupo de 30 para começar a surgir o «padrão normal»)...

Mas a diferença entre a razão de ouro e a distribuição normal é que a primeira surge de forma incoerente entre fenómenos diferentes mas a segunda determina um padrão comum entre fenómenos que em si nada têm em comum de uma forma rigorosa e demonstrada.
Ambos surgem de forma aproximada em situações reais mas a curva de Gauss precisa de menos aproximações para se encontrar e é, de facto, mais abrangente...

Na verdade:
95,45% está entre μ-1,96δ e μ+1,96δ (e não 2δ);
99,73% está entre μ-2,58δ e μ+2,58δ (e não 3δ);
Mas, para facilitar os cálculos, considera-se os valores arredondados...


Publicado por Mauro Maia às 10:44
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22 comentários:
De Maria Papoila a 15 de Julho de 2006 às 16:04
Olá Mauro:
Hoje vou ser a primeira?
Li com atenção o teu artigo.
Em relação a esta curva...eu costumo dizer que não gosto de ser padronizada... se caio num dos extremos da curva, pertenço aos desvios padrões ... fujo da "norma" sou "bizarra"... então, toda a gente fica sossegada porque estou de novo padronizada...
Beijo


De Mauro a 15 de Julho de 2006 às 16:31
Olá, «Maria Papoila». Partilho contigo a aptecência de fugir da norma, de não ser mais um tijolo de edifício da normalidade. Mas até aí a Curva de Gauss chega: há duas zonas da curva onde cabem as excepções: os dois extremos. A Curva de Gauss está acima de considerações filosóficas, científicas, religiosas, emocionais... É um padrão mais antigo do qua a Humanidade, um padrão que nasceu por ventura com o Universo, tal como a Matemática (na minha própria e já anteriormente explicitada teoria). O facto de cabermos na Curva de Gauss não nos torma mais «padronizados». A Curva de Gauss contém as excepções, tal como a Espécie Humana nos contém a nós...


De Luiz Juliano a 21 de Agosto de 2008 às 12:04
Oi Mauro, considero seu sítio excelente e algumas vezes já comentei aqui. Agora venho fazer uma sugestão de tema. Elaborar um texto sobre o Quociente de Inteligência mostrando as diferenças entre os países e quem sabe colocando uma tabela mostrando as diferentes pontuações e os percentis correspondentes. Um tema polêmico e interessante, mas é só uma sugestão. Abraço, Luiz Juliano.


De Mauro a 21 de Agosto de 2008 às 19:10
Obrigado, «Luiz Juliano», pela visita e pelas palavras. A tua sugestão para um artigo levanta-me questões: o QI é um valor que procura quantificar a «inteligência» de alguém. Muitas têm sido as críticas quanto aos testes realizados, nomeadamente o de poderem ser parciais no que diz respeito a culturas ou mesmo género. Também não me parece que tenham sido, até hoje, feitos testes QI na maioria dos países do Mundo. Claro que, tendo em conta o Teorema Central da Estatística, basta uma amostra com 30 ou mais indivíduos para que esta possa ser normalizada e ser estudada em termos de caracteísticas da (incorrectamente designada) Curva de Gauss. Mas, num Mundo em que países e fronteiras mudam continuamente, em que a emigração está na ordem do dia, como se poderia associar verdadeiramente uma população a um dado país? Neste mundo de globalização, os países e os seus cidadãos são entidades cada vez mais flexíveis e mutáveis. Tendo ainda em conta o risco (nada negligenciável) de que tal «estudo» pudesse vir a servir para fins xenófobos (ridículos, como tal) ou, pior ainda (e mais ridículos ainda) racistas, obsta a que se realize tal estudo e comparação. Há pessoas inteligentes e menos inteligentes em todos os países do Mundo. Se o teste de QI foi de facto uma medida válida, então a distriuição de QI's será normal, seguindo a Curva de Gauss. As eventuais diferenças (e aí encontramos a crítica à parcialidade do teste) dever-se-ão aos meios sócio-económicos da cada indivíduo. Uma criança, que nasça numa tribo de guardadores de gado, que toda a vida lidou apenas com gado, não é necesseriamente enos inteligente por não puder responder a algumas das questões colocadas (como as diferenças subtis entre os significados de palavras). Coloquem um menino oriundo de outra parte do Mundo a cuidar do gado e a cuidar dos seus interesses, de como maximizar os recursos disponíveis, e provavelmente passará por idiota, mesmo que não o seja. Se algo a História ensina é que o Ser Humano, ao longo da História (e Pré-História) tem alcançado feitos inacreditáveis, independentemente da etnia a que pertence, ao local onde nasceu e cresceu, à sua cultura. O continente ameicano tem alguns dos exemplos mais notáveis disso mesmo.


De Luiz Juliano a 23 de Agosto de 2008 às 01:51
Caro Mauro, tenho ponderações, mas elas estão bem explicitadas no seguinte enlace: http://ateus.net/forum/index.php?showtopic=1146&st=0&start=0 Nessa primeira página temos a entrevista do Lynn e alguns comentários do André Cancian que valem a pena serem lidos. Já na segunda página poderá conhecer sucintamente minhas ponderações estatísticas e biológicas sobre o assunto. A segunda página pode ser acessada diretamente pelo site ou por aqui:
http://ateus.net/forum/index.php?showtopic=1146&st=40 Previamente, concordo com o perigo da xenofobia e do racismo. No entanto, todos somos diferentes e penso que não deveríamos viver na ilusão de que somos iguais, mas sim reconhecendo e respeitando nossas diferenças. Grande Abraço.


De Mauro a 23 de Agosto de 2008 às 12:56
Bem, «Luiz Feliciano», penso que talvez não tenha transmitido correctamente a minha ideia. É óbvio que não somos todos iguais, há diferenças de todos os tipos entre as pessoas. Penso até que o principal defeito dos regimes ditos socialistas ou comunistas é a tendência de nivelarem todos pelo menor denominador possível e o de desrespeitarem as diferenças individuais. Espectáculos tipicamente comunistas de enormes multidões a movimentarem-se em simultâneo (como se viu ao longo da última metade do século XX ou recentemente nos Jogos Olímpicos de Pequim), apesar de poderem impressionar, são a pura representação dessse grilhão que procura tornar-nos a todos clones, agindo, falando e pensando todos o mesmo. Não admira que a URSS tenha tombado sobre o peso das suas próprias deficiências e que a China tenha implementado mudanças que permitem a iniciativa privada económica (mas não a pessoal/política): uma sociedade e economia vivas e em crescimento, perante os desafios da modernidade, precisam de toda a individualidade e liberdade. A minha questão perante a tua sugestão prende-se apenas com a associação entre espaço geográfico e os seus habitantes. As fronteiras são construções artificiais e imaginárias do Homem, as diferenças entre as populações de vários país têm a ver com a sua cultura ou até com a sua linguagem (apesar de qualquer um poder aprender outras línguas além da sua materna). Ou seja, uma criança bosquímana pode ser criada na Europa, por exemplo, e ter a mesma cultura e capacidades que as crianças originárias de lá. Se será ou não inteligente, já é uma questão biológica. Claro que as pessoas têm QI's díspares, procuro apenas diferenciar as questões biológicas das geográficas. Associar QI e país de origem não me parece um bom caminho de investigação, independenteente dos riscos que também lhe possam estar associados. Claro que alguém nascido em algum país ocidental mas criado numa qualquer tribo para a qual há apenas os números «1», «2» e «muitos» (que as houve e há) não terá a mesma desenvoltura a lidar com questões matemáticas. Mas isso implica que não seja inteligente? Penso que a inteligência se manifesta em formas muito diferentes conforme a pessoa e a cultura à qual a mesma se adaptou à medida que se ia desenvolvendo. O engenho de algumas culturas (mesmo que neolíticas ainda) não deixa de impressionar. Construções magalíticas, para povos desconhecedores da numeração ou da roda, são bem o testemunho que o QI pode ser elevado independentemente da cultura em que nasce. Algumas culturas poderão fomentar mais o desenvolvimento do QI que outras? Certo. Mas poderão também desenvolver alguns traços do QI em detrenimento de outros? Também me parece correcto. Portanto, para separar as águas: há diferenças entre os QI's das pessoas, não me parece é que seja correcto associar essas diferenças aos países/culturas de origem. E agradeço-te o link para o «Ateus». Vivemos em sociedades laicas mas que são, ao nível familiar e social, tão religosas (ao ponto do fanatismo) que é sempre bom encontrarmos um espaço mais fresco onde possamos vivenciar as nossas proprias crenças (como a descrença em divindades de qualquer tipo). Também por isso, um muito obrigado.


De Luiz Juliano a 23 de Agosto de 2008 às 16:18
Oi Mauro, primeiramente, também discordo do comunismo em vários pontos, como na extinção da herança e da propriedade privada. Assim como das consequências de tais ações sobre a individualidade e sobre a competição, características que provavelmente fazem parte da biologia humana. No entanto, isso não significa que o individualismo seja buscado ilimitadamente, passando por cima de qualquer interesse social. Ou seja, o individualismo excessivo pode causar mais prejuízo para a sociedade como um todo que benefício para o indivíduo que o exerce. A priori, a moral e a legislação são as formas pelas quais a sociedade se protege disso, permitindo a vida social. Assim sendo, reconheço como necessários tanto os limites da atuação estatal como das ações individuais. Em vista disso, penso que embora a propriedade privada faça parte da individualidade humana, deve existir um teto para o acúmulo de patrimônio para impedir suas consequências prejudiciais. Sobre o QI, não foi minha intenção sugerir uma comparação entre os países pensando meramente em suas divisões territoriais - não vejo razões para isso -, mas sim nas cargas culturais que acompanham tais divisões. Como foi apontado pelo estudo de Lynn, países mais religiosos, uma característica cultural, tendem a ter menores médias no teste de QI. Além disso, como escrevi no ateus.net, é possível fazer a comparação bruta - sem isolar o fator ambiental ou o fator genético - e explicar que a herdabilidade do QI é de 75% se as pessoas forem expostas a um ambiente sem excentricidades, sobrando uma significativa contribuição de 25% para o ambiente, exemplificado pela cultura do país em questão. Reforçando e concordando com suas observações, essa herdabilidade para o QI só é válida quando as pessoas são expostas a ambientes relativamente normais. Logo, concordo que o teste de QI é um tipo de mensuração que não avalia a inteligência de uma pessoa que vive em ambientes excêntricos para os padrões usuais. Sobre isso, há um texto bastante interessante da revista "Mente e Cérebro" no enlace abaixo sob o nome de "Cognição e Linguagem": http://groups.google.com/group/o-lado-oculto-da-midia/files?hl=en&upload=1
Abraço, Luiz Juliano


De Mauro a 23 de Agosto de 2008 às 17:19
Bem, «Luiz Juliano», estamos então de acordo quanto ao essencial: é óbvio que não há sociedade sem reras e instituições socias. O problema só surge quando elas prouram eliminar a individualidade que nos faz humanos. Mas nós somos, como bons primatas, criaturas sociais. E não há sociedade sem arâmetros de conduta comuns aos seus membros e meios para reprimir transgressões. Mas dando espaço à minfestação da individualidade. Um pouco como uma roseira a crescer em torno de uma haste que foi colocada para a suportar. A haste segura e dirige o crescimento para cima mas a beleza da rosa está na sua individualidade, nas suas muitas pétalas e cores. O problema do comnismo não está na direcção do crescimento, está em quererem determinoar como será a rosa final. Aqui está, a cultura como factor que estimula ou atrofia o QI. Sociedades dogmáticas reduzem o QI. Infelizmente cometem o grave crime de formatarem a cabeça das crianças do mesmo modo. Um grave atentado à humanidade. O livro de Richard Dawkins «A Ilusão de Deus» aborda bastante bem essa questão e faz uma séria advertência às suas consequências. Como diz «As crianças são ensinadas a acreditar e não a perguntar». Concordo em absoluto. Mas o Ser Humano é um animal tão complexo... Nas décadas que antecederam a Iª Guerra Mundial, a generalidade das pessoas via a ciência e o pensamento científico como a salvação para a humanidade. O que é certo é que depois se deu a Grande Guerra e a ciência foi usada para servir os mais primários dos nossos instintos biológicos alvez o problemas seja que tenham acreditado na ciência em vez de pensarem sobre ela...


De Luiz Juliano a 23 de Agosto de 2008 às 18:00
Oi Mauro. Politicamente, no essencial concordamos, mas penso que estou um pouco mais à esquerda que você. Por sinal, no link abaixo você pode responder um questionário que faz uma classificação prática: http://www.politicalcompass.org/test Como o site é em inglês e eu não sei qual seu domínio sobre a língua, apesar do vasto conhecimento sobre suas origens, um link com o questionário traduzido:
http://groups.google.com/group/o-lado-oculto-da-midia/browse_thread/thread/87f5cace0fd94628/5aa3b6a89630b1fc?lnk=gst&q=#5aa3b6a89630b1fc
Sobre a ciência, lembro de Carl Sagan e seu argumento de que não há como remediar ou prevenir algo que não conhecemos e que o conhecimento não é intrinsicamente mau ou bom, mas dependente de como a humanidade o utiliza. No entanto, a sociedade é imperfeita, o homem é imperfeito e é possível que também devêssemos pensar nas possíveis consequências prejudiciais de um determinado conhecimento. É uma questão ética. Um modelo bayesiano pode ser utilizado para tomar tais decisões. Simplesmente se faz um algoritmo onde o primeiro nó corresponde à realização ou não de uma determinada pesquisa e a partir disso estimam-se as probabilidades de prejuízo e benefício, o número de pessoas atingidas num e noutro caso e por fim calcula-se matematicamente o que trará mais benefício, fazer ou não a pesquisa. Ademais, o desconhecimento pode tornar as estimativas suficientemente vagas a ponto de invalidar tal abordagem. É uma questão complexa e provavelmente deve ser analisada caso a caso, evitando falácias do tipo declive escorregadio. Abraço.


De Mauro a 23 de Agosto de 2008 às 21:37
Agradeço, «Luiz Juliano», pelo link para o «teste» que avalia a nossa «posição» em termos opostos como «esquerda-direita» e «autoritarismo-libertanismo». Felizmente que o Inglês é uma língua que uso com facilidade, já que muitas vezes as minhas pesquisas para artigos necessitam de fontes anglo-saxónicas. O teste é curioso, sem dúvida. Redutor, claro, mas penso que isso está presente na sua concepção. De qualquer forma, é uma classificação que considero bastante subjectiva e desprovida de sentido no Mundo actual. A «esquerda» tem acções tradicionalmente vistas como de «direita», tal como a «direita» tem acções tradicionalmente vistas como de «esquerda». Em termos muito latos, a esquerda enferma de conceitos desapropriados para o mundo actual e mais próprios da anterior revolução cultural, no final do século XIX e início do XX. Já a direita, tem o mesmo defeito mas de acodo com valores diferentes. No extemo, ambos se tocam. O acordo Ribentropp-Molotov, no qual a ultra-direitista Alemanha nazi seu as mãos à ultra-esquerdista Rússia comunista é bem representativa que, no extremo, tudo se toca. Por parodozal que possa parecer, sempre considerei que os extremos estão mais próximos entre si do que estão do centro. Sou apolítico, não vejo como é possível passar um cheque em branco para que um grupo de pessoas seja meu «represenante» em todas as questões políticas/sociais. Sim, a Ciência é acéfala quanto a objectivos a atingir além de compreender fenómenos. O método probabilístico do pastor presbiteriano Thomas Bayes, curioso como é, tem as suas limitações. A principal é a de que necessita da inserção de valores probabilísticos que, na generalidade das situações, são impossíveis de determinar imparcialmente. Recordo nomeadamente o uso que vi uma vez do Teorema de Bayes para demostrar que Deus existe. De que forma? Fazendo estimativas inflacionadas para valores de probailidades usadas no Teorema. Concordamos então, como referes ao dizer que «o desconhecimento pode tornar as estimativas suficientemente vagas a ponto de invalidar tal abordagem.», que em situações de decisão social será carecido de fundamento ou aplicabilidade o seu uso. Claro que usar em contextos matemáticos em universos estatisticamente fechados e maniqueístas é um prazer (já tive o prazer de leccionar esse Teorema, pelo que compreendo bem a sua atração e limitação também). Mais um ponto que temos em comum, parece. Em questões políticas, nasci e cresci num mundo em que não havia/há tão grandes clivagens políticas. A Segunda Guerra du-se antes de eu nascer, a Revolução dos Cavos deu-se antes do meu nascimento, a Guerra Fria terminou era eu ainda adolescente e ainda pouco desperto para a realidade social e política. Mas, no meu âmago, sinto-me ultrajado por alguns valores de esquerda, como me sinto ultrajado por algns valores de direita. Os valores do Centro, contudo, parecem ser os do compromisso e da cobarde esignação. Penso que cada situação necessita de uma abordagem específica. Valores fundamentais para mim, são: Liberdade, Responsabilidade, Conhecimento e Compreensão.


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