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Diário das pequenas descobertas da vida.
Quarta-feira, 30 de Novembro de 2005
Volatu somnium

Poucas são as pessoas que, até hoje, não tenham voado alguma vez ou pensado em fazê-lo. É uma das grandes conquistas da Humanidade.

E, no entanto, muitas são as pessoas que receiam voar. Quando o têm de fazer passam mal, sentem um pânico contínuo durante o voo e qualquer ligeiro estremecimento é causa de preocupação. É um medo geralmente ligado ao desconhecimento de como pode algo, que pesa toneladas, erguer-se no ar. As pessoas são mais leves e não conseguem levantar voo...
E as coisas que voam e que fazem parte da experiência diária das pessoas (os pássaros e os morcegos) nem meia centena de quilos pesam...
(Os gigantes pterodátilos nunca fizeram parte da experiência diária de qualquer ser humano, como visto em Cave sauvrie)

Nas poucas situações em que uma explicação para o voo dos aviões é dada, geralmente envolve algo como o «facto» de o ar, devido à forma da asa, circular mais rapidamente por cima da asa do que por baixo. Pelo Princípio de Bernoulli então a pressão do ar por cima da asa é inferior à pressão do ar por baixo da asa. Dessa forma a diferença de pressão leva a que o ar procure subir para compensar a diferença de pressão, «levantando» o avião.
Mas esta explicação é incorrecta para explicar o voo. Basta pensar que, se a questão fosse a velocidade no ar no topo da asa ser maior devido à sua forma, seria impossível os aviões voarem de cabeça para baixo. É possível verificar (ao vivo ou em filmes) que os aviões podem voar invertidos (os militares em especial). Com a asa invertida, a pressão seria maior por baixo do avião e este cairia...

Na verdade, o facto de um avião poder voar, não tem a ver com «pressões de ar diferentes». O Efeito de Coanda (pelo qual um fluido em movimento sobre uma superfície convexa tende a circular «agarrado» à superfície) e as três Leis do movimento de Newton (de que se falou em Conor explicare gravitatem) são suficientes para explicarem o voo dos aviões. A descrição matemática é indispensável para a construção exacta de aviões, mas a descrição com princípios físicos faz entender correctamente os princípios envolvidos e explica, entre outros fenómenos, o voo invertido.

O Efeito de Coanda foi descoberto, pelo inventor Romeno Henri Coanda, durante experiências com o seu avião Coanda-1910, que exibiu na IIª Exposição Aeronáutica em Paris, em Outubro de 1910. Este avião (com um envergadura de asas de 10,3 metros e comprimento de 12,5 metros) foi o primeiro avião a jacto alguma vez construido. Em Dezembro de 1910, enquanto Coanda experimentava o seu avião, observou que os gases em combustão (que saíam dos reactores laterais do avião) circulavam junto e ao longo da fuselagem do avião, em vez de sairem em linha recta. Devido à proximidade dos gases, o avião pegou voo e explodiu. Ele e outros cientistas passaram anos a investigar este fenómeno, que recebeu o nome de Princípio de Coanda ou Efeito de Coanda.
Para se verificar este princípio, basta abrir uma torneira e deixar a água correr. Se se aproximar a parte de baixo de uma colher (superfície convexa) do fluxo de água (sem lhe tocar), o fluxo próximo da colher vai encurvar-se e fluir com a curvatura da colher.


~ Então como se aplicam as Leis de Movimento de Newton e o Princípio de Coanda para explicar porque sobe um avião?

A Primeira Lei de Newton afirma que um corpo permanece em repouso ou em movimento rectilíneo uniforme (velocidade constante ao longo de uma linha recta) excepto de for sujeito a uma força externa. Quando o avião está em movimento, o ar (que está parado) é sujeito a uma força (a passagem das asas do avião). Pela Terceira Lei de Newton (para qualquer acção há uma reacção com a mesma intensidade e direcção oposta) o ar exercerá sobre a asa uma força com a mesma intensidade que a força que a asa exerce sobre o ar com sentido contrário. É esta reacção que faz levantar as asas (e todo o avião com elas). É por um efeito de reacção que os navios flutuam na água...

Pelo movimento do asa, o ar é levantado à sua frente e desce após a sua passagem. A Segunda Lei de Newton (A intensidade de uma força é igual ao produto da sua massa pela sua acelaração) é aplicada a esta situação resultando em que a força de ascenção de uma asa é igual ao produto da massa de ar deslocada pela velocidade vertical que esse ar ganha na sua passagem.
É isto que levanta um avião. A passagem das asas transfere parte do seu momento (velocidade vezes massa) para o ar, que é desviado para uma trajectória vertical.

Deslocamento vertical de ar por um Cesna a rasgar o nevoeiroA quantidade de ar que um avião desloca da horizontal para a vertical depende da asas que possui e da sua massa.
Por exemplo, um Cesna 172 pesa perto de 1 tonelada. Se viajar a uma velocidade de 200 Km/h, a velocidade vertical do ar que desloca é sensivelmente 18 Km/h. Pela segunda Lei do Newton, e pressupondo um valor médio de 9 Km/h, a quantidade de ar deslocada na vertical é de 5 toneladas por segundo. Ou seja, um Cesna desloca cinco vezes o seu peso em ar por segundo. É isto que produz a ascensão do avião. Imagine-se a quantidade de ar deslocada por um Boing 777 (250 toneladas) ou o novo Airbus A380 (550 toneladas)...

A razão pela qual o ar é desviado da horizontal para a vertical prende-se com o Princípio de Coanda. É por isso que a tradicional imagem, que ilustra muitas «explicações» da razão pela qual os aviões voam está incorrecta: o ar, ao ser deslocado pela asa, é forçado por esse princípio a seguir os contornos da asa. Dessa forma é desviado para baixo (não prossegue na horizontal...)
Dessa forma, não há a diferença de pressão provocada pelo Princípio de Bernoulli (o Princípio é válido, só não se aplica nesta situação) que leva à ascenção das asas. O que levanta o avião é a massa de ar desviada para a vertical pelo contorno das asas graças ao Princípio de Coanda.

A explicação completa é um pouco mais complexa (envolvendo ângulos de inclinação do avião, potência a que se desloca, pressão atmosférica,...) mas a razão pela qual os aviões voam envolve as 3 Leis de Newton e do Princípio de Coanda.
Algumas das consequências físicas destes 4 princípios físicos operando sobre um avião e que levam à sua ascensão são:
~ A quantidade de ar deslocada pela asa é proporcional à velocidade do avião e à pressão atmosférica;
~ A velocidade vertical do ar deslocado é proporcional à velocidade do avião e ao ângulo de deslocamento do avião;
~ A ascensão é proporcional à quantidade de ar deslocada vezes a velocidade vertical do ar deslocado;
~ A potência necessária para a ascenção é proporcional à ascenção vezes a velocidade vertical do ar deslocado;

Esta é a Perspectiva Física que explica o voo dos aviões. Nada de diferenças de pressão ou mãos invisíveis a segurar o avião.
Apenas as 3 Leis do Movimento de Newton e o Princípio de Coanda.

No título «O sonho de voar»



Publicado por Mauro Maia às 14:31
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Terça-feira, 29 de Novembro de 2005
Helius armentum
Arquimedes (d)escreveu, numa carta dirigida aos estudantes da cidade egípcia de Alexandria (fundada por Alexandre Magno e que continha a famosa Biblioteca de Alexandria) um problema relacionado com o cálculo do número de cabeças de gado do Deus Sol grego Hélio. O gado deste deus pastava na ilha da Sicília, na Itália, e era conhecida pelos Gregos como Trinácio («três cantos» em Grego). Na altura a ilha tinha colónias gregas e os gregos acreditavam que o gado divino pastava perto de Taormina (nome derivado da designação original dos colonos gregos «Tauromenion», 85 quilómetros a norte de Siracusa. «Tauro» significa touro em grego. Daí o Minotauro, o famoso monstro com cabeça de Touro que vivia no labirinto de Minos.

A origem e idade do problema não são conhecidas com exactidão, mas pensa-se que, de facto, terá a ver com Arquimedes. (Ver também a solução do problema da coroa do rei de Siracusa em Aurea corona)

Supercomputador Cray-1A dificuldade do problema proposto é tal que a primeira solução (ainda que incompleta) só surgiu em 1880, pelas mãos de Amthor. Amthor conseguiu mostrar que o número total de animais da solução total tem 206 mil e 545 dígitos e conseguiu calcular alguns desses dígitos mas o cálculo completo não podia ser feito com os meios da altura.
Apenas com o advento dos computadores foi possível a Williams, German e Zarnke, em 1965, encontrar uma solução. No aetanto os autores apenas descreveram os passos para esse cálculo mas não a solução em si mesma.
O menor número de animais no gado de Hélio foi publicado por Harry Nelson em 1981, usando o supercomputador CRAY-1.
Mas uma solução geral para o problema foi encontrada em 2001 usando meios de cálculo mais modestos do que um supercomputador.

Em termos simplificados o problema é dividido em duas partes.
A primeira é basicamente a seguinte:
O Deus Sol Hélio tinha bois e vacas a pastar. O gado estava dividido em quatro partes: a primeira era Branca, a segunda Preta, a terceira era Malhada e a quarta Castanha e cada parte tinha bois e vacas.
Entre os bois, o número de bois brancos era um meio mais um terço dos bois pretos mais o de castanhos; o número de bois pretos era um quarto mais um quinto dos bois malhados mais o de castanhos; o número de bois malhados era um sexto mais um sétimo do de bois brancos mais o de castanhos.
Entre as vacas, o número de vacas Brancas era um terço mais um quarto do total de animais pretos; o número de vacas Pretas era um quarto mais um quinto do total de animais malhados; o número de vacas Malhadas um quinto mais um sexto do total de animais castanhos; o número de vacas Castanhas era um sexto mais um sétimo do total de animais brancos.
Quantos animais existiam ao todo de cada tipo?


A solução geral encontrada por Verdi em 2001 é a seguinte:

Seja «b» o número de bois brancos, «p» o de bois pretos, «m» o de bois malhados, «c» o de bois castanhos, «B» o de vacas Brancas, «P» o de vacas Pretas, «M» o de vacas malhadas e «C» o de vacas castanhas.

Teremos então as seguintes 7 equações:

b = (1/2 + 1/3)p + c <=> b = 5/6 p + c
p = (1/4 + 1/5)m + c <=> p = 9/40m + c
m = (1/6 + 1/7)b + c <=> m =13/42 + c
B = (1/3 + 1/4) (p + P) <=> B = 7/12 (p + P)
P = (1/4+ 1/5) (m + M) <=> P = 9/20 (m + M)
M = (1/5 + 1/6) (c + C) <=> M = 11/30 (c + C)
C = (1/6 + 1/7) (b + B) <=> C = 13/42 (b + B)

Como facilmente se constata, há 7 equações para 8 incógnitas.
Então ou o problema não tem solução ou então há infinitas soluções.
(para que um sistema de equações tenha apenas uma solução é necessário que haja tantas equações como incógnitas.
Deste forma só há três tipos de soluções para um sistema de equações:
0 soluções; 1 solução; soluções.

Neste caso concreto há soluções, logo há infinitas soluções para este problema.
Para as calcular é necessário o uso de um computador que permita resolver equações diofantinas (equações cujas soluções sejam inteiras, uma vez que o número de animais de qualquer tipo tem de ser inteiro).
Usando um programa desse tipo determina-se a seguinte solução:

b = 10 366 482 x k
p = 7 460 514 x k
m = 7 358 060 x k
c = 4 149 387 x k
B = 7 206 360 x k
P = 4 893 246 x k
M = 3 515 820 x k
C = 5 439 213 x k

em que o número k é um número inteiro positivo (1, 2, 3, ...)
Substituindo k, obtemos diferentes (e infinitas) soluções.

A mais pequena delas todas é quando k = 1.
Essa é a solução mais pequena conhecida deste problema e obtém-se:

b = 10 milhões 366 mil e 482 bois brancos
p = 7 milhões 460 mil e 514 bois pretos
m = 7 milhões 358 mil e 60 bois malhados
c = 4 milhões 149 mil e 387 bois castanhos
B = 7 milhões 206 mil e 360 vacas brancas
P = 4 milhões 893 mil e 246 vacas pretas
M = 3 milhões 515 mil e 820 vacas malhadas
C = 5 milhões 439 mil e 213 vacas castanhas

No total o gado de Hélio teria 50 milhões 389 mil e 82 animais.

Mas Arquimedes refere ainda, como continuação do problema, que:
Quando os bois brancos se juntam aos negros, podem formar um quadrado com tantos animais de comprimento como de largura. E quando os bois malhados se juntam aos castanhos, podem formar um triângulo, em qua a primeira fila tem 1 animal, a segunda 2 animais, e assim sucessivamente, cada fila com um animal mais do que a anterior.

Com mais estas duas equações, o número de animais cresce imenso.

Em termos de equações temos então que b + p = número quadrado.
(ou seja, o número de bois pretos mais o números de bois brancos tem de ser igual a um número ao quadrado). Ou seja, b + p = r2, em que r é um número inteiro positivo qualquer.
Assim, 10 366 482 x k + 7 460 514 x k = r2 <=>
<=> 17 826 996 x k = r2 <=>
<=> 2x2x3x11x29x4 657 x k = r2

Para que isto ocorra, e uma vez que 2x2 é um número quadrado,
3x11x29x4 657xk = r2 <=> 4 456 749 x r2

Além disso, m + c = número triangular.
Um número triangular é igual à soma 1 + 2 + 3+ ...
A soma de números consecutivos é dada pela fórmula n x (n+1) / 2
(descoberta por Gauss quando ainda era pequeno, como visto no artigo Simples mente ). Ou seja, m + c = n x (n+1) / 2, que que n é um número inteiro positivo qualquer.
Assim, 4 149 387 x k + 7 358 060 x k = n x (n + 1) / 2 <=>
<=> 11 507 447 x k = n x (n + 1) / 2

Unindo as duas equações que se obtiveram das duas condições, obtém-se:
11 507 447 x 4 456 749 x r2 = n x (n + 1)/2 <=>
<=> 102 571 605 819 606 x r2 = n x (n + 1)/2

O problema então consiste agora em encontrar dois números inteiros r e n com os quais isto ocorra.
O supracitado A. Amthor foi o primeiro a determinar que os valores r e n dão um valor para o número de animais com 206 545 dígitos que começa com 776.

Mais tarde, em 1889 e 1893, calcularam-se os primeiros 31 dígitos e e os 12 últimos.
Eram 7760271406486818269530232833213 . . . 719455081800

Mas o valor mais pequeno só foi publicado em 1981, por Harry Nelson, que usou um supercomputador para o cálculo do número com 206 545 dígitos que ocupava 47 páginas impressas.

Nunca um problema matemático tinha demorado 22 séculos a resolver!
Mas a questão é, sabendo que a solução envolve Álgebra, sistema de equações, supercomputadores, 47 páginas impressas, como terá Arquimedes solucionado a questão (se é que o fez)?

No título «O gado de Hélio»


Publicado por Mauro Maia às 21:28
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Domingo, 27 de Novembro de 2005
Equus et candela
Em 19 de Janeiro de 1736, nasceu em Greenock, na Escócia, um menino a quem deram o nome de James. Era o sexto de oito irmãos, tendo cinco desses morrido à nascença.</br>
Durante toda a vida (até mesmo na idade adulta) sofreu de terríveis enxaquecas, que o obrigavam a ficar de cama muito tempo. Não podia assistir às aulas da primária e, por isso, os seus pais foram os seus professores. Ensinaram-lhe a ler e a escrever e ainda os princípios básicos de aritmética. Era, por isso, muito mimado pela mãe, tímido e desconfiado em relação ao mundo exterior.</br>
Como brinquedos costumava ter bússolas e sextantes, que o pai lhe dava como modo de distração. De tanto os montar e desmontar tornou-se um profundo conhecedor e hábil em consertá-los.</br></br>

Com 16 anos partiu para Londres para trabalhar, mas as condições climatéricas eram prejudiciais à sua saúde. Desenvolveu reumatismo e por isso voltou à Escócia e em Glascow abriu uma loja de instrumentos, a sua paixão de infância. Apesar da desconfiança inicial por parte de potenciais clientes, conquistou a amizade de amigos influentes e graças a eles ingressou na Universidade. Foi lá que contactou pela primeira vez com o motor a vapor, criado 70 anos antes. Graças ao seu espírito analítico, descobriu como aumentar 4 vezes a eficiência desse motor. O seu motor consumia menos carvão, era mais pequeno e mais de 30 vezes mais poderoso.</br>
</br>
Foi devido ao seu trabalho com o motor a vapor que James Watt (o menino das enxaquecas) criou o termo cavalo-vapor («horsepower»), usando um analogia com os cavalos que, na época, eram o principal instrumento para o trabalho pesado.
Para expressar o poder do seu motor, James Watt realizou uma série de medições relacionadas com o poder de tracção dos cavalos. Em média, um cavalo conseguia levantar cerca de 100 quilos de carvão (220 pounds) 30 metros (100 foot) em 1 minuto. (pounds e foot são as medidas vulgarmente usadas nos EUA, apesar de terem sido criadas na Inglaterra. Estranhamente, os habitantes dos orgulhosos EUA são muito dedicados às unidades de medida do seu passado colonial inglês...)</br>
</br>
Por razões que não se conhecem (talvez para tentar compensar de alguma forma a média que calculou), Watt decidiu utilizar, como medida do trabalho produzido por um cavalo, o valor de 150 quilos (330 pounds) em 30 metros durante 1 minuto. Isto dava um bonito número redondo (no sistema métrico) de cinco quilos por metro por minuto (talvez um número tão redondo tenha sido a causa da alteração de Watt...)</br></br>

Assim, 1 cavalo-vapor é o trabalho necessário para levantar 5 quilos, um metro, durante um minuto. Não é exactamente a capacidade de trabalho de um cavalo (Watt alterou a medida que ele mesmo tinha calculado) mas é pouco mais...</br></br>

Um carro com 200 cavalos de potência não é equivalente a 200 cavalos a levantar, é sim capaz de levantar 100 quilos 1 centímetro durante 1 minuto. Pelas contas originais de Watt, isso equivale a 300 cavalos!</br>
Assim, e ao contrário do que geralmente se pensa e repete, 1 cavalo-vapor é equivalente ao trabalho de 1,5 cavalos verdadeiros.</br></br>

2 cavalos-vapor são iguais ao trabalho feito por 3 cavalos verdadeiros.</br>

Por exemplo, uma carruagem com 4 cavalos tem 3 cavalos-vapor de potência.</br></br>

Mas o nome de Watt é geralmente referido num outro contexto.
Quando se compra uma lâmpada, temos como referência se é de 60W, 100W,...
Quanto maior o valor, maior a capacidade de iluminação da lâmpada.
Este W refere-se a Watt, pelo que 60W é lido como 60 watts.</br></br>

Mas, talvez devido ao acaso da evolução linguística e tendo em conta que não existe o W na língua portuguesa, muitas pessoas em Portugal tendem a ler o valor como 60 velas. Como a lâmpada produz luz como uma vela, como a letra usada é um duplo v como na palavra «vela», considera-se assim erroneamente que uma lâmpada de 60W(atts) é equivalente a 60 velas.</br></br>

Seria um pouco estranho que os fabricantes de lâmpadas tivessem em consideração uma língua como o Português nas designações da capacidade de iluminação das lâmpadas.</br>
Por exemplo, «vela» em Inglês é candle, termo derivado da palavra latina candela que deu origem à portuguesa candeia.</br>
Mas, por outro lado, há de facto uma unidade de medida de iluminação chamada candela (cd) mas que não é equivalente a 1 W.</br>
Originalmente, uma candela referia-se à intensidade da luz produzida por uma vela (daí o nome).</br>
Com o advento das lâmpadas eléctricas incandescentes, o termo passou a designar a intensidade da luz produzida por um filamento incandescente.
Mas a definição actual de candela é a intensidade de luz emitida por uma fonte luminosa a uma frequência de 540 teraHertz à temperatura de congelação da platina (2042 K = 1 768,85 ºC). Esta frequência corresponde a um comprimento de onda de 555,17 nanómetros, as cores amarela-verde.</br>
(Ver também, no dia 7 de Junho, os 2 de 3 artigos:</br>
~ Lux mundi sobre as propriedades da luz;</br>
~ Iotas e nanos sobre os múltiplos de unidade como o tera.)</br></br>

Uma lâmpada de 60W (60 watts) consome 60 watts de energia eléctrica, emite 816 lúmens de luz visível.</br>
Um vela gasta mais ou menos 60 watts de energia química e emite 13 lúmens de luz visível.</br></br>

Dessa forma, uma lâmpada incandescentede 60 watts produz tanta luz como 816/13 = 63 velas!</br>Uma lâmpada incandescente de 60W tem a luz de 63 velas.</br></br>

É sempre necessário ter em atenção que os nomes que se dão não corresponde necessariamente e completamente ao que designa.</br>
Uma caloria é usada para produzir calor mas só por si não é calor.</br>
Um cavalo-vapor não é o trabalho produzido por um cavalo, é o trabalho produzido por um cavalo e meio (segundo os cálculos de Watt).</br>
Uma lâmpada de 60 watts não produz tanta luz como 60 velas, produz tanta como 63! A diferença poderá parecer pouca em 60w incandescentes = 63 velas mas esta diferença vai aumentando (apesar de ligeiramente) à medida que aumenta a potência da lâmpada incandescente.</br>
Já no caso das lâmpadas fluorescentes, a diferença é ainda maior. Uma lâmpada de 20w fluorescente corresponde a 107 velas e uma lâmpada fluorescente de 60w equivaleria a 322 velas!</br></br>

Tende-se geralmente a aceitar a face visível dos nomes sem compreender que geralmente não passam de designações que tiveram a sua lógica quando foram criados mas que muitas vezes a perdem com o tempo.</br>
Por isso é tão fundamental o sentido de História para a nossa definição como seres humanos. Há animais com vidas sociais, animais que constroem estruturas gigantes para o seu tamanho, animais que usam ferramentas com intenção precisa, animais que comunicam, animais que compreendem e associam imagens abstratas,...</br>
Mas, de todos, somos os únicos que registamos e recordamos a nossa História (tanto a da espécie como a pessoal).</br>
Como todas as criações humanas, por muito inocentes que sejam, prestam-se sempre a maus usos e a péssimas consequências.</br>
Gostar de História, ler História, falar de História é fundamentalmente afirmar-mo-nos como seres humanos.</br></br>

No título «O cavalo e a vela»


Publicado por Mauro Maia às 16:55
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Sexta-feira, 25 de Novembro de 2005
Foris optio
O programa «Let's make a deal» com Monty Hall
Nos anos 70, nos EUA, havia um apresentador de nome Monty Hall que apresentava um programa chamado Let's make a deal («Vamos fazer negócio»).

Num dos jogos do concurso televisivo, o concorrente tinha de escolher entre 3 portas. Atrás de 2 delas havia um falso prémio (um par de meias, uma garrafa de água,...) e atrás da outra um carro novo. O concorrente ganhava o prémio que estivesse por detrás da porta que escolhesse.

Mas, quando o concorrente indicava uma das portas, o apresentador abria uma das outras duas, revelando um falso prémio e perguntava se o concorrente decidia manter a escolha que tinha feito ou escolher a 3ª porta (a que não tinha sido escolhida pelo concorrente inicialmente e que o apresentador não tinha aberto).

(Para uma simulação do jogo, em Java, ver Let's make a deal)

Tão singelo programa televisivo despertou uma grande polémica matemática.
Em Setembro de 1991 um leitor do jornal Sunday Parade dirigiu uma questão a
Marilyn Vos Savant, autora da coluna Ask Mary, colocando a questão de se seria mais vantajoso mudar a escolha da porta ou manter a opção original tendo em perspectiva ganhar o carro no célebre concurso.
A resposta de Marilyn (registada no Guinness Book of World Records como a mulher com o Q.I. mais elevado do mundo) foi a de que, para o concorrente, seria mais vantajoso mudar de porta. A esta réplica da autora da coluna 10 000 leitores enviaram um comentário à resposta, a maioria em desacordo com a autora.

A este problema foi dado o nome de Paradoxo de Monty Hall, devido ao apresentador do concurso que inspirou a questão.



~ Paradoxo porquê? Parece-me que agora ele só tem 2 portas para escolher. O carro está numa delas. Então a probabilidade é 50% de ganhar. Assim sendo, tanto faz mudar como não.

O raciocínio matemático por detrás do cálculo de probabilidades (já visto no artigo Alea jacta est) é que a probabilidade se calcula dividindo o número de situações em que ocorre aquilo de que se pretende calcular a probabilidade (casos favoráveis) pelo número total de situações que podem ocorrer (casos possíveis).
Poderia-se então pensar da seguinte maneira: com a eliminação de uma das portas (aquela que o apresentador abriu), só há duas portas. Atrás de uma delas está o carro. Então o número de casos favoráveis seria 1 e o número de casos possíveis seria 2. A probabilidade parece então ser 1/2 = 0,5 = 50%.

Mas na verdade não é isto que acontece. A probabilidade não será de 50% de ganhar ou perder.

Perante a primeira escolha (em que há 3 portas), a probabilidade de escolher a porta com o carro é 1/3 (33%). Em seguida o apresentador abre uma das outras portas (uma que tem um falso prémio). No entanto, a probabilidade (e aqui entra a parte contra-intuitiva da questão) de ganharmos o carro não se altera. Continuamos com 1/3 de proabilidades de ganhar o carro, perante as duas portas que agora temos, se mantivermos a nossa opção original. No entanto a probabilidade de que a outra porta seja aquela que tem o carro é agora 2/3 (66%). No início cada porta tinha 1/3 de probabilidades de ter o carro. Após a abertura de uma das portas que tem um falso prémio, as probabilidades mudam. A porta que escolhemos mantém a probabilidade de 1/3 de ter o carro. Mas agora, a probabilidade da 2ª porta ter o carro passa a ser 2/3.

A questão não é fácil de aceitar intuitivamente para quem lide com probabilidades e o seu cálculo. Muitos matemáticos (incluindo o conhecido Paul Erdös) fazem o raciocício de que a probabilidade, depois de revelada a 3ª porta como não tendo o carro, será de 50% para cada.

No entanto, se se repetir várias vezes a experiência de escolher 1 de 3 portas, em seguida 1 de 2, não tendo a 3ª o carro, constatamos que de facto a probabilidade de ganhar é 1/3 (33%) se se mantiver a primeira escolha e 2/3 (66%) se se alterar a porta escolhida. Devemos então mudar de porta.

Como referi, num comentário ao artigo Celer turtur, é necessário que qualquer teoria que tencione explicar algum fenómeno objectivo da realidade se adeque aos factos como eles ocorrem. Se a experiência de escolher 1 de 3 portas e em seguida escolher 1 entre 2 for feita várias vezes (por exemplo, recorrendo a um programa de computador que simule o jogo) verifica-se que se obtém as probabilidades referidas.

Uma probabilidade pode ser calculada de duas formas:
- pela lei de Laplace (referida no artigo Alea jacta est));
- pela Lei dos Grandes Números, que afirma que, quanto mais vezes se repetir uma experiência mais o valor da frequência relativa de um resultado se aproxima da probabilidade do mesmo.
Por exemplo, a probabilidade de obter o número «4» no lançamento de um dado (cúbico) é de 1/6 (≈ 16,667%). Mas se se lançar um dado 6 vezes, não é certo que obtenhamos uma vez o número «4». Por vezes não sai, por vezes sai mais de uma vez. Será que a probabilidade falha? Não, porque se se repetir 60 vezes, 600 vezes, 1 000 vezes, 23 000 vezes, ... verifica-se que a divisão do número de vezes que saiu «4» pelo número de lançamentos do dado vai sendo progressivamente mais próximo de 16,667%)

Fazendo então a experiência de escolher uma porta inicial e depois manter ou mudar e registar se se ganhou ou não, constatam-se estas contra-intuitivas probabilidades.
Tabela Monty Hall

Como se pode constatar, em 6 000 jogadas, mudando a porta, ganhou-se entre 3928 e 4072 vezes; mantendo a porta, ganhou-se 1928 e 2072 vezes. Isto dá então a probabilidade de 4000/6000 = 2/3 de ganhar mudando a porta e 2000/6000 = 1/3 de ganhar mantendo a porta...

Se a teoria é o primeiro passo na caminhada para o edifício do conhecimento humano, a experiência é o último tijolo...

No título «A escolha da porta»


Publicado por Mauro Maia às 22:36
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Terça-feira, 22 de Novembro de 2005
Celer turtur
Já todos (?) ouviram falar do paradoxo de Aquiles e da Tartaruga.
Aquiles, o mortal mais rápido do mundo, herói grego na guerra de Tróia, foi desafiado para uma corrida com a Tartaruga, um dos mais lentos.
Uma vez que Aquiles era muito mais rápido, deu à tartaruga um avanço à partida.
A Tartaruga partiria alguns metros à frente de Aquiles.
Assim que o sinal de partida soou, Aquiles rapidamente percorreu a distância de onde partiu a Tartaruga.
Mas quando lá chegou, já a ela tinha avançado e encontrava-se mais à frente.
Aquiles rapidamente cobriu a a distância que os separava.
Mas assim que lá chegou já a Tartaruga estava mais à frente.
Aquiles correu para lá, para descobrir que a Tartaruga tinha avançado mais um bocado.
De cada vez a Tartaruga estava menos longe, mas Aquiles nunca a apanhava, porque ela estava sempre nem que um só milímetro mais à frente (quanto mais ultrapassá-la)


~ O que se passava com ele? Então não se vê logo que Aquiles a ultrapasa num ápice?

Para se entender o que Zenão pensava e defendia, é necessário conhecer a escola filosófica a que ele pertencia.
Zenão foi discípulo de Parménides, legislador e filósofo da já desaparecida cidade de Elea-Velia, uma cidade grega na costa oeste italiana (junto ao mar de Tirreno). Parménides fundou na cidade uma escola filosófica que é conhecida como Escola Eleática. As ruínas da cidade podem ser vistas no Parque Nacional de Cilento. As ruínas da cidade são mais grandiosas do que as de Pompeia e de Herculaneum juntas, mas são no geral desconhecidas. Novas escavações têm revelado muitas descobertas interessantes e parte da cidade está ainda por desenterrar.

Parménides era admirado pelos seus concidadãos pela sua vida exemplar e pela excelente legislação que deu à cidade, a que os cidadãos sentiam que deviam a sua prosperidade.
Parménides era um forte opositor da escola de pensamento de Heraclito, que defendia que tudo no Mundo era feito de mudança, alteração e nada permanecia sempre o mesmo (a célebre ideia de que nunca se passa pelo mesmo rio duas vezes. Na segunda vez as águas já passaram e portanto estamos a passar por águas diferentes, logo por um rio diferente).
Mas para Parménides o movimento e a mudança são ilusões dos sentidos. Tudo é uno e indivisível e apenas a razão permite conhecer essa realidade imutável.
Ao contrário da sua legislação, a sua filosofia não era aceite pelos seus conterrâneos.
Muitos criticavam-no e até o gozavam.

Zenão era também oriundo de Elea-Velia e o melhor discípulo de Parménides. As críticas ao seu mestre não lhe agradavam e foi para o defender que criou os seus famosos Paradoxos de Zenão. Neles propôs-se mostrar que os sentidos forneciam informações que eram contraditórias e que portanto a mudança, o movimento, a pluralidade eram ilógicas e inexistentes.

Quase tudo o que se sabe sobre Zenão encontra-se nas páginas de abertura da obra de Platão Parmenides. (Para mais sobre Platão ver também Euler ergo Platon).
Na citada obra, é referido que Zenão tinha 40 anos quando Sócrates era jovem. Como este nasceu em 469 AC, Zenão terá nascido mais ou menos em 490 AC. Sabe-se também que Zenão descreveu os seus paradoxos num livro e que ele e Platão eram grandes amigos.

O livro não sobreviveu até aos nossos dias e tudo o que se sabe sobre os paradoxos é através das críticas dos seus opositores, como Aristóteles. Uma das personagens que Aristóteles criou, de nome Simplício, segue em traços gerais as argumentações de Zenão, apesar de este ter vivido mil anos antes de Aristóteles.
(veja-se Apolo não favoreceu Aristóteles para mais sobre Aristóteles).

Parece ter havido 40 paradoxos relacionados com a Pluralidade (que mostravam que acreditar que tudo era composto de muitas coisas, em vez de só uma, conduzia a paradoxos lógicos). Desses 40 apenas dois sobreviveram. Aristóteles refere também 4 paradoxos relacionados com o Movimento (onde se inclui o Paradoxo de Aquiles e da Tartaruga) e ainda atribui outros 2 paradoxos a Zenão.

Paradoxos da Pluralidade

~ Argumento da Densidade: suponha-se que existissem, como os sentidos nos indicam, um conjunto de várias coisas distintas. Se é um conjunto, argumenta Zenão, tem um número finito de coisas (o infinito não é um número concreto, portanto um conjunto não pode ter, na sua óptica, infinitas coisas). Para que se percepcione cada coisa como individual, tem de haver algo que as separe. Esse algo tem de estar, também separado por outra coisa (se não seria a mesma coisa, e não as separaria). Assim continuamente.
Por exemplo, uma fila de 2 maçãs. As maçãs não são uma só, são 2. Percebe-se isso porque algo as separa, digamos ar. Mas a separar o ar da maçã há mais ar, porque se não o ar e a maçã eram a mesma coisa. Então a separar o ar da maçã há outra coisas, mais ar. Mas a separar esse da maçã há ainda outro,...)
Temos então que um conjunto finito de coisas tem infinitos elementos, o que é uma contradição. Assim a premissa inicial de que há um conjunto de várias coisas é falso. Há apenas uma entidade do Universo.

~ Argumento do Tamanho Finito: Zenão argumenta que, se houvesse infinitas coisas no Universo, estas teriam de ter um tamanho nulo. Assim sendo seriam não existentes. Então não pode haver infinitas entidades no Universo, elas não existem.
Além disso, se as coisas tivessem um tamanho finito, teriam pelo menos duas partes (digamos frente e verso). Cada parte, sendo distinta, também teria de ter frente e verso. Cada uma destas também. Assim ad infinitum. Uma soma infinita de coisas é infinita, na perspectiva de Zenão. Assim algo finito é também infinito, o que é uma contradição. Não pode haver infinitas coisas no universo, este é uno.
(O argumento é um pouco nebuloso, sendo costituido por 3 partes sem uma evidente ligação. Mas esta é a sua argumentação.)

~ Argumento da Completa Divisão: este argumento é apresentado pela personagem Simplício. Suponha-se que se divide um corpo até às mínimas partes, partes que não são mais divisíveis. Então essas partes ou não existem (porque não têm tamanho) ou são pontos sem extensão. Se forem nada, então a sua soma, o corpo em questão, também não existe. Se forem pontos sem extensão, a sua soma, o corpo em questão, também não tem extensão, logo não existe com tal.

Paradoxos do Movimento

~ A Dicotomia: antes de se chegar a um local, tem primeiro de se chegar a meio. Antes de se chegar a meio tem de se chegar a um quarto. Antes de se chegar a um quarto tem de se chegar a um oitavo. E assim sucessivamente, um número infinito de intervalos a percorrer cada vez mais pequenos. Para Zenão, isto implica que nunca sequer se chega a partir. Como tal o movimento é ilógico e uma ilusão dos sentidos.

~ Aquiles e a Tartaruga: como a Tartaruga parte mais à frente e, de cada vez que Aquiles chega ao local onde ela estava, ela já se encontra mais à frente, Aquiles, por muito que corra nunca a chega a apanhar. A velocidade de Aquiles é ilógica e como tal uma ilusão.

~ A Seta: Zenão considera que o Tempo é constituído por instantes. Considera uma seta, aparentemente em movimento, depois de lançada. Em cada momento a seta está parada nessa altura e local (se não estaria noutra altura e local), como o conjunto de imagens que constituem um filme. Nesse instante a seta não se desloca, o seu movimento num instante preciso é nulo. Como o tempo é constituido por uma sucessão de instantes em que o movimento é nulo, a soma de deslocamentos nulos é também nulo. O movimento da seta é apenas aparente, uma ilusão dos sentidos.

~ o Estádio: imagine-se 3 filas de corpos iguais. Uma das filas está parada, as outras duas estão em movimento paralelo entre as três a uma velocidade constante. A fila do meio move-se da esquerda para a direita e a terceira fila da direita para a esquerda. A velocidade das filas é V e de cada vez o corpo de um fila alinha-se com um corpo da outra. Por meio de algumas confusões em relação às velocidades relativas de cada fila umas em relação à outras, Zenão afirma que o movimento de uma fila demora metade do tempo e o da outra o dobro, sendo que as suas se movem ao mesmo tempo. Conclui assim que o movimento é uma ilusão.

Paradoxo do Local

Tudo o que existe tem que estar em algum lugar. Esse lugar, por sua vez, também está algures. Esse por sua vez noutro ainda. E assim ad infinitum. Haveria assim um número infinito de coisas, de locais no Universo. Isso, para Zenão, é ilógico. Portanto a pluralidade é uma ilusão.

O Saco de Grãos

Quando um saco com grãos cai ao chão, produz um som. Este som é a soma dos sons produzidos por todos os grãos a chocarem contra o chão. E o som produzido por cada grão é a soma do som produzido por cada parte do grão. Assim cada parte de cada grão produz um som quando atinge o chão. Mas, argumenta, quando se deixa cair uma parte de um grão no chão não se ouve qualquer barulho. Então o sentido da audição apresenta falsas informações. Se cada parte não produz barulho, a soma de todos os não-barulhos é também um não barulho. Pensa-se que se ouve um som, mas isso é falso. Os sentidos são uma ilusão.

É claro que todos os paradoxos apresentados por Zenão (os que sobreviveram) são simplesmente aparentes. Todos eles são demonstráveis como contendo falsas conclusões.
Muitas das suas conclusões prendem-se com o facto de ele considerar que uma soma infinita tem de ser infinita. Mas uma soma infinita de coisas pode ser um número finito (basta pensar que, entre 0 e 1 há infinitos números, apesar de este ser um intervalo finito). As questões das filas que demoram metade do tempo e simultaneamente o dobro do tempo é um simples caso de incorrecção no cálculo das velocidades relativas dos corpos. Além disso, mesmo que não se ouça o som de uma parte de um grão a cair, ele produ-lo. Nós é que não o conseguimos ouvir (mas temos instrumentos que o conseguem).

Mas, apesar disso, Zenão teve um profundo impacto em vários filósofos: os Pitagóricos (uma escola filosófica que considerava que tudo era constituido por números. Foi Pitágoras quem cunhou o termo Filosofia pela primeira vez. Ele foi o primeiro filósofo); os Atomistas (que, segundo Aristóteles, consideraram o argumento da eterna divisão e consideraram que teria de haver um limite à divisão. Esse limite era o atom, «indivisível» em grego); Grünbaum (1967) aplicou os conhecimentos matemáticos modernos para, de uma vez por todas, mostrar a falsidade dos argumentos de Zenão; Monoteísmo (há quem considere a Escola Eleática a primeira filosofia monoteísta europeia. Tudo é apenas uma entidade, imóvel, imutável. Muitos vêem estas características como sendo próprias de uma divindade, una e universal).

Um dos primeiros monoteísmos que se conhece surgiu em África, o culto a Aton (Disco Solar), no Egipto, no reinado do faraó Akenaton - pai de Tutankamon. Akenaton nasceu em 1370 AC e começou o seu reinado com o nome de Amenotépe IV, mas depois mudou-o para Akenaton («o horizonte de Aton»).
Até ao seu reinado, uma das divindades maiores da religião clássica egípcia era Amon, o Deus-Sol. Este era um entre outros deuses. A classe religiosa egípcia era muito poderosa, pois as pessoas pagavam pesados tributos aos seus deuses. A classe de sacerdores mais poderosa e rica era a dos sacerdotes de Amon.
Busto de NefertitiAkenaton decidiu acabar com os seus privilégios e abusos e criou então o culto a Aton, o Disco Solar. Akenaton era casado com a mulher mais bela do Egipto, Nefertiti, e teve muitos filhos. Um deles (que não era de Nefertiti), a quem foi dado o nome de Tutankaton («imagem viva de Aton»), viria a ser faraó. Mas os sacerdotes de Amon não ficaram satisfeitos com o tratamento que receberam e, quando uma série de desastres naturais atingiu o Egipto, culparam a heresia de Akenaton.
O povo revoltou-se e exigiu o retorno à velha religião.
O faraó cedeu e os sacerdotes de Amon foram restituidos aos seus postos e previlégios Algum tempo depois o faraó Akenaton foi encontrado morto (pensa-se que morto pelos sacerdotes de Amon como vingança). Todas as suas representações foram mutiladas, os seus bustos destruídos e os morais onde aparecia danificados.
A rainha Nefertiti desapareceu (pensa-se que assumiu uma falsa identidade masculina e governou o Egipto nos anos a seguir à morte do marido).
Com o culto a Amon restaurado, o nome da criança foi mudado para Tutankamon («imagem viva de Amon»), que foi tornado faraó quando tinha 9 anos. Quando tinha 18 anos Tutankamon morreu de causas desconhecidas. O seu impacto na história egípcia foi nulo e só é lembrado porque foi o único túmulo de um faraó alguma vez encontrado que não tinha sido pilhado. Se o seu túmulo tinha as riquezas que tinha, imagine-se os de farós muito mais influentes, que governaram o Egipto por mais tempo e quando o país era muito mais rico (Ramsés, por exemplo)...

No título «A rápida tartaruga»


Publicado por Mauro Maia às 22:27
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Domingo, 20 de Novembro de 2005
Fumare salutem
O Cognosco tem apresentado algumas das substâncias que impulsionam o ritmo de vida acelerado da civilização dita «ocidental», se bem que cada vez mais «global».
Falou-se na gasolina em Octanas para que te quero;
Referiu-se o café em Cafea est optima amica;
(Foi também abordado marginalmente o dinheiro em O vil papel. Apesar de não ser uma substância per se é o combustível da economia global).

Mas outras substâncias concorrem a um cantinho no coração da Humanidade.
Uma delas é um líquido amarelo, venenoso, com um cheiro desagradável e persistente (porque penetra facilmente na pele e no cabelo).

Podia-se pensar que, com tais atributos, poucos aceitariam o seu convite para dançar, mas o número dos seus apaixonados tem sucessivamente crescido. Em 2003, de acordo com o World Health Report, 1 mil milhões e 300 milhões de pessoas no mundo inteiro (em 6 mil milhões e 300 milhões de pessoas) tinham sucumbido ao seu charme.

Este líquido venenoso amarelo dá pelo nome de Nicotina.

Nicotiana tabacum em florA nicotina é uma substância produzida pelas plantas como pesticida natural, como no caso da supra-citada cafeína. Tem como fim exterminar os insectos que se alimentem da planta. Apesar de ser um potente gás dos nervos, em pequenas quantidades actua como estimulante. A fonte mais conhecida de nicotina é a planta Nicotiana tabacum (mais conhecida como a planta do tabaco), uma planta da família das solanáceas, género Nicotiana, espécie tabacum. A nicotina é sintetizada nas raízes e concentra-se nas folhas, totalizando até 5% do peso seco da planta.

Outras espécies de plantas da famíla das solanáceas (família que inclui o tomate «Solanum lycopersicum, a batata «Solanum tuberosum», a beringela «Solanum melongena» e a pimenta verde «Capsicum annuum») também contêm nicotina nas suas folhas, mas em muito menores quantidades.
As folhas da planta de coca («Erythroxylum coca») também contêm nicotina.
Marguerite de Valois
A substância nicotina, bem como o nome do género Nicotiana, advêm de Jean Nicotin, o embaixador francês em Portugal de 1559 a 1561. Nicotin veio a Portugal para arranjar o casamento do rei português de 5 anos, D. Sebastião, com uma princesa francesa de 6 anos, Marguerite de Valois.
(O casamento acabaria por não ir em frente e esta acabou por casar com o futuro rei de Inglaterra, Henrique IV).

Quando Nicotin regressou a França, levou algumas sementes da planta, originária das Américas e consumida pelos nativos em cerimónia religiosas. A planta (e o seu consumo) fez sucesso rapidamente e a planta recebeu o nome popular de nicotina (que se preserva na designação científica do género) mas eventualmente o nome passou a designar a substância activa que continha.

Em pequenas doses a nicotina tem um efeito estimulador, aumentando o nível de actividade, alerta, prontidão e memória no corpo humano, tal como a cafeína. Mas, como esta, também aumenta a presão sanguínea, os batimentos cardíacos e reduz o apetite (os consumidores frequentes apontam geralmente como sintoma da sua ingestão um relaxamento dos músculos).
Entre 40 e 60 mg são geralmente os níveis tóxicos para o organismo humano.

Os sintomas da interrupção do fluxo de nicotina para o corpo de alguém dependente da substância incluem irratibilidade, dores-de-cabeça, ansiedade, distúrbios cognitivos e perturbações do sono. Estes sintomas têm um pico de intensidade entre 48 e 72 horas após a interrupção e geralmente desaparecem ao fim de 2 a 6 meses. (Tempo mínimo geralmente necessário para se acabar com «o vício do tabaco»).

A nicotina é vulnerável à temperatura, sendo destruída facilmente pelo calor. Assim a quantidade de nicotina que penetra no corpo através do fumo do tabaco é pequena, mas como tem um elevado grau de criação de dependência, essa pequena quantidade é suficiente para despoletar o vício.

Após penetrar no corpo (pelos pulmões ou pela pele), a nicotina entra rapidamente na corrente sanguínea e, ao chegar ao cérebro (em média 7 segundos após a entrada na corrente sanguínea), ultrapassa facilmente a barreira que o separa do sangue. No cérebro actua sobre alguns receptores que controlam a libertação de adrenalina.

Se em pequenas quantidades, a nicotina leva a um aumento da produção da estimulante hormona adrenalina no cérebro.
Mas em quantidades elevadas a nicotina bloqueia os receptores, o que origina a sua toxicidade e o seu uso como insecticida (pelas plantas e também pelo Homem!)
Além disso, como também o faz a cafeína, a nicotina aumenta os níveis de dopamina no cérebro, o que activa artificialmente os circuitos de bem-estar no cérebro. Dessa forma pode causar o bem-estar (?!) referido pelos fumadores e também explica como surge o vício. (As drogas viciadoras funcionam dessa forma, aumentando os níveis de dopamina no cérebro, o que conduz à necessidade da sua permanente ingestão para manter esses níveis elevados).

Os efeitos carcinogénicos da nicotina são ainda objecto de estudo, mas dados recentes apontam para que a a nicotina não seja a causa directa de cancro em células saudáveis (não terá propriedades mutagénicas). Mas a nicotina bloqueia a apoptose das células com defeitos genéticos. A apoptose é o mecanismo natural de morte auto-programada das células. Quando existe essa necessidade, as células auto-destroem-se (para além da auto-destruição de células com defeitos, ocorre, por exemplo, durante o desenvolvimento do feto, quando as células que ligam os dedos da mão se auto-destroem para permitir a sua individualização).

Dessa forma, a nicotina poderá (ainda não está claramente estabelecido se sim ou não e não tendo em consideração os restantes químicos presentes num cigarro) permitir a sobrevivência de células com defeitos genéticos, abrindo assim caminho para o surgimento de cancro. O conjunto de todos os químicos presentes num cigarro é cancerígeno e a nicotina inibe a capacidade do corpo eliminar as células potencialmente cancerígenas. A combinação é, sem dúvida, letal, como o atestam as estatísticas internacionais. (Em 2001, no mundo inteiro, 2 milhões e 100 mil pessoas morreram em consequência do tabaco. Em 2030, a projecção dos mesmos números aponta para 7 milhões de mortes).

E os riscos para a saúde dos fumadores passivos (aqueles que, como eu, não fumam mas têm de levar com o fumo dos outros nos locais públicos) têm sido confirmados por inúmeros estudos: o risco de desenvolvimento de cancro do pulmão é 20% a 30% mais elevado em pessoas expostas ao fumo do tabaco e é 23% mais elevado no caso das doenças cardíacas.

As crianças são as principais afectadas pelo fumo dos adultos. Há um risco elevado de crianças expostas rotineiramente ao fumo do tabaco desenvolveram bronquites, pneumonias, agravamento da asma, doenças auriculares, perturbações neuronais e comportamentais e doenças cardio-vasculares em adulto. O mesmo se aplica aos fetos em desenvolvimento quer em mães activamente fumadores quer em mães fumadoras passivas, riscos que se acumulam depois do nascimento quando a criança se torna também fumadora passiva.

A título de curiosidade, foi verificado que entre 75% e 90% das pessoas diagnosticadas com esquizofrenia fumam. Poderá ser uma forma de aliviar a tensão psicológica que a doença provoca, aumentando os níveis de dopamina no cérebro...

No título «Fumar a saúde»


Publicado por Mauro Maia às 14:51
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Sábado, 19 de Novembro de 2005
Pi
As formas geométricas acompanham o Homem desde que ele surgiu na Terra mas antecedem-no em milhares de milhões de anos (recorde-se, por exemplo, a forma hexagonal dos favos nas colmeias das abelhas, a trajectória dos planetas, a estrutura dos átomos e das moléculas, entre tantos outros exemplos das formas geométricas do Universo...). Já no artigo Omnia factus mathematica se abordou a presença das formas geométricas no mundo e a teoria de que tal se deve ao nascimento da Matemática no Big Bang.

Uma das formas geométricas mais apelativas, quer pela sua simplicidade que pela sua infinita simetria quer pela sua utilidade e versatilidade é a circunferência (a circunferência é a linha, a linha com o interior é o círculo). Esta é uma forma que tem suscitado a imaginação humana desde muito cedo, desde a pura utilidade da roda às divindades ligadas aos discos solares e lunares. Recorde-se a forma de Stonehenge...

Uma das características comuns a todas as circunferências é a razão entre o seu perímetro (comprimento da circunferência) e o seu diâmetro (a «largura» máxima da circunferência).
Qualquer que seja a circunferência, por muito grande ou pequena que seja, esta divisão dá sempre o mesmo valor, uma dízima infinita não periódica, um número que ganhou um nome no século XVIII, o número Pi.
Para qualquer circunferência, P = π x d, ou seja π (pi) = P/d.
(em que P é o comprimento do perímetro e d o comprimento do diâmetro).


Vários foram os povos que, ao longo da história, se fascinaram por este valor de aparência mística. Como era possível que o comprimento de toda e qualquer circunferência a dividir pela sua largura desse sempre o mesmo valor?

Os antigos Babilónios (ver Aevum decimale para outros contributos babilónicos) deixaram imensas placas de argila com a primeira forma de escrita conhecida: a escrita cuneiforme. Há placas com os mais diversos tipos de textos, desde poemas de amor, relatórios económicos e militares, lendas, histórias,... Há também registos da Matemática babilónica nalgumas dessas placas.
Numa delas surge a seguinte equação, relativa às circunferências: P = (3 + 1/8) x d.
Assim, para os Babilónios de há 4 000 anos, o valor de Pi era 25/8 = 3,125.
Não é muito exacto mas, ao menos, tem uma casa decimal correcta...

Para os Egípcios da mesma altura, o valor de Pi era √ 10 ≈ 3,162277.
Num dos mais famosos papiros que sobreviveu até aos tempos modernos, o chamado Papiro de Rhind, afirmava que a Área A de uma circunferência de diâmetro d é A = (d - d/9)2. Recorde-se que a Área de uma circunferência é igual a Pi vezes o raio ao quadrado.
O raio é metade do diâmetro e, por isso, A = π x d2/4.
Assim A/d2 = π / 4. Pelo Papiro de Rhind, isto resulta um valor para Pi de 3,160.

Estas duas civilizações conheciam já esta mítica constante e preocupavam-se em encontrá-la, apesar de não se saber se lhe davam algum nome em particular.

Mas a primeira tentativa sistemática para encontrar o valor de Pi foi desenvolvido pelo grego Arquimedes (conhecido matemático e inventor, de que já se falou de um outro feito em Aurea corona). Arquimedes colocou uma circunferência entre polígonos com n lados, de tal forma que n = 6x2k, ou seja, o número de lados do polígono é sempre igual a 6 vezes uma potência de 2.
k = 0 → n = 6x20 = 6 (hexágonos)
k = 1 → n = 6x21 = 12 (dodecágonos)
k = 2 → n = 6x22 = 24 (icosicaitetrágonos)
k = 3 → n = 6x23 = 48 (tetracaioctágonos)
k = 4 → n = 6x24 = 96 (Eneacontacaihexágonos)
...

Os nomes dos polígonos são formados pelos prefixos gregos para o número dos seus lados a que se junta o sufixo «gono», que significa lado.


Começou por colocar uma circunferência entre dois hexágonos, de tal forma que a circunferência fosse tangente a ambos. Calculou o perímetro de cada hexágono. Assim o perímetro da circunferência tinha um valor entre o perímetro do hexágono menor e do hexágono maior.
De seguida fez os mesmos cálculos mas com dois dodecágonos.
Depois com dois tetraicoságonos.
Depois...
Arquimedes calculou os perímetros dos polígonos que increviam e circunscreviam uma circunferência de raio 1 até aos polígonos com 96 lados. Se modernamente se pode fazer estes cálculos com relativa facilidade, imagine-se o trabalho que Arquimedes teve, não tendo nem a numeração hindu-árabe que usamos nem as fórmulas trignométricas modernas que permitem facilitar estes cálculos. Foi um trabalho de grande dedicação e paciência.
Para fazer os cálculos dos perímetros dos dois polígonos, chamemos ak ao exterior e bk ao interior, usam-se as fórmulas:
ak = 2k . tg (π/2k)
bk = 2k . sen (π/2k)
algo verdadeiramente impossível de fazer para uma civilização que desconhecia as funções trignométricas e apenas admirava, desconhecedora, o número Pi.

Arquimedes não prosseguiu os cálculos para além dos polígonos com 96 lados.
Dessa forma chegou à conclusão que 223/71 (3,14084...) < π <22/7 (3,14285...).
Fazendo o valor médio dos dois obtém-se π = 3123/994 ≈ 3,141851...

Mas outros prosseguiram-nos:
~ Ptolomeu (150 DC): 3,1416
~ Zu Chongzhi (450 DC): 355/113 ≈ 3,14159292...
~ al-Khwarizmi (800 DC): 3,1416
~ al-Kashi (1430): 3,14159265358979 (14 casas decimais)
~ Viète (1540-1603): 3,141592653 (9 casas decimais)
~ Roomen (1561-1615): 3,14159265358979323 (17 casas decimais)
~ Van Ceulen (1600): 3,1415926535897932384626433832795 (35 casas decimais)

Poucos progressos teóricos foram feitos ao longo dos séculos que sucederam a Aristóteles.
Os cálculos eram feitos pela inscrição e circunscrição de polígonos numa circunferência.
Até que a Renascença remodelou toda a cultura (europeia), não sendo a Matemática excepção.

Foi em 1706 que o matemático galês Jones usou o símbolo π com o sentido moderno (em 1647, Oughtred usou d/π para indicar a razão entre o diâmetro e o perímetro e, em 1697, Gregory usor π/r como a razão entre o perímetro e o raio). Euler adoptou o símbolo, que se tornou então a norma.
Entretanto novas formas de calcular Pi tinham sido criadas.
Uma delas (geralmente atribuida ao matemático Leibniz) usa um desenvolvimento em série de Pi:
π/4 = 1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ... + 1/(2n - 1)
Quanto mais valores se incluíssem mais casas decimais se encontreava de Pi.
Mas este processo é complicado e é parco em termos de casas decimais para Pi.
Para encontrar 4 casas decimais é necessário somar 10 000 termos.
Mas Gregory (que se pensa ser o verdadeiro criador da fórmula de Leibniz) aperfeiçoou-a e (usando a função trignométrica arctg) conseguia encontrar as 4 casas decimais com apenas 9 termos somados.
Machin aperfeiçoou ainda mais a fórmula, mas não a usou para calcular Pi.
Os cálculos exigidos eram imensos e tediosos e era preciso dispender enormes quantidades de tempo a uma tarefa de pouca utilidade (encontrar as casas decimais de Pi).
Mas, em 1873, o inglês Shanks, que pelo visto tinha pouco com que se entreter, publicou os seus resultados aplicando a fórmula de Machin. Após anos de trabalho calculou 707 casas decimais.

Até 1946 todos os cálculos eram feitos à mão, demorando anos a serem feitos.
Nesse ano Ferguson calculou 620 casas decimais.
Mas em 1947 o mesmo Ferguson utilizou uma calculadora para encontrar 710 c.d.
Isto marcou o início dos cálculos com o auxílio dos computadores.
Em Setembro de 1999, Kanada Takahashi usou um computador para calcular um número de casas decimais de 206 mil milhões, 158 milhões e 430 mil.
Além de iniciar o cálculo electrónico de Pi, Ferguson também mostrou que Shanks se tinha enganado ao calcular a 528ª casa decimal, pelo que todas as restantes estavam incorrectas.

Existe curiosamente uma forma experimental de calcular o valor de Pi.
Em 1777 o conde Leclerc de Buffon («it is I, Leclerc...»), acrescentou um suplemento à sua recentemente publicada obra de 36 volumes sobre História Natural.
O suplemento versava um curioso «Problema da agulha» conhecido mais tarde como «Agulha de Buffon».
Simplificadamene trata-se de descobrir a probabilidade (cuja forma de calcular se falou em Alea jacta est) de uma agulha com 2 cm de comprimento, lançada ao acaso sobre um plano com linhas paralelas separadas por 4 cm, atingir uma dessas linhas.
Depois de vários lançamentos, contacta-se que a probabilidade é 1/π.
É curioso como o número concreto Pi surge em algo que aparentemente é tão diferente, o cálculo da incerteza permitido pelas probabilidades...

Algumas outras curiosidades sobre Pi:
~ a soma dos primeiros 144 dígitos de Pi é 666. 144 = (6 + 6)x(6 + 6);
~ a altura de um elefante, da pata ao pescoço, é 2 x Pi x diâmetro da cada pata;
~ em 1995, Goto estabeleceu um novo recorde mundial ao dizer de cor, gastando perto de 9 horas, as primeiras 42 mil casas decimais de Pi;


Publicado por Mauro Maia às 14:49
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Segunda-feira, 14 de Novembro de 2005
Aevum decimale
Que horas serão, 8 horas depois das 20 horas?
Ou então, que horas serão, 10 horas e 32 minutos depois das 15 horas e 47 minutos?
(R: 4 horas e 02h19m)

Estas são contas difíceis de fazer, em especial como resposta imediata. Requer que se pare um pouco, se concentre e tenha presente que 60 minutos é uma hora e que só há horas até às 24h. Não é fácil de fazer num instante.
Dessa forma, para fazer 1h 36 m + 2h 49m:
~ 36m + 49m = 85m = 1h 25 m;
~ 1h + 2h = 3h
Então 1h 36 m + 2h 49m = 1h 25 + 3 h = 4h 25 m

Não seria bem mais fácil poder somar-se 1,36 + 2,49 = 3,85 horas?
Mas sabemos que isto não é possível em termos de horas.
A base de contagem que usamos é a base decimal (quando a contagem chega a 10 reinicia).
Mas a base de contagem do tempo é a base sexagesimal (quando a contagem chega a 60 reinicia).

É um princípio tão interiorizado que é assim que funcionam as horas que muitas vezes não se pensa em fazer de forma diferente. Mas a verdade é que o sistema de 60 minutos numa hora é uma convenção que se usa há milhares de anos, mas que pode (e já houve tentativas de o fazer) ser alterado. Não há coisa alguma que obrigue ao sistema de 60 minutos, não é alguma constante do universo, imutável e intocável. É perfeitamente possível (e lógico) alterá-lo.

• Em termos históricos, a divisão da hora em 60 minutos tem a sua origem na antiga Babilónia (612 BC ~ 539 BC). O número 12 tinha muita importância para os Babilónicos, pois este era o número de constelações que o sol percorria no seu aparente movimento pelo céu
(ver Astros para algumas considerações sobre as constelações do zodíaco). O dia era então separado em 12 horas diurnas e 12 horas nocturnas. Ao longo do ano, o comprimento das horas era variável, de forma a que, ao longo do ano, todos os dias tivessem sempre 24 horas (modernamente ajusta-se o relógio entre o horário de verão e o de inverno, com o acerto de uma hora, para obter o mesmo efeito).
Além disso os Babilónios usavam um sistema de numeração sexagesimal (ou seja, com base 60 em vez da base 10 que costumamos usar. Para mais sobre as bases ver Bases para a leveza do ser)
É de reparar que 60 = 5x12 e, para os Babilónios, o ano tinha 360 dias (60x6), e cada hora era dividida em 60 partes (basicamente, consideravam 60 minutos numa hora) e cada uma dessas partes era também dividida em 60 (Estas partes mais pequenas, alguns séculos mais tarde, durante o domínio romano da Europa, serão conhecidas como pars minuta prima «primeira parte mais pequena», o que deu origem ao termo «minuto» moderno e a sudivisão mais pequena como pars minuta secunda «segunda parte mais pequena», o «segundo» moderno). Foram também os Babilónios que criaram a semana com 7 dias. Eles dividiram-na em 7 dias, de acordo com os 7 «planetas» que conheciam
(Sol, Lua, Mercúrio, Vénus, Marte, Júpiter e Saturno).

• Mas, há 5 000 anos, no Egipto, as coisas foram alteradas.
Diz a lenda egípcia que o Deus Thoth (que significa «Verdade» e simultaneamente «Tempo»), que era o Deus com a cabeça da ave Íbis, divindade do tempo, da sabedoria e da magia, criou um calendário com 12 meses com 30 dias cada. Cada mês era dividido em 3 períodos de 10 dias, cada dia em 10 partes, cada parte em 100 subdivisões e cada uma dessas subdivisões dividida em 100. Assim, cada dia tinha 100 000 partes, que Thoth estimou a partir do número de pulsações do coração humano num dia. Foi uma das tentativas de contar o tempo na base decimal.

A lenda é mais complexa do que isto. Os 30 dias de cada mês foram criados para que este se ajustasse ao ciclo menstrual da Deusa-Mãe Nuit. Thoth previu que um filho que Nuit viria a ter governaria um dia o Egipto. Mas o Deus-Sol Rá, o primeiro faraó, amaldiçoou-a, dizendo que ela não daria à luz em qualquer dia do mês. Mas Thoth, juntamente com o Deus-Lua Khonsu, conseguiu que cada dia ganhasse 1/72 da luz da lua. Essa fracção correspondia aos 5 dias adicionais que o ano passaria a ter. Agora Nuit já podia dar à luz em 5 dias por ano. Acabou por nascer, num desses dias, Osíris, que viria a governar o Egipto. Rá, pouco satisfeito por ter sido enganado, fez com que a Lua, uma vez por mês, não brilhasse. Surgiu então a Lua nova, uma das fases da Lua.

• Uma outra tentativa de instituir uma contagem temporal decimal foi feita pelos chineses.
Como é do conhecimento geral, foi da China que muitas invenções emanaram (bússola, papel, pólvora, sensor de tremor de terra, papagaios, ...)
A semana chinesa foi, durante algum tempo, constituída por 10 dias e cada dia em 10 unidades, estas em 100 divididas noutras 100.

Pormenor do quadro de Delacroix «A Liberdade conduzindo o povo»• Mas a tentativa mais séria de instituir um calendário e horário decimal veio da Revolução Francesa (1789-1799), quando a monarquia foi derrubada e o papel da igreja no estado foi obliterado, procurando-se substituí-la pelo Racionalismo e pelo Pensamento Científico.
Uma das medidas adoptadas foi a instituição do Tempo Revolucionário.

A 5 de Outubro de 1793 a Convenção Nacional instituiu a divisão decimal do tempo, de acordo com a adopção do sistema métrico pela jovem república. A 24 de Novembro de 1793 foram feitas algumas alterações, com o acrescento da definição de que as 10 divisões do dia se chamariam horas e que as divisões e subdivisões destas seriam respectivamente os minutos decimais e os segundos decimais.

Dessa forma o Calendário Gregoriano (de que se falou em Um quarto para quatro, a propósito dos anos bissextos) foi substituido pelo Calendário Republicano.

O ano estava dividido em 13 meses, 12 de 30 dias cada e um adicional de 5 dias (ou de 6 nos anos bissextos).
Da mesma forma que no calendário decimal egípcio, cada mês de 30 dias era dividido em 3 décadas de 10 dias cada.
Os dias eram chamados de primidi, duodi, tridi, quartidi, quintidi, sextidi, septidi, octidi, nonodi e décadi.
Relógio com as horas republicanas e as horas tradicionaisO dia passava a estar dividido em 10 horas (em vez das 24), cada hora em 100 minutos e cada minuto em 100 segundos.
Assim uma hora republicana era equivalente a 2,4 horas (ou 2 horas e 20 minutos) tradicionais.

Mas as mudanças na contagem do tempo eram difíceis de usar e então, da mesma forma que com a recente adopção do euro na União Europeia, um período de habituação foi instituido no qual os relógios tinham simultaneamente as novas horas republicanas e as horas tradicionais.

Mas a população no geral permaneceu renitente em aceitar a nova divisão do tempo. A tal ponto que, a 7 de Abril de 1795, um novo decreto abolia a obrigatoriedade do uso das novas horas republicanas. Não só a população tinha dificuldades em aceitar o novo sistema como os fabricantes de relógios estavam a passar por dificuldades económicas, uma vez que só podeiam produzir relógios que contivessem as novas horas, o que os limitava ao mercado interno francês.

Os Relógios Revolucionários, com as novas horas, foram unicamente produzidos durante 18 meses e o novo calendário foi definitivamente abolido pelo auto-coroado imperador francês Napoleão I, a 1 de Janeiro de 1806.

Henri PoincareUma outra tentativa de decimalizar o tempo foi feito em 1897, quando a Commission de décimalisation du temps (Comissão da Decimalização do Tempo) foi criada, sob a presidência do famoso matemático francês Henri Poincare. Esta propôs a divisão do dia em 24 horas mas cada hora seria constituida por 100 minutos de 100 segundos cada, mas a proposta foi tão bem aceite como a anterior.

Foi o Deus egípio Thoth, segundo as lendas egípcias, que ensinou a Humanidade a ler e a escrever. Thoth era o escriba, o moralista, o mensageiro, o Mago Supremo. Mais tarde «evolui» e tornou-se o Deus grego Hermes e o mágico arturiano Merlin.

Muitas vezes se ouvem superstições ligadas a uma data ou altura específicas.
São superstições ligadas a factos que são geralmente meras convenções, instituidas por alguém há muito tempo, com propósitos e crenças a que somos alheios hoje em dia.
É importante ter sempre em mente quantos dos «factos» da vida são meras atribuições feitas por outras pessoas. É sempre importante ter em mente que devemos ser críticos em relação ao que nos dizem e nunca dispensar uma confirmação ou pelo menos um julgamento com critérios racionais. Fim-do-século catastrófico, Códigos da Bíblia, Hierarquias sociais, étnicas ou profissionais são meras convenções a que devemos sempre estar atentos, prontos para desbaratar as suas consequências nefastas.
Por mim afirmo a minha grande pena de não ter nascido e habituado a um mundo com um tempo decimal. Facilitaria muitas coisas. Mas por outro lado, ainda bem que as horas seguem um sistema sexagesimal. Há assim amplas oportunidades de falar nos Babilónios (que, além dos 60 minutos, nos deram a escrita), das bases numéricas diferentes da antropomórfica base decimal, da revolução francesa.
Quando algo propicia tão agradáveis e amplas viagens pela cultura humana sem dúvida que é de manter.
Liberté, Egalité, Fraternité... Temp Sexagesimé!

No título «Passagem do tempo decimal»


Publicado por Mauro Maia às 11:43
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Domingo, 13 de Novembro de 2005
Plus exigua via
Em maré de optmizações de situações concretas com o uso de grafos, eis algumas outras situações em que os grafos são usados para encontrar a melhor solução.

Imagine-se uma região que tem 4 localidades (A, B, C, D).
Cada aresta representa uma estrada entre as localidades (há 6 estradas no total).

Pretende-se encontrar a forma de passar por todas as cidades apenas uma vez (por exemplo, um serviço de carteiro, para distribuir cartas) e voltar à cidade de partida. Qual seria o caminho mais curto?
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Em maré de optmizações de situações concretas com o uso de grafos, eis algumas outras situações em que os grafos são usados para encontrar a melhor solução.

Imagine-se uma região que tem 4 localidades (A, B, C, D).
Cada aresta representa uma estrada entre as localidades (há 6 estradas no total).
<img src="http:\\cognoscomm.com/mm\GrafoCidade.jpg" height="203" width="300" border="0" />
Pretende-se encontrar a forma de passar por todas as cidades apenas uma vez (por exemplo, um serviço de carteiro, para distribuir cartas) e voltar à cidade de partida. Qual seria o caminho mais curto?
<img alt="Jogo de Hamilton \ planificação de um dodecaedro" src="http:\\cognoscomm.com/mm\GrafoDodecaedro.gif" height"159" width="167" align="right" border="0" />
Este tipo de situação é o que se chama um <b>circuito de Hamilton</b>, em honra do Matemático que descreveu esta situação numa carta a um amigo.
<i>Hamilton chegou a inventar um jogo, o </i>Jogo de Hamilton<i>, jogado num tabuleiro com a forma da planificação de um dodecaedro (ver <a href="http:\\cognosco.blogs.sapo.pt/arquivo/805859.html"><font color="blue">Omnia factus mathematica</font></a> sobre este e outros sólidos platónicos) em que cada jogador tem de percorrer todos os pontos do tabuleiro uma única vez e voltar ao ponto de origem. Não pode percorrer mais do que uma vez qualquer aresta nem repetir qualquer vértice, mas pode não percorrer todas as arestas. O objectivo do jogo é somente passar por todos os pontos uma só vez. Este é um <b>circuito de Hamilton</b>.</i>

Mas o que se pretende aqui é percorrer todos os vértices mas da forma mais económica possível, uma vez que cada aresta tem um <b>peso</b> diferente (neste caso distância, podia ser tempo, custo, ...). Este tipo de problema é chamado de <b>Problema do caixeiro viajante</b> ou <b> Problema do carteiro chinês</b>.

Infelizmente <b>não</b> há uma forma de encontrar sempre o caminho mais curto o mais rapidadmente possível. A única forma de encontrar sempre a forma mais curta de percorrer todos os pontos é fazer uma lista de todos os circuitos possíveis, somar o peso de cada aresta e ver qual é o mais curto.
No caso do exemplo inicial, todos os circuito de Hamilton existentes são estes:
<i>(comecei arbitrariamente por B. Começando por qualquer outro ponto os resultados seriam iguais, uma vez que todos estão listados)</i>

&#8226 B - C - D - A - B 12 + 7 + 15 + 25 = 59 km
&#8226 <u>B - C - A - D - B 12 + 18 + 15 + 8 = 53 km</u> &#8592
&#8226 B - D - B - C - B 8 + 7 + 18 + 25 = 58 km
&#8226 <u>B - D - C - B - B 8 + 15 + 18 + 12 = 53 km</u> &#8592
&#8226 B - A - D - C - B 25 + 15 + 7 + 12 = 59 km
&#8226 B - A - C - D - B 25 + 18 + 7 + 8 = 58 km

Este caso é bastante simples e é possível listar todas as possibilidades (se se for sistemático de forma a não esquecer nenhum). Mas infelizmente o número de possibilidades cresce de forma explosiva à medida que aumenta o número de vértices.

Suponhamos que o grafo tem 4 vértices:
~ o número de circuitos diferente é 3 x 2 x 1 / 2 = <u>3</u>.
Se o grafo tem 5 vértices:
~ o número de circuitos diferente é 4 x 3 x 2 x 1 / 2 = <u>12</u>.
Se o grafo tem 6 vértices:
~ o número de circuitos diferente é 5 x 4 x 3 x 2 x 1 / 2 = <u>60</u>.
...
Se o grafo tem 10 vértices:
~ o número de circuitos diferente é 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 / 2 = <u>181 440</u>.
De um forma geral, se o grafo tem <i>n</i> vértices:
~ o número de circuitos diferentes é <u>(n - 1)! / 2</u>
<i>O símbolo «!» significa que se multiplica o número por todos os números inteiros menores do que ele até 1 (5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120)</i>
(Para mais sobre este símbolo e os métodos de contagem ver <a href="http:\\cognosco.blogs.sapo.pt\784643.html"><font color="blue">Caecus adnumeratio</font></a>)

Até 5 vértices ainda se pode pensar em listar todos os circuitos e ver qual é o mais curto.
Mas a partir de 6 (360 circuitos diferentes) torna-se quase impossível fazê-lo.
Há alguns métodos para procurar encontrar o caminho mais curto (nenhum infalível e quando dão uma solução nem sempre é a mais curta, pode ser só uma solução que não é muito longe da ideal).

Um deles é listar as arestas por ordem crescente de arestas, depois escolher um ponto de partida, e seguidamente começar a escolher as arestas mais curtas que se ligam ao pontos a que se chega. Por exemplo, no grafo ao lado:
<img src="http://cognoscomm.com/mm/GrafoCidades.jpg" height="165" width="205" align="right" border="0" />
DE 7
AE 8
AD 12
BC 14
BE 18
CE 19
DC 25
AB 37

Comecemos pelo ponto A.
A aresta mais curta que se liga a A é AE (8).
A aresta mais curta que liga E a um ponto livre é DE (7)
A aresta mais curta que liga D a um ponto livre é DC (25)
A aresta mais curta que liga C a um ponto livre é BC (14)
Todos os pontos já foram percorridos. Só falta regressa a A com AB (37)

Obtém-se o circuito A - E - D - C - B - A.
No total o trajecto tem um comprimento de 8 + 7 + 25 + 14 + 37 = 91 km.
Mais uma vez podia ser simples encontrar o caminho por tentativa e erro, mas para grafos maiores (e mais reais) pode ser muito complicado.

A situação é também diferente no caso de o que se pretende ligar entre as cidades não for estradas mas electricidade, ou gás, ou água ou computadores,... redes de coisas que bastam ter uma ligação a um ponto da rede para estarem ligados.
<img src="http://cognoscomm.com/mm/GrafoRede.jpg" height="118" width="457" border="0" />
No caso destas 4 cidades, para se viajar por todos os ponto teria de se contornar o quadrado (A-B-C-D), resultando num circuito de comprimento 5 + 9 + 10 + 2 = 26.
Mas para ligar em rede bastava ligar A-B (5) ; A-C (7) ; C-D (2), resultando num comprimento de 5 + 7 + 2 = 14.

Para se encontrar a melhor rede nestes casos (que, mais uma vez, pode não resultar sempre na melhor rede, mas nunca fica longe dela) será listar todas as arestas por ordem crescente de comprimento, escolher o ponto inicial e ligar as arestas mais curtas que unam pontos já na rede que se está a construir a outros que não estejam.
Neste caso
AD 2
AB 5
AC 7
BC 9
DC 10

Comecemos por A.
A aresta mais curta que liga A a um ponto livre é AB (5);
A aresta mais curta que liga um ponto já escolhido (A ou B) a um livre é AC (7);
A aresta mais curta que liga um ponto já escolhido (A ou B ou C) a um livre é CD (2);

A rede mais curta é então D - C - A - B, que tem 5 + 7 + 2 = 14 de comprimento.

E assim, com poucas contas, se consegue encontrar o caminho mais curto para uma viagem de férias, ou a forma mais económica de fazer uma rede de computadores em casa ou na empresa,...

<i>A via mais curta</i>


Publicado por Mauro Maia às 23:00
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Sexta-feira, 11 de Novembro de 2005
Quatuor colores
Corria o ano de 1852. Francis Guthrie entretinha-se a pintar um mapa dos condados da Inglaterra.
Conseguiu pintar todos os condados com apenas 4 cores, não tendo condados com fronteiras comuns a mesma cor (excepto quando a fronteira é apenas um ponto).

Tentou então pintar outro mapa dos condados, mas desta vez com apenas 3 cores. Mas por muito que tentasse não conseguia pintá-los sem que dois condados adjacentes tivessem sempre cores diferentes.

Continuou a tentar e continuou a não conseguir.
Tentou com outros mapas mais simples e conseguia pintá-los com menos cores.
Mas outros mapas que tentava colorir só conseguia com 4 cores.
Todos os mapas que coloria precisavam sempre no máximo de 4 cores para serem pintados sem que regiões com fronteiras comuns (excepto pontos) tivessem a mesma cor.

Conjecturou então que, se calhar, todos os mapas podiam ser pintados com no máximo 4 cores. Era uma conjectura interessante porque era simples, fácil de enunciar e de perceber, de aplicação universal e com aplicações práticas importantes.
Mas era uma conjectura. Não estava provada. Não haveria algum mapa, por muito que estranho que fosse, que tivesse de ser colorido com mais de 4 cores?

Apesar de ser um Matemático, Guthrie não conseguiu demonstrar a sua conjectura. Colocou então esta questão ao grande matemático De Morgan (que é um dos Matemáticos com um dos nomes mais engraçados para fazer jogos de palavras. «Meninos, de quem é este livro?» «De De Morgan!»). De Morgan é especialmente conhecido pelos seus resultados na Lógica (o facto de a negação de uma negação ser uma afirmativa, de uma implicação ser equivalente a uma negação disjunta com uma afirmação,...)

Entretanto algumas «demonstrações» iam surgindo, mas todas acabaram por se revelar falaciosas. Uma delas, feita pelo Matemático Kempe, em 1879, foi aceite durante uma década, até que outro Matemático de nome Heawood encontrou um mapa, com 18 cores, no qual o resultado de Kempe falhava.

O resultado ficou por demonstrar até que, em 1977, dois Matemáticos (Appel e Haken) fizeram um programa de computador, que correram num super-computador, que permitiria demonstrá-lo. Reduziram então todos os mapas a um conjunto de mapas-padrão (mapas modulares). Qualquer mapa pode ser transformado num de 1482 configurações modulares de mapas. O computador verificou que todas elas se poderiam colorir com 4 cores, provando assim que qualquer mapa também o poderia. A muitos matemáticos esta demonstração era ligeiramente frustrante, pois baseou-se no cálculo bruto, em cálculos que ninguém poderia verificar manualmente, fazendo os mesmos cálculos e procurar erros. Apesar de a confiança nos computadores ser grande, é difícil confiar no que não se vê. A demonstração não foi aceite por todos, aguardando muitos uma demonstração mais «clássica».

Em Dezembro de 2004, numa conferência científica na França, o Matemático Gonthier (juntamente com Werner) reformularam a prova, podendo dessa forma validar todos os passos dos cálculos computacionais.
O teorema das 4 Cores estava finalmente provado.
Qualquer mapa pode ser colorido com 4 ou menos cores (pode-se sempre usar mais, mas este é o mínimo necessário).

Mas há uma forma simples de encontrar o número de cores necessário para colorir uma mapa que tem aplicações para encontrar o número mínimo de grupos necessários para realizar uma dada tarefa.
Essa forma simples envolve o uso de grafos
(de que se falou no artigo As pontes de Königsberg).

Um grafo é uma forma de esquematizar ligações entre itens, de forma a facilitar o encontro das formas mais eficazes de realizar tarefas entre esses itens.
Um grafo é assim um simples conjunto de pontos (vértices) ligados por linhas (arestas) que representam a ligação entre os pontos.
No caso das pontes de Königsberg, cada aresta representava uma ponte. Procurou-se assim uma forma percorrer todas as pontes uma só vez e regressar à de origem (Euler mostrou que era impossível).

Como usar então os grafos para encontrar o mínimo número de grupos que se podem formar para realizar uma dada tarefa, respeitando as limitações impostas?
Atente-se no seguinte exemplo:
«Um jornal é constituido por 6 secções. A Sofia trabalha nas notícias e na economia, o Bernardo nas notícias e no desporto, a Luísa na gastronomia e na moda, o João no moda e na economia, a Eduarda na gastronomia e no desporto, o Miguel na economia e na moda, a Carla nas notícias e na política. Pretende-se fazer reuniões com as pessoas que trabalham nas secções para planear a próxima edição. Como nenhum pode estar em duas reuniões simultaneamente, qual é o número mínimo de horas necessário para fazer as reuniões?»
Comece-se por esquematizar a situação com um grafo. Cada vértice é uma secção, cada aresta representa a impossibilidade da realização das tarefas simultaneamente (por terem as mesmas pessoas nelas a trabalhar).

A Sofia trabalha nas notícias e na economia. Como o Bernardo também trabalha nas notícias, as duas reuniões (notícias e economia) têm de se fazer a horas diferentes. Ligam-se então os vértices N(otícias) com o vértice E(conomia). Da mesma forma, como a Luísa trabalha no desporto e na gastronomia, as duas têm de se fazer a horas diferentes. Assim D e G são unidas por uma aresta (que representa impossibilidade de realização simultânea).

Poderia parecer que seriam precisas tantas horas quanto o número de reuniões, uma hora para cada. Mas não é bem assim. Há reuniões que, não tendo pessoas em comum, se podem realizar as mesmo tempo (em salas diferentes). Basta então analizar o grafo e verificar que:

As N(otícias) e a G(astronomia) podem-se realizar ao mesmo tempo (como não têm arestas entre elas não têm pessoas em comum). Ficam então representadas com a mesma cor. Mas, apesar de N se puder realizar com M(oda), G e M não podem. Assim M fica com uma cor diferente. M pode ser realizada com P(olítica). Ficam da mesma cor. Mas D(esporto) não pode ser feito à mesma hora (por causa de P). Então D fica com outra cor. D pode ser realizada com E(conomia), por isso ficam da mesma cor. Estão então todas as secções escolhidas, havendo 3 cores no total (diz-se que o número cromático é 3). Este é o número mínimo de horas necessárias para fazer todas as reuniões.
Podem ser feitas a de notícias e gastronomia ao mesmo tempo; política e moda ao mesmo tempo; desporto e economia ao mesmo tempo.

O número cromático é sempre o menor número de arranjos que se podem fazer. Mesmo que se encontre outros arranjos
(por exemplo, podia ser
gastronomia, economia e política ao mesmo tempo;
notícias e moda;
desporto)
o número mínimo será sempre de 3 nesta questão.


Este método da coloração de grafos pode também ser usada para determinar o número mínimo de cores que se pode usar para pintar um mapa sem que regiões vizinhas fiquem com a mesma cor.
Suponhamos o seguinte mapa:

Neste exemplo muito simples, era fácil de saber que bastavam 3 cores. Mas se se representar cada região por um vértice e cada fronteira comum com um vértice, depois colorir os vértices que não se ligam directamente, também se contata que se usa 3 cores.
O número cromático é 3, pelo que o número mínimo de cores necessária é 3.

Mas imaginemos que era uma mapa de Portugal. Seria mais complicado de representar com um grafo e mais ainda verificar a olho quantas cores seriam necessárias. No máximo serão 4. Mas será que se poderiam usar menos?
Tem de se fazer o grafo e determinar o número cromático.

Constata-se que é 3. São necessárias no mínimo 3 cores para pintar Portugal.

Ao contrário da crença popular, que insiste em pintar o Mundo com as cores futebolísticas, o mundo pode ser pintado com no mínimo com 4 cores.
Se bem que, numa estranha analogia com a obcessão nacional com o futebol, Portugal é mesmo colorido com no mínimo 3 cores, que podem ser o vermelho, o verde e o azul.
Mas pode (e deve), em sentido social, ser pintado com as 7 do arco-íris...

Aqui está o artigo sobre a coloração de mapas usando grafos referida por «.» num comentário anterior.
No título «A quatro cores»


Respondendo ao apelo deixado por «elf», aqui estão exemplos de grafos que se pintam com um número de cores diferente de 3. Mas o máximo é mesmo sempre 4...


Publicado por Mauro Maia às 19:53
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