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Diário das pequenas descobertas da vida.
Sábado, 7 de Janeiro de 2006
Fractais
Qual é a forma de uma nuvem? Qual é a forma de uma montanha? Qual é a forma de uma árvore? Qual é a forma de um rio?

As formas dos objectos no mundo são geralmente pensadas em termos das figuras geométricas clássicas (círculos, triângulos, quadrados, esferas, cubos,...).
Mas nada no Mundo tem a perfeição dessas figuras (e poucas são as que a parecem ter).
Os seres humanos apreciam bastante essas formas e é das suas mãos que geralmente surgem objectos com essas formas (mas apenas aproximadamente, mesmo que isso não seja visível a olho nu).

O mundo definitavamente não se apresenta visualmente como geométrico e é apenas a mente humana que as apercebe na realidade que a rodeia como aproximações desses ideais platónicos.

Mas se assim é, qual será a verdadeira forma das coisas no mundo?
Terá a Matemática (como única lente correcta para a observação do mundo) explicações e descrições para a forma como as coisas realmente se apresentam no mundo (e menos como «nós» gostaríamos de as ver)?

O mundo é um poço de surpresas mas o ser humano tem conseguido (nestes 5 milhões de anos desde que surgiram os hominídeos e nos 150 mil anos desde que surgiu o Homo Sapiens) permanentemente alargado a sua consciência, a sua cultura e o seu conhecimento de forma a compreender mais e mais a infinita complexidade do mundo no qual nasceu e no qual foi moldado (uma complexidade que se espelha no próprio cérebro humano que a procura entender).

Nos anos 70 do século XX a espécie humana deu mais um dos decisivos passos na percepção do mundo tangível. Nessa década o matemático francês Benoit Mandelbrot estudou umas estranhas formas matemáticas que eram há muito conhecidas pelos matemáticas como «curvas monstruosas», figuras como a curva com 1 dimensão que ocupava completamente o plano de 2 dimensões. Mas a ninguém tinha ocorrido que essas «curvas monstruosas» eram a chave para a representação do mundo real.
Alguns fractais

Mandelbrot estudou essas estranhas formas como um todo, deu-lhes o nome de «fractais» e estudou as suas propriedades, propriedades que apenas se tornaram possíveis de estudar com o advento dos computadores (e especialmente dos computadores pessoais).

Um fractal é uma figura geométrica que tem:
~ uma dimensão que não é inteira (enquanto as figuras geométricas clássicas têm dimensão 2 ou 3 os fractais têm dimensões como 1,123);
~ têm uma infinita complexidade (por muito que se façam ampliações a figura é sempre intrincada e cheia de pormenores);
~ apesar da sua complexidade são contruídos usando regras muito simples.
Geralmente também os fractais têm auto-semelhança a um grau infinito, isto é, pequenas partes da figura são iguais ao todo.

~ Como assim «têm dimensões que não são inteiras»? Como pode uma figura que se desenha num papel que tem 2 dimensões ter uma dimensão diferente de 2?

Apesar de os fractais terem dimensões não inteiras, a sua dimensão é sempre inferior à do espaço que ocupa (um fractal desenhado numa folha de papel tem uma dimensão menor do que 2, um fractal numa escultura tem uma dimensão menos do que 3).
Mas como se calcula essa dimensão?

Para isso é necessário um conceito muito simples (e largamente usado antes do surgimento dos computadores) para o cálculo de multiplicações com grandes números: os logaritmos.

O logaritmo é a função inversa exponenciação (tal como a subtracção é a função inversa da soma, a divisão da mutltiplicação).
Quando se eleva 2 ao cubo (2x2x2) obtém-se 8.
Quando se eleva 4 a cinco (4x4x4x4x4) obtém-se 1024.

Então, o número que elevado a 3 dá 8 é 2 (o logaritmo de base 2 de 8 é 3); o número que elevado a 5 dá 1024 é 4 (o logaritmo de base 4 de 1024 é 5).
Qual é o logaritmo de base 9 de 81? (como 9 elevado a 2 dá 81, o logaritmo de base 9 de 81 é 2).

Para estudar a dimensão destas estranhas formas a que se dá o nome de «fractais» usa-se o que é designado por Dimensão de Hausdorff-Besicovich.
Este processo de cálculo envolve primeiro determinar o tamanho do objecto depois de se efectuar um dado aumento. Faz-se então a divisão entre o logaritmo (não interessa a base) do novo tamanho e o logaritmo (com a mesma base do anterior) do factor de aumento.

e.g.
~ Imagine-se um segmento de recta.
Se se aumentar 2 vezes o segmento de recta este fica com o dobro de comprimento (cabem 2 segmentos com a dimensão original no novo segmento).
A dimensão é então log 2 / log 2 = 1
~ Imagine-se um quadrado.
Se se aumentar 2 vezes o quadrado este fica com o quádruplo do tamanho (cabem 4 quadrados com a dimensão original no novo quadrado).
A dimensão é então log 4 / log 2 = 2
~ Imagine-se um cubo.
Se se aumentar 2 vezes o quadrado este fica com o óctuplo do tamanho (cabem 8 cubo com a dimensão original no novo cubo).
A dimensão é então log 8 / log 2 = 3
Uma nota para explicar estes log sem base que aqui se apresenta na fórmula:
devido ao seu constante uso em Matemática, subentende-se que log é o logaritmo de base 10. Outros logaritmos têm de ter a base indicada (log 2, log45, ...)


Quando se aplica esta fórmula aos fractais descobre-se que os valores não são inteiros. Veja-se a aplicação da dimensão de Hausdorff-Besicovich a um dos fractais mais simples: a Curva de Köch ou Floco de Neve.
Para a sua contrução comece-se por um triângulo equilátero. Junte-se depois a meio de cada lado um triângulo equilátero que tem de lado um terço (1/3) do anterior. Em cada um dos 3 triângulos mais pequenos junte-se um triângulo um terço mais pequeno. Repete-se indefinidamente o processo.
Obtém-se uma figura com uma área finita (é sempre inferior à circunferência que o circunscreve) e um comprimento infinito.


Como se vê esta figura tem todas as características de um fractal:
~ Cada figura seguinte é igual à anterior com a junção de triângulos que são 1/3 maiores.
Assim a cada passo obtém-se um figura que é 4/3 maior do que a anterior.
(Se cada lado for dividido em 3 partes, o triângulo que se lhe junta é constituido por 2 dessas partes. Cada lado passa a ter 1/3+1/3+1/3+1/3 = 4/3 de comprimento.)
Então a Curva de Koch tem dimensão log 4 / log 3 = 1,26185950714291487419905422868552...
~ não é difícil de visualizar que cada pequena parte da Curva de Koch é uma reprodução da figura maior, situação que se repete infinitamente.
~ A construção da curva é muito simples: pega-se num triângulo, calcula-se 1/3 e coloca-se no meio do triângulo anterior, repete-se indefinidamente.
~ A curva tem um grau de pormenor infinito: por mais que se amplie a figura, há sempre igual nível de detalhe.

Um outro fractal de simples construção é o Triângulo de Sierpinski.
Pegue-se num triângulo equilátero. Retire-se o triângulo que mede 1/3 do original.
Para os triângulos restantes repete-se. Obtém-se um fractal que tem comprimento infinito e área nula!


Os belos fractais que se apresentam acima têm uma construção igualmente simples (uma única e pequena fórmula) que é aplicada indefinidamente. O resultado é cada um dos fractais que se apresentam (a que é adicionada cor, em função do tipo de resultado que cada aplicação da fórmula produz).

O fractal mais conhecido é o Conjunto de Mandelbrot, por ter sido descoberto pelo criador da Teoria dos Fractais, Benoit Mandelbrot.
Para a construção deste fractal começa-se por usar o ponto de coordenadas (0, 0).
(na verdade usa-se o número complexo 0 + 0i, mas este é geometricamente igual).

Em seguida aplica-se a fórmula zn+1 = zn2 + C.

Se o ponto a que se aplica a fórmula produz continuamente números maiores, o ponto é representado com uma cor, dependente da «velocidade» a que os pontos crescem.
Se o ponto produz números pouco maiores do que si mesmo, é representado a preto.
O resultado de se aplicar continuamente esta pequena fórmula é o belo, intrincado e infinitamente complexo fractal de Mandelbrot, que possui igualmente a infinita complexidade, a simplicidade de construção, a dimensão fractal e a auto-semelhança.



É dessa forma que as formas aparentemente impossíveis de complexidade do mundo orgânico (e não só) podem surgir de princípios muito simples.
Não é difícil de visualizar, nos fractais apresentados acima, formas biológicas como folhas ou animais microscópicos. A representação fractal faz hoje parte das simulações por computador de cadeias de montanhas, com uma verosimilhança altamente sofisticada.


Publicado por Mauro Maia às 18:05
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34 comentários:
De deprofundis a 8 de Janeiro de 2006 às 22:37
Uf! Estou fractado de todo! Um abração.


De Mauro a 9 de Janeiro de 2006 às 00:25
Obrigado pela visita, deprofundis. Penso que é caso para dizer que estamos todos «fractalizados»: a única figura geométrica capaz de explicar o nosso sistema circulatório (e a razão pela qual não há qualquer célula do nosso organismo a mais de 2 células de distância de uma artéria e de uma veia e apesar disso não somos uns grandes sacos de sangue) ou a forma dos nossos pulmões, com quilómetros quadrados de área armazenados em alguns centímetros cúbicos. Somos todos desenhados a fractais...


De Maria Papoila a 9 de Janeiro de 2006 às 14:38
Mauro, entrei na "5ªdimensão" com este artigo... Interessantes e lindíssimas as imagens de fractais que apresentaste, em que se reconhecem formas biológicas e não só. Quanto aos principíos serem muito simples... é preciso trabalhar muito para simplicar tão brilhantemente um assunto tão complexo. Parabéns. Beijo


De Mauro a 9 de Janeiro de 2006 às 14:52
Obrigado, Maria Papoila, pelas palavras incentivadoras. Os princípios em si são simples quando comparados com a enorme (infinita) complexidade dos resultados. Sendo simples e fácil explicá-los (faltou só referir o que é um número complexo e como se operam demelhantes números. Mas a questão é merecedora de um artigo só por si...)


De . a 9 de Janeiro de 2006 às 23:19
A Wikipédia e, suponho eu, muitas das enciclopédias ditas "respeitáveis", recentes ou não, refere, num artigo sobre Portugal, que "A costa portuguesa é extensa: tem 943 km em Portugal continental, 667 km nos Açores, 250 km na Madeira e nas Ilhas Selvagens." (http://pt.wikipedia.org/wiki/Portugal#Geografia_e_Clima (http://pt.wikipedia.org/wiki/Portugal#Geografia_e_Clima)).

Não é minha intenção denegrir esta ou qualquer outra enciclopédia mas, à luz do que se conhece actualmente, e à semelhança do que sucede com a curva de Köch - cujo carácter fractal bem demonstraste - os valores atrás referidos não só não estão correctos, como nem sequer fazem qualquer sentido.

Também a costa portuguesa tem uma dimensão não inteira e goza da propriedade da auto-semelhança, o que leva a que o nosso país (ou, de uma maneira geral, qualquer país do Mundo), não obstante a finitude da área correspondente à sua superfície, ter uma costa e, por conseguinte, um perímetro, teoricamente infinitos. Tudo depende da escala a que as medições são efectuadas. Suponhamos, ingenuamente e para simplificar, que se pretende estimar a extensão da costa portuguesa usando um simples compasso com uma abertura fixa de, digamos, 1 metro. Obter-se-á para a mesma uma determinada ordem de grandeza, mas o valor obtido seria, no entanto, muito maior se a referida abertura fosse, ao invés, de 1 decímetro; e ainda maior se se entrasse em linha de conta com as irregularidades da ordem (ou seja, da escala) de 1 centímetro; e assim sucessivamente, até ao infinitamente pequeno...

Melhor seria que as enciclopédias caracterizassem as costas geográgicas referindo não a sua imaginária (no sentido não matemático do termo) extensão mas, ao invés, a sua bem mais real (em todos os sentidos, matemático e não matemático) dimensão de Hausdorff-Besicovich. Cumprimentos.


De Mauro a 10 de Janeiro de 2006 às 11:49
Obrigado, «.», por teres abordado um assunto que hesitei em colocar no artigo e que acabou pr ficar de fora: a verdadeira dimensão das fronteiras (em particular das costas marítimas) dos países. As dimensões verdadeiras dessas costas são de facto, como referes, dependentes da escala que se usa na medição. A minha curiosidade é a aplicação dessas medidas fractais às fronteiras de muitos países africanos, cujas fronteiras (como se constata em qualquer Atlas) são linhas rectas que foram traçadas a «régua e esquadro» pelas nações colonizadoras europeias nos seus acordos e tratados. É certo que as linhas são rectas num mapa, mas ao nível do solo tal não existe. A dimensão será fractal medindo o comprimento a escalas diferentes. Como se calculará a Hausdorff-Besicovich para uma fronteira nacional? Quando são fractais construídos de acordo com uma regra previamente conhecida é fácil. Mas e neste caso? (Recordo-me vagamente também de uma razão entre o o comprimento e a extensão (em linha recta) de um rio. O valor, para a maioria dos rios é Pi!)


De . a 10 de Janeiro de 2006 às 18:48
Pois é precisamente para quantificar o carácter artificial das linhas de fronteira que a informação sobre a dimensão de Hausdorff-Besicovich poderia revelar a sua utilidade. Países delimitados por costas oceânicas e outros acidentes naturais tais como leitos de rios ou cordilheiras de montanhas teriam, creio eu, um valor substancial para a dimensão de HB; já os países africanos que referes, com fronteiras traçadas "a régua e esquadro" pelas nações que os colonizaram, exibiriam valores comparativamente inferiores (apenas um pouco superiores à unidade) para a mesma dimensão.

É bem verdade que, devido à natureza tridimensional do espaço em que vivemos, as referidas linhas de fronteira não sejam, mesmo no caso desses países africanos, verdadeiros segmentos de linha recta, pois há que ter em conta as variações da altitude a que o solo se encontra. Exibirão pois, certamente, propriedades fractais cuja dimensão importaria, também, estimar.

Como fazê-lo em termos objectivos? Não sei ao certo, mas aqui vai uma maneira que se fundamenta directamente na definição da dimensão de HB e que me parece ser viável para qualquer tipo de linha de fronteira, pese embora o meu quase total desconhecimento desta matéria:

1 - Tira-se uma fotografia estereoscópica (isto é, com duas câmaras fotográficas ligeiramente afastadas uma da outra) via satélite (ou a partir de um avião) do país em questão; obtém-se, deste modo, informação tridimensional (isto é, os valores da latitude, da longitude e da altitude), a uma determinada escala S1, acerca do território que o constitui.

2 - Com base nessa fotografia, e com o auxílio de ferramentas computacionais de processamento e análise de imagem (porventura mais rápidas mas bem menos interessantes e divertidas do que palmilhar uma fronteira de compasso em riste) estima-se, para a supracitada escala S1, a extensão das suas linhas de fronteira. Digamos que se obtém o valor L1, ao qual corresponderá, na fotografia, o valor (S1 . L1).

3 - Repetem-se os passos 1 e 2 atrás referidos, desta feita com um valor diferente para a escala; Chamemos S2 à nova escala e L2 à extensão correspondente das linhas de fronteira. O seu valor na fotografia será, portanto, de (S2 . L2).

4 - Temos então que, se se mudar de uma fotografia à escala S1 para outra à escala S2, o valor correspondente à extensão da linha de fronteira passará, na transição entre fotografias, de (S1 . L1) para (S2 . L2).

5 - Aplicando a definição que deste da dimensão de Hausdorff-Besicovich, temos D = log((S2 . L2) / (S1 . L1)) / log(S2 / S1) = log((S2 / S1) . (L2 / L1)) / log(S2 / S1) = (log(S2 / S1) + log(L2 / L1)) / log(S2 / S1) = 1 + log(L2 / L1) / log(S2 / S1).

Verifiquemos se a equação obtida dá os resultados correctos para o floco de neve de Köch: nesta curva, por cada aumento de um factor de 3 no valor da escala, obtemos um aumento correspondente de um factor de 4 / 3 na extensão; ou seja, S2 / S1 = 3 e L2 / L1 = 4 / 3; aplicando a nossa equação, temos D = 1 + log(4 / 3) / log (3) = 1.261859507; confere com o valor que referes no artigo.

Verifiquemos agora se a mesma equação dá o resultado correcto para o caso limite de um país cujas fronteiras são rigorosamente rectilíneas (não fractal, portanto): por exemplo, um quadrado perfeito com 150 km de lado; nesta situação, os valores estimados para L1 e L2 serão sempre idênticos (600 km), independentemente das escalas que tiverem sido adoptadas; ou seja, L1 = L2, pelo que D = 1 + log(1) / log (S2 / S1) = 1 + 0 = 1; também confere.

Possível aperfeiçoamento do método descrito: considerem-se n escalas ao invés de apenas duas. Marquem-se, no eixo horizontal de um gráfico logarítmico as razões S2 / S1; S3 / S1; ...; Sn / S1. Marquem-se também, desta feita no eixo vertical do mesmo gráfico, os valores correspondentes de L2 / L1; L3 / L1; ...; Ln / L1. Determinem-se as posições dos n pontos que relacionam os quocientes das escalas com os quocientes associados das extensões; apliquem-se a esse conjunto de pontos as técnicas tradicionais de regressão linear. O declive da linha recta assim obtida constituirá, salvo erro, uma medida mais aproximada da dimensão de Hausdorff-Besicovich.


De Mauro a 10 de Janeiro de 2006 às 20:38
Ora aqui temos um comentário que supera o comentado. Eu agradeço-te, «.», pela possibilidade de meditar sobre um assunto tão fascinante. Parece uma óptima opção a questão das fotografias com escalas diferentes (altitudes diferentes, portanto) para a determinação da dimensão fractal de uma fronteira nacional. Porventura uma tirada de um avião e outra de um satélite, ou tiradas só por satélite com níveis de zoom diferentes... A questão das múltiplas escalas e da recta de regressão levanta-me uma questão sobre a utilidade da Dim HB: se essa dimensão for diferente conforme as escalas usadas (e daí as «n» escalas) para que servirá então a HB? Voltamos ao ponto inicial, em que medir a costa com uma régua de 1 m é diferente de medi-la com uma régua de 1 cm. Também aqui a verdadeira dimensão é dependente da escala. Se a HB for também... Em princípios teóricos, a dim HB é invariante às escalas usadas. A recta de regressão teria coeficiente 1 (perfeita): um conjunto de pontos perfeitamente alinhados... Que me dizes às minhas interrogações, «.»?


De . a 10 de Janeiro de 2006 às 21:35
A valor da dimensão HB é, tanto quanto sei, verdadeiramente independente da escala adoptada (ou, pelo menos, sê-lo-ia se a linha de fronteira do país em consideração fosse RIGOROSAMENTE auto-semelhante, no sentido em que a curva de Köch o é).

A minha motivação para a consideração de várias escalas e a consequente utilização de técnicas de regressão linear prende-se, tão-somente, com uma preocupação em tentar minimizar os inevitáveis erros de observação. Não serão tão poucos quanto isso: existem as irregularidades (também elas fractais, provavelmente) da órbita do satélite em torno da Terra; as pequenas correcções que a relatividade geral de Einstein impõe; imperfeições de toda a ordem no equipamento fotográfico e informático utilizado, etc. etc.

É como se quiséssemos estimar o valor da constante de Hubble a qual, como bem saberás, nos dá uma indicação acerca do ritmo de expansão do Universo: para o fazer bastaria determinar a distância a que uma qualquer galáxia (quanto mais distante, melhor) se encontra da nossa, bem como a velocidade a que as mesmas se afastam uma da outra; mas será certamente mais prudente (e produzirá com certeza resultados mais precisos) considerar, ao invés, n galáxias, representar num gráfico o conjunto de pontos que relacionam as n distâncias com as respectivas n velocidades de separação, e efectuar uma regressão linear.


De . a 10 de Janeiro de 2006 às 22:06
Complemento ao comentário anterior: mesmo que a linha de fronteira não seja rigorosamente auto-semelhante, as eventuais variações, em função da escala, na dimensão de HB serão, certamente, muito pequenas quando comparadas com as variações (infinitas!) nas tradicionais medições da extensão das fronteiras nacionais. A dimensão de HB não perderá, por conseguinte, a sua utilidade; e a regressão linear anteriormente referida, para além de minimizar os erros de observação, poderá também, neste caso, ter um importante papel a desempenhar na determinação de um valor médio, tão independente da escala quanto possível, para a dimensão de HB da fronteira em consideração.


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