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Diário das pequenas descobertas da vida.
Sábado, 18 de Março de 2006
Só phi é d'ouro

ϕ A razão humana é de ouro, é a maior conquista da Humanidade. As definições do que se entende exactamente por razão variam grandemente mas qualquer um, dotado dela, saberá que ela existe (mas que interessante tautologia...)

 

Mas, além da razão no sentido intelectual do termo, há também um número a que se chama razão de ouro, proporção de ouro, secção de ouro ou secção divina (sectio divina) e é representado pela letra grega ϕ (phi ou fi), também escrita como .Tal como o número Pi ( π ), phi ( ϕ ) é um número irracional, i.e., não pode ser escrito como a divisão de dois números inteiros e é uma dízima infinita não periódica (ver o artigo Simplesmente complexo para mais sobre os diferentes conjuntos de números, como os irracionais).

 

ϕ =

 

ϕ é um número a que se associam várias qualidades estéticas que lhe valeram o cognome de número de ouroDuas quantidades estão numa proporção de ouro quando, se uma mede 1, a outra mede &#966 &#8776 1,61803.Isto acontece sempre que «a divisão (razão) da soma das duas quantidades pela maior das duas é igual à divisão (razão) da maior quantidade pela menor». Dito de outra forma, duas quantidades «a» e «b» (em que «a» é maior do que «b») estão numa proporção de ouro se (a+b)/a = a/b (ou então b/(a-b) = a/b.) Quando a quantidade mais pequena «b» mede 1, a quantidade maior «a» mede ϕ. Dessa forma, (ϕ+1)/ϕ = ϕ/1. Então ϕ + 1 = ϕ2. Chegamos assim à equação:

ϕ2 - ϕ - 1 = 0. Esta equação do segundo grau tem 2 soluções possíveis, uma positiva e outra negativa. Como ϕ é uma quantidade, tem de ser positivo. Assim a solução é

Isto é, se se substituir a incógnita da equação por este valor, o resultado, depois de efectuadas as operações, será 0.

 

Um rectângulo tem a proporção de ouro quando os seus lados estão numa proporção de ouro, ou seja a soma dos dois lados está para o lado maior assim como o lado maior está para o lado menor. Quando um lado mede 1 o outro mede ϕ ≈ 1,618033; Quando um mede 2 o outro mede ≈ 3,236066;...Quando um mede «b» o outra mede bxϕ ≈ bx1,61803. Um rectângulo com a proporção de ouro pode ser dividido num quadrado e num rectângulo que também tem a proporção de ouro. Esse novo rectângulo também pode ser dividido num quadrado e num rectângulo. Além disso, se se pegar num rectângulo de ouro dividido noutro rectângulo de ouro e num quadrado, pode-se unir os vértices opostos do quadrado por uma curva. Se em seguida se colocar, ao lado do rectângulo original, um quadrado com o mesmo lado que o rectângulo, os seus vértices podem ser unidos por uma curva unida â curva anterior. Se ao novo rectângulo (fruto da união do rectângulo original com o quadrado) se se juntar um novo quadrado, com os vértices opostos unidos por uma curva unida à curva já existente e se se prolongar este procedimento indefinidamente, obtém-se o que se chama uma espiral logarítmica (já se falou em logaritmos em Fractais).É claro que ϕ tem infinitos valores após a vírgula, pelo que não é humanamente possível determinar esse valor com precisão. Apesar disso, é possível encontrar aproximações inteiras muito próximas para os lados de um rectângulo de ouro. Nos primeiros 10 números positivos (para o lado mais pequeno), a aproximação mais próxima de ϕ é a=13 e b=8 (um rectângulo de lados 13 e 8), para os quais o valor de ϕ seria 1,625. No entanto há melhores aproximações. Por exemplo, um rectângulo de lados a=1597 e b=987 dá uma aproximação de ϕ de 1,618034448 (para o lado menor inferior a 1 000, esta é melhor aproximação do valor de ϕ). A tabela seguinte indica as aproximações melhores com os primeiros 10 números, primeiros 50, primeiros 100, primeiros 500 e primeiros 1 000 (para quem quiser fazer rectângulos «de ouro»).Recorde-se que ϕ ≈ 1,6180339887...

No entanto, a sua aproximação 1,618 surge várias vezes em muitas obras tanto humanas como naturais.Grande Pirâmide de Queóps

~ Pensa-se que já os Egípcios tinham conhecimento deste valor (mas não o individualizavam como um número). A Grande Pirâmide de Quéops, em Gizé, construída sensivelmente entre 2540 AC e 2560 AC, é uma pirâmide quadrangular (a base é um quadrado) em que o comprimento dos lados é aproximadamente 186,4 metros e a metade da base mede 115,2 metros.É um triângulo rectângulo (porque tem um ângulo recto, o que a base faz com a altura) em que a hipotenusa (o «lado inclinado») e a base estão numa proporção de ouro (186,4/115,2 ≈ 1,618);

Reconstituição da Estátua de Zeus de Fídias~ Foram os Gregos antigos que primeiro o identificaram. Pensa-se que terá sido identificado pela escola pitagórica, talvez por Theano (a mulher de Pitágoras). O famoso matemático grego Euclides (de que em breve se falará no Cognosco) dava a seguinte descrição geométrica do ϕ: «um segmento de recta é dividido na proporção de ouro quando o segmento inteiro está para a divisão maior assim como a divisão maior está para a menor». O grande escultor Fídias (Phidias), devido ao uso que dava a esta proporção, deu origem ao seu nome (as primeiras letras do seu nome). O símbolo ϕ foi primeiramente usado, no início do século 20, por Mark Barr, em honra deste escultor grego. (Fídias foi o escultor da, entre outras famosas obras, Estátua de Zeus, uma das 7 Maravilhas do Mundo Antigo, curiosamente revestida de ouro e marfim...);O rectângulo de ouro no Parténon

~ O Parténon (de que anteriormente já se falou, no artigo Parténon) tem, nos elementos arquitectónicos que o compõem, a presença constante do rectângulo de ouro e do número ϕ.Os gregos apreciavam bastante as qualidades estéticas dos rectângulos que possuíam esta proporção divina e, em vários dos seus templos, usaram-nos. O Parténon não constituiu excepção...;

O pentagrama~ Como já se viu no caso da Grande Pirâmide, não só os rectângulos possuem a proporção de ouro. Também os triângulos a podem ter. Um triângulo diz-se um triângulo de ouro quando é um triângulo isósceles (ver um dos primeiros artigos do Cognosco, Medir a Terra sobre os nomes dos triângulos) no qual a divisão de um dos lados iguais por metade da base é aproximadamente ϕ. Além dos triângulos, uma outra figura muito importante para os pitagóricos era o pentagrama (a estrela de 5 pontas iguais). Cada uma das pontas é um triângulo de ouro e o pentagrama central pode ser dividido, ligando os vértices do mesmo, num novo pentagrama e assim continuamente;

~ Na Sequência de Fibonacci, que tem importantes e curiosas manifestações nas contrucções da Natureza (como se viu no artigo Fibonacci), a divisão de cada termo pelo termo anterior aproxima-se do número ϕ. Cada termo da sequência é igual à soma dos dois termos que o antecedem. A sequência é 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...1/1 = 1 ; 2/1 = 2 ; 3/2 = 1,5 ; 8/5 = 1,6 ; 13/8 = 1,625 ; 21/13 = 1,6184 ; ...Quanto maiores são os números da sequência, mais a sua divisão é próxima de φ.

 

E estas são algumas das curiosidades geométricas ligadas a ϕ. Numericamente sabe-se que ϕ é igual a 1 mais 1 dividido por 1 somado com 1 dividido por 1 somado com 1... Além disso, ϕ é igual à raíz quadrada de um mais a raíz quadrada de um mais a raíz quadrada de 1 mais...Para quem conhecer (e gostar) de funções trigonométricas temos ainda que: ϕ = 1 + 2 sen 18º; ϕ = 2 cos 36º;

 

Assim, temos a trilogia dos números irracionais mais importantes: o «π», associado primordialmente às circunferências, o número «e», base de todo o cálculo moderno e modesto mas importantíssimo «ϕ», ligado a muitos dos aspectos mais bonitos da Natureza...


Na figura ao lado: a «Divina proportione» por Luca Pacioli (1509). Um estudo da presença de ϕ no rosto humano...

 

Sem dúvida que, se π é redondo, e «e» é moderno, só phi é de ouro...

Ceci c'est un bise pour une personne d'or.



Publicado por Mauro Maia às 19:34
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22 comentários:
De Rui a 18 de Março de 2006 às 20:23
Acredito que essa mesma razão de ouro é aquela utilizada nas folhas de papel A4, A3, e afins, que todos os dias nos passam pelas mãos.


De Mauro a 18 de Março de 2006 às 21:08
Do que pude apurar, «Rui», os tamanhos de papel A0, A1, A2, A3, A4,... até A10 não são rectângulos de ouro. A0 tem dimensões 841 mm × 1189 mm (razão=1,4138); A1 tem 594 mm × 841 mm (razão=1,4158);A2 420 mm × 594 mm (razão=1,4143); A3 297 mm × 420 mm (razão=1,4141); A4 210 mm × 297 mm (razão=1,4143). A razão entre os lados nunca sequer chega próximo do valor de phi. Mas de facto a figura na qual todos os formatos de papéis são colocados no mesmo papel A0 (sendo as sucessivas subdivisões iguais ao tamanho de papel seguinte) é muito semelhante à figura do rectângulo de ouro, mas a verosimilhança, neste caso, é apenas isso mesmo...


De Maria Papoila a 18 de Março de 2006 às 21:17
Mauro como sempre gostei do artigo desta conjugação de matemática com história com filosofia. A Divina proportione de Luca Pacioli vem mais uma vez recordar Platão "Vós sois deuses, mas vós haveis esquecido!" Na verdade fomos feitos à imagem e semelhança de Deus dizem os cristãos. Gostei muito. Beijo


De Mauro a 18 de Março de 2006 às 21:55
Parte das qualidades «douradas» terão passado para o artigo, «Maria Papoila»... Ainda bem que gostaste. Parece que este número «phi» é fulcral num romance histórico que tem dado que falar ultimamente, mas eu desconheço o que lá é dito exactamente. Espero que este artigo possa complementar (sem repetir excessivamente) as informações constantes no dito romance (que ainda não comprei nem li pela simples razão de que esteve na lista de best-sellers. Por norma desconfio sempre do que é «lido» e recomendado por muitas pessoas. Da qualidade só o tempo costuma ser o juíz e a quantidade costuma ser o seu carrasco... Quem sabe algum dia alguma alma caridosa mo empresta para ler ou mo oferece. Até lá aguardarei que o livro saia da boca do Mundo para cogitar a sua aquisição...)


De . a 19 de Março de 2006 às 16:04
No caso das folhas de papel An, e tanto quanto sei, a ideia é que tenham todas a mesma proporção relativa (isto é, a razão H/W entre a altura H e a largura W é uma constante K, qualquer que seja o valor de n), e que um par de folhas An+1, dispostas lado a lado, tenham a mesma dimensão de uma folha An (ou seja, que Hn = 2Wn+1 e que Wn = Hn+1). Dividindo a penúltima equação pela última, temos: Hn/Wn = 2Wn+1/Hn+1. Substituindo, temos para a constante de proporcionalidade: K = 2/K; K^2 = 2; K = raiz quadrada(2) = 1.4142135, confirmando assim os valores referidos no comentário.


De Mauro a 19 de Março de 2006 às 16:46
Bons olhos te vejam, «.»! Há algum tempo que não agraciavas o Cognosco com um dos teus sempre pertinentes comentários. Em relação aos tamanhos de papel (que penso incluírem do A0 ao A10 somente), tens obviamente razão em termos matemáticos quanto ao encaixe de 2 folhas An+1 numa folha An. Os valores que referi são as aproximações usadas na produção dos ditos tamanhos, àparte considerações de ordem teórica. De qualquer forma, as contas mostram que o valor da razão entre os lados maior e menor ronda sempre a raíz quadrada de 2 (sensivelmente 1,4142135). Mais uma vez agradeço-te a pronta e pertinente contribuição para o Cognosco.


De Nox a 20 de Março de 2006 às 00:04
Li algures que o Leonardo da Vinci usava a proporção de ouro em vários elementos dos quadros (não sei se de modo consciente ou não), e que tal poderia explicar alguns efeitos que estes têm. Talvez tenha sido no tal romance que mencionas. Também costumo desconfiar do muito popular, sabes. No caso, já li o livro há bastante tempo, e gostei. Claro que as ideias expostas não são do autor, e não é nem por sombras, como vi apregoado, "Umberto Eco on steroids"...! (Nem é comparável...) Mas é uma leitura fácil, agradável, que nos prende, pelas questões que suscita e mesmo pelo modo como é narrada. Não é assim tão mau ;-)


De Mauro a 20 de Março de 2006 às 10:04
Nem me passaria pela cabeça dizê-lo sem o ter lido, «LadyNox». Já pessoas de quem valorizo muito a opinião me disseram bem do livro, pessoas de cuja palavra e bom-gosto não me oferecem a mínima dúvida. As curvas e contra-curvas do argumento, aliadas às questões matemáticas e históricas são sem dúvida pontos de interesse (e analisando o Cognosco é fácil ver que é algo que aprecio). Mas neste momento aguardo...


De Nox a 22 de Março de 2006 às 16:53
Claro... Eu gostei bastante do livro, embora tenha achado que havia lá uns pormenores menos bons. Mas também não os vou enumerar, para a hipótese de influenciar bem ou mal :-) Depois de o leres logo falamos...


De Mauro a 22 de Março de 2006 às 21:18
Por este andar, espero que «O código da Vinci» não seja o nosso único potencial tema de conversa... Poderá demorar até o ler e não gostava de ficar esse tempo todo sem pudermos «falar» ;)


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