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Diário das pequenas descobertas da vida.
Sábado, 25 de Março de 2006
Cantor infinito
Símbolo do infinitoO infinito é um conceito que já se tornou bastante comum na linguagem do dia-a-dia, principalmente como «sinónimo» de «enorme».
O meu amor por ti é infinito; Tenho infinitas contas para pagar; ...
Apesar da sua entrada na linguagem comum como uma metáfora para algo muito grande ou numeroso, o significado concreto do termo é um pouco nebuloso para a maioria das pessoas. A ideia (correcta) que terão é a de que é algo que é maior do que qualquer outra coisa.

Uma das coisas que mais poderá surpreender as pessoas será a de que:
O «conhecido» é constituido por, pelo menos, 2 infinitos, um maior que o outro.

~ Como assim «um maior do que o outro»? Se os dois são infinitos nenhum pode ser maior do que o outro! Há o mais infinito e o menos infinito mas esses têm o mesmo tamanho...

Os dois infinitos de que falo não são os infinitos que qualquer aluno de Matemática do Ensino secundário está habituado a ver e a trabalhar, a noção matemática de infinito. (Sobre o uso da maiúscula no substantivo «Matemática» e da minúscula no adjectivo «matemática» ver Quom maiores aut minores.)

Georg CantorA história destes dois irmãos separados à nascença começa com um senhor alemão de nome Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor. Georg Cantor nasceu em São Petersburgo, filho de Georg Waldemar Cantor, negociante dinamarquês e da russa Maria Anna Böhm.
Desde criança evidenciou-se como um excepcional violinista e com notáveis talentos musicais, mais uma vez mostrando a forte ligação que existe entre a Matemática e a Música (que começou com os pitagóricos, como visto em Simplesmente complexo).
Ao longo da sua vida profissional sofreu depressões nervosas, agravadas e permanentes após a morte de um dos seus 8 filhos.


Cantor, entre outras grandes contribuições para o desenvolvimento da Matemática, fundou e realizou importantes trabalhos na Teoria dos Conjuntos.
Um «conjunto», em Matemática, é uma colecção de objectos únicos e claramente distintos. {martelo, elefante, martelo, locomotiva} é um conjunto.

Os conjuntos podem ter um tamanho finito ou um tamanho infinito.
{1, 2, 3, 4, 5} é um conjunto finito ; {todos os números naturais} é um conjunto infinito.
Foi sobre os conjuntos infinitos que Cantor se debruçou e obteve resultados surpreendentes e contra-intuitivos (perante alguns deles terá mesmo exclamado «Eu vejo-o mas não acredito»).
As surpressas surgiram quando Cantor decidiu contar o número de elementos de conjuntos infinitos.

~ Como assim, contar o número de elementos de um conjunto infinito? Pois se é infinito, é infinito. Nunca se acaba de contar. Por isso é infinito!

Para contar conjuntos infinitos, Cantor imaginou uma estratégia engenhosa:
compararia os conjuntos que pretendia contar com o conjunto de números naturais.

No conjunto {martelo, elefante, martelo, locomotiva} cada elemento pode ser associado, por ordem, a um número natural.
Neste caso até ao número 4, pelo que o número de elementos do conjunto é 4 (diz-se que o cardinal do conjunto é 4.

No caso dos números pares, podemos associar cada um deles a um número natural individual e diferente. Dessa forma o conjunto dos números pares também é infinito mas, eis algo de surpreendente, há tantos números pares quanto números naturais (em vez da metade que se esperaria. No conjunto de 6 números 1, 2, 3, 4, 5, 6 há 3 números pares: 2, 4, 6. Os números pares (3) são metade dos números considerados (6)). Com os números ímpares passa-se o mesmo.
Ou seja, a parte é igual ao todo! Há tantos números pares como naturais.
Não admira que Cantor tenha ficado abismado com este aparente paradoxo (que não é verdadeiramente, encontrando-se perfeiramente demonstrado matematicamente).


Assim o cardinal dos números naturais ( # ) é igual ao cardinal dos números pares (e ao dos números ímpares)</b>
Ao número de elementos do conjunto dos números naturais Cantor chamou
Aleph-zero (aleph é a primeira letra do alfabeto hebraico), que se representa como 0

Cantor começou então a verificar se outros conjuntos infinitos também tinham o mesmo cardinal (isto é, o mesmo número de elementos). Teriam todos os conjuntos infinitos cardinal 0 ?
Veja-se o artigo Simplesmente complexo sobre outros conjuntos de números.

O conjunto dos números inteiros :


É possível associar cada número inteiro a um número natural (em que cada número inteiro positivo par corresponde o número natural que é a sua metade e cada número inteiro ímpar ao número natural seguinte)

Conjunto dos números racionais :

Este conjunto colocou algum problema quanto ao método de contagem. É que entre quaisquer dois números inteiros há infindos números racionais. Não era já possível associar facilmente cada fracção a um número natural por ordem crescente. Mas então Cantor lembrou-se de imaginar as fracções numa grelha. Podia-se associar cada fracção da grelha a um número natural fazendo um percurso «enviesado» mas consistentemente lógico para a célula seguinte. Cada fracção numa célula corresponderia ao número natural seguinte.


Desta forma Cantor mostrou que também tem cardinal 0.

Conjunto dos números reais :

Este conjunto de números reais era ainda mais bicudo do que o anterior mas Cantor, mais uma vez, imaginou uma forma inteligente de determinar o cardinal de .

Imagine-se que se colocam todos os números reais numa lista.
Obviamente que, se estão numa lista, é fácil associá-los a números naturais crescentes.
O primeiro número da lista associa-se a 1; o segundo número da lista associa-se a 2;... ; o décimo-terceiro número da lista a 13; ...

Parte da lista poderia ser:
...
0,345236425643765...
0,14534536357457...
...
652,4567458478475...
1,453453645645645...
...

Esta lista deve conter todos os números reais!
Mas, no entanto, imagine-se o seguinte número:
É diferente do primeiro número da lista no primeiro (1.º) algarismo, é diferente do segundo (2.º) número da lista no segundo algarismo, ..., é diferente do décimo-terceiro (13.º) número no décimo-terceiro algarismo, ..., é diferente do tricentésimo sexagésimo quarto (364.º) número no algarismo tricentésimo sexagésimo quarto algarismo;...

Obviamente que este número também é real. Mas no entanto não está nesta lista que supostamente contém todos os números reais. Há uma contradição: como pode uma lista que contém todos os números reais não conter este?

~ Não faz mal, é só juntar esse número e a lista fica completa...

Poderia pensar-se que a lista ficaria completa se se adicionasse à lista esse número.
Mas se repetirmos o mesmo processo com a «nova» lista obtemos novamente um número que não faz parte da lista.

Esta contradição diz-nos então que não é possível fazer um lista ordenada com todos os números reais. Dessa forma se constata que é não é possível associar a cada número real um número natural.

O cardinal de não é 0. Chamou-se a esse cardinal (a letra «c» minúscula do alfabeto germânico)

Há então dois números infinitos, em que O é menor do que

Assim, o «velhinho» é na verdade um termo geral que abarca dois infinitos de tamanhos diferentes!

Um problema matemático que está ainda por resolver é a de saber se há algum cardinal maior do que «aleph-zero» mas menor do que «c».
Por outras palavras, será que «aleph-um» é igual a «c»?
Sabe-se apenas que «aleph-zero» elevado a «aleph-zero» é igual a «c»...

Assim, quando se ouvir dizer «Eu tenho infinitos problemas!», já podemos retorquir «Os teus problemas são «aleph-zero» mas os meus são os teus elevados a si mesmos. Se os teus são «aleph-zero» os meus são «c»!
Desta forma Cantor conseguiu o feito aparentemente impossível de contar conjuntos infinitos e determinar que uns são maiores do que outros.

Pedindo licença a George Orwell, «Todos os números são iguais, mas alguns são mais infinitos do que outros» (adaptado de «Todos os animais são iguais mas alguns são mais iguais do que outros» no livro «Animal Farm», traduzido em Portugal como «O triunfo dos porcos»)

Alguns dos resultados que Cantor viu mas não quis acreditar:
~ Há tantos números pares como números naturais;
~ Há tantas fracções como números pares;
~ Há dois infinitos, uma maior do que o outro;


Nas palavras do matemático David Hilbert: «Ninguém nos expulsará do paraíso que Cantor criou»


Publicado por Mauro Maia às 10:11
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18 comentários:
De deprofundis a 27 de Março de 2006 às 00:33
Esqueceu-se de um infinito: o tempo em que o Dr. Alberto João vai governar a Madeira. E não me parece que seja um infinito menor... Pelo menos para mim.


De Mauro a 27 de Março de 2006 às 11:11
Por muito grande que a figura de Alberto João Jardim seja na Madeira, penso que um pouco de indução matemática permite aferir que tem um cardinal que se poderá abeirar do aleph-zero, não chegando a ter essa dimensão completa. Mas compreendo que, para quem no seu jardim viva, possa parecer um «c»... ;)


De Maria Papoila a 28 de Março de 2006 às 10:49
Costumo sentir-me infinitamente "pequena" quando te leio, pelo modo fluente e quase ligeiro com que abordas temas desta profundidade...Mas agora saber que o infinito, contém em si outro infinito! Deliciosa a tua conclusão e não esquecerei que há tantos números pares como números naturais, que há tantas fracções como números pares, que há dois infinitos, um maior que outro. Beijo


De Mauro a 28 de Março de 2006 às 19:48
E todos os comentários são iguais mas alguns são mais infinitos do que outros... ;)


De Nox a 28 de Março de 2006 às 22:30
Sempre gostei de Matemática, mas entretanto o meu caminho divergiu e deixei-a lá longe... o resultado é que, agora, custa-me muito mais ter um raciocínio lógico, mas enfim. De qualquer modo, gostei muito do artigo, como habitual :)


De Elsita a 29 de Março de 2006 às 13:49
É infinita a sabedoria e deveria ser proporcional à vontade de aprender!E seriamos quase uns sábios! Ainda que nunca saibamos tudo, felizmente, senão perderíamos o interesse, mas por aqui ainda me surpreendendo aprendendo!Que bom!Dois infinitos!?!?!?!?Boa... resta-me despedir e fazer lembrar que tambem estou no http://utilidades.blogs.sapo.pt


De Mauro a 29 de Março de 2006 às 19:33
Na vida o que se deve fazer é aquilo que mais custa, «nox». Espero que o «emperro» lógico não se estenda ao Cognosco, que tanto se esforça por aclarar os poços por onde floresce a Matemática. Mas penso que as tuas regulares visitas esclarecem e corrigem-me o receio. ;) A sabedoria, «Elsita», penso que nunca é infinita. A vontade de saber é que convém que seja. E isso por diversas vezes tens revelado nas tuas visitas a este cantinho... E parabéns (se nunca tos antes dei) pelo espaço que criaste no «Utilidades». É certo de extrema relevância e interesse.


De marius70 a 30 de Março de 2006 às 02:21
Mauro isto é muita areia para a minha camioneta. Só de imaginar o infinito sem finito até me passo. Prefiro o Paraíso com ou sem Cantor. :)) Tudo de bom.


De Mauro a 30 de Março de 2006 às 18:20
Quem tiver a sorte de lá chegar, certamente conhecerá Cantor, «marius»...


De marius70 a 30 de Março de 2006 às 18:35
Será o Universo limitado ou infinitamente grande? Pegando no exemplo por ti dado sobre o Aleph 0. Na cosmogénese, o nada existiu e existe ainda se, juntamente com a criação se se reduzir o espaço-tempo à sua expressão mais simples: zero.

Se no universo primordial, onde o mais e o menos estariam ausentes, identifica-se ao zero, ou seja ao nada, mas onde esse nada repletos de mais e de menos em potência no futuro, assim como o zero supõe a série dos números um, dois, três, etc.. Somos asim levados a conceber um começo que não foi um, mas sim um «vazio-cheio» neutro, contendo o positivo e o negativo. Não esquecer que o símbolo do Universo é graficamente representado por um traço horizontal pegado a um círculo donde parte um traço horizontal cortado por outro vertical: menos, zero, mais (-0+). Por esse motivo Mauro depois de ler atentamente este teu tema verifiquei a anologia entre o infinito de Cantor e a "formação" do próprio universo. Assim temos uma espiral que evoluiu a partir de um nada (0). http://marius1.no.sapo.pt/infinito_pps.zip (http://marius1.no.sapo.pt/infinito_pps.zip) . Um abraço


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