Poucas são as pessoas que, até hoje, não tenham voado alguma vez ou pensado em fazê-lo. É uma das grandes conquistas da Humanidade.

E, no entanto, muitas são as pessoas que receiam voar. Quando o têm de fazer passam mal, sentem um pânico contínuo durante o voo e qualquer ligeiro estremecimento é causa de preocupação. É um medo geralmente ligado ao desconhecimento de como pode algo, que pesa toneladas, erguer-se no ar. As pessoas são mais leves e não conseguem levantar voo...
E as coisas que voam e que fazem parte da experiência diária das pessoas (os pássaros e os morcegos) nem meia centena de quilos pesam...
(Os gigantes pterodátilos nunca fizeram parte da experiência diária de qualquer ser humano, como visto em Cave sauvrie)

Nas poucas situações em que uma explicação para o voo dos aviões é dada, geralmente envolve algo como o «facto» de o ar, devido à forma da asa, circular mais rapidamente por cima da asa do que por baixo. Pelo Princípio de Bernoulli então a pressão do ar por cima da asa é inferior à pressão do ar por baixo da asa. Dessa forma a diferença de pressão leva a que o ar procure subir para compensar a diferença de pressão, «levantando» o avião.
Mas esta explicação é incorrecta para explicar o voo. Basta pensar que, se a questão fosse a velocidade no ar no topo da asa ser maior devido à sua forma, seria impossível os aviões voarem de cabeça para baixo. É possível verificar (ao vivo ou em filmes) que os aviões podem voar invertidos (os militares em especial). Com a asa invertida, a pressão seria maior por baixo do avião e este cairia...

Na verdade, o facto de um avião poder voar, não tem a ver com «pressões de ar diferentes». O Efeito de Coanda (pelo qual um fluido em movimento sobre uma superfície convexa tende a circular «agarrado» à superfície) e as três Leis do movimento de Newton (de que se falou em Conor explicare gravitatem) são suficientes para explicarem o voo dos aviões. A descrição matemática é indispensável para a construção exacta de aviões, mas a descrição com princípios físicos faz entender correctamente os princípios envolvidos e explica, entre outros fenómenos, o voo invertido.

O Efeito de Coanda foi descoberto, pelo inventor Romeno Henri Coanda, durante experiências com o seu avião Coanda-1910, que exibiu na IIª Exposição Aeronáutica em Paris, em Outubro de 1910. Este avião (com um envergadura de asas de 10,3 metros e comprimento de 12,5 metros) foi o primeiro avião a jacto alguma vez construido. Em Dezembro de 1910, enquanto Coanda experimentava o seu avião, observou que os gases em combustão (que saíam dos reactores laterais do avião) circulavam junto e ao longo da fuselagem do avião, em vez de sairem em linha recta. Devido à proximidade dos gases, o avião pegou voo e explodiu. Ele e outros cientistas passaram anos a investigar este fenómeno, que recebeu o nome de Princípio de Coanda ou Efeito de Coanda.
Para se verificar este princípio, basta abrir uma torneira e deixar a água correr. Se se aproximar a parte de baixo de uma colher (superfície convexa) do fluxo de água (sem lhe tocar), o fluxo próximo da colher vai encurvar-se e fluir com a curvatura da colher.

~ Então como se aplicam as Leis de Movimento de Newton e o Princípio de Coanda para explicar porque sobe um avião?

A Primeira Lei de Newton afirma que um corpo permanece em repouso ou em movimento rectilíneo uniforme (velocidade constante ao longo de uma linha recta) excepto de for sujeito a uma força externa. Quando o avião está em movimento, o ar (que está parado) é sujeito a uma força (a passagem das asas do avião). Pela Terceira Lei de Newton (para qualquer acção há uma reacção com a mesma intensidade e direcção oposta) o ar exercerá sobre a asa uma força com a mesma intensidade que a força que a asa exerce sobre o ar com sentido contrário. É esta reacção que faz levantar as asas (e todo o avião com elas). É por um efeito de reacção que os navios flutuam na água...

Pelo movimento do asa, o ar é levantado à sua frente e desce após a sua passagem. A Segunda Lei de Newton (A intensidade de uma força é igual ao produto da sua massa pela sua acelaração) é aplicada a esta situação resultando em que a força de ascenção de uma asa é igual ao produto da massa de ar deslocada pela velocidade vertical que esse ar ganha na sua passagem.
É isto que levanta um avião. A passagem das asas transfere parte do seu momento (velocidade vezes massa) para o ar, que é desviado para uma trajectória vertical.

A quantidade de ar que um avião desloca da horizontal para a vertical depende da asas que possui e da sua massa.
Por exemplo, um Cesna 172 pesa perto de 1 tonelada. Se viajar a uma velocidade de 200 Km/h, a velocidade vertical do ar que desloca é sensivelmente 18 Km/h. Pela segunda Lei do Newton, e pressupondo um valor médio de 9 Km/h, a quantidade de ar deslocada na vertical é de 5 toneladas por segundo. Ou seja, um Cesna desloca cinco vezes o seu peso em ar por segundo. É isto que produz a ascensão do avião. Imagine-se a quantidade de ar deslocada por um Boing 777 (250 toneladas) ou o novo Airbus A380 (550 toneladas)...

A razão pela qual o ar é desviado da horizontal para a vertical prende-se com o Princípio de Coanda. É por isso que a tradicional imagem, que ilustra muitas «explicações» da razão pela qual os aviões voam está incorrecta: o ar, ao ser deslocado pela asa, é forçado por esse princípio a seguir os contornos da asa. Dessa forma é desviado para baixo (não prossegue na horizontal...)
Dessa forma, não há a diferença de pressão provocada pelo Princípio de Bernoulli (o Princípio é válido, só não se aplica nesta situação) que leva à ascenção das asas. O que levanta o avião é a massa de ar desviada para a vertical pelo contorno das asas graças ao Princípio de Coanda.

A explicação completa é um pouco mais complexa (envolvendo ângulos de inclinação do avião, potência a que se desloca, pressão atmosférica,...) mas a razão pela qual os aviões voam envolve as 3 Leis de Newton e do Princípio de Coanda.
Algumas das consequências físicas destes 4 princípios físicos operando sobre um avião e que levam à sua ascensão são:
~ A quantidade de ar deslocada pela asa é proporcional à velocidade do avião e à pressão atmosférica;
~ A velocidade vertical do ar deslocado é proporcional à velocidade do avião e ao ângulo de deslocamento do avião;
~ A ascensão é proporcional à quantidade de ar deslocada vezes a velocidade vertical do ar deslocado;
~ A potência necessária para a ascenção é proporcional à ascenção vezes a velocidade vertical do ar deslocado;

Esta é a Perspectiva Física que explica o voo dos aviões. Nada de diferenças de pressão ou mãos invisíveis a segurar o avião.
Apenas as 3 Leis do Movimento de Newton e o Princípio de Coanda.

No título «O sonho de voar»

Arquimedes (d)escreveu, numa carta dirigida aos estudantes da cidade egípcia de Alexandria (fundada por Alexandre Magno e que continha a famosa Biblioteca de Alexandria) um problema relacionado com o cálculo do número de cabeças de gado do Deus Sol grego Hélio. O gado deste deus pastava na ilha da Sicília, na Itália, e era conhecida pelos Gregos como Trinácio («três cantos» em Grego). Na altura a ilha tinha colónias gregas e os gregos acreditavam que o gado divino pastava perto de Taormina (nome derivado da designação original dos colonos gregos «Tauromenion», 85 quilómetros a norte de Siracusa. «Tauro» significa touro em grego. Daí o Minotauro, o famoso monstro com cabeça de Touro que vivia no labirinto de Minos.

A origem e idade do problema não são conhecidas com exactidão, mas pensa-se que, de facto, terá a ver com Arquimedes. (Ver também a solução do problema da coroa do rei de Siracusa em Aurea corona)

A dificuldade do problema proposto é tal que a primeira solução (ainda que incompleta) só surgiu em 1880, pelas mãos de Amthor. Amthor conseguiu mostrar que o número total de animais da solução total tem 206 mil e 545 dígitos e conseguiu calcular alguns desses dígitos mas o cálculo completo não podia ser feito com os meios da altura.
Apenas com o advento dos computadores foi possível a Williams, German e Zarnke, em 1965, encontrar uma solução. No aetanto os autores apenas descreveram os passos para esse cálculo mas não a solução em si mesma.
O menor número de animais no gado de Hélio foi publicado por Harry Nelson em 1981, usando o supercomputador CRAY-1.
Mas uma solução geral para o problema foi encontrada em 2001 usando meios de cálculo mais modestos do que um supercomputador.

Em termos simplificados o problema é dividido em duas partes.
A primeira é basicamente a seguinte:
O Deus Sol Hélio tinha bois e vacas a pastar. O gado estava dividido em quatro partes: a primeira era Branca, a segunda Preta, a terceira era Malhada e a quarta Castanha e cada parte tinha bois e vacas.
Entre os bois, o número de bois brancos era um meio mais um terço dos bois pretos mais o de castanhos; o número de bois pretos era um quarto mais um quinto dos bois malhados mais o de castanhos; o número de bois malhados era um sexto mais um sétimo do de bois brancos mais o de castanhos.
Entre as vacas, o número de vacas Brancas era um terço mais um quarto do total de animais pretos; o número de vacas Pretas era um quarto mais um quinto do total de animais malhados; o número de vacas Malhadas um quinto mais um sexto do total de animais castanhos; o número de vacas Castanhas era um sexto mais um sétimo do total de animais brancos.
Quantos animais existiam ao todo de cada tipo?

A solução geral encontrada por Verdi em 2001 é a seguinte:

Seja «b» o número de bois brancos, «p» o de bois pretos, «m» o de bois malhados, «c» o de bois castanhos, «B» o de vacas Brancas, «P» o de vacas Pretas, «M» o de vacas malhadas e «C» o de vacas castanhas.

Teremos então as seguintes 7 equações:

b = (1/2 + 1/3)p + c <=> b = 5/6 p + c
p = (1/4 + 1/5)m + c <=> p = 9/40m + c
m = (1/6 + 1/7)b + c <=> m =13/42 + c
B = (1/3 + 1/4) (p + P) <=> B = 7/12 (p + P)
P = (1/4+ 1/5) (m + M) <=> P = 9/20 (m + M)
M = (1/5 + 1/6) (c + C) <=> M = 11/30 (c + C)
C = (1/6 + 1/7) (b + B) <=> C = 13/42 (b + B)

Como facilmente se constata, há 7 equações para 8 incógnitas.
Então ou o problema não tem solução ou então há infinitas soluções.
(para que um sistema de equações tenha apenas uma solução é necessário que haja tantas equações como incógnitas.
Deste forma só há três tipos de soluções para um sistema de equações:
0 soluções; 1 solução; ∞ soluções.

Neste caso concreto há soluções, logo há infinitas soluções para este problema.
Para as calcular é necessário o uso de um computador que permita resolver equações diofantinas (equações cujas soluções sejam inteiras, uma vez que o número de animais de qualquer tipo tem de ser inteiro).
Usando um programa desse tipo determina-se a seguinte solução:

b = 10 366 482 x k
p = 7 460 514 x k
m = 7 358 060 x k
c = 4 149 387 x k
B = 7 206 360 x k
P = 4 893 246 x k
M = 3 515 820 x k
C = 5 439 213 x k

em que o número k é um número inteiro positivo (1, 2, 3, ...)
Substituindo k, obtemos diferentes (e infinitas) soluções.

A mais pequena delas todas é quando k = 1.
Essa é a solução mais pequena conhecida deste problema e obtém-se:

b = 10 milhões 366 mil e 482 bois brancos
p = 7 milhões 460 mil e 514 bois pretos
m = 7 milhões 358 mil e 60 bois malhados
c = 4 milhões 149 mil e 387 bois castanhos
B = 7 milhões 206 mil e 360 vacas brancas
P = 4 milhões 893 mil e 246 vacas pretas
M = 3 milhões 515 mil e 820 vacas malhadas
C = 5 milhões 439 mil e 213 vacas castanhas

No total o gado de Hélio teria 50 milhões 389 mil e 82 animais.

Mas Arquimedes refere ainda, como continuação do problema, que:
Quando os bois brancos se juntam aos negros, podem formar um quadrado com tantos animais de comprimento como de largura. E quando os bois malhados se juntam aos castanhos, podem formar um triângulo, em qua a primeira fila tem 1 animal, a segunda 2 animais, e assim sucessivamente, cada fila com um animal mais do que a anterior.

Com mais estas duas equações, o número de animais cresce imenso.

Em termos de equações temos então que b + p = número quadrado.
(ou seja, o número de bois pretos mais o números de bois brancos tem de ser igual a um número ao quadrado). Ou seja, b + p = r², em que r é um número inteiro positivo qualquer.
Assim, 10 366 482 x k + 7 460 514 x k = r² <=>
<=> 17 826 996 x k = r² <=>
<=> 2x2x3x11x29x4 657 x k = r²

Para que isto ocorra, e uma vez que 2x2 é um número quadrado,
3x11x29x4 657xk = r² <=> 4 456 749 x r²

Além disso, m + c = número triangular.
Um número triangular é igual à soma 1 + 2 + 3+ ...
A soma de números consecutivos é dada pela fórmula n x (n+1) / 2
(descoberta por Gauss quando ainda era pequeno, como visto no artigo Simples mente ). Ou seja, m + c = n x (n+1) / 2, que que n é um número inteiro positivo qualquer.
Assim, 4 149 387 x k + 7 358 060 x k = n x (n + 1) / 2 <=>
<=> 11 507 447 x k = n x (n + 1) / 2

Unindo as duas equações que se obtiveram das duas condições, obtém-se:
11 507 447 x 4 456 749 x r² = n x (n + 1)/2 <=>
<=> 102 571 605 819 606 x r² = n x (n + 1)/2

O problema então consiste agora em encontrar dois números inteiros r e n com os quais isto ocorra.
O supracitado A. Amthor foi o primeiro a determinar que os valores r e n dão um valor para o número de animais com 206 545 dígitos que começa com 776.

Mais tarde, em 1889 e 1893, calcularam-se os primeiros 31 dígitos e e os 12 últimos.
Eram 7760271406486818269530232833213 . . . 719455081800

Mas o valor mais pequeno só foi publicado em 1981, por Harry Nelson, que usou um supercomputador para o cálculo do número com 206 545 dígitos que ocupava 47 páginas impressas.

Nunca um problema matemático tinha demorado 22 séculos a resolver!
Mas a questão é, sabendo que a solução envolve Álgebra, sistema de equações, supercomputadores, 47 páginas impressas, como terá Arquimedes solucionado a questão (se é que o fez)?

No título «O gado de Hélio»

Em 19 de Janeiro de 1736, nasceu em Greenock, na Escócia, um menino a quem deram o nome de James. Era o sexto de oito irmãos, tendo cinco desses morrido à nascença.</br>
Durante toda a vida (até mesmo na idade adulta) sofreu de terríveis enxaquecas, que o obrigavam a ficar de cama muito tempo. Não podia assistir às aulas da primária e, por isso, os seus pais foram os seus professores. Ensinaram-lhe a ler e a escrever e ainda os princípios básicos de aritmética. Era, por isso, muito mimado pela mãe, tímido e desconfiado em relação ao mundo exterior.</br>
Como brinquedos costumava ter bússolas e sextantes, que o pai lhe dava como modo de distração. De tanto os montar e desmontar tornou-se um profundo conhecedor e hábil em consertá-los.</br></br>

Com 16 anos partiu para Londres para trabalhar, mas as condições climatéricas eram prejudiciais à sua saúde. Desenvolveu reumatismo e por isso voltou à Escócia e em Glascow abriu uma loja de instrumentos, a sua paixão de infância. Apesar da desconfiança inicial por parte de potenciais clientes, conquistou a amizade de amigos influentes e graças a eles ingressou na Universidade. Foi lá que contactou pela primeira vez com o motor a vapor, criado 70 anos antes. Graças ao seu espírito analítico, descobriu como aumentar 4 vezes a eficiência desse motor. O seu motor consumia menos carvão, era mais pequeno e mais de 30 vezes mais poderoso.</br>
</br>
Foi devido ao seu trabalho com o motor a vapor que James Watt (o menino das enxaquecas) criou o termo cavalo-vapor («horsepower»), usando um analogia com os cavalos que, na época, eram o principal instrumento para o trabalho pesado.
Para expressar o poder do seu motor, James Watt realizou uma série de medições relacionadas com o poder de tracção dos cavalos. Em média, um cavalo conseguia levantar cerca de 100 quilos de carvão (220 pounds) 30 metros (100 foot) em 1 minuto. (pounds e foot são as medidas vulgarmente usadas nos EUA, apesar de terem sido criadas na Inglaterra. Estranhamente, os habitantes dos orgulhosos EUA são muito dedicados às unidades de medida do seu passado colonial inglês...)</br>
</br>
Por razões que não se conhecem (talvez para tentar compensar de alguma forma a média que calculou), Watt decidiu utilizar, como medida do trabalho produzido por um cavalo, o valor de 150 quilos (330 pounds) em 30 metros durante 1 minuto. Isto dava um bonito número redondo (no sistema métrico) de cinco quilos por metro por minuto (talvez um número tão redondo tenha sido a causa da alteração de Watt...)</br></br>

Assim, 1 cavalo-vapor é o trabalho necessário para levantar 5 quilos, um metro, durante um minuto. Não é exactamente a capacidade de trabalho de um cavalo (Watt alterou a medida que ele mesmo tinha calculado) mas é pouco mais...</br></br>

Um carro com 200 cavalos de potência não é equivalente a 200 cavalos a levantar, é sim capaz de levantar 100 quilos 1 centímetro durante 1 minuto. Pelas contas originais de Watt, isso equivale a 300 cavalos!</br>
Assim, e ao contrário do que geralmente se pensa e repete, 1 cavalo-vapor é equivalente ao trabalho de 1,5 cavalos verdadeiros.</br></br>

2 cavalos-vapor são iguais ao trabalho feito por 3 cavalos verdadeiros.</br>

Por exemplo, uma carruagem com 4 cavalos tem 3 cavalos-vapor de potência.</br></br>

Mas o nome de Watt é geralmente referido num outro contexto.
Quando se compra uma lâmpada, temos como referência se é de 60W, 100W,...
Quanto maior o valor, maior a capacidade de iluminação da lâmpada.
Este W refere-se a Watt, pelo que 60W é lido como 60 watts.</br></br>

Mas, talvez devido ao acaso da evolução linguística e tendo em conta que não existe o W na língua portuguesa, muitas pessoas em Portugal tendem a ler o valor como 60 velas. Como a lâmpada produz luz como uma vela, como a letra usada é um duplo v como na palavra «vela», considera-se assim erroneamente que uma lâmpada de 60W(atts) é equivalente a 60 velas.</br></br>

Seria um pouco estranho que os fabricantes de lâmpadas tivessem em consideração uma língua como o Português nas designações da capacidade de iluminação das lâmpadas.</br>
Por exemplo, «vela» em Inglês é candle, termo derivado da palavra latina candela que deu origem à portuguesa candeia.</br>
Mas, por outro lado, há de facto uma unidade de medida de iluminação chamada candela (cd) mas que não é equivalente a 1 W.</br>
Originalmente, uma candela referia-se à intensidade da luz produzida por uma vela (daí o nome).</br>
Com o advento das lâmpadas eléctricas incandescentes, o termo passou a designar a intensidade da luz produzida por um filamento incandescente.
Mas a definição actual de candela é a intensidade de luz emitida por uma fonte luminosa a uma frequência de 540 teraHertz à temperatura de congelação da platina (2042 K = 1 768,85 ºC). Esta frequência corresponde a um comprimento de onda de 555,17 nanómetros, as cores amarela-verde.</br>
(Ver também, no dia 7 de Junho, os 2 de 3 artigos:</br>
~ Lux mundi sobre as propriedades da luz;</br>
~ Iotas e nanos sobre os múltiplos de unidade como o tera.)</br></br>

Uma lâmpada de 60W (60 watts) consome 60 watts de energia eléctrica, emite 816 lúmens de luz visível.</br>
Um vela gasta mais ou menos 60 watts de energia química e emite 13 lúmens de luz visível.</br></br>

Dessa forma, uma lâmpada incandescentede 60 watts produz tanta luz como 816/13 = 63 velas!</br>Uma lâmpada incandescente de 60W tem a luz de 63 velas.</br></br>

É sempre necessário ter em atenção que os nomes que se dão não corresponde necessariamente e completamente ao que designa.</br>
Uma caloria é usada para produzir calor mas só por si não é calor.</br>
Um cavalo-vapor não é o trabalho produzido por um cavalo, é o trabalho produzido por um cavalo e meio (segundo os cálculos de Watt).</br>
Uma lâmpada de 60 watts não produz tanta luz como 60 velas, produz tanta como 63! A diferença poderá parecer pouca em 60w incandescentes = 63 velas mas esta diferença vai aumentando (apesar de ligeiramente) à medida que aumenta a potência da lâmpada incandescente.</br>
Já no caso das lâmpadas fluorescentes, a diferença é ainda maior. Uma lâmpada de 20w fluorescente corresponde a 107 velas e uma lâmpada fluorescente de 60w equivaleria a 322 velas!</br></br>

Tende-se geralmente a aceitar a face visível dos nomes sem compreender que geralmente não passam de designações que tiveram a sua lógica quando foram criados mas que muitas vezes a perdem com o tempo.</br>
Por isso é tão fundamental o sentido de História para a nossa definição como seres humanos. Há animais com vidas sociais, animais que constroem estruturas gigantes para o seu tamanho, animais que usam ferramentas com intenção precisa, animais que comunicam, animais que compreendem e associam imagens abstratas,...</br>
Mas, de todos, somos os únicos que registamos e recordamos a nossa História (tanto a da espécie como a pessoal).</br>
Como todas as criações humanas, por muito inocentes que sejam, prestam-se sempre a maus usos e a péssimas consequências.</br>
Gostar de História, ler História, falar de História é fundamentalmente afirmar-mo-nos como seres humanos.</br></br>

No título «O cavalo e a vela»

Nos anos 70, nos EUA, havia um apresentador de nome Monty Hall que apresentava um programa chamado Let's make a deal («Vamos fazer negócio»).

Num dos jogos do concurso televisivo, o concorrente tinha de escolher entre 3 portas. Atrás de 2 delas havia um falso prémio (um par de meias, uma garrafa de água,...) e atrás da outra um carro novo. O concorrente ganhava o prémio que estivesse por detrás da porta que escolhesse.

Mas, quando o concorrente indicava uma das portas, o apresentador abria uma das outras duas, revelando um falso prémio e perguntava se o concorrente decidia manter a escolha que tinha feito ou escolher a 3ª porta (a que não tinha sido escolhida pelo concorrente inicialmente e que o apresentador não tinha aberto).

(Para uma simulação do jogo, em Java, ver Let's make a deal)

Tão singelo programa televisivo despertou uma grande polémica matemática.
Em Setembro de 1991 um leitor do jornal Sunday Parade dirigiu uma questão a
Marilyn Vos Savant, autora da coluna Ask Mary, colocando a questão de se seria mais vantajoso mudar a escolha da porta ou manter a opção original tendo em perspectiva ganhar o carro no célebre concurso.
A resposta de Marilyn (registada no Guinness Book of World Records como a mulher com o Q.I. mais elevado do mundo) foi a de que, para o concorrente, seria mais vantajoso mudar de porta. A esta réplica da autora da coluna 10 000 leitores enviaram um comentário à resposta, a maioria em desacordo com a autora.

A este problema foi dado o nome de Paradoxo de Monty Hall, devido ao apresentador do concurso que inspirou a questão.



~ Paradoxo porquê? Parece-me que agora ele só tem 2 portas para escolher. O carro está numa delas. Então a probabilidade é 50% de ganhar. Assim sendo, tanto faz mudar como não.

O raciocínio matemático por detrás do cálculo de probabilidades (já visto no artigo Alea jacta est) é que a probabilidade se calcula dividindo o número de situações em que ocorre aquilo de que se pretende calcular a probabilidade (casos favoráveis) pelo número total de situações que podem ocorrer (casos possíveis).
Poderia-se então pensar da seguinte maneira: com a eliminação de uma das portas (aquela que o apresentador abriu), só há duas portas. Atrás de uma delas está o carro. Então o número de casos favoráveis seria 1 e o número de casos possíveis seria 2. A probabilidade parece então ser 1/2 = 0,5 = 50%.

Mas na verdade não é isto que acontece. A probabilidade não será de 50% de ganhar ou perder.

Perante a primeira escolha (em que há 3 portas), a probabilidade de escolher a porta com o carro é 1/3 (33%). Em seguida o apresentador abre uma das outras portas (uma que tem um falso prémio). No entanto, a probabilidade (e aqui entra a parte contra-intuitiva da questão) de ganharmos o carro não se altera. Continuamos com 1/3 de proabilidades de ganhar o carro, perante as duas portas que agora temos, se mantivermos a nossa opção original. No entanto a probabilidade de que a outra porta seja aquela que tem o carro é agora 2/3 (66%). No início cada porta tinha 1/3 de probabilidades de ter o carro. Após a abertura de uma das portas que tem um falso prémio, as probabilidades mudam. A porta que escolhemos mantém a probabilidade de 1/3 de ter o carro. Mas agora, a probabilidade da 2ª porta ter o carro passa a ser 2/3.

A questão não é fácil de aceitar intuitivamente para quem lide com probabilidades e o seu cálculo. Muitos matemáticos (incluindo o conhecido Paul Erdös) fazem o raciocício de que a probabilidade, depois de revelada a 3ª porta como não tendo o carro, será de 50% para cada.

No entanto, se se repetir várias vezes a experiência de escolher 1 de 3 portas, em seguida 1 de 2, não tendo a 3ª o carro, constatamos que de facto a probabilidade de ganhar é 1/3 (33%) se se mantiver a primeira escolha e 2/3 (66%) se se alterar a porta escolhida. Devemos então mudar de porta.

Como referi, num comentário ao artigo Celer turtur, é necessário que qualquer teoria que tencione explicar algum fenómeno objectivo da realidade se adeque aos factos como eles ocorrem. Se a experiência de escolher 1 de 3 portas e em seguida escolher 1 entre 2 for feita várias vezes (por exemplo, recorrendo a um programa de computador que simule o jogo) verifica-se que se obtém as probabilidades referidas.

Uma probabilidade pode ser calculada de duas formas:
- pela lei de Laplace (referida no artigo Alea jacta est));
- pela Lei dos Grandes Números, que afirma que, quanto mais vezes se repetir uma experiência mais o valor da frequência relativa de um resultado se aproxima da probabilidade do mesmo.
Por exemplo, a probabilidade de obter o número «4» no lançamento de um dado (cúbico) é de 1/6 (≈ 16,667%). Mas se se lançar um dado 6 vezes, não é certo que obtenhamos uma vez o número «4». Por vezes não sai, por vezes sai mais de uma vez. Será que a probabilidade falha? Não, porque se se repetir 60 vezes, 600 vezes, 1 000 vezes, 23 000 vezes, ... verifica-se que a divisão do número de vezes que saiu «4» pelo número de lançamentos do dado vai sendo progressivamente mais próximo de 16,667%)

Fazendo então a experiência de escolher uma porta inicial e depois manter ou mudar e registar se se ganhou ou não, constatam-se estas contra-intuitivas probabilidades.


Como se pode constatar, em 6 000 jogadas, mudando a porta, ganhou-se entre 3928 e 4072 vezes; mantendo a porta, ganhou-se 1928 e 2072 vezes. Isto dá então a probabilidade de 4000/6000 = 2/3 de ganhar mudando a porta e 2000/6000 = 1/3 de ganhar mantendo a porta...

Se a teoria é o primeiro passo na caminhada para o edifício do conhecimento humano, a experiência é o último tijolo...

No título «A escolha da porta»

Já todos (?) ouviram falar do paradoxo de Aquiles e da Tartaruga.
Aquiles, o mortal mais rápido do mundo, herói grego na guerra de Tróia, foi desafiado para uma corrida com a Tartaruga, um dos mais lentos.
Uma vez que Aquiles era muito mais rápido, deu à tartaruga um avanço à partida.
A Tartaruga partiria alguns metros à frente de Aquiles.
Assim que o sinal de partida soou, Aquiles rapidamente percorreu a distância de onde partiu a Tartaruga.
Mas quando lá chegou, já a ela tinha avançado e encontrava-se mais à frente.
Aquiles rapidamente cobriu a a distância que os separava.
Mas assim que lá chegou já a Tartaruga estava mais à frente.
Aquiles correu para lá, para descobrir que a Tartaruga tinha avançado mais um bocado.
De cada vez a Tartaruga estava menos longe, mas Aquiles nunca a apanhava, porque ela estava sempre nem que um só milímetro mais à frente (quanto mais ultrapassá-la)

~ O que se passava com ele? Então não se vê logo que Aquiles a ultrapasa num ápice?

Para se entender o que Zenão pensava e defendia, é necessário conhecer a escola filosófica a que ele pertencia.
Zenão foi discípulo de Parménides, legislador e filósofo da já desaparecida cidade de Elea-Velia, uma cidade grega na costa oeste italiana (junto ao mar de Tirreno). Parménides fundou na cidade uma escola filosófica que é conhecida como Escola Eleática. As ruínas da cidade podem ser vistas no Parque Nacional de Cilento. As ruínas da cidade são mais grandiosas do que as de Pompeia e de Herculaneum juntas, mas são no geral desconhecidas. Novas escavações têm revelado muitas descobertas interessantes e parte da cidade está ainda por desenterrar.

Parménides era admirado pelos seus concidadãos pela sua vida exemplar e pela excelente legislação que deu à cidade, a que os cidadãos sentiam que deviam a sua prosperidade.
Parménides era um forte opositor da escola de pensamento de Heraclito, que defendia que tudo no Mundo era feito de mudança, alteração e nada permanecia sempre o mesmo (a célebre ideia de que nunca se passa pelo mesmo rio duas vezes. Na segunda vez as águas já passaram e portanto estamos a passar por águas diferentes, logo por um rio diferente).
Mas para Parménides o movimento e a mudança são ilusões dos sentidos. Tudo é uno e indivisível e apenas a razão permite conhecer essa realidade imutável.
Ao contrário da sua legislação, a sua filosofia não era aceite pelos seus conterrâneos.
Muitos criticavam-no e até o gozavam.

Zenão era também oriundo de Elea-Velia e o melhor discípulo de Parménides. As críticas ao seu mestre não lhe agradavam e foi para o defender que criou os seus famosos Paradoxos de Zenão. Neles propôs-se mostrar que os sentidos forneciam informações que eram contraditórias e que portanto a mudança, o movimento, a pluralidade eram ilógicas e inexistentes.

Quase tudo o que se sabe sobre Zenão encontra-se nas páginas de abertura da obra de Platão Parmenides. (Para mais sobre Platão ver também Euler ergo Platon).
Na citada obra, é referido que Zenão tinha 40 anos quando Sócrates era jovem. Como este nasceu em 469 AC, Zenão terá nascido mais ou menos em 490 AC. Sabe-se também que Zenão descreveu os seus paradoxos num livro e que ele e Platão eram grandes amigos.

O livro não sobreviveu até aos nossos dias e tudo o que se sabe sobre os paradoxos é através das críticas dos seus opositores, como Aristóteles. Uma das personagens que Aristóteles criou, de nome Simplício, segue em traços gerais as argumentações de Zenão, apesar de este ter vivido mil anos antes de Aristóteles.
(veja-se Apolo não favoreceu Aristóteles para mais sobre Aristóteles).

Parece ter havido 40 paradoxos relacionados com a Pluralidade (que mostravam que acreditar que tudo era composto de muitas coisas, em vez de só uma, conduzia a paradoxos lógicos). Desses 40 apenas dois sobreviveram. Aristóteles refere também 4 paradoxos relacionados com o Movimento (onde se inclui o Paradoxo de Aquiles e da Tartaruga) e ainda atribui outros 2 paradoxos a Zenão.

Paradoxos da Pluralidade

~ Argumento da Densidade: suponha-se que existissem, como os sentidos nos indicam, um conjunto de várias coisas distintas. Se é um conjunto, argumenta Zenão, tem um número finito de coisas (o infinito não é um número concreto, portanto um conjunto não pode ter, na sua óptica, infinitas coisas). Para que se percepcione cada coisa como individual, tem de haver algo que as separe. Esse algo tem de estar, também separado por outra coisa (se não seria a mesma coisa, e não as separaria). Assim continuamente.
Por exemplo, uma fila de 2 maçãs. As maçãs não são uma só, são 2. Percebe-se isso porque algo as separa, digamos ar. Mas a separar o ar da maçã há mais ar, porque se não o ar e a maçã eram a mesma coisa. Então a separar o ar da maçã há outra coisas, mais ar. Mas a separar esse da maçã há ainda outro,...)
Temos então que um conjunto finito de coisas tem infinitos elementos, o que é uma contradição. Assim a premissa inicial de que há um conjunto de várias coisas é falso. Há apenas uma entidade do Universo.

~ Argumento do Tamanho Finito: Zenão argumenta que, se houvesse infinitas coisas no Universo, estas teriam de ter um tamanho nulo. Assim sendo seriam não existentes. Então não pode haver infinitas entidades no Universo, elas não existem.
Além disso, se as coisas tivessem um tamanho finito, teriam pelo menos duas partes (digamos frente e verso). Cada parte, sendo distinta, também teria de ter frente e verso. Cada uma destas também. Assim ad infinitum. Uma soma infinita de coisas é infinita, na perspectiva de Zenão. Assim algo finito é também infinito, o que é uma contradição. Não pode haver infinitas coisas no universo, este é uno.
(O argumento é um pouco nebuloso, sendo costituido por 3 partes sem uma evidente ligação. Mas esta é a sua argumentação.)

~ Argumento da Completa Divisão: este argumento é apresentado pela personagem Simplício. Suponha-se que se divide um corpo até às mínimas partes, partes que não são mais divisíveis. Então essas partes ou não existem (porque não têm tamanho) ou são pontos sem extensão. Se forem nada, então a sua soma, o corpo em questão, também não existe. Se forem pontos sem extensão, a sua soma, o corpo em questão, também não tem extensão, logo não existe com tal.

Paradoxos do Movimento

~ A Dicotomia: antes de se chegar a um local, tem primeiro de se chegar a meio. Antes de se chegar a meio tem de se chegar a um quarto. Antes de se chegar a um quarto tem de se chegar a um oitavo. E assim sucessivamente, um número infinito de intervalos a percorrer cada vez mais pequenos. Para Zenão, isto implica que nunca sequer se chega a partir. Como tal o movimento é ilógico e uma ilusão dos sentidos.

~ Aquiles e a Tartaruga: como a Tartaruga parte mais à frente e, de cada vez que Aquiles chega ao local onde ela estava, ela já se encontra mais à frente, Aquiles, por muito que corra nunca a chega a apanhar. A velocidade de Aquiles é ilógica e como tal uma ilusão.

~ A Seta: Zenão considera que o Tempo é constituído por instantes. Considera uma seta, aparentemente em movimento, depois de lançada. Em cada momento a seta está parada nessa altura e local (se não estaria noutra altura e local), como o conjunto de imagens que constituem um filme. Nesse instante a seta não se desloca, o seu movimento num instante preciso é nulo. Como o tempo é constituido por uma sucessão de instantes em que o movimento é nulo, a soma de deslocamentos nulos é também nulo. O movimento da seta é apenas aparente, uma ilusão dos sentidos.

~ o Estádio: imagine-se 3 filas de corpos iguais. Uma das filas está parada, as outras duas estão em movimento paralelo entre as três a uma velocidade constante. A fila do meio move-se da esquerda para a direita e a terceira fila da direita para a esquerda. A velocidade das filas é V e de cada vez o corpo de um fila alinha-se com um corpo da outra. Por meio de algumas confusões em relação às velocidades relativas de cada fila umas em relação à outras, Zenão afirma que o movimento de uma fila demora metade do tempo e o da outra o dobro, sendo que as suas se movem ao mesmo tempo. Conclui assim que o movimento é uma ilusão.

Paradoxo do Local

Tudo o que existe tem que estar em algum lugar. Esse lugar, por sua vez, também está algures. Esse por sua vez noutro ainda. E assim ad infinitum. Haveria assim um número infinito de coisas, de locais no Universo. Isso, para Zenão, é ilógico. Portanto a pluralidade é uma ilusão.

O Saco de Grãos

Quando um saco com grãos cai ao chão, produz um som. Este som é a soma dos sons produzidos por todos os grãos a chocarem contra o chão. E o som produzido por cada grão é a soma do som produzido por cada parte do grão. Assim cada parte de cada grão produz um som quando atinge o chão. Mas, argumenta, quando se deixa cair uma parte de um grão no chão não se ouve qualquer barulho. Então o sentido da audição apresenta falsas informações. Se cada parte não produz barulho, a soma de todos os não-barulhos é também um não barulho. Pensa-se que se ouve um som, mas isso é falso. Os sentidos são uma ilusão.

É claro que todos os paradoxos apresentados por Zenão (os que sobreviveram) são simplesmente aparentes. Todos eles são demonstráveis como contendo falsas conclusões.
Muitas das suas conclusões prendem-se com o facto de ele considerar que uma soma infinita tem de ser infinita. Mas uma soma infinita de coisas pode ser um número finito (basta pensar que, entre 0 e 1 há infinitos números, apesar de este ser um intervalo finito). As questões das filas que demoram metade do tempo e simultaneamente o dobro do tempo é um simples caso de incorrecção no cálculo das velocidades relativas dos corpos. Além disso, mesmo que não se ouça o som de uma parte de um grão a cair, ele produ-lo. Nós é que não o conseguimos ouvir (mas temos instrumentos que o conseguem).

Mas, apesar disso, Zenão teve um profundo impacto em vários filósofos: os Pitagóricos (uma escola filosófica que considerava que tudo era constituido por números. Foi Pitágoras quem cunhou o termo Filosofia pela primeira vez. Ele foi o primeiro filósofo); os Atomistas (que, segundo Aristóteles, consideraram o argumento da eterna divisão e consideraram que teria de haver um limite à divisão. Esse limite era o atom, «indivisível» em grego); Grünbaum (1967) aplicou os conhecimentos matemáticos modernos para, de uma vez por todas, mostrar a falsidade dos argumentos de Zenão; Monoteísmo (há quem considere a Escola Eleática a primeira filosofia monoteísta europeia. Tudo é apenas uma entidade, imóvel, imutável. Muitos vêem estas características como sendo próprias de uma divindade, una e universal).

Um dos primeiros monoteísmos que se conhece surgiu em África, o culto a Aton (Disco Solar), no Egipto, no reinado do faraó Akenaton - pai de Tutankamon. Akenaton nasceu em 1370 AC e começou o seu reinado com o nome de Amenotépe IV, mas depois mudou-o para Akenaton («o horizonte de Aton»).
Até ao seu reinado, uma das divindades maiores da religião clássica egípcia era Amon, o Deus-Sol. Este era um entre outros deuses. A classe religiosa egípcia era muito poderosa, pois as pessoas pagavam pesados tributos aos seus deuses. A classe de sacerdores mais poderosa e rica era a dos sacerdotes de Amon.
Akenaton decidiu acabar com os seus privilégios e abusos e criou então o culto a Aton, o Disco Solar. Akenaton era casado com a mulher mais bela do Egipto, Nefertiti, e teve muitos filhos. Um deles (que não era de Nefertiti), a quem foi dado o nome de Tutankaton («imagem viva de Aton»), viria a ser faraó. Mas os sacerdotes de Amon não ficaram satisfeitos com o tratamento que receberam e, quando uma série de desastres naturais atingiu o Egipto, culparam a heresia de Akenaton.
O povo revoltou-se e exigiu o retorno à velha religião.
O faraó cedeu e os sacerdotes de Amon foram restituidos aos seus postos e previlégios Algum tempo depois o faraó Akenaton foi encontrado morto (pensa-se que morto pelos sacerdotes de Amon como vingança). Todas as suas representações foram mutiladas, os seus bustos destruídos e os morais onde aparecia danificados.
A rainha Nefertiti desapareceu (pensa-se que assumiu uma falsa identidade masculina e governou o Egipto nos anos a seguir à morte do marido).
Com o culto a Amon restaurado, o nome da criança foi mudado para Tutankamon («imagem viva de Amon»), que foi tornado faraó quando tinha 9 anos. Quando tinha 18 anos Tutankamon morreu de causas desconhecidas. O seu impacto na história egípcia foi nulo e só é lembrado porque foi o único túmulo de um faraó alguma vez encontrado que não tinha sido pilhado. Se o seu túmulo tinha as riquezas que tinha, imagine-se os de farós muito mais influentes, que governaram o Egipto por mais tempo e quando o país era muito mais rico (Ramsés, por exemplo)...

No título «A rápida tartaruga»