Local: sala de aula alemã do 1º Ciclo;</br>
Altura: fins do século XVIII;</br>
Situação: uma turma barulhenta e um castigo do professor;</br>
Tarefa: somar todos os números de 1 até 100;</br>
Reacção: desalento resignado da turma, a braços com esta tarefa (ainda não havia calculadoras...)</br></br>

Dirige-se o professor à cadeira, antecipando os largos minutos de descanso e silêncio que a tarefa exigirá...</br></br>

Em poucos segundos um aluno de 7 anos levanta o braço: 5050 - grita.</br></br>

Espanto do professor! Como o fez tão rápido? Batota? Tinha cábulas? Segredaram-lhe ao ouvido? Nenhuma das hipóteses é possível mas a resposta está correcta!</br>
Dirige-se ao aluno para inquirir como tal feito foi alcançado.</br></br>

~ Simples, herr professor.</br></br>

Se escrevermos todos os números de 1 até 100 e por baixo escrevermos a mesma sequência por ordem inversa obtemos:</br>
</br></br>

É fácil ver que a soma de cada coluna é sempre 101.</br>
Obtemos 100 vezes 101. 100 x 101 = 10100.</br>
Mas como temos duas vezes a mesma linha temos que dividir o resultado por 2: 10100 / 2 = 5050, que é a resposta!</br></br>

Um pequeno episódio de um brilhante Matemático que aos 3 anos aprendeu a contar e a quem o Mundo deve tanto matematicamente, Karl Gauss.</br></br>

Eis um resultado brilhante, mesmo sem ter em conta a precocidade do seu criador.</br>

A generalização para qualquer série de números em que a diferença entre dois números seguidos é sempre constante (progressão aritmética) é:</br>
</br>
em que:</br>
u₁ é o primeiro número que se quer somar;</br>
u_n é o último número que se quer somar;</br>
n é quantos números se quer somar;</br></br>

e.g. Somar todos estes números 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20.</br></br>

Como é fácil de verificar cada número é sempre o anterior mais 2. É então uma progressão aritmética (se não houvesse um número que somado a um termo dá o seguinte não se podia usar a fórmula).</br></br>

u₁ = 2;</br>
u_n = 20;</br>
em que n = 10;</br></br>

Então a soma destes dez números é:</br>
2 + 20 = 22;</br>
22 / 2 = 11;</br>
11 x 10 = 110;</br></br>

Eis a generalização de um resultado matemático que uma criança de 7 anos descobriu para evitar uma tarefa chata...</br></br>

Este constitui, a meu ver, um simples exemplo de que:</br>
a Matemática não é fazer contas,</br>
é saber como as evitar ou simplificar!</br>

Os restaurantes da redondeza continuam a sua incrível saga de menus variados de gastronomia ortograficamente quase-ilegível.

Depois da incrível entrada de um suculento cocomelo ou de um aromatizado entregosto (ver Pior palavra do dia (26-4-2005))
e do saboroso quizado (ver Pior palavra do dia (26-4-2005))
eis que nos convidam a degustar um

atum descabeixo.

Este extraordinário prato possui um nome confeccionado com tal deleite que desperta a curiosidade e a gula(?). Sem dúvida que se marcam pontos no marketing aparentemente inócuo dos restaurantes portugueses.

Um atum descabeixo será um atum sem cabeça (descabeço)?
Um atum descabeixo será um atum sem queixo (desqueixo)?
Um atum descabeixo será um atum de cabeça em baixo?

Não, esta maravilha é um requintado atum de escabeche a que apenas se resiste uma dentada curiosa pela repulsa pela flagrante falta de cuidado ortográfico, o que poderá indiciar outros tipos de falta de cuidado...

Eis o cappuccino, uma bebida à base de café e leite e bastante apreciada no mundo (ocidental). O cappuccino é constituído por:</br>
~ um terço de café (expresso);</br>
~ um terço de leite aquecido;</br>
~ um terço de espuma de leite.</br></br>

A origem do nome está envolta em desavenças religiosas e pelo fantasma da Reforma Protestante...</br></br>

~ Na visão protestante o nome surge quando, no século XVIII, uma nova moda surgiu em França. Os painéis de madeira que revestiam as paredes interiores ficariam com a sua cor natural (de madeira) e não seriam pintados.</br>
Na altura Paris estava mergulhada em controvérsias religiosas e a nova moda foi designada por a la cappuccino, referindo-se à cor das vestes religiosas da
Ordem de Frades Franciscanos dos Cappuccin.
O nome da Ordem vem do facto de usarem trajes com capuzes longos (os Cappuccio.</br>
A bebida de café com leite com uma cobertura de espuma de leite passou também a ser designada por cappuccino devido à sua cor (acastanhada) e ao facto de a espuma de leite cobrir o líquido como o capuz dos Cappuccin.</br></br>

~ Na visão Católica o cappuccino surgiu após a derrota otomana no cerco a Viena de 1683 (ver o artigo

Eis o croissant, um item de pastelaria já muito difundido pelo mundo (ocidental). É feito com camadas sucessivas de massa e manteiga, enroladas sucessivamente e o seu fácil fabrico e a sua distinta forma tornaram-no muito difundido. Pode-se misturar camadas de chocolate ou de doce de amêndoa durante o fabrico para se obter croissants de chocolate ou amêndoa, por exemplo.</br></br>

~ Mas porquê esse nome? Tem a ver com a forma em Crescente? Terá alguma coisa a ver com Muçulmanos?</br></br>

A lenda associada à origem do croissant prende-se com o Império Turco, Áustria, Padeiros, França e a sua última rainha, Maria Antonieta (a quem cortaram a cabeça na instauração da República).</br></br>

Diz a lenda que o croissant foi inventado na cidade austríaca de Viena em 1683. O Império Otomano controlava todos os territórios anteriormente árabes (os Otomanos, apesar de Muçulmanos não eram Árabes) na Ásia e África. Procurava também aumentar as suas possessões na Europa. A Grécia era turca, a Bulgária era turca, os Balcãs eram turcos, mas um país servia de obstáculo às investidas turcas na Europa: a Áustria. Por várias vezes tentaram invadi-la mas não tiverem êxito.</br>
Diz a lenda que, no cerco de 1683 a Viena, os Turcos escavavam durante a noite túneis por baixo das muralhas da cidade. Os padeiros da cidade, acordados a fazer o pão do dia seguinte, deram o alarme e os turcos foram repelidos. Para comemorar a vitória sobre os Turcos graças à intervenção dos Padeiros foram feitos pães adocicados com a forma do símbolo turco (não era um símbolo da religião muçulmana), a Quarto Crescente, para que os Vienenses tivessem a oportunidade de destruir o símbolo dos seus inimigos.
(Sobre o símbolo Quarto Crescente e os Turcos ver o artigo Míngua); existe uma lenda similar mas envolvendo a invasão de Budapeste (capital da Bulgária) em 1686;</br>
~ Maria Antonieta (a última rainha de França), nasceu na cidade austríaca de Viena. Quando casou, ainda adolescente, com o Rei de França, trouxe o croissant, que era uma especialidade da sua preferência.</br></br>

No entanto não exitem registos de receitas para fabricar croissants em nenhum livro de culinária francesa antes do século XX e a referência mais antiga que se conhece ao croissant é no livro Des substances alimentairesescrito por Payen em 1853.</br></br>

A origem não parece ser consensual mas a teoria do Cerco de Viena parece ser a mais popular, principalmente por dessa forma também se relacionar com a origem do cappuccino... </br>

A cidade de Kaliningrad é uma cidade na Rússia.</br>
Na verdade, é uma cidade num exclave da Rússia, entre a Polónia e a Lituânia, situada a 510 quilómetros da Rússia, com 15 mil e 100 m² e perto de 1 milhão da habitantes.</br>
Um enclave é um território estrangeiro rodeado por um único outro país.</br>
Um exclave é um território nacional separado geograficamente da maioria do país.</br>
Assim, Kaliningrad é um</br>
exclave da Rússia.</br>
Não é um enclave porque faz fronteira com 2 países: Polónia e Lituânia</br></br>

Após a 2ª Guerra Mundial, a região urbana de Königsberg passou a fazer parte da Rússia e o seu nome foi mudado, em 1946, para Kaliningrad como homenagem ao recém-falecido Mikhail Kalinin, um dos primeiros bolcheviques.</br></br>

Há alguns factos curiosos ligados ao passado alemão da cidade:</br>
~ o filósofo alemão Immanuel Kant (1724-1804) era natural de lá.</br>
~ o matemático alemão Christian Goldbach (1690-1764) era também natural de lá;</br>
~ o matemático alemão David Hilbert (1862-1943) residiu lá, apesar de ser natural de Wehlau, cidade na Prússia Oriental com capital em Königsberg;</br>
~ a cidade foi fundada, em 1255, pelos Cavaleiros Teutónicos e só deixou de ser alemã após a 2ª Guerra Mundial, em 1945, passando a integrar a Rússia. Foi 690 anos alemã e uns meros 60 anos russa...</br></br>

Um outro facto relevante relacionado com Kaliningrad prende-se com a cidade que anteriormente se chamava Königsberg.</br></br>

Königsberg era a capital da Prússia Oriental, o estado alemão que unificou todos os outros estados germânicos no final do século XIX para formar a Alemanha, até então um conjuntos de estados independentes cada um com o seu Rei. Juntos formaram a Império Alemão, tendo como soberano o Kaiser prussiano Wilhelm II.</br></br>A Alemanha entrou na Grande Guerra para honrar o pacto que tinha com o Império Austro-Húngaro (que iniciou a Grande Guerra). Perderam-na e a Alemanha tornou-se uma república. Até que Hitler chegou ao poder.

Após a derrota na 2ª Guerra Mundial a Alemanha foi dividida em 2: a Alemanha Federal (a união dos sectores de ocupação inglesa, francesa e americana) e a Alemanha Democrática (o sector de ocupação soviética). Além disso, perdeu importantes partes do seu território. A Prússia, elemento unificador da Alemanha, foi dividida entre a Polónia e a Rússia.
(Ver os artigos Wilhelm e ainda Pequenos tijolos sobre estas questões).</br></br>

Könisberg passou a ser uma cidade russa e mudou de nome para Kaliningrad.</br></br>

Mas, no século XVIII, era prussiana. A cidade foi construída à volta do rio Pregel. A meio do rio há uma ilha chamada Kniephof. Para unir todas as partes da cidade foram construídas 7 pontes. Os habitantes da cidade gostavam de passear pelas pontes e tentavam encontrar uma forma de atravessar todas as pontes apenas uma vez. Mas, por muito que tentassem, não conseguiam encontrar um forma.</br></br>

Os nomes das 7 pontes de Königsberg eram:</br>
~ Kraemer «lojista»;</br>
~ Schmiede «ferreiro»;</br>
~ Holz «madeira»;</br>
~ Honig «mel»;</br>
~ Greune «verde»;</br>
~ Koettel «entranha»;</br>
~ Hohe «alto»;</br></br>

Pediram então ajuda a um grande Matemático suíço, de nome Euler «ói+lâr».</br></br>

Este começou por analisar o problema focando-se nos pontos relevantes e descartando os desnecessários (a típica abordagem matemática). Para isso simplificou o esquema das pontes: cada terreno a atingir seria um ponto e cada ponte o traço que os unia e tudo o mais era desnecessário à resposta.</br>
Este tipo de rede (pontos e ligações) chama-se um grafo.</br></br>

Com este esquema verificou ser impossível atravessar cada ponte uma única vez. Como todos os 4 pontos tinham um número ímpar de traços, qualquer caminho único depois de atravessar uma delas só conseguiria passar para um lado e não conseguiria regressar.</br></br>

Desta forma Euler criu um novo ramo da Matemática (a Topologia, que estuda as características que não são alteradas quando são distorcidas ou esticadas sem rasgar), mostrou que era impossível esse caminho pelas pontes da cidade e criou a Teoria dos Grafos, que é o estudo das redes de pontos unidos.</br></br>

Um resultado importante desta Teoria é:</br>
Num grafo, para que haja um caminho que une todos os pontos uma só vez apenas 2 deles podem ter um número ímpar de ligações (o ponto inicial e o ponto final).</br></br>

Como se vê no esquema os 4 pontos do Grafo das pontes de Konisberg, os 4 pontos têm ligações ímpares. É impossível percorrer todas as pontes apenas uma vez.</br></br>

Mas os grafos com 2 ou menos pontos com ligações ímpares têm solução. Um dos mais conhecidos é o da Casa Cruzada. Como se constata facilmente, apenas 2 pontos têm ligações ímpares (os da base), pelo que é possível traçar a casa uma única vez sem passar 2 vezes pela mesma linha. Várias soluções são possíveis e é apresentada uma delas. O início do trajecto é o ponto inferior esquerdo e o fim o inferior direito, que são os pontos com ligações ímpares. As soluções começarão num ou noutro ponto (ímpar). A Teoria dos Grafos fornece também o método para os encontrar mas só o facto de permitir saber de antemão se um dado desenho se pode fazer de uma vez é uma óptima ajuda.</br>
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Um método de resolução é:</br>
~ numerar os vértices do grafo;</br>
~ em seguida constrói-se uma tabela onde são colocados os vértices;</br>
~ representa-se nessa tabela as arestas que unem os diferentes vértices;</br>
~ verifica-se quais os vértices ímpares (se os houver);</br>
~ escolhe-se um vértice para começar a resolução. Se houver 2 ímpares é um deles, se não houver qualquer um pode ser escolhido;</br>
~ verifica-se qual a primeira aresta livre na linha do vértice escolhido;</br>
~ marca-se essa aresta (2 vezes, uma vez que 2-5 é a mesma que 5-2)</br>
~ na linha do vértice onde a aresta anterior se liga marca-se a primeira aresta livre;</br>
~ repete-se até todas as arestas estarem escolhidas.</br></br>
No exemplo acima dado, uma forma de desenhar o grafo é unir os vértices:</br>
4 - 2 - 1 - 3 - 2 - 5 - 3 - 4 - 5</br></br>

Não é a única forma de desenhar este grafo mas de certeza que este método indica uma delas. Escolhendo outros vértices neste método (e desde que se garanta que todas as arestas foram escolhidas) obtêm-se outras formas.</br></br>

Leonard Euler, nascido em 1707 e falecido em 1783, foi um grande Matemático de nacionalidade suíça (se bem que a Matemática, com o seu carácter e linguagem universais não tenha nacionalidade), que contribuiu para quase todos os campos matemáticos existentes. Diz-se que entre a chamada para o jantar e a refeição propriamente dita demonstrava teoremas, tal como, sendo pai de 11 filhos (o gosto matemático pelos números primos...?) era capaz de embalar um bebé com um braço e com o outro resolver problemas matemáticos.</br></br>

Actualmente, uma fotografia de satélite mostra o que aconteceu às pontes de Königsberg: duas desapareceram, duas fazem parte de um via rápida que atravessa a cidade e as outras três fazem parte da rede rodoviária da cidade.</br>
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