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Diário das pequenas descobertas da vida.
Segunda-feira, 30 de Janeiro de 2006
Circa spheram
Uma circunferência é o conjunto dos pontos que distam a mesma distância (o raio da circunferência) de um outro fixo (o centro da circunferência).
O círculo é o interior (o conjunto dos pontos que estão a uma distância ao centro menor do que o raio)</b>.


Uma superfície esférica é o conjunto dos pontos que distam a mesma distância (o raio da esfera) de um outro fixo (o centro da esfera).
O interior (o conjunto dos pontos que estão a uma distância ao centro menor do que o raio) é uma esfera.

A semelhança conceptual, gráfica e intuitiva entre os dois não escapará a ninguém.
É como se a esfera fosse um círculo a 3 dimensões ou como
se o círculo fosse uma esfera a 2 dimensões.

A área do círculo é πr2 e o volume da esfera é 4πr3/3.

Muitas vezes me interroguei sobre essa semelhança conceptual e de que forma estariam ligados o cálculo da área de um círculo e o do volume de uma esfera.
• O conjunto dos pontos que forma uma circunferência é dado por x2 + y2 = r2
• O conjunto dos pontos que forma uma esfera é dado por x2 + y2 + z2= r2
(na verdade é da superfície esférica e não da esfera. A superfície esférica é como a casca da laranja enquanta a esfera é o interior da laranja.

A 2 dimensões há 2 variáveis, a 3 dimensões há 3 variáveis.
O conjunto de semelhanças é muito grande para que não se cogite uma ligação matemática entre os dois.

Na verdade, há o conceito de hiper-esfera em Matemática, que é o conjunto de pontos que distam a mesma distância a um determinado ponto fixo a uma dada dimensão.
Assim uma 2-esfera é a esfera a 2 dimensões (chamada vulgarmente de círculo) e a 3-esfera é a esfera a 3 dimensões (chamada vulgarmente de esfera).
A 4-esfera tem 4 dimensões, a 5-esfera tem 5 dimensões...
E o raciocínio pode ser retroactivo: uma 1-esfera tem uma dimensão, uma 0-esfera nenhuma dimensão, a -1-esfera tem -1 dimensões...
(no artigo Decem dimensiones falou-se na possibilidade do Universo ter 10 dimensões, em vez das vulgares 3 dimensões espaciais e 1 temporal)

Basicamente, em termos de figuras geométricas a que se tem acesso pela experiência quotidiana, uma 1-esfera é o segmento de recta de comprimento 2r,
uma 2-esfera é a esfera de duas dimensões de raio r e a 3-esfera é a esfera de 3 dimensões com raio r.

A sequência dos «volumes» das hiperesferas de dimensão positiva é:
• 2r1, πr2, 4πr3,...
Cada fórmula tem o raio elevado à dimensão que se está a considerar.
A 4-esfera terá de volume ...r4, a 5-esfera terá volume ...r5,...

Até aqui tudo bem. Mas o problema é aquelas reticências no volume das esferas.
Haverá alguma fórmula que indique o volume de qualquer hiper-esfera, de acordo com a sua dimensão?
Existirá uma fórmula para o valor V(n), o volume da hiper-esfera de dimensão n?

Há! A fórmula generalizada para o volume da n-esfera é:


A função que está no denominador chama-se função gama Γ.
No artigo Caecus adnumeratio fez-se referência a uma função matemática chamada factorial, que se representa colocando um ponto de exclamação depois do número. (por exemplo 5! = 120)
O factorial de um número natural é a multiplicação desse número por todos os números naturais até 1. (5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120)

Como é fácil de constatar, só há factoriais de números naturais.
Mas, sendo os matemáticos irrequietos perante as impossibilidades como são, decidiram criar uma função que fosse equivalente ao factorial mas que funcionasse para qualquer número real. Essa função teria de funcionar como o factorial para os números naturais mas também daria valores para qualquer número real. A essa função chamaram «função gama», cuja letra é Γ, e para valores naturais Γ(n) = (n-1)!
5! = 120 e Γ(5) = (5-1)! = 4! = 4x3x2x1 = 24. Mas não há 2,5! mas há Γ(2,15).

ou


Para um leigo em Matemática, substituir a função Γ pelo símbolo ∫ não parecerá grande melhoria. A função ∫ chama-se integral e tem regras operatórias bem conhecidas e de fácil utilização. Daí a melhoria... Mas falar do integral é suficiente para um novo artigo, tal é a importância e universalidade do uso desta função. A seu tempo...


Este é o gráfico da função gama. Como se pode constatar, não há para 0 nem para valores negativos inteiros (não há Γ(0), Γ(-1), Γ(-2),...)

Alguns valores da função gama, que ocorrerão no cálculo dos volumes de algumas hiper-esferas, são:
• Γ(3/2) = √ π / 2 (para a 1-esfera)
• Γ(2) = 1 (para a 2-esfera)
• Γ(5/2) = 3√ π / 4 (para a 3-esfera)
• Γ(3) = 2 (para a 4-esfera)

Com estes valores em mente, podemos então achar as fórmulas para o cálculo da:
• 1-esfera: V(1) = π1/2.r / π1/2/2 = 2.r
• 2-esfera: V(2) = π.r 2/ 1 = π.r2
• 3-esfera: V(3) = π3/2.r3 / 3√ π / 4 = 4π.r3/3
• 4-esfera:V(4) = π4/2.r4 / 2 = π2.r4 / 2
• 5-esfera:V(5) = 2.r5 / 15
• 6-esfera:V(6) = π3.r6 / 6
• 7-esfera:V(7) = 16π3.r7 / 105
...

Continuando os cálculos, descobre-se supreendentemente que a hiper-esfera com o maior volume é a 5-esfera. A partir da dimensão 5 o volume vai diminuindo, tendendo para 0 à medida que as dimensões vão aumentando (e pressupondo sempre o mesmo valor para o raio).
É curioso como aumentando as dimensões o volume diminui, o que choca com o senso comum de que deveria aumentar.
Mas a Matemática não é o que parece, é o que é mesmo...

No título «Acerca da esfera»


Publicado por Mauro Maia às 20:08
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16 comentários:
De . a 31 de Janeiro de 2006 às 22:00
Interessante. Nunca teria imaginado que a função do volume de uma n-esfera pudesse ter um máximo local...


De Mauro a 31 de Janeiro de 2006 às 22:38
E a área da superfície esférica tem um máximo na dimensão 7. São curiosos estes dois valores. Pode-se determinar esses máximos mas porque ocorrem nesses valores (primos)? Há alguma razão pela qual têm de ser estes valores ou não passarão de valores arbitrários? É de investigar...


De PN a 2 de Fevereiro de 2006 às 23:56
Os teus artigos estão cada vez melhores... apesar de a matemática me atrair muito pouco... Tens é de me explicar como fazes essas animações no blog que estão excelentes e muito didácticas.


De deprofundis a 3 de Fevereiro de 2006 às 20:55
Visitar o "Cognosco" é quase uma aventura radical. A "adrenalina intelectual" sobe logo à cabeça. Mas que delícia! Continue, amigo Mauro.


De Mauro a 4 de Fevereiro de 2006 às 16:49
Obrigado, «PxN», pela visita e pelo elogio ao(s) artigo(s). Desde a Universidade que uso um programa de desenho (para as minhas necessidades e faculdades o melhor no mercado). Conheci a versão 4 e usei todas as versões até esta última (a versão 10). Esse programa de desenho (que não é Photoqualquer-coisa-que-não-interessa-para-o-assunto) possui um programa a ele associado que permite fazer imagens animadas. No programa principal crio as imagens (uma por uma) e no dito programa em anexo junto-as para fazer a animação. Dessa forma tenho animado o Cognosco e isto é algo que me dá duplo prazer: tornar os artigos mais interessantes, com mapas que se vão centrando no ponto em causa, ou figuras que se vão desenrolando de acordo com a evolução que pretendo (poupa-se assim espaço no artigo, colocando apenas uma imagem em vez de 10) e simultaneamente o prazer de dar vida a uma ideia que se desenrola na minha cabeça e que ilustra o artigo como eu pretendo. Agradeço-te, «deprofundis», as visitas sempre interessadas ao Cognosco. Se o Cognosco existe é para que outros possam igualmente usufruir das coisas que me bailam no espírito e que por tanto tempo exigiram sair e ter um corpo físico. Como um livro (ideia que me baila no espírito à muito mais tempo do que o blog mas que ainda aguarda atenção mais profunda da minha parte). Desejo-te toda a felicidade para o teu novo livro, deprofundis», a aguardo com expectativa a altura em que o poderei comprar e ler.


De Maria Papoila a 4 de Fevereiro de 2006 às 19:26
è sempre um prazer visitar o COGNOSCO. Para quando a lição de integrais? O modo como explana problemas de complexidade é magistral. Ler qualquer artigo mesmo com deficiente formação em matemática, como eu tenho, é um fascínio. Chegar à conclusão que a partir da dimensão 5 o volume da esfera diminui é uma verdade matemática que me impressionou porque na verdade Mauro na Matemática o que parece é..., não há empirismo. Temos de saber vir a aplicar o rigor matemático às ciências empíricas. Beijo


De Mauro a 4 de Fevereiro de 2006 às 23:20
Entrou na lista dos artigos a fazer. Infelizmente uma sériA tragédia juntou-se a uma sériE de conflitos internos que me têm dominado o pensamento nos últimos tempos. Hoje o meu computador veio da «oficina» aonde foi recalibrar a sua memória de trabalho. Com a concentração de um esquilo perante um Everest de nozes, formatei o disco para «começar» como se de novo. Os gestos foram repetidos várias vezes nos últimos 2 anos e, além do tempo, nada se perdeu. Mas hoje TUDO quanto tinha acumulado durante o último ano e meio foi à vida (ou melhor, foi à morte). Tenho apenas a minha memória para procurar reencontrar alguma da imensa informação que perdi. É curioso como Às vezes a vida se desenrola: no momento em que questões maiores do que ela exigem resposta eis que um pequeno imenso problema me obriga a desviar a minha atenção do céu para de novo reparar nas pedras que piso... Mas o artigo dos «integrais» não demorará muito, espero...


De . a 5 de Fevereiro de 2006 às 13:21
Mauro, por vezes é possível recuperar a quase totalidade da informação existente num disco que foi formatado por engano. A formatação só por si não apaga necessariamente a informação armazenada, limita-se a declarar o espaço por ela ocupado como estando livre. Não uses o disco e procura a ajuda de pessoal qualificado, os quais dispõem da formação e das ferramentas informáticas necessárias para fazer face a esse tipo de situações. Faço votos para que esse e os teus outros problemas se venham a resolver da melhor maneira possível.


De Mauro a 5 de Fevereiro de 2006 às 14:00
Agradeço-te a informação, «.» A situação é ligeiramente diferente de uma simples formatação. O disco (de 60 Gb) estava particionado em 2 de 30 Gb. O que aconteceu foi que instalei o Norton System Works 2006 e, por lapso, deixei-o instalar o Norton GoBack (digo por lapso porque na verdade não o queria fazer mas não tenho andado muito concentrado ultimamente). O Norton GoBack instalou-se naquela parte da memória que gere o computador em si mesmo (aquela onde tem a BIOS). Penso que foi isso que eliminou a partição e deixou de surgir o disco D: de 30 Gb, só o C: com 60 Gb. Será que mesmo assim será possível desfazer? Hoje é que eu não posso fazer nada, é Domingo e está tudo fechado...


De . a 5 de Fevereiro de 2006 às 14:51
Mesmo assim. A eliminação de uma partição secundária, por si só, não apaga necessariamente a informação. Em princípio, limita-se a eliminar de uma tabela a referência a essa partição e a acrescentar o espaço que lhe estava originalmente atribuído ao espaço livre da partição principal. O problema prende-se com o facto de esse espaço estar, a partir de agora, declarado como estando livre, o que leva a que o mesmo possa, em qualquer momento, ser ocupado (e a informação que lá estava obliterada) com qualquer outro pedaço de informação entretanto criado. Daí o conselho para evitar "mexer" no disco.


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