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Diário das pequenas descobertas da vida.
Sábado, 27 de Maio de 2006
É radical
Radiciação
A par da multiplicação e da divisão, a radiciação («a extracção das raízes de um número») é uma das operações que surge, com frequência, no dia a dia (menos, claro, mas também).

Sabe-se (?) que 23 = 8 (23 = 2 x 2 x 2 = 8).
O expoente (o número mais pequeno que se coloca no canto superior direito) indica o número de multiplicações a serem feitas com a base (o número maior que fica em baixo).
Esta operação é a potenciação (há também potenciação com números negativos e mesmo com fracção como, por exemplo, 2-3 e 81/3, respectivamente 0,125 e 2)

A operação inversa da potenciação é a radiciação.
A questão da radiciação é que, quando a raíz tem índice par (a raíz quadrada tem índice 2, a raíz cúbica índice 3, a raíz quarta índice 4,...) obtêm-se duas raízes, uma negativa e outra positiva (a raíz quadrada de 4 é 2 e também -2, uma vez que 2x2=4 e (-2)x(-2)=4). O índice é o número que se coloca no canto superior esquerdo do símbolo √.
3√ é a raíz cúbica. Na raíz quadrada não se coloca o 2.
O número de que se quer extrair a raíz chama-se radicando.

A maioria das calculadoras de bolso que se podem hoje comprar têm a função raíz quadrada (mas não tem outras). Mas houve um tempo em que não havia calculadoras e a única forma de calcular raízes de um número era... à mão.
Mas essa é uma «arte» quase esquecida. Como se fará então manualmente a extracção da raíz?

Há, na verdade, mais de uma forma de extrair raízes quadradas de um determinado número. Mas falaremos daquela que se aprendia na escola, a raíz quadrada longa (em termos visuais semelhante à divisão longa).

~ Começa-se por escrever o radicando (o número de que se quer extrair a raíz), com o respectivo símbolo chamado radical;
1~ em seguida colocam-se, após uma vírgula, tantos grupos de zeros quantas as casas decimais que se pretende para o resultado (no exemplo ao lado, pretende-se calcular o resultado com 2 casas decimais, logo acrescentam-se 2 grupos de dois zeros) e fazem-se grupos de dois algarismos, começando da vírgula para a esquerda e da vírgula para a direita;
2~ verifica-se qual é o algarismo cujo quadrado (a multiplicação por si mesmo) fica o mais próximo possível do primeiro grupo sem o ultrapassar (no exemplo, 9x9 é superior, 8x8 é superior, o número cujo quadrado fica mais próximo é o 7) e coloca-se esse número na primeira posição do resultado;
3~ coloca-se o quadrado do algarismo debaixo do primeiro grupo de 2 algarismos do radicando e subtrai-se. Por baixo coloca-a esse resultado;
4~ baixa-se o grupo seguinte de dois algarismos do radicando.
5~ multiplica-se em seguida o resultado que já se tem por 2 e acrescenta-se </u>um</u> 0 (no exemplo, 7x2=140);
6~ é necessário agora verificar qual é o algarismo que somado ao anterior e em seguida multiplicando por esse mesmo algarismo não é maior do que a última subtacção da esquerda (140+9=149 e 149x9= 1341; mas 140+8=148 e 148x8= 1184)
7~ o algarismo que se somou e multiplicou antes coloca-se na posição seguinte do resultado, no topo; Quando se esgotam os algarismos do radicando antes da vírgula, acrescenta-se uma vírgula ao resultado;
~ é necessário novamente multiplicar o resultado que se tem (78) por 2 e acrescentar um 0;
~ repetem-se todos os passos até que todos os grupos do radicando tenham sido usados. Obtém-se assim a raíz quadrada pretendida, com o número de casas decimais requeridas.

A raíz cúbica é muito semelhante, mas agora:
~ no passo 1 fazem-se grupos de 3 algarismos, a contar a partir da vírgula para a direita e para a esquerda e acrecentam-se tantos grupos de 3 zeros quantas as casas decimais pretendidas no resultado;
~ tem de se verificar, no passo 2, qual é o algarismo cujo cubo é o mais próximo possível, sem ultrapassar, o primeiro grupo do radicando;
~ no passo 5, tem de se multiplicar o quadrado do resultado que já se tem por 3 e acrescenta-se 2 zeros;
~ no passo 6 é necessário verificar qual é o algarismo que multiplicado por 3 e acrescentado um 0 e adicionado ao seu quadrado é o número mais próximo sem ultrapassar;



Raízes de índices superiores são progressivamente mais complexas de calcular, mas há, nos algoritmos para a raíz quadrada e raíz cúbica, um padrão que permite perceber como funcionarão.


Publicado por Mauro Maia às 16:07
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45 comentários:
De Maria Papoila a 28 de Maio de 2006 às 13:52
Mauro, gostei de tornar-me radical por uma tarde e voltar a lembrar esta operação manual. Obrigada.
Só um reparo 2x2=4 e -2x-2=4. Se elevados ao quadrado é que serão 8 não é assim?
Beijo


De Mauro a 28 de Maio de 2006 às 14:03
Obrigado pela passagem perfumada pelo Cognosco, «Maria Papoila». Foi de facto uma distracção: 2x2 = (-2)x(-2) = 4. Já está alterado, obrigado. A questão da raíz quadrada e cúbica feitas à mão acaba por ser, nestes hodiernos tempos, uma simples curiosidade. A complexidade do algoritmo obsta a que se tornem populares para outras pessoas que não os programadores de computadores e calculadoras (e mesmo esses têm formas mais sofisticadas e rápidas de colocarem as máquinas a extraírem as raízes do que estes «velhos» e lentos algoritmos, métodos usando expansões em série, por exemplo). Mas é uma vitoriazinha pessoal conseguir fazer à mão tão complexa conta...


De Nox a 30 de Maio de 2006 às 15:50
E cá está ela... É interessante pensar num mundo "pré-máquinas de calcular". Facilitam muito a rapidez de resolução de problemas, é certo, mas julgo que o uso exagerado, desde o 5º ou 6º ano, também frena um pouco a fluidez de raciocínio. A dependência tecnológica começa a verificar-se em todo o lado...


De Mauro a 30 de Maio de 2006 às 22:16
A dependência tecnológica, «Nox», é de facto muito preocupante: desde o caso, que já referi, da incapacidade de verificar que 6 é o dobro de 3 até a relatos da incapacidade de perceber que 10 + 0 é 10 sem o auxílio da calculadora. É que as calculadoras mais e mais se tornam os «sacerdotes tribais» dos estudantes modernos: o que diz é a verdade suprema e inquestionável. Preocupante, no mínimo...


De Carlos Rodrigues a 27 de Janeiro de 2007 às 22:30
Mauro, estou bem longe de chegar aos teus calcanhares matemáticos, mas e há sempre o mas, acho que devias ter cuidado a usar a expressão «verdade suprema», porque seis só é o dobro de três em matemática pura, da matemática para a matemática, é que fisicamente já não é bem assim, e também se aplica ao dez mais zero. mas vou mais ousar e fazer-te um desafio, sabes se há algum matemático no mundo, ou se houve, que saiba contar fisicamente até um partindo do zero? Fico à espera de uma resposta evidentemente ou errada ou uma tentativa metafisica cuidada ou um modesto não sei.


De Mauro a 28 de Janeiro de 2007 às 11:26
Certamente, «Carlos Rodrigues», serei tudo menos uma sumidade matemática, um simples novato admirando as belezas desta profícua área, como sou de outras. E poder-se-ia argumentar até que quem sabe de muitas coisas sabe pouco de cada um delas... Em relação à expressão «verdade absoluta», uma leitura menos apressada perceberá que descrevo a forma como actualmente os estudantes aceitam os resultados fornecidaos pela máquina. Não estou a advogar, de forma alguma, e como fica bem patente ao longo do artigo e do comentário, a veracidade dessa crença. É óbvio que não. Não significa que não se possa utilizar a calculadora como um auxiliar, mas tendo sempre em consideração as suas (e as nossas limitações). Não desejo ser um «velho do Restelo» da Matemática, tl como não desejo ser um qualquer bizarro Pizarro matemático, destruindo conhecimentos e potencialidades sobre os uais nada sei. «In media uerus est», diriam os Romanos, mas , como bem diz Obelix, «estes Romanos são loucos!». ;)


De Carlos Rodrigues a 3 de Fevereiro de 2007 às 00:24
Não sei o significado da expressão em latim mas percebo o que disse o Obelix, é demasiado trivial e simples algumas contas e no entanto os romanos ao usarem as calculadoras estão a fazê-lo para operações que de facto são complexas e exigem conhecimentos. O problema é que não há capacidade de abstracção nem disciplinas que começam por colocar exposições metafísicas que deviam ser as raízes que alimentam a enorme variedade de arvoredos complexos.Penso que é também verdade que os alunos acreditam numa inteligência artificial, ou numa matemática inteligente, o que por enquanto está errado. Quanto a ti Mauro, acabas-te por não contar até um a partir de zero. mas coloco-te outro desdafio, este é geográfico. Onde estás tu em relação ao infinito? Eu enquanto tiver em poder da minha razão digo-te que estás no centro do infinito onde quer que estejas no infinito e seja qual for a velocidade, execpto a velocidade infinita que significava que eras omnipresente. Suponho que sabes que a mecânica quântica é partidária do não-local dando razão ao zero e levantando a questão da teoria das esferas invertidas que explicam a coexistência, (universos paralelos) e a comunicação em T0 entre quaisquer partes do universo. Quanto à matemática em si ela só é válida de si para si e se não acreditas na soma da soma da subtracção estás a negar a possibilidade de uma máquina ser auto inteligente e capaz de descobrir por si mesmo que não é coisa alguma como os criacionistas humanos, muitos se consideram, outro é que essa máquina ao entender-se como finita ter a noção de infinito o que é uma inconsistência, eu como ser limitado, finito, compreendo muita coisa do infinito, o que é um contrasenso. Mas, voltando à matemática se a raiz quadrada de quatro é dois tanto positivo como negativo estamos perante o zero, a matemática é uma falácia que tem sempre o princípio da oposição para se auto aniquilar. não sei porque é que a multiplicação de dois números negativos dá sempre um outro positivo nem que polos têm os números imaginários. Mas voltando ao infinito, a aferição do infinito é assustadora se não for aferido o lugar geométrico da cada coisa. É que falando-se de infinito todas as inconsistências de hoje são consistências amanhã para quem acredita num futuro em progresso eterno. A minha obra do infinito é apenas bagagem metafísica em que os erros de física são alegados que estou a falar do infinito e não do nosso mundo. mesmo que eu perceba os erros que lá estão posso sempre alegar que o assunto é acerca do infinito e logo tudo está correcto. A aferição do infinito por toda a população mundial podia criar uma anarquia geral se não haver aferição de que estamos no centro do infinito criado e logo, no centro das atenções do Infinito Absoluto. Só esta aferição pode travar uma decadência geral. Mas também posso estar errado e acontecer um progresso desenfreado em todas as ciências.Quanto ao resto, assim como para ti dois mais dois são sempre quatro, para mim infinito menos infinito é sempre infinito. Podias apenas dizer-me que não posso subtrair uma coisa por si mesma e menos ainda, um infinito não se pode auto subtrair porque não tem fim para si próprio, que significava também que ao não ter princípio nem fim não existe, mas a solução correcta é que não é demonstrável. Mas em semiótica tudo o que tem um conceito existe,mas tudo o que existe é fantasia, a única realidade é Deus. Carlos Rodrigues


De Mauro a 3 de Fevereiro de 2007 às 12:56
A expressão significa apenas «A verdade está no meio», o que expressa bastante bem a minha opinião sobre diversas questões (não serão todas, mas bastantes, e é geralmente o meu ponto de partida). Vive-se numa sociedade tão mergulhada e influenciada pelos meios de comunicação, que, para quem o absorve a um nível meramente superficial (como a generalidade das pessoas parece fazer), as ficções criadas pelos mesmos tornam-se verdade. A inteligência artificial é um tema tão corrente que uma pessoa menos avisada pensará já ser verdade. Infelizmente tudo empurra as pessoas para julgametnos precipitados e acríticos (nomeadamente, mas não exclusivamente, os alunos)... Em relação ao infinito, e à tua questão, não posso deixar de estar, em termos matemáticos e pessoais, no meio (como qualquer outra pessoa). Ou no meio ou acima, dependendo da realidade objectiva do termo «infinito». Se for (e nada o comprova ou desmente) apenas um conceito humano, sem concretizaçõ física, estarei acima (na medida em que serei um produtor desse conceito). Se for (e nada o comprova ou desmente) uma realidade objectiva, estarei no centro, entre o nada e o infinito. A não-localidade quântica é muito curiosa, de facto, apesar de desconhecer de que forma pode implicar a existência de Universos paralelos e outras dimensões (para além das minúsculas e impossíveis de atravessar e ocupar 7 dimensões espaciais extra da Teoria das Cordas). Tanto quanto sei, explica apenas de que forma partículas quanticamente entrelaçadas e fisicamente separadas, têm um spin que muda instantaneamente, de modo que têm sempre spins contrários. É um pouco estranha a tua conclusão de que nego a possibilidade da soma de subtracções (limitei-me a expressar curiosidade sobre a forma como é definida). A conclusão de que a soma de subtracções permite a existência de AI parece-me, esta sim, excessiva. Um conceito teórico, envolvendo operações matemáticas, não permitirá resolver os inúmeros problemas técnicos envolvidos na AI. Muito menos a crença ou descrença num conceito sobre o qual nada tenho excepto o seu nome poderá expressar a minha crença na possibilidade da AI. Não vejo também qualquer inconsistência num ser finito lidar com o conceito do infinito (o Ser Humao é finito e fá-lo com à vontade). Como é que a Matemática se auto-aniquila por conjugar conceitos que (parecerão) opostos? Na verdade, é a sua maior força, parece-me. Os números complexos preenchem bastante bem os possíveis «buracos» que o conceito de raíz (que é uma mera ferramenta humana) poderia criar. Números naturais, números negativos, números complexos, são apenas ferramentas humanas com as quais se lida com o Universo. São conceitos humanos e é uma questão subjectiva até que ponto correspondem a realidades físicas (não humanas). Tendo em conta a generalizada crença num (ou vários) Ser Divino (e portanto infinito) e tendo em conta que a anarquia não é a organização social dominante no Mundo, não parecerá que a ideia do infinito, sendo geral, levaria à anarquia... Curiosamente (ou não), para mim 2 + 2 nem sempre são 4, depende do contexto em que semelhante operação está a ser operada (em base 3, por exemplo, 2 + 2 = 11, 2 protões + 2 neutrões são 1 átomo do Hélio). As limitações não são da Matemática, são apenas de quam a usa (ou não). Tendo em conta o conceito de infinito, de que forma infinito menos infinito é sempre infinito parece-me exceder a mera crença pessoal num conceito de infinito. Eera preciso definir mais concretamente o que é o infinito para saber como operá-lo. Será sequer possível de operar com as operações básicas da Aritmética? A resposta reside na sua definição. A únic definição concreta que conheço que permite a sua operacionalização é a Matemática dos Limites, a qual infinito menos infinito é uma indeterminação e passível de uma resolução que lhe dá um carácter definido (que tanto pode ser infinito, como 0, como 1/2, como..., dependendo do limite que se está calcular). O conceito de infinito que usas será passível de operacionalização? A Semiótica (do grego «semeiotiké» - a arte dos sinais) preocupa-se com os símbolos e com as imagens. TUdo o que tem um conceito existe, mas poderá existir apenas como um conceito subjectivo (ou como um conceito objectivo). Não penso (mas admito que é uma mera crença pessoal) que o facto de acreditar em algo lhe dá uma realidade concreta. Essa seria a fonte da Magia (na qual, por ilação lógica, não acredito igualmente) e o conceito de que tudo é fantasia é muito caro à escola eleática, na defesa da qual Zenão criou os seus famosos paradoxos. Mas, dessa forma, será apenas uma matéria de rivalidades intelectuais entre escolas filosóficas? «Quem é sábio segue o seu própio caminho», nas palavras do famoso dramaturgo grego Eurípedes...


De Carlos Rodrigues a 4 de Fevereiro de 2007 às 00:17
É possível ir mais além do que inferir que estamos sempre no centro do infinito? Não! E encontrar este fim é viver num suspense constante. É-me difícil não aceitar este dogma universal extraído da dedução onde jamais pode ser demonstrado. Só seria demonstrável traduzindo princípio para passado eterno e fim por futuro eterno e depois substituir passado e futuro por sempre e sempre é um irmão gémeo do nunca e estes gémeos poderiam ser um paradoxo para Zenão. Estou a tentar dizer-te que nunca conseguiremos estar acima como produtores de conceitos. E depois é um erro afirmar estar no meio entre zero e infinito. Porque um não é o contrário do outro, a partir da fantasia que tudo é para dar um passo atrás irredutível, nada e infinito criado são sinónimos. É no nada, a partir deste a verdadeira Magia Soberana de O Infinito Absoluto fazer a partir do nada Ser Ele um Contínuo Criador Original, nós é que fazemos coisas a partir de coisas já criadas, nunca conseguimos inventar algo a partir do nada. Deus é infinitamente maior que infinito, não é equacionável, e nós somos potenciaias para ser porquanto não somos. A verdadeira realidade não é material nem temporal, é algo que nos transcende. Não podemos rotular um corpo ao mal e outro ao bem. Por mais que o progresso nos deslumbre é tão melancólico haver um fim e um princípio como não haver ambos no infinito criado. E começa a instalar-se a incerteza pejada de dúvidas de toda a ordem. Conseguirá alguém responder a esta questão? O universo foi criado pelo infinito criado (natureza), pel´O Infinito Absoluto (Deus) ou por uma supercivilização associada a dimensões superiores simplesmente determinista. É possível que Deus coloque nas mãos das criaturas a mesma responsabilidade que Ele tem por todos? Quanto à soma da subtração sou eu que não consigo acreditar achando um disparate o que eu próprio fiz. A AI pode até ser a realidade do nosso universo, nós somos máquinas e não conseguimos imaginar algo que o não seja o que mesmo sem saber o que possa ser parece-me não ser manipulável. Mas no conceito dessa Matemática deveras que vislumbro um circuito fechado de uma balança e autónomo nas suas próprias escolhas. Não percebo nada de algoritmos mas o código binário aproveita ao máximo o espaço vazio para uma equação capaz de o preencher por completo e depois regressar a um cantinho codificado algures em milhões de espaços vazios, não é? No problema das dimensões parece que não temos instrumentos dentro da cabeça para as perceber, também não há consenso e vejo erros na teoria das cordas, para mim um espaço unidimensional não pode ter curvatura e um espaço bidimensional não tem espessura o que faz com que a face da frente também tem a face do verso e vice-versa, seria um bom conceito para aplicar às esferas invertidas. A Matemática tem coisas que o mundo físico parece não ter. Pode exprimir uma quantidade sem que esta seja atribuída a um objecto físico o que faz logo desta verdade suprema uma virtualidade total. A Matemática exprime ainda a igualdade na sua repetição infinita, só é perfeitamente igual na Matemática, onde em lugares diferentes duas coisas são perfeitamente iguais, o paralelismo dos números. Qualquer número é igual a outro seu igual na quantidade e qualidade. E depois aparecem elementos que o mundo físico parece não possuir. Por um lado o meu conceito de infinito impõe dogmas, por outro sou obrigado a acreditar em tudo. O que me surpreendeu foi a coincidência do significado da expressão em latim e ter escrito acerca do meio. Juro que não sabia. Não sei se hoje ainda há sábios, existem muitas áreas do saber que não havia naqueles tempos. Carlos Rodrigues


De Mauro a 4 de Fevereiro de 2007 às 01:00
Continua a faltar-me a definição de infinito em todos os conceitos que aqui são apresentados. Se o infinito estiver a ser usado como sinónimo de Deus, não é claramente operável. Se o infinito for um conceito operável, está claramente abaixo (num sentido metafórico, claro) de quem o cria e usa. Só nos é igual ou superior uma entidade que não seja manipulável (até em conceitos tão humanos como amizade e amor, no meu entender). A única regra inviolável em Matemática é a ausência de contradição. Este é o único e supremo valor no campo matemático, mesmo que os resultados pareçam fugir à nossa lógica biológica (os instintos, por outras palavras). Não sou grande apreciador de citações (parece-me sempre um subterfúgio de quem tem pouco a dizer e necessita da sabedoria alheia para se impor), tal como não aprecio grandemente provérbios. Estas considerações não me impedem, claro está, de fazer um julgamento imparcial (dentro do possível) de citações e provérbios. Duas citações que se ajustam bastante bem ao que valorizo em termos pessoais são mesmo «A verdade está no meio» e «O Sábio segue a sua própria direcção». Deus é um conceito excessivamente pessoal para se poder argumentar a favor ou contra. O Munfo físico, em contraste, pode ser (e é) analisado e operacionalizado. Se se reunirem suficientes indícios da veracidade da Teoria das Cordas (de uma delas), não há outro remédio se não aceitá-la. Eu, por mim, ficarei bastante agradado se isso verificar (estando atento e aberto à sua negação, claro está). É tão limitado o Ser Humano que nem por sombras poderia considerar que as minhas crenças pessoais possam ter qualquer impacto sobre a Realidade. Deixo-a ser a Mestre sobre si mesma e, qual pupilo ávido, limito-me a aguardar à porta da sua sala de aula.


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