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Diário das pequenas descobertas da vida.
Segunda-feira, 30 de Maio de 2005
Simples mente
Johann Karl Friedrich GaussLocal: sala de aula alemã do 1º Ciclo;</br>
Altura: fins do século XVIII;</br>
Situação: uma turma barulhenta e um castigo do professor;</br>
Tarefa: somar todos os números de 1 até 100;</br>
Reacção: desalento resignado da turma, a braços com esta tarefa (ainda não havia calculadoras...)</br></br>

Dirige-se o professor à cadeira, antecipando os largos minutos de descanso e silêncio que a tarefa exigirá...</br></br>

Em poucos segundos um aluno de 7 anos levanta o braço: 5050 - grita.</br></br>

Espanto do professor! Como o fez tão rápido? Batota? Tinha cábulas? Segredaram-lhe ao ouvido? Nenhuma das hipóteses é possível mas a resposta está correcta!</br>
Dirige-se ao aluno para inquirir como tal feito foi alcançado.</br></br>

~ Simples, herr professor.</br></br>

Se escrevermos todos os números de 1 até 100 e por baixo escrevermos a mesma sequência por ordem inversa obtemos:</br>
Sequência 1 a 100</br></br>

É fácil ver que a soma de cada coluna é sempre 101.</br>
Obtemos 100 vezes 101. 100 x 101 = 10100.</br>
Mas como temos duas vezes a mesma linha temos que dividir o resultado por 2: 10100 / 2 = 5050, que é a resposta!</br></br>

Um pequeno episódio de um brilhante Matemático que aos 3 anos aprendeu a contar e a quem o Mundo deve tanto matematicamente, Karl Gauss.</br></br>

Eis um resultado brilhante, mesmo sem ter em conta a precocidade do seu criador.</br>

A generalização para qualquer série de números em que a diferença entre dois números seguidos é sempre constante (progressão aritmética) é:</br>
Soma.jpg</br>
em que:</br>
u1 é o primeiro número que se quer somar;</br>
un é o último número que se quer somar;</br>
n é quantos números se quer somar;</br></br>

e.g. Somar todos estes números 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20.</br></br>

Como é fácil de verificar cada número é sempre o anterior mais 2. É então uma progressão aritmética (se não houvesse um número que somado a um termo dá o seguinte não se podia usar a fórmula).</br></br>

u1 = 2;</br>
un = 20;</br>
em que n = 10;</br></br>

Então a soma destes dez números é:</br>
2 + 20 = 22;</br>
22 / 2 = 11;</br>
11 x 10 = 110;</br></br>

Eis a generalização de um resultado matemático que uma criança de 7 anos descobriu para evitar uma tarefa chata...</br></br>

Este constitui, a meu ver, um simples exemplo de que:</br>
a Matemática não é fazer contas,</br>
é saber como as evitar ou simplificar!
</br>


Publicado por Mauro Maia às 20:40
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Pior palavra do dia (Descabeixo)
Os restaurantes da redondeza continuam a sua incrível saga de menus variados de gastronomia ortograficamente quase-ilegível.

Depois da incrível entrada de um suculento cocomelo ou de um aromatizado entregosto (ver Pior palavra do dia (26-4-2005))
e do saboroso quizado (ver Pior palavra do dia (26-4-2005))
eis que nos convidam a degustar um

atum descabeixo.

Este extraordinário prato possui um nome confeccionado com tal deleite que desperta a curiosidade e a gula(?). Sem dúvida que se marcam pontos no marketing aparentemente inócuo dos restaurantes portugueses.

Um atum descabeixo será um atum sem cabeça (descabeço)?
Um atum descabeixo será um atum sem queixo (desqueixo)?
Um atum descabeixo será um atum de cabeça em baixo?

Não, esta maravilha é um requintado atum de escabeche a que apenas se resiste uma dentada curiosa pela repulsa pela flagrante falta de cuidado ortográfico, o que poderá indiciar outros tipos de falta de cuidado...


Publicado por Mauro Maia às 19:47
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Sexta-feira, 27 de Maio de 2005
Cappuccino
Cappuccino Eis o cappuccino, uma bebida à base de café e leite e bastante apreciada no mundo (ocidental). O cappuccino é constituído por:</br>
~ um terço de café (expresso);</br>
~ um terço de leite aquecido;</br>
~ um terço de espuma de leite.</br></br>

A origem do nome está envolta em desavenças religiosas e pelo fantasma da Reforma Protestante...</br></br>

~ Na visão protestante o nome surge quando, no século XVIII, uma nova moda surgiu em França. Os painéis de madeira que revestiam as paredes interiores ficariam com a sua cor natural (de madeira) e não seriam pintados.</br>
Na altura Paris estava mergulhada em controvérsias religiosas e a nova moda foi designada por a la cappuccino, referindo-se à cor das vestes religiosas da
Ordem de Frades Franciscanos dos Cappuccin.
O nome da Ordem vem do facto de usarem trajes com capuzes longos (os Cappuccio.</br>
A bebida de café com leite com uma cobertura de espuma de leite passou também a ser designada por cappuccino devido à sua cor (acastanhada) e ao facto de a espuma de leite cobrir o líquido como o capuz dos Cappuccin.</br></br>

~ Na visão Católica o cappuccino surgiu após a derrota otomana no cerco a Viena de 1683 (ver o artigo
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<img alt="Cappuccino" src="http://cognoscomm.com/mm/Cappuccino.jpg" width="100" height="98" align="left" border="0" /> Eis o <b><i>cappuccino</i></b>, uma bebida à base de café e leite e bastante apreciada no mundo (ocidental). O <i>cappuccino</i> é constituído por:</br>
~ <b>um terço</b> de café (expresso);</br>
~ <b>um terço</b> de leite aquecido;</br>
~ <b>um terço</b> de espuma de leite.</br></br>

A origem do nome está envolta em <b>desavenças religiosas</b> e pelo <u>fantasma</U> da <b>Reforma Protestante</b>...</br></br>

~ Na visão protestante o nome surge quando, no século XVIII, uma nova moda surgiu em França. Os painéis de madeira que revestiam as paredes interiores ficariam com a sua cor natural (de madeira) e <b>não</b> seriam pintados.</br>
Na altura Paris estava mergulhada em controvérsias religiosas e a nova moda foi designada por <i><b>a la cappuccino</i></b>, referindo-se à cor das vestes religiosas da
<b><font color="brown">Ordem de Frades Franciscanos dos Cappuccin</b></font>.
O nome da Ordem vem do facto de usarem trajes com capuzes longos (os <b>Cappuccio</b>.</br>
A bebida de café com leite com uma cobertura de espuma de leite passou também a ser designada por <i>cappuccino</i> devido à sua cor (<b><font color="brown">acastanhada</font></b>) e ao facto de a espuma de leite cobrir o líquido como o capuz dos <i>Cappuccin</i>.</br></br>

~ Na visão Católica o <i>cappuccino</i> surgiu após a derrota otomana no cerco a Viena de 1683 (ver o artigo <a href=""http://cognosco.blogs.sapo.pt/arquivo/643324.html"><font color="blue"><b><i>croissant</font></b></i></a> sobre este cerco).
Após a retirada dos turcos o frade Marco d'Aviano da <b><font color="brown">Ordem de Frades Franciscanos dos Cappuccin</b></font> (beatificado em 2003) descobriu sacos contendo grãos de <b>café</b> deixados pelos muçulmanos durante a retirada. Os Euopeus <b>não</b> conheciam a bebida até então. Para adoçar o seu sabor amargo o frade adicionou leite e mel, criando assim a bebida que viria a ser conhecida pelo nome da Ordem religiosa a que pertencia.</br></br>

A origem pode estar envolta em controvérsias religiosas mas sabe muito bem...</br></br>

<b>E com <i>croissants e cappuccinos</i> já se pode fazer um saboroso lanche,
<i>cortesia da capital da Valsa, Viena</I>...</b></br>


Publicado por Mauro Maia às 23:11
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Croissant
Croissant Eis o croissant, um item de pastelaria já muito difundido pelo mundo (ocidental). É feito com camadas sucessivas de massa e manteiga, enroladas sucessivamente e o seu fácil fabrico e a sua distinta forma tornaram-no muito difundido. Pode-se misturar camadas de chocolate ou de doce de amêndoa durante o fabrico para se obter croissants de chocolate ou amêndoa, por exemplo.</br></br>

~ Mas porquê esse nome? Tem a ver com a forma em Crescente? Terá alguma coisa a ver com Muçulmanos?</br></br>

A lenda associada à origem do croissant prende-se com o Império Turco, Áustria, Padeiros, França e a sua última rainha, Maria Antonieta (a quem cortaram a cabeça na instauração da República).</br></br>

Diz a lenda que o croissant foi inventado na cidade austríaca de Viena em 1683. O Império Otomano controlava todos os territórios anteriormente árabes (os Otomanos, apesar de Muçulmanos não eram Árabes) na Ásia e África. Procurava também aumentar as suas possessões na Europa. A Grécia era turca, a Bulgária era turca, os Balcãs eram turcos, mas um país servia de obstáculo às investidas turcas na Europa: a Áustria. Por várias vezes tentaram invadi-la mas não tiverem êxito.</br>
Diz a lenda que, no cerco de 1683 a Viena, os Turcos escavavam durante a noite túneis por baixo das muralhas da cidade. Os padeiros da cidade, acordados a fazer o pão do dia seguinte, deram o alarme e os turcos foram repelidos. Para comemorar a vitória sobre os Turcos graças à intervenção dos Padeiros foram feitos pães adocicados com a forma do símbolo turco (não era um símbolo da religião muçulmana), a Quarto Crescente, para que os Vienenses tivessem a oportunidade de destruir o símbolo dos seus inimigos.
(Sobre o símbolo Quarto Crescente e os Turcos ver o artigo Míngua); existe uma lenda similar mas envolvendo a invasão de Budapeste (capital da Bulgária) em 1686;</br>
~ Maria Antonieta (a última rainha de França), nasceu na cidade austríaca de Viena. Quando casou, ainda adolescente, com o Rei de França, trouxe o croissant, que era uma especialidade da sua preferência.</br></br>

No entanto não exitem registos de receitas para fabricar croissants em nenhum livro de culinária francesa antes do século XX e a referência mais antiga que se conhece ao croissant é no livro Des substances alimentairesescrito por Payen em 1853.</br></br>

A origem não parece ser consensual mas a teoria do Cerco de Viena parece ser a mais popular, principalmente por dessa forma também se relacionar com a origem do cappuccino... </br>


Publicado por Mauro Maia às 22:05
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Quarta-feira, 25 de Maio de 2005
As pontes de Königsberg

A cidade de Kaliningrad é uma cidade na Rússia.

Na verdade, é uma cidade num exclave da Rússia, entre a Polónia e a Lituânia, situada a 510 quilómetros da Rússia, com 15 mil e 100 m2 e perto de 1 milhão da habitantes. Um enclave é um território estrangeiro rodeado por um único outro país. Um exclave é um território nacional separado geograficamente da maioria do país. Assim, Kaliningrad é um exclave da Rússia. Não é um enclave porque faz fronteira com 2 países: Polónia e Lituânia.

Após a 2ª Guerra Mundial, a região urbana de Königsberg passou a fazer parte da Rússia e o seu nome foi mudado, em 1946, para Kaliningrad como homenagem ao recém-falecido Mikhail Kalinin, um dos primeiros bolcheviques.

Há alguns factos curiosos ligados ao passado alemão da cidade:

~ o filósofo alemão Immanuel Kant (1724-1804) era natural de lá.

~ o matemático alemão Christian Goldbach (1690-1764) era também natural de lá;

~ o matemático alemão David Hilbert (1862-1943) residiu lá, apesar de ser natural de Wehlau, cidade na Prússia Oriental com capital em Königsberg;

~ a cidade foi fundada, em 1255, pelos Cavaleiros Teutónicos e só deixou de ser alemã após a 2.ª Guerra Mundial, em 1945, passando a integrar a Rússia. Foi 690 anos alemã e uns meros 60 anos russa...

Um outro facto relevante relacionado com Kaliningrad prende-se com a cidade que anteriormente se chamava Königsberg. Königsberg era a capital da Prússia Oriental, o estado alemão que unificou todos os outros estados germânicos no final do século XIX para formar a Alemanha, até então um conjuntos de estados independentes cada um com o seu Rei. Juntos formaram a Império Alemão, tendo como soberano o Kaiser prussiano Wilhelm II.

 

 

A Alemanha entrou na Grande Guerra para honrar o pacto que tinha com o Império Austro-Húngaro (que iniciou a Grande Guerra). Perderam-na e a Alemanha tornou-se uma república. Até que Hitler chegou ao poder. Após a derrota na 2ª Guerra Mundial a Alemanha foi dividida em 2: a Alemanha Federal (a união dos sectores de ocupação inglesa, francesa e americana) e a Alemanha Democrática (o sector de ocupação soviética). Além disso, perdeu importantes partes do seu território. A Prússia, elemento unificador da Alemanha, foi dividida entre a Polónia e a Rússia. (Ver os artigos Wilhelm e ainda Pequenos tijolos sobre estas questões). Könisberg passou a ser uma cidade russa e mudou de nome para Kaliningrad.

As pontes de Königsberg

Mas, no século XVIII, era- prussiana. A cidade foi construída à volta do rio Pregel. A meio do rio há uma ilha chamada Kniephof. Para unir todas as partes da cidade foram construídas 7 pontes. Os habitantes da cidade gostavam de passear pelas pontes e tentavam encontrar uma forma de atravessar todas as pontes apenas uma vez. Mas, por muito que tentassem, não conseguiam encontrar um forma. Os nomes das 7 pontes de Königsberg eram: ~ Kraemer «lojista»; ~ Schmiede «ferreiro»; ~ Holz «madeira»; ~ Honig «mel»; ~ Greune «verde»; ~ Koettel «entranha»; ~ Hohe «alto»;

 

Pediram então ajuda a um grande Matemático suíço, de nome Euler «ói+lâr». Grafo de EulerEste começou por analisar o problema focando-se nos pontos relevantes e descartando os desnecessários (a típica abordagem matemática). Para isso simplificou o esquema das pontes: cada terreno a atingir seria um ponto e cada ponte o traço que os unia e tudo o mais era desnecessário à resposta. Este tipo de rede (pontos e ligações) chama-se um grafo. Com este esquema verificou ser impossível atravessar cada ponte uma única vez. Como todos os 4 pontos tinham um número ímpar de traços, qualquer caminho único depois de atravessar uma delas só conseguiria passar para um lado e não conseguiria regressar. Desta forma Euler criu um novo ramo da Matemática (a Topologia, que estuda as características que não são alteradas quando são distorcidas ou esticadas sem rasgar), mostrou que era impossível esse caminho pelas pontes da cidade e criou a Teoria dos Grafos, que é o estudo das redes de pontos unidos. Um resultado importante desta Teoria é: Num grafo, para que haja um caminho que une todos os pontos uma só vez apenas 2 deles podem ter um número ímpar de ligações (o ponto inicial e o ponto final). Como se vê no esquema os 4 pontos do Grafo das pontes de Konisberg, os 4 pontos têm ligações ímpares. É impossível percorrer todas as pontes apenas uma vez. Casa Cruzada Casa Cruzada solucionadaMas os grafos com 2 ou menos pontos com ligações ímpares têm solução. Um dos mais conhecidos é o da Casa Cruzada. Como se constata facilmente, apenas 2 pontos têm ligações ímpares (os da base), pelo que é possível traçar a casa uma única vez sem passar 2 vezes pela mesma linha. Várias soluções são possíveis e é apresentada uma delas. O início do trajecto é o ponto inferior esquerdo e o fim o inferior direito, que são os pontos com ligações ímpares. As soluções começarão num ou noutro ponto (ímpar). A Teoria dos Grafos fornece também o método para os encontrar mas só o facto de permitir saber de antemão se um dado desenho se pode fazer de uma vez é uma óptima ajuda. Impossível (4 pontos ímpares)Possível (todos os pontos são pares) Um método de resolução é:

~ numerar os vértices do grafo;

~ em seguida constrói-se uma tabela onde são colocados os vértices;

~ representa-se nessa tabela as arestas que unem os diferentes vértices;

~ verifica-se quais os vértices ímpares (se os houver);

~ escolhe-se um vértice para começar a resolução. Se houver 2 ímpares é um deles, se não houver qualquer um pode ser escolhido;

~ verifica-se qual a primeira aresta livre na linha do vértice escolhido;

~ marca-se essa aresta (2 vezes, uma vez que 2-5 é a mesma que 5-2)

~ na linha do vértice onde a aresta anterior se liga marca-se a primeira aresta livre;

~ repete-se até todas as arestas estarem escolhidas.

No exemplo acima dado, uma forma de desenhar o grafo é unir os vértices: 4 - 2 - 1 - 3 - 2 - 5 - 3 - 4 - 5 Não é a única forma de desenhar este grafo mas de certeza que este método indica uma delas. Escolhendo outros vértices neste método (e desde que se garanta que todas as arestas foram escolhidas) obtêm-se outras formas.

 

Leonard Euler, nascido em 1707 e falecido em 1783, foi um grande Matemático de nacionalidade suíça (se bem que a Matemática, com o seu carácter e linguagem universais não tenha nacionalidade), que contribuiu para quase todos os campos matemáticos existentes. Diz-se que entre a chamada para o jantar e a refeição propriamente dita demonstrava teoremas, tal como, sendo pai de 11 filhos (o gosto matemático pelos números primos...?) era capaz de embalar um bebé com um braço e com o outro resolver problemas matemáticos.

 

Actualmente, uma fotografia de satélite mostra o que aconteceu às pontes de Königsberg: fazem parte das vias rápidas que atravessam a cidade. As pontes de Königsberg no séc. XXI

 



Publicado por Mauro Maia às 15:51
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Terça-feira, 24 de Maio de 2005
Piscis est carnis
Geralmente usa-se a expressão não é carne nem peixe para indicar que não há uma clara definição do ente mencionado implicitamente. Perante a questão de se o peixe não é carne a resposta vulgar costuma incluir a falsa noção de que carne têm os animais.</br></br>

Isto conduz assim à errónea ideia de que animais e peixes são coisas distintas.</br></br>

Mas acontece que (a la Carlos Pinto Coelho...) os peixes são animais.</br></br>

As formas de vida do planeta Terra (desconhece-se ainda se haverá fora) estão divididas em 5 grandes categorias, os Reinos:</br>
~ Reino Monera: com 10 000 espécies, inclui as bactérias sem núcleo ;</br>
(eubactérias e cianobactérias);</br>
~ Reino Protista: com 250 000 espécies, inclui protozoários e algas uni e multicelulares;</br>
~ Reino dos Fungos: com 100 000 espécies, inclui todos os fungos, desde os cogumelos, a levedura, fungo pé-de-atleta,...;</br>
~ Reino das Plantas: com 250 000 espécies, inclui todos os seres que produzem clorofila e cujas células têm uma parede rígida feita de celulose;</br>
~ Reino Animal: com 1 000 000 de espécies, inclui todos os seres multicelulares que não produzem clorofila e, em algum ciclo da sua vida, deslocam-se.</br></br>

Por exemplo, os corais, apesar de parecerem plantas são animais. Os adultos estão presos às rochas onde se alimentam mas os juvenis deslocam-se pelos seus próprios meios para encontrar uma rocha que possam chamar só sua...</br></br>

Os peixes são animais, como qualquer outro animal. São até animais vertebrados (como nós), possuem ossos (as espinhas são os ossos dos peixes), têm um sistema nervoso central (ao longo da coluna vertebral que é a sua espinha principal), não produzem clorofila e deslocam-se durante todos os ciclos da sua vida.</br></br>

A carne do peixe é aquilo que chamamos simplesmente peixe.</br></br>

Bacalhau (Gradus Morhua)Estranha amizade essa que um povo tem com um peixe que desconhece tanto sobre o seu fiel amigo. A sua presença é uma constante, de uma forma diferente do fiel amigo canis familiaris...</br></br></br>



Dizer que não é carne nem peixe é verdadeiramente apresentar uma só opção querendo apresentar dualidades opostas. Pois que se é peixe é obviamente carne...</br></br>

É claro que é só uma força de expressão que também eu por vezes uso. A questão fulcral é ter a noção correcta de que se trata de uma força de expressão, utilizável (e entendível) mas carecida de fundamentos lógicos</br></br>

Peixe é carne</br>


Publicado por Mauro Maia às 23:05
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Quadratura do círculo
A quadratura do círculo é uma expressão que se usa comummente (uma das poucas palavras em Português que tem uma dupla consoante que não o r e o s ( será uma dupla consoante?); outra é connosco) para expressar a impossibilidade de resolução de um problema.
Mas poucos dos que a usam compreendem verdadeiramente o que está (ou esteve) em causa. Geralmente pensarão que é algo que se prende com a forma do círculo ser impossível de transformar na forma de um quadrado. Basta com plasticina fazer um disco (círculo) e depois moldá-lo e fazer um quadrado. A questão não é problemática, nem difícil e qualquer criança consegue fazê-lo. A questão não é a forma, é a determinação da área.</br></br>

A quadratura do círculo é um de 3 problemas geométricos de que os Gregos procuraram uma solução que usasse somente uma régua não graduada e um compasso, os instrumentos que os Geómetras gregos possuíam.</br></br>

Os 3 problemas geométricos da Antiguidade usando régua não graduada e compasso:</br>
~ a quadratura do círculo;</br>
~ a duplicação do cubo;</br>
~ a trissecção do ângulo;</br></br>

Quadratura do círculo~ O primeiro problema (Quadratura do Círculo) prende-se com a determinação de um quadrado que tenha a mesma área que um dado círculo</br></br>

(uma circunferência é a linha Circunferência, o círculo é a linha e o seu interior Círculo).
A área de um círculo é Pi vezes raio ao quadrado (π r2), em que Pi (π) é um número irracional, ou seja, uma dízima infinita não periódica. Depois da vírgula há infinitos algarismos. π = 3,1415926...</br></br>

É fácil determinar essa área usando uma simples resolução de uma equação.
(Como a área do círculo é πr2, um quadrado com a mesma área tem de lado √π r).</br>
Apesar desta trivial solução provou-se, já o século XX, que de facto nenhum dos 3 problemas tem solução. </br></br>

Como assim?! Está resolvido! Há quadratura do círculo!</br></br>

A questão prende-se com a necessidade de apenas usar uma régua não graduada e um compasso. Como se constacta facilmente o lado de um quadrado com a mesma área que um círculo envolve a raíz quadrada de π.</br></br>

e.g. Se um círculo tem de área 1 cm2, um quadrado com a mesma área (podem-se fazer aproximações com a régua e o esquadro mas não é o valor exacto) tem de lado √π cm.</br></br>

No século XX provou-se definitivamente que π é um número transcendental (não é solução de qualquer equação algébrica), o que impossibilita a sua determinação com uma régua não graduada e um esquadro.</br></br>

Curiosamente uma forma de experimentalmente determinar o valor de π com valores progressivamente mais aproximados. A forma de o fazer é usar uma experiência conhecida com a Agulha de Buffon: Traçando linhas paralelas com uma distância de 1 cm e deixarmos cair consecutivamente uma agulha com 1 cm de comprimento sobre as linhas, a probabilidade de que a agulha intersecte uma linha aproxima-se do valor de π. Mas nunca se encontra o valor exacto...</br></br>

~ O segundo problema (Duplicação do Cubo) prende-se com a determinação do lado de um cubo que tenha o dobro do volume de uma Cubo dado.
A questão poderá parecer simples mas se se colocar apenas um cubo ao lado de outro (duplica o lado) deixamos de ter um cubo.</br>
Se fizermos um cubo colocando 8 cubos (2 para cada lado) obtemos um cubo mas com oito vezes o volume do anterior. Novamente obtém-se uma solução que envolve um número transcendental (a Constante de Délio, 21/3, ou seja a raíz quadrada de 2) impossível portanto de fazer com régua e esquadro.</br>
Este problema surge numa lenda grega onde os Atenienses, afligidos por uma doença, procuraram o conselho de um Oráculo. Este aconselhou-os a duplicar o volume do altar cúbico do deus Apolo para lhe apaziguar a ira. O Atenienses construíram então um novo altar cúbico com o dobro de cada lado. No entanto eles teriam de construir um novo altar com o dobro do volume e não do comprimento de cada lado. O novo altar tinha oito vezes o volume do original e não o dobro.</br>
Como pelos vistos os Deuses gregos eram bons a Matemática, não engoliram esta solução e a praga continuou. Mais uma vez é um problema impossível de resolver só com régua não graduada e esquadro.</br></br>

~ O terceiro problema (Trisecção do Ângulo) prende-se com um método para dividir um ângulo qualquer em 3 ângulos iguais usando apenas a régua não graduada e o esquadro.</br>
O verdadeiro problema aqui prende-se com a régua não graduada. É possível trissectar qualquer ângulo com régua graduada e um esquadro.
Há também alguns ângulos (90º, 180º,...) que são trissectáveis com a régua não graduada e o esquadro. Mas o problema é para o fazer a qualquer ângulo, não apenas a alguns...</br></br>

Assim a Quadratura do Círculo» é um problema impossível de resolver mas apenas perante as restrições que impõe. Qualquer aluno do ensino secundário (se não do básico) sabe o suficiente para o fazer em apenas uma linha de cálculo.</br></br>

~ Isso é tão impossível como a Quadratura do Círculo!</br></br>

Só se quiseres usar apenas uma régua não graduada.</br></br>

Quando se fala tem de se saber o que se diz, se não podemos obter respostas que não estamos preparados para responder...</br>


Publicado por Mauro Maia às 20:20
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Segunda-feira, 23 de Maio de 2005
Et autem convertet
O nosso satélite natural (a Lua) tem inspirado lendas, histórias, factos científicos, inspiração de religiões (ver o artigo Míngua) e a sua quota parte de concepções erradas ou desinformadas.</br></br>

Uma delas prende-se com a existência de um lado negro da Lua, um lado permanentemente oculto da visão directa terrestre, sendo pela primeira vez vista (e fotografada) pelas missões Apolo.</br></br>

A ilação errada que muitos tiram é então que, se a Lua apresenta sempre o mesmo lado virado para a Terra, não tem período de rotação porque então não seria sempre o mesmo.</br></br>

Trata-se obviamente de uma conclusão errada como bem salientado num comentário de Paralaxe, de (entre outros) Blog dos apelos.</br></br>

A Lua tem um período de translacção (em redor da Terra) e um período de rotação (em volta do seu eixo). O período de translacção (o chamado mês lunar, base dos calendários judaico e muçulmano) é de 27 dias, 7 horas e 43 minutos (geralmente referido arredondado a 28 dias).</br></br>

Sem rotação da Lua (não há um lado oculto)</br>
Se a Lua não tivesse um período de rotação não teria um lado permanentemente oculto dos olhares terrestres. Se assim fosse o outro lado da Lua ia sendo alterado à medida que a Lua nos contorna, como mostrado na imagem incluída, em que o ponto vermelho e o ponto azul estão em lados oposto da Lua. Claramente se mostra que o ponto vermelho começa por estar no que seria o lado oculto da Lua mas que ao longo da trajectória Lunar esse lado passa a ser o lado visível.
Sem rotação não há lado oculto da Lua.</br></br>

A rotação da Lua com lado escuro (ponto azul)</br>
Mas havendo rotação de facto o lado oculto da Lua permanece afastado dos olhares terrestres. O ponto vermelho situa-se no lado oculto da Lua e assim permanece ao longo de toda a trajectória lunar.</br></br>

É claro que para que isso possa ocorrer tem de existir uma completa sincronia entre o movimento de rotação e translacção.</br>
De facto ambos os movimentos têm exactamente 27 dias, 7 horas e 43 minutos. Esta sincronia permite então que a Lua mantenha um lado oculto e um lado visível (aqui está mais um caso de uma palavra que, por terminar em L e ser grave, necessita de um acento na penúltima sílaba).</br>
Sem ela (sincronia) não há um lado da Lua permanentemente oculto (na perspectiva da Terra).</br></br>

~ Mas porque existe esta sincronia? É estranho que exista. A translacção da Terra é em 365 dias mas a sua rotação é em 1 dia. Aqui não há sincronia...</br></br>

Esta sincronia prende-se com o facto da face visível da Lua ser mais densa do que a face oculta. A Lua começou a sua "vida" com uma rotação diferente da translacção, mas o facto de um dos seus lados ser mais denso do que o outro levou a que esse lado fosse mais atraído pela gravidade terrestre. Com a passagem do tempo em que o lado mais denso era sistematicamente mais atraído pela Terra à medida a Lua rodava.</br>
Eventualmente o equilíbrio entre a rotação da Lua e a maior atracção de um dos lados conduziu naturalmente à sincronização.</br></br>

E no entanto roda</br>


Publicado por Mauro Maia às 12:03
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Domingo, 22 de Maio de 2005
Alea jacta est

Atenção Alguns erros que se cometem no uso da Língua portuguesa prendem-se por vezes com o desconhecimento dos contextos correctos de aplicação das palavras (a crescente confusão na aplicação de «derivado» e «devido» é somente um dos mais ouvidos).

 

Ouve-se por vezes poucas probabilidades de isso acontecer ,   o que é uma aplicação incorrecta do termo probabilidade e mostra simplesmente a ignorância do seu significado, confundindo «probabilidade» com «possibilidade». O correcto é dizer poucas possibilidades de isso acontecer ou então É pequena a probabilidade de isso acontecer .

 

Probabilidade é um número que se atribui a uma possibilidade de um acontecimento. Quanto maior é o número (entre 0 e 1 ou equivalentemente entre 0% e 100%) mais certo é que que aconteça. Possibilidade é uma das maneiras com que determinado acontecimento pode ocorrer. Cada possibilidade tem uma probabilidade de acontecer. A soma das probabilidades de todas as possibilidades de um acontecimento aleatório é 1 (ou 100%). Como a probabilidade é um número não «há poucas probabilidades», porque isso é o mesmo que dizer «há poucos números» e os números são infinitos.

 

Em termos simples, a forma de calcular a probabilidade da possibilidade de um acontecimento aleatório envolve a determinação do número de vezes em que pode ocorrer essa possibilidade e também o número total de possibilidades do acontecimento em causa. Geralmente essas contagens são complicadas de fazer em acontecimentos do quotidiano, e com formas mais ou menos elaboradas. Mas se a contagem total for possível usa-se a Regra de Laplace : para calcular a probabilidade de uma possibilidade basta dividir o número de vezes que ocorre essa possibilidade (n.º de acontecimentos favoráveis) pelo número total de possibilidades do acontecimento (nº de acontecimentos possíveis).

E.g. Um saco contém 5 bolas: tem 2 bolas pretas e 3 bolas vermelhas .

Qual é a probabilidade de ao retirar, sem ver, uma bola do saco obter 1 vermelha?

Saco com 5 bolas Há aqui um acontecimento (retirar uma bola) com algumas possibilidades; O número de possibilidades de sair uma bola vermelha é 3; O número total de possibilidades é 5 bolas; A probabilidade é então 3 / 5 (que é 60%).

~ A probabilidade de obter cara quando se atira uma moeda ao ar é 1 / 2 = 50%. (Há uma cara na moeda, que tem 2 faces possíveis); No entanto é necessário cautela no cálculo de probabilidades. Só se pode calcular probabilidades em acontecimentos aleatórios (acontecimentos em que não intervenha uma escolha humana consciente ou inconsciente); Só se pode calcular probabilidades quando cada uma das possibilidades tem a mesma probabilidade de ocorrer (são equiprováveis); Se assim não fosse poderiam ocorrer as seguintes situações a que se atribui uma probabilidade errada:

~ Se ao retirar uma bola do saco com 2 bolas pretas e 3 vermelhas se se espreitar pode-se sempre retirar uma bola vermelha. Então a probabiliade seria assim de 100% e não de 60%;

~ No totoloto só há duas possibilidades: ganhar ou não ganhar. Então a probabilidade de ganhar o totoloto é 1/2 = 50% ? Não, porque as duas possibilidades não são equiprováveis (não ganhar é mais provável do que ganhar);

 

Infelizmente a probabilidade do uso incorrecto de «probabilidade» quando se devia usar «possibilidade» é cada vez maior!

 

«Os dados estão lançados», de «Alea» - Dados; «jacta» - lançar; «est» - 3.ª Pessoa do verbo «esse» - ser, como bem chamou a atenção «Buba» no comentário que aqui deixou.

~ Frase dita por Júlio César quando atravessou o rio Rubicão em direcção a Roma.

(Ver Ao contrário da crença popular (Julius) para saber porquê)



Publicado por Mauro Maia às 21:10
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Necessidade
Einstein Einstein foi um dos maiores pensadores do século XX, provavelmente da História registada da Humanidade.</br></br>

As suas 2 Teorias da Relatividade (Restrita e Geral) mudaram para sempre a Ciência e inclusivamente a Sociedade como um todo (tal foi a ânsia com que a «relatividade cultural» dominou o mundo ocidental), apesar de não ter ganho um Prémio Nobel (palavra aguda pois acaba em L, como «lençol") por elas (provavelmente porque serviram de suporte teórico ao desenvolvimento das bombas nucleares que deixaram o Mundo suspenso na segunda metade do século XX). O Prémio Nobel foi-lhe atribuído pela descoberta da dualidade onda-partícula (permitindo assim coisas tão triviais como painéis solares, calculadoras sem pilhas, portas que abrem automaticamente, ...)</br></br>

Foi considerado em criança como de «raciocínio lento» e mesmo «idiota», por ter perspectivas, gostos e análises das situações que fugiam à norma vigente, tendo desde sempre sido firmemente pacifista, numa sociedade tão militarizada como a Alemanha pré-Primeira Guerra Mundial, por exemplo.</br></br>

Mas mesmo ainda pequeno demonstrou que não cresceria para ser uma pessoa comum.</br></br>

Quando era bebé não começou a falar na mesma idade que os outros bebés. Na verdade os pais estavam muito preocupados com ele pois tendo já 6 anos de idade nunca tinha dito uma única palavra.</br></br>

Um dia, tendo os ditos 6 anos, encontrava-se à mesa de jantar com os pais. Comia-se sopa. Levou a colher à boca e pela primeira vez proferiu algo:</br>
~ Está muito quente!</br>
Os pais, muito supreendidos, disseram-lhe:</br>
~ Tu sabes falar! Porque nunca disseste nada antes?!</br>
Ao que Einstein retorquiu:</br>
~ Não foi necessário.</br>
</br>
Eis a marca de um grande Homem, era ainda uma pequena criança!</br>


Publicado por Mauro Maia às 20:38
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