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Diário das pequenas descobertas da vida.
Quinta-feira, 11 de Maio de 2006
Inveja matemática
É bastante fácil fazer somas. A soma de dois números, quaisquer que eles sejam, não passará de uma questão de tempo e nunca de dificuldade (após «dominar» a técnica do «e vai...» nenhuma soma atemoriza).

Mas há uma conta que, apesar de intimamente relacionada com a soma, é menos
compreendida. Falo da multiplicação.
Tendo em conta que a multiplicação não passa de uma série de somas, é curiosa então esta dificuldade, se nasce de algo tão simples e instintivo.
4x3 = 4 + 4 + 4 = 8 + 4 = 12 (três vezes o 4 somado ou quatro vezes o 3 somado)
7x5 = 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 14 + 14 + 7 = 28 + 7 = 35 (sete vezes o 5 somado ou cinco vezes o 7 somado).

(Um outro exemplo, mas desta vez de infinita complexidade nascida da simplicidade, veja-se o artigo Fractais)

É hoje uma das contas mais e mais incompreendida pelas gerações mais novas, as gerações que cresceram com as «calculadoras» e com os «computadores».
(Para uma breve opinião sobre esta questão ver Celeres dies)

O desconhecimento da forma como se efectuam multiplicações, à mão e rapidamente, é cada mais preocupante.
É óbvio que há sempre (?) calculadoras para fazer 2x3=6 mas o desconhecimento do como isto sucede leva a bizarrias (que já pude pessoalmente testemunhar) de alguém que, perante uma caixa com 3 berlindes e outra com 6 berlindes, não percebe que uma quantidade é o dobro da outra. (Falta a simples noção da relação entre números, muitas vezes também motivada pelo desconhecimento da tabuada).

Todos (?) nós aprendemos na Escola Primária (actual 1º Ciclo) a fazer multiplicações e só a falta de uso pode levar ao desconhecimento de como o fazer, já que é tão fácil.
Mas o que raramente é referido é que:
há vários processos para se fazerem multiplicações! (mais precisamente designados algoritmos de multiplicação).

Luca Pacioli, 1445-1517, expôs 8 algoritmos diferentes para se fazerem multiplicações, na sua obra Summa de arithmetica (onde surge uma figura ligada ao número Phi, como visto em Só phi é d'ouro).
De entre estes há os 5 seguintes:

~ Multiplicação longa (ou «per scachiero» - em italiano):
A forma que se aprende tradicionalmente na escola (portuguesa). Colocam-se os dois números que se querem multiplicar um sobre o outro.
Multiplica-se então cada algarismo do número que ficou «por baixo», da direita para a esquerda, por todos os algarismos do que «ficou em cima», também da direita para a esquerda. Coloca-se a unidade do resultado da multiplicação dos algarismos alinhados, por debaixo dos outros dois números, novamente da direita para esquerda. De cada vez que o resultado é superior a 10, soma-se o algarismo das dezenas à próxima multiplicação de algarismos que se fará. Após multiplicar o último algarismo do número «de baixo» por todos os algarismos do «de cima» e colocar os resultados alinhados por baixo dos dois primeiros, passa-se para o penúltimo algarismo, fazem-se as mesma operações e colocam-se os resultados alinhados, da direita para a esquerda, por baixo do penúltimo algarismo do resultado imediatamente acima dele. De cada vez que se começa um nova série de multiplicações com um novo algarismo, os resultados são inseridos começando uma posição mais à esquerda. Após todos os algarismos estarem multiplicados, somam-se os resultados, ordenadamente, coluna a coluna. O número obtido é o resultado pretendido.

~ Regra do quadrilátero (ou «Gelosia» - inveja em latim/italiano):
Começa-se por um quadrado dividido em colunas e linhas: tantas colunas quanto um dos números a multiplicar, tantas linhas quanto o outro número. Cada um dos quadrados que se obtêm são depois divididos ao meio. No topo, acima da tabela, escrevemos um dos números, cada algarismo acima de uma coluna. Ao alto, fora da tabela, escrevemos o outro (começando por baixo), cada algarismo ao lado de uma linha. Multiplicam-se os algarismos, os das linhas pelos das colunas. Escreve-se o resultado na célula de intersecção dos dois, as dezenas na metade inferior e as unidades na metade superior. Por fim somam-se, ao longo das diagonais, os algarismos alinhados e coloca-se o resultado ao lado da última célula da soma. De cada vez que o valor da soma é maior do que 10, escreve-se só a unidade e soma-se o algarismo das dezenas na próxima diagonal.
O resultado da multiplicação é o número formado pelos algarismos que se foram escrevendo, lidos da esquerda para direita e de baixo para cima.

~ Multiplicação Russa (ou «castellucio» - em italiano)
Colocam-se os números que se querem multiplicar lado a lado.
Calcula-se o dobro do 1º número e coloca-se por baixo.
Calcula-se metade do 2º número e coloca-se por baixo deste. Quando o resultado tem casas decimais, ignoram-se as casas decimais e coloca-se apenas a parte inteira.
(Por exemplo, se na sequência da divisão por 2 se obter 34,8 escreve-se 34)
Por baixo dos primeiros números coloca-se sempre o dobro do anterior e, por baixo dos segundos, coloca-se sempre metade do anterior. Pára-se os cálculos do dobro e da metade quando o resultado das divisões é 1.
Em seguida riscam-se todas as linhas de números nas quais o 2º número é par.
Somam-se os números da primeira coluna que não foram riscados.
O resultado final é a multiplicação pretendida.

~ Multiplicação de Leonardo de Pisa (ver também Fibonacci)
Colocam-se os 2 números que se querem multiplicar um sobre o outro. Multiplicam-se os algarismos finais de cada um. Coloca-se a unidade por baixo deles e transporta-se a dezena (se existir). Em seguida, no conjunto dos dois algarismos finais dos números, multiplicam-se os algarismos que estão no extremo, o canto superior esquerdo com o direito e vice-versa e somam-se os resultados obtidos. Em seguida, no conjunto dos 3 seguintes, multiplicam-se os extremos e os do meio e soma-se. Nos 4 seguintes os extremos exteriores e interiores e soma-se. E assim sucessivamente. Assim que todos os algarismos já tiverem sido incluídos, fazem-se grupos incluindo todos menos os dois finais, multiplicam-se os extremos e soma-se. E, seguida grupos onde não estão os dois finais e repetem-se as operações. Prossegue-se até que se chegue ao grupo onde só se incluem os dois primeiros algarismos dos números a multiplicar. Sempre que um dos números seja maior do que o outro, fazem-se as multiplicações por 0 em lugar dos algarismos em falta.

~ Multiplicação Egípcia
Escrevem-se os números que se querem multiplicar lado a lado. Por baixo do primeiro escreve-se 1, por baixo do segundo o próprio número. Em seguida soma-se cada número novo por si mesmo e coloca-se por baixo de si mesmo. Repete-se a soma (o número por si mesmo) até que a primeira coluna dê um valor que, somado consigo mesmo, ultrapasse o número do topo (o que se estava a fazer a multiplicação). Em seguida verifica-se quais os números que, na primeira coluna, somados dão o número do topo.
Isto requer simplesmente que se subtraia ao número do topo os maiores números que a coluna contenha, sem que se obtenha um resultado negativo e até obter 0. Verificam-se quais os números que correspondem aos que foram subtraídos na 2ª coluna e somam-se. o resultado da soma é a multiplicação pretendida.
No caso do exemplo ao lado:
75 - 64 = 11 -> 2176
11 - 8 = 3..... -> 272
3 - 2 = 1....... -> 68
1 - 1 = 0....... -> 34
..........................2550

Em qualquer um dos algoritmos, caso se pretenda multiplicar números com casas decimais (números após a vírgula), basta que estas sejam ignorados inicialmente, colocando-se depois, no resultado obtido, tantas casas decimais quantas as obtidas pela soma das casas decimais de cada um dos números (Para calcular 7,5 x 0,34 multiplica-se 75 x 34 = 2550. Como 7,5 tem 1 casa decimal e 0,34 tem 2, o resultado terá 3 casas decimais. Assim, 7,5 x 0,34 = 2,550

~ Multiplicação védica
Na sequência de ter visto este vídeo no youtube sobre a Matemática Védica, e tendo-me surgido questões quanto à inclinação das linhas usadas e ao processo de selecção dos grupos, adaptei o método.
Começa-se por se desenhar grupos de linhas horizontais e verticais. Faz-se um grupo com tantas linhas horizontais como o primeiro dígito do primeiro número a multiplicar, faz-se um segundo grupo com tantas linhas horizontais como o segundo dígito do primeiro número a multiplicar, assim por diante até que todos os dígitos do primeiro número estejam representados por linhas horizontais. Na vertical, faz-se um grupo com tantas linhas verticais como o primeiro dígito do segundo número a multiplicar, faz-se um segundo grupo com tantas linhas verticais como o segundo dígito do segundo número a multiplicar, assim por diante até que todos os dígitos do segundo número estejam representados por linhas verticais. Fazem-se os grupos das intersecções das linhas horizontais e verticais que estão próximas. Para esta multiplicação basta contar os pontos de cada grupo e somar. Começa-se pelo grupo no canto inferior direito. O número de pontos desse grupo é o último dígito do resultado. Unem-se então os grupos mais próximos (à esquerda e acima) do(s) último(s) já contados e somam-se todos os pontos desses grupos. O resultado é o penúltimo dígito do resultado da multiplicação. Em seguida, unem-se os grupos que estão mais próximos dos anteriores. Continua-se até só haver um grupo (o mais à esquerda e acima), que contém tantos pontos quanto o primeiro dígito do resultado da multiplicação. Sempre que uma das somas de pontos do grupo der um número maior ou igual a 10, fica o último dígito (as unidades) e as dezenas somam-se aos grupos que vão ser somados em seguida. Caso um dos algarismos dos números a multiplicar seja 0, basta que seja representado por uma linha tracejada, efectuando-se todos os passos na mesma, mas tendo sempre presente que as intersecções com a linha tracejada correspondem a 0.

Compare-se então o uso de cada um dos métodos na multiplicação
123 x 432 = 53 136.
Multiplicação Longa


Gelosia


Russa


Russa (o mesmo exemplo com as colunas trocadas)


Leonardo de Pisa


Multiplicação Egípcia


Multiplicação Védica



Fazendo uma consideração pessoal sobre estes métodos, é fácil de constatar que:

~ a Multiplicação Longa é a mais rápida de efectuar, mas exige o conhecimento pleno da tabuada e requer constante transporte dos valores das dezenas. Além disso, quanto maior forem os números mais papel se gasta na realização das multiplicações (a multiplicação de números de 2 algarismos necessita de 5 linhas (2+2+1), de 4 algarismos de 7 (2+4+1), de um com 4 algarismos e outro com 3 de 6 (2+3+1); de um modo geral de 2 linhas (os números a multiplicar) + tantas linhas quantas as do menor número + 1 linha (o resultado). Se n for o nº de algarismos do menor número e m o nº de algarismo do maior são necessárias 2n + 1 linhas e 2m – n ou 2m – n + 1 colunas.);
Um bom método aquando da multiplicação de números com menos de 3 algarismos;

~ a Gelosia exige também conhecer-se a tabuada mas o número de transportes a efectuar é menor (só se efectuam transportes nas somas finais) e exige menos espaço para ser usado (são sempre m linhas e n colunas). Tem o inconveniente de se ter primeiro de criar um quadrilátero com diagonais para ser usado, o que diminui a rapidez do seu uso, que, a não ser isso, é mais rápido do que a multiplicação longa.
O melhor método para a multiplicação de números com mais de 3 algarismos. Menos de 3 o facto de se tder de desenhar o quadrilátero diminui-lhe a utilidade. O único método em que confio quando multiplico,à mão, grandes números.

~ A Multiplicação Russa deve o seu nome à ideia de que ainda é usada nas regiões mais interiores desse país, de que não tenho registo de provas do mesmo. Dispensa por completo o conhecimento da tabuada (basta saber calcular o dobro e a metade de qualquer número, o que é bastante fácil), é rápida de se usar e requer pouco papel: precisa de 2 colunas e entre 2n + 1 a 4n + 1 linhas;
O melhor método para multiplicar números com 4 ou menos algarismos. Acima desse valor calcular dobro e metades não é tão rápido...

~ A Multiplicação de Leonardo de Pisa é o método que menos papel requer (3 linhas e mn colunas) mas não é muito rápido e é necessário cautela na selecção dos grupos que se vão usar e nas multiplicações e somas a efectuar com eles; é fácil cometer erros na sua selecção…
Um método engraçado de usar mas pouco prático. É bom quando se quer economizar papel e também se se tem saudades de calcular a característica de matrizes...

~ A Multiplicação Egípcia tem a enorme facilidade de transformar uma multiplicação em algumas, poucas, somas. Para qualquer um que tenha alergia À tabuada ou a divisões (mesmo que por 2), é sem dúvida o melhor método.
Usa tanto papel como a multiplicação russa mas é ainda mais fácil de usar

Para uma comparação mais imediata destes 6 métodos, veja-se a seguinte imagem, com a aplicação de cada método à multiplicação 35 x 13:


E assim se pode multiplicar, da forma que mais nos aprouver. Eu pessoalmente acho a «Gelosia» a mais divertida de usar (chato é andar a fazer o quadrilátero e a sua divisão em triângulos mas para grandes números dá até menos trabalho) e é o que tem o nome mais engraçado. Além disso é o que sinto mais fiável na multiplicação manual de grandes números...</i>


Publicado por Mauro Maia às 19:56
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27 comentários:
De Rui a 12 de Maio de 2006 às 13:41
(espero ainda pelas imagens que permitem compreender melhor essas tão variadas técnicas de multiplicação). De qualquer maneira, se há técnica que atemoriza, é a da divisão: porque afinal, ela sim, é que mete somar, subtrair, dividir, meter para lá e para cá, e sempre com aquele obnóxio "resto"! Espera-se, então, pela descodificação dos mistérios da divisão. ;)


De PN a 13 de Maio de 2006 às 14:14
Bem, o teu template está mesmo a passar por dificuldades técnicas...
Por acaso estranhei que os miúdos tenham dificuldade em entender a multiplicação, penso que será mais por hoje não os obrigarem a decorar a tabuada.
Tal como para o Rui, para mim a divisão é que sempre foi mais complicada.


De Maria Papoila a 13 de Maio de 2006 às 14:54
Olá Mauro! Volto cá depois com as imagens para ver melhor o método da gelosia. Achei muito interessante a multiplicação russa, que não conhecia. Um abraço e até breve (espero)! Beijo


De Mauro a 13 de Maio de 2006 às 17:47
Uma desculpa aos 3 e a quem, tendo cá vindo, tenha esperado pelas imagens que ilustram os diversos métodos. Espero que as imagens ajudem. Quanto à divisão, quanto em breve fazer um artigo sobre o algoritmo da divisão (conheço apenas 1) e igualmente da raíz quadrada. Quem sabe, havendo tempo, um retorno aos bancos de escola e relembrar a «saudosa» Prova dos 9...


De deprofundis a 13 de Maio de 2006 às 18:54
Agora é que são elas. Julgava que ainda sabia fazer multiplicações. À maneira antiga, já se sabe. Mas rendi-me à calculadora e tornei-me preguçoso matematicamente falando. E nem sequer gosto de sudokus. A menos que apareçam sudokaras...

Um abraço


De Mauro a 13 de Maio de 2006 às 19:30
Já se sabe que, o que não é usado, se perder. É fácil esquecer os algoritmos da multiplicação, ainda mais da divisão, em especial da raíz quadrada e também da regra dos 9. Este artigo serve para o lembrar o que aprendemos na Escola Primária mas, acima de tudo, referir outros métodos para o fazer. Pessoalmente gosto mais da Gelosia mas percebo inteiramente a opção pela Multiplicação Longa para o ensino oficial: dispensa outras coisas para além de desenhar números, além de que têm de exercitar capacidades de memória a curto prazo, da tabuada, da soma,... Imagino já as tentativas de alunos da primária para fazerem os complexos quadriláteros e as suas sub-divisões da Gelosia ou a preguiça mental que seria aprenderem a Multiplicação «Russa»... E nem falo na complexidade algorítmica da Multiplicação de Leonardo de Pisa...;


De . a 13 de Maio de 2006 às 22:00
Um artigo muito interessante. Desconhecia quase todas as formas aqui descritas de multiplicação.
A tradicional forma longa é particularmente eficiente e fácil de efectuar quando o multiplicando e o multiplicador se encontram representados no sistema binário, isto é, de base 2. Não por nós, seres humanos que aprenderam a contar pelos dez dedos das mãos, mas pelos computadores e calculadoras, para os quais existem apenas dois algarismos, designados por bits: o zero (quando não passa corrente eléctrica) e o um (quando a corrente passa). Creio que o Mauro já escreveu um artigo que descreve o sistema binário e ensina a converter um número do mesmo para o sistema decimal e vice-versa. Dizia eu que é particularmente fácil e eficiente de efectuar porque a tabuada, no sistema binário, é muito simples: tudo o que é necessário saber, para além de somar, é que a multiplicação de um número por zero dá zero; e que a multiplicação de um número por um dá o próprio número.
Considere-se o exemplo, referido no artigo, em que se pretende multiplicar 123 por 432. Em binário estes números representam-se, respectivamente, por 1111011 (multiplicando) e 110110000 (multiplicador). Procede-se da seguinte maneira: Assume-se que o resultado da multiplicação é, no início, igual a zero. Para cada um dos algarismos (bits) do multiplicador, começando pelo da direita e acabando no da esquerda, faz-se o seguinte: se o mesmo for zero, acrescentamos um zero à direita do multiplicando; se, pelo contrário, o bit for um, somamos o multiplicando ao resultado e acrescentamos um zero à direita do multiplicando. Ora os bits do multiplicador são, da direita para a esquerda, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1 e 1. Aplicando a "receita" (também designada por algoritmo) atrás descrita, obtém-se para o resultado os valores sucessivos 0, 0, 0, 0, 11110110000, 1011100010000, 1011100010000, 101010010010000 e 1100111110010000 (uma tabela com três colunas ajudava na compreensão deste ponto, mas não me é possível aqui fazê-la: uma coluna para representar os sucessivos valores do bit do multiplicador que está a ser considerado; outra coluna para os valores correspondententes do multiplicando e uma terceira e última coluna para os valores parcelares do resultado). O último valor obtido (1100111110010000) será o resultado final e corresponde, no nosso sistema decimal, a 53136, ou seja, ao produto de 123 por 432. Pode parecer que este algoritmo nada tem a ver com a versão longa da multiplicação que aprendemos a fazer na escola, mas a verdade é que são rigorosamente idêntico :-)


De Maria Papoila a 13 de Maio de 2006 às 22:15
Valeu a pena cá voltar! Eu sabia e por isso voltei. Gosto de voltar aos bancos de escola aqui no COGNOSCO porque aprendo sempre algo de novo. O método da gelosia é realmente muito interessante e assim visto fez-me pegar em papel e lápis. Fico à espera da divisão e da raiz quadrada. Beijo


De Mauro a 13 de Maio de 2006 às 22:29
Bem-vindo(/a?) como sempre,«.» Já de facto antes, num outro artigo (já faz algum tempo) escrevi um artigo sobre a questão das bases diferentes de 10 (falei na de 2 num artigo em que mostrava 3 situações em que 1 + 1 não são 2). Não sei se me satisfez plenamente o artigo no sentido da explicação de como funcionam as basas (mas fê-lo no sentido de explicar como 1 + 1 nem sempre são 2...) É mais um artigo a aguardar que respire fundo e arregace as mangas, como o Último Teorema de Fermat. Mas a sua importância leva-me a sentir que preciso de me munir de bases mais sólidas do que as que sinto ter para o fazer (se bem que as bases numéricas são mais simples e, como tal, provavelmente terão artigo mais cedo). De facto, as contas na bases 2 são fenomenalmente simples (apesar de, mesmo para números pequenos, ocuparem muito espaço) e a sua tabuada é o mais simples possível. Como sempre é um prazer receber tão augustos comentários... Fico feliz, «Maria Papoila», que te sintas tão preenchida com os artigos que aqui vou deixando. Também eu gostei destes métods (em especial da Gelosia) e como tal quis partilhar, nesta sociedade de calculadoras de bolso e computadores, como o fazer, tanto a quem não conhecia como a quem simplemente esqueceu. Como sempre é uma visita de uma frescura orvalhada a tua ao Cognosco.


De . a 13 de Maio de 2006 às 22:58
É pelo facto de os números binários ocuparem tanto espaço que a maior parte das pessoas, quando tem de trabalhar com os mesmos, recorre normalmente a um outro sistema de numeração: o de base 16, ou hexadecimal (no passado usou-se também o de base 8, ou octal). Neste caso há 16 algarismos, do 0 ao 9 e do A ao F. A representação de números no sistema hexadecimal tem algumas vantagens: é muito compacta (ainda mais do que no sistema decimal) e a sua conversão para o sistema binário (e vice-versa) é substancialmente simples, em virtude de 16 ser uma potência inteira de 2 (mais precisamente, 16 = 2^4).


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