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Diário das pequenas descobertas da vida.
Segunda-feira, 30 de Janeiro de 2006
Circa spheram
Uma circunferência é o conjunto dos pontos que distam a mesma distância (o raio da circunferência) de um outro fixo (o centro da circunferência).
O círculo é o interior (o conjunto dos pontos que estão a uma distância ao centro menor do que o raio)</b>.


Uma superfície esférica é o conjunto dos pontos que distam a mesma distância (o raio da esfera) de um outro fixo (o centro da esfera).
O interior (o conjunto dos pontos que estão a uma distância ao centro menor do que o raio) é uma esfera.

A semelhança conceptual, gráfica e intuitiva entre os dois não escapará a ninguém.
É como se a esfera fosse um círculo a 3 dimensões ou como
se o círculo fosse uma esfera a 2 dimensões.

A área do círculo é πr2 e o volume da esfera é 4πr3/3.

Muitas vezes me interroguei sobre essa semelhança conceptual e de que forma estariam ligados o cálculo da área de um círculo e o do volume de uma esfera.
• O conjunto dos pontos que forma uma circunferência é dado por x2 + y2 = r2
• O conjunto dos pontos que forma uma esfera é dado por x2 + y2 + z2= r2
(na verdade é da superfície esférica e não da esfera. A superfície esférica é como a casca da laranja enquanta a esfera é o interior da laranja.

A 2 dimensões há 2 variáveis, a 3 dimensões há 3 variáveis.
O conjunto de semelhanças é muito grande para que não se cogite uma ligação matemática entre os dois.

Na verdade, há o conceito de hiper-esfera em Matemática, que é o conjunto de pontos que distam a mesma distância a um determinado ponto fixo a uma dada dimensão.
Assim uma 2-esfera é a esfera a 2 dimensões (chamada vulgarmente de círculo) e a 3-esfera é a esfera a 3 dimensões (chamada vulgarmente de esfera).
A 4-esfera tem 4 dimensões, a 5-esfera tem 5 dimensões...
E o raciocínio pode ser retroactivo: uma 1-esfera tem uma dimensão, uma 0-esfera nenhuma dimensão, a -1-esfera tem -1 dimensões...
(no artigo Decem dimensiones falou-se na possibilidade do Universo ter 10 dimensões, em vez das vulgares 3 dimensões espaciais e 1 temporal)

Basicamente, em termos de figuras geométricas a que se tem acesso pela experiência quotidiana, uma 1-esfera é o segmento de recta de comprimento 2r,
uma 2-esfera é a esfera de duas dimensões de raio r e a 3-esfera é a esfera de 3 dimensões com raio r.

A sequência dos «volumes» das hiperesferas de dimensão positiva é:
• 2r1, πr2, 4πr3,...
Cada fórmula tem o raio elevado à dimensão que se está a considerar.
A 4-esfera terá de volume ...r4, a 5-esfera terá volume ...r5,...

Até aqui tudo bem. Mas o problema é aquelas reticências no volume das esferas.
Haverá alguma fórmula que indique o volume de qualquer hiper-esfera, de acordo com a sua dimensão?
Existirá uma fórmula para o valor V(n), o volume da hiper-esfera de dimensão n?

Há! A fórmula generalizada para o volume da n-esfera é:


A função que está no denominador chama-se função gama Γ.
No artigo Caecus adnumeratio fez-se referência a uma função matemática chamada factorial, que se representa colocando um ponto de exclamação depois do número. (por exemplo 5! = 120)
O factorial de um número natural é a multiplicação desse número por todos os números naturais até 1. (5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120)

Como é fácil de constatar, só há factoriais de números naturais.
Mas, sendo os matemáticos irrequietos perante as impossibilidades como são, decidiram criar uma função que fosse equivalente ao factorial mas que funcionasse para qualquer número real. Essa função teria de funcionar como o factorial para os números naturais mas também daria valores para qualquer número real. A essa função chamaram «função gama», cuja letra é Γ, e para valores naturais Γ(n) = (n-1)!
5! = 120 e Γ(5) = (5-1)! = 4! = 4x3x2x1 = 24. Mas não há 2,5! mas há Γ(2,15).

ou


Para um leigo em Matemática, substituir a função Γ pelo símbolo ∫ não parecerá grande melhoria. A função ∫ chama-se integral e tem regras operatórias bem conhecidas e de fácil utilização. Daí a melhoria... Mas falar do integral é suficiente para um novo artigo, tal é a importância e universalidade do uso desta função. A seu tempo...


Este é o gráfico da função gama. Como se pode constatar, não há para 0 nem para valores negativos inteiros (não há Γ(0), Γ(-1), Γ(-2),...)

Alguns valores da função gama, que ocorrerão no cálculo dos volumes de algumas hiper-esferas, são:
• Γ(3/2) = √ π / 2 (para a 1-esfera)
• Γ(2) = 1 (para a 2-esfera)
• Γ(5/2) = 3√ π / 4 (para a 3-esfera)
• Γ(3) = 2 (para a 4-esfera)

Com estes valores em mente, podemos então achar as fórmulas para o cálculo da:
• 1-esfera: V(1) = π1/2.r / π1/2/2 = 2.r
• 2-esfera: V(2) = π.r 2/ 1 = π.r2
• 3-esfera: V(3) = π3/2.r3 / 3√ π / 4 = 4π.r3/3
• 4-esfera:V(4) = π4/2.r4 / 2 = π2.r4 / 2
• 5-esfera:V(5) = 2.r5 / 15
• 6-esfera:V(6) = π3.r6 / 6
• 7-esfera:V(7) = 16π3.r7 / 105
...

Continuando os cálculos, descobre-se supreendentemente que a hiper-esfera com o maior volume é a 5-esfera. A partir da dimensão 5 o volume vai diminuindo, tendendo para 0 à medida que as dimensões vão aumentando (e pressupondo sempre o mesmo valor para o raio).
É curioso como aumentando as dimensões o volume diminui, o que choca com o senso comum de que deveria aumentar.
Mas a Matemática não é o que parece, é o que é mesmo...

No título «Acerca da esfera»


Publicado por Mauro Maia às 20:08
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Quinta-feira, 26 de Janeiro de 2006
Anulus adfectionis
Poucas pessoas não terão alguma vez visto ou ouvido falar dos «anéis de humor». São anéis que supostamente reflectem o estado de espírito de quem o usa. Este tipo de anéis foi criado por Joshua Reynolds na década de 70 do século XX. Reynolds tinha um diploma em Psicologia e herdeiro da fortuna da tabaqueira do pai.

Naturalmente os anéis não possuem qualquer tipo de habilidade de «leitura» de mentes. Como e porquê se realiza então as suas mudanças quando inseridos nos dedos?

Como muitos saberão ou intuirão, as mudanças da cor da pedra do anel devem-se à temperatura do dedo onde está colocado.
A qualidade que alguns materiais têm de mudar de cor conforme a temperatura a que se encontram chama-se «termocromatismo».
No caso dos «anéis de humor» (humor como sinónimo de «estado de espírito») o material que se encontra na pedra do anel reage à temperatura dos dedos, que varia conforme a vasoconstrição (o estreitamento das artérias e das veias), a temperatura ambiente ou a temperatura a que se encontra na altura a mão.

Há várias substâncias com que têm «termocromatismo». As mais conhecidas são os cristais líquidos, presentes em ecrãs planos, telemóveis, anéis de humor, ...
Um cristal líquido tem um aspecto granuloso (semelhante a pedras de sal ou açúcar).
Há medida que a temperatura sobe os cristais vão tornando-se mais viscosos até eventualmente se tornarem líquidos. Quando a temperatura desce voltam gradualmente ao estado sólido.

Há vários tipos de cristais líquidos, que possuem características diferentes de reacção a mudanças de temperatura e, como tal, são usados de formas diferentes para os fins a que se destinam:

disposição dos cristais líquidos nemáticos~ os cristais líquidos nemáticos (do grego «nemato» - semelhante a uma corda) são usados em aparelhos electrónicos, como monitores planos, telemóveis,... Têm uma baixa viscosidade à temperatura ambiente e suportam temperaturas entre os -21º C e 95º C. Apesar da sua viscosidade têm a tendência para se manterem alinhados (como uma corda). Quando são sujeitos a energia (luz, electricidade, temperatura,...) mudam a sua disposição como um todo, alterando-se em «uníssono». Assim, quando a luz inside num cristal líquido nemático a uma determinada temperatura, é reflectida de uma forma (produzindo uma cor), quando o cristal está a outra temperatura (e portanto com outra disposição) a luz é reflectida de outra forma, produzindo outra cor. É dessa forma que funcionam os LCD (Liquid crystal display).

disposição dos cristais líquidos colestéricos~ os cristais líquidos colestéricos são mais sensíveis às mudanças de temperatura ambiente do que os nemáticos. Estes cristais também se alinham mas possuem um grau de «liberdade» que lhes permite ter alguns graus de inclinação diferente dos dos seus vizinhos. À medida que a temperatura vai subindo, os cristais vão mudando de posição e vão passando de vermelho (o mais frio) até ao azul (mais quente), passando pelo amarelo, pelo verde e outras cores intermédias, num fenómeno conhecido como «reflexão selectiva».

Os «anéis de humor» podem ser produzidos de duas maneiras: um invólucro de vidro contendo cristais líquidos ou um cristal transparente sobre uma película de cristais líquidos.
O exterior metálico do anel conduz o calor do dedo para os cristais líquidos no interior.
Quando algum estado emocional provoca a vasoconstrição ou vasodilatação dos dedos da mão, a temperatura muda e os cristais líquidos alteram a forma como reflectem a luz que neles inside. Quando são retirados, geralmente a temperatura ambiente é inferior à do corpo, pelo que o anel fica preto.

O facto de serem muito sensíveis à temperatura torna-os pouco fiáveis a reflectir a temperatura do corpo: se as mãos forem mergulhadas em água fria ou estiverem à frente de um aquecedor a cor do anel reflecte essa mudança de temperatura e não a do corpo. Outros factores também alteram a cor da luz reflectida pelos cristais líquidos. Na imagem ao lado, a mão de um homem foi mergulhada em tinta com cristais líquidos.
Na primeira imagem os dedos ficam azuis (indicando que a mão está quente). Na segunda imagem, após o homem fumar um cigarro a sua mão fica mais fria (porque a circulação sanguínea é afectada pela nicotina) e a luz reflectida fica verde.
(para mais sobre os cigarros ver o artigo Fumare salutem)

Cada fabricante de «anéis de humor» tem a sua própria tabela de interpretação das cores dos anéis, mas geralmente o azul é a cor associada ao bem-estar ou ao amor (a mão está mais quente) e a cor vermelha (ou mesmo a preta) é associada a mal-estar, agitação e desconforto (a mão está muito fria). A cor verde é a cor associada a um estado de espírito normal, pois essa é a cor da luz reflectida pelos cristais líquidos entre os 28º C e os 37º C
(a temperatura normal do corpo humano saudável é, mais ou menos, 37º C).

Os «anéis de humor» não são mais do que termómetros pouco precisos...

No título «anel de estado de espírito»


Publicado por Mauro Maia às 21:05
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Sábado, 21 de Janeiro de 2006
Kara victoria
Ruínas das muralhas de TróiaUma das batalhas mais míticas da História registada é a «Guerra de Tróia», relatada por Homero na obra Ilíada (que recebeu esse nome por causa de uma cidade situada perto da localização da desaparecida Tróia, a cidade de Ilium).
A vitória grega e a destruição da cidade (após 10 anos de cerco) motivaram a criação de muitos mitos:

• Um deles liga a fundação de Roma à destruição de Tróia. Após esta, refugiados da cidade destruída abrigaram-se na costa ocidental da Itália. O seu líder era Eneias, filho de um mortal e da deusa Afrodite. São famosos dois filhos de Eneias, Rómulo e Remo, que fundaram a cidade (tudo isto é relatado na «Eneida» do romano Vergílio, que assim deu uma origem de ascendência divina, ligada à Deusa Afrodite, à majestosa capital ).

• Outro mito ligado à incendiada Tróia refere o destino de um dos vitoriosos gregos.
Uma antiga profecia relatava que o herói grego Aquiles morreria numa batalha em Tróia (o que de facto aconteceu na mitologia grega).
Para procurar fugir a esse destino, Aquiles refugiou-se, anos antes da guerra ter começado, na ilha grega de Scyros, na corte do rei da ilha, disfarçado de mulher, com o nome Pirra. Na altura que lá passou teve um romance com a princesa Deidameia. Desse romance nasceu um filho a quem foi dado o nome de Neoptolemeu, chamado de Pirro (devido ao nome feminino que o seu pai Aquiles tinha usado), que viria também a entrar na guerra de Tróia. Após a vitória grega, Neoptolemeu matou o rei troiano Príamo e escravizou Andrómaca (a ex-mulher do herói troiano Heitor, filho de Príamo e morto por Aquiles) e Heleno (irmão de Heitor). Partiu então para a Grécia e tornou-se rei de Epiro, um reino na costa ocidental grega com capital na cidade de Árta. Andrómaca e Neoptlomeu tiveram um filho de nome Alexandre Molosso que viria depois também a ser rei de Epiro (em 370 AC), com o nome Alexandre I de Épiro (350BC - 331 BC).
Entretanto, no reino vizinho da Macedónia, governava Alexandre II da Macedónia (370BC-368BC).
Uma das irmãs de Alexandre II chamava-se Olímpia (nascida em 376 AC) , princesa de Epiro, que casou com Filipe da Macedónia (irmão mais novo de Alexandre I da Macedónia) e foi mãe de Alexandre o Grande (nascido em 356 AC). (Para mais sobre Alexandre Magno ver o artigo Magna bybliotheca).

Assim, a ilustre família de Alexandre Magno é a seguinte:
? - ? Aquiles (Pirra) - bisavô + Deidameia - bisavó
? - ? Neoptolomeu (Pirro) - avô
(350-331AC) Alexandre I (Molosso) de Épiro - tio materno
(370-368AC) Alexandre II da Macedónia - tio paterno
(382-336AC) Filipe II da Macedónia (pai) + Olímpia de Épiro (mãe)
(356-323AC) Alexandre III (Magno) da Macedónia + Roxana da Báctria
(323-310AC) Alexandre IV (Aigus) - filho
De facto, Alexandre deixou um herdeiro ao seu trono, nascido poucos meses antes da morte de Alexandre Magno, mas o império foi divido pelos generais de Alexandre e Alexandre IV foi morto, enquanto co-regente da Macedónia.




PirroUm neto de Molosso (e, por isso, também bisneto do grande guerreiro Aquiles) chamava-se Pirro (318-272BC). Na altura Roma era ainda uma república, ocupada em unificar a península itálica.
Pirro era sobrinho de Olímpia (e portanto primo materno de Alexandre) e teve uma vida muito atribulada (mas menos do que a do seu famoso primo...):
~ quando tinha 2 anos o seu pai foi destronado;
~ mais tarde Pirro foi chamado de volta para se tornar rei de Epiro mas foi destronado quando tinha 17 anos;
~ numa série de reviravoltas, Pirro foi feito refém de Ptolomeu (o general macedónico de Alexandre que se tornou governante do Egipto e cuja dinastia teria como última representante a última </i>faraó do Egipto, a amante de César Cleopátra), casou com a filha adoptiva deste de nome Antígona e restaurou o reino de Epiro em 297 AC. Entrou em seguida em guerra com o seu cunhado Demétrio, rei da Macedónia que derrotou em 286 AC. Conquistou assim a Macedónia até ser expulso do reino por Lisímaco em 284 AC.

~ Em 281 AC a cidade de grega de Tarentum (actual Taranto), na costa oriental de Itália, ficou sob ameaça dos exércitos romanos, que procuravam unificar toda a península. Preocupados os Tarentinos pediram ajuda aos seus irmãos gregos. Suplicaram a Pirro que os ajudasse a defenderem-se dos ameaçantes romanos.
Pensando em conquistas militares e territoriais na Itália, Pirro concordou em combater ao lado de Tarentum. Aliando-se ao rei da Macedónia desembarcou na Itália em 280 AC, à frente de um exército de 25 500 homens e 19 elefantes de guerra.
(Foi com Pirro que pela primeira vez a Itália Romana foi atacada por elefantes de guerra. Foi inspirado em Pirro que Aníbal, na 2ª Guerra Púnica, levou elefantes das colónias cartaginenses na Hispânia até à Itália, atravessando os Alpes.
Para Aníbal, Pirro era o 2º maior general da História (que ele conhecia), sendo o maior o famoso primo de Pirro, Alexandre o Grande.
)

Falange gregaPela primeira vez as legiões romanas enfrentariam as falanges gregas.
Nesse mesmo ano derrotou os Romanos na Batalha de Heracleia devido à sua superior cavalaria e aos seus elefantes de guerra. Morreram 7 mil soldados romanos e 4 mil soldados de Pirro. Após a vitória, ofereceu aos romanos um tratado de paz, rejeitado por estes.
Pirro acampou para passar o Inverno e, no ano seguinte (279 AC), avançou para a região da Apúlia. Enfrentou então o exército romano perto de Asculum (actual Ascoli Satriano, a 30 quilómetros a sul de Foggia). Os exércitos eram numericamente semelhantes (40 mil em cada lado) e os Epirenses tinham os seus 19 elefantes de guerra e os Romanos 300 dispositivos anti-elefantes (carros equipados com longas pontas afiadas e puxados por bois para ferirem os elefantes, potes inflamáveis para os assustarem e tropas especiais para atingirem os elefantes na tromba com lanças para os afastarem).
A Batalha de Apulum durou 2 dias, durante os quais os dois exércitos se defrontaram. No fim, tinham morrido 6 mil soldados romanos e 3 500 soldados de Pirro (incluindo muitos dos seus aliados e amigos). Foi uma vitória grega a muito custo.
Foi após esta batalha que Pirro declarou
«Mais uma vitória destas e estamos perdidos!»

Pirro tentou mais uma vez uma invasão à Itália romana em 275 AC, mas foi derrotado na Batalha de Beneventum. Derrotado voltou à Grécia, conquistou militarmente a Macedónia e depois atacou Esparta a pedido de um pretendente ao trono espartano. Enfrentou grande resistência e, ao entrar na cidade de Argos, foi morto nas estreitas ruas da cidade.

Epiro existe ainda, como região da Grécia, e a histórica Epiro de Pirro encontra-se entre a Albânia (a sul do país) e a Grécia.

Máscara de AgaménonFoi o arqueólogo alemão Heinrich Schliemann que descobriu as ruínas da cidade de Tróia na década de 1870. Até então considerava-se que Tróia era apenas uma fábula, um mito.
Mas
Schliemann sempre acreditou na sua existência. Seguindo algumas descrições geográficas contidas na Ilíada sobre os terrenos envolventes da cidade e, contra a opinião de todos, partiu para a Turquia (na altura parte do Império Otomano).
Foi lá que encontrou as ruínas de uma cidade que identificou como a Tróia de Homero e um tesouro, em ouro, a que chamou o «tesouro de Príamo» e levou para a Alemanha.
Este tesouro encontra-se agora em Moscovo: foi levado pelas tropas soviéticas após a 2ª Guerra Mundial.
Mas no local onde existiu de facto Tróia há ruínas de 7 cidades, cada uma construída sobre a anterior.
Schliemann descobriu o «seu» tesouro em Tróia II, uma cidade que investigadores posteriores identificaram como sendo da idade do bronze e portanto muito anterior à cidade homérica.
A Tróia relatada na Ilíada será no nível VI ou VIIa, entre 1 300 AC e 1 200 AC.
Um outro dos mais famosos equívocos de
Schliemann é a máscara de ouro a que deu o nome de «Máscara de Agaménon». Descobriu-a em Micenas em 1876 e erradamente pensou tratar-se da máscara funerária do rei grego que conduziu os gregos na Batalha de Tróia. Mas, de acordo com modernos investigadores, a máscara data de entre 1550 AC e 1500 AC, antes sequer do nascimento do famoso rei. Mas o nome ficou, apesar de incorrecto e poder conduzir a ilações erróneas...

Este artigo surgiu por sugestão (e curiosidade) de meus frater àcerca da agora famosa (e de proveniência geralmente desconhecida) citação de Pirro.
Usa-se modernamente a expressão «Vitória de Pirro» ao descrever-se algo que foi conquistado a muito custo.
Pirro tinha um número limitado de soldados e os dois embates com os romanos custaram-lhe muitas tropas. Os Romanos tinham uma incomparável capacidade de recrutamento de tropas, o que lhe permitia recuperar rapidamente de qualquer derrota militar (basta ver que, na duas batalhas com Pirro, perderam 13 000 homens e puderam restabelecer prontamente o seu exército).
Mas a vitória de Pirro levou a que tivesse de abandonar a Itália...


Publicado por Mauro Maia às 11:16
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Quarta-feira, 18 de Janeiro de 2006
Paruola-undae
Uma das concepções mais erradas que se pode ter acerca da Ciência é aquela em que se questiona a validade de determinada linha de investigação quando há outros problemas mais prementes a resolver (na concepção de quem profere a frase).
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Uma das concepções mais erradas que se pode ter acerca da Ciência é aquela em que se questiona a validade de determinada linha de investigação quando há outros problemas mais prementes a resolver (na concepção de quem profere a frase).
<img alt="Bastão de Asclépio/Esculápio" " src="http://cognoscomm.com/mm/MoAsc.jpg" width="36" height="140" align="right" border="0" />
<i>«Porque andam a investigar o ciclo de vida das minhocas quando ainda não há cura para o cancro, para a sida ou mesmo para a constipação?»
«Porque estudar Matemática para além de saber fazer contas?»
«Porque se gastam milhões em projectos espaciais com tantos pobres que há no Mundo?»
«Porque andar a estudar as estrelas quando há tantos problemas na Terra a resolver?»</i>

Este tipo de perguntas, mesmo quando feitas com um espírito de altruísmo e preocupação genuína com os problemas que o Mundo enfrenta, revela ignorância e uma visão limitada e redutora que só por si prolonga, quando não agrava, os problemas que deseja valorizar.

Várias foram as ocasiões em que, na História da Ciência, resultados e investigações num campo aparentemente de pouca utilidade são usadas para grandes progressos técnicos de melhoria da vida das pessoas. Uma delas prende-se com um electrodoméstico que é, hoje em dia, tão natural numa cozinha que poucas são as pessoas que não têm um.

<img alt="Dr. Percy Spencer" src="http://cognoscomm.com/mm/MoSpencer.jpg" width="60" height="100" align="left" border="0" />Em 1946, durante experiências relacionadas com um projecto sobre <u>radares</u>, o Dr. Percy Spencer estava a estudar um novo tubo de vácuo chamado <i>magnetrão</i>.
Após as experiências que realizou e em que activou o tubo (concebido para criar um campo magnético que geraria micro-ondas), reparou que a barra de chocolate que tinha no bolso tinha derretido.
Intrigado por esse derretimento, O Dr. Spencer colocou, no tubo, alguns grãos de milho. Afastou-se um pouco e ficou a observar. Num instante os grãos de milho começaram a estalar e o laboratório encheu-se de pipocas acabadas de fazer.
<i>(Para mais sobre micro-ondas ver:
&#8226 <a href="http://cognosco.blogs.sapo.pt/arquivo/624092.html" target="_blank"><font color="blue">Está frio aqui</font></a> em que se fala da temperatura;
&#8226 <a href="http://cognosco.blogs.sapo.pt/arquivo/693886.html" target="_blank"><font color="blue">Lux mundi</font></a> em que se fala do espectro electromagnético;
&#8226 <a href="http://cognosco.blogs.sapo.pt/arquivo/925125.html" target="_blank"><font color="blue">Loqui longinquitate</font></a> sobre as micro-ondas emitidas pelo telemóvel;)</i>

No dia seguinte, colocou um ovo ao pé do <i>magnetrão</i>. Em breve o ovo começou a tremer e a agitar-se. Pouco depois o ovo rebentou, espalhando gema e clara muito quentes pela sala. Ligando estes 3 acontecimentos, o Dr. Spencer conjecturou que, se as micro-ondas emitidas pelo <i>magnetrão</i> tinha aquecido tão rapidamente o ovo, também deveria fazer o mesmo a outro tipo de alimentos.

As experiências começaram. Construiu uma caixa de metal com uma abertura através da qual emitia micro-ondas. A energia que entrava na caixa não conseguia sair, o que aumentava o campo electro-magnético dentro da caixa. Quando colocava comida dentro da caixa e activava o emissor de micro-ondas, a temperatura da comida aumentava rapidamente e era cozinhada.

Nasceu o conceito do <b>forno micro-ondas</b>.

<img alt="Um dos primeiros micro-ondas" src="http://cognoscomm.com/mm/MoPrim.jpg" width="80" height="100" align="right" border="0" />Em 1947 a empresa para a qual tinha feito investigações no campo dos radares comercializou o primeiro forno micro-ondas. Eram máquinas enormes e caras. Um dos primeiros que foi comercializado tinha perto de 1,70 m de altura, pesava 340 quilogramas e custava $5000 (o que, à taxa actual de conversão dólar<->euro, é mais de 6000€ ou seja é mais de 1 200 contos). Além disso, como o <i>magnetrão</i> tinha de ser arrefecido, era necessário instalar tubos de água para que esta o arrefecesse.
<i>(Estranho conceito para as mentes actuais, ser necessário ligar um tubo de água ao micro-ondas...)</i>

A recepção inicial foi desapontadora. Mas depressa o frio inicial dos consumidores foi aquecido por avanços tecnológicos que diminuiram o tamanho, o peso e o custo do micro-ondas. Além disso, foi criado um <i>magnetrão</i> que era arrefecido com ar, pelo que deixou de ser necessário a instalação das tubagens para a água.
(<i>É por isso tão importante deixar as saídas de ar do micro-ondas livres e que o micro-ondas esteja minimamente afastado de fontes de calor.</i>)

<img src="http://cognoscomm.com/mm/MoPrimCom.jpg" width="80" height="100" align="left" border="0" />A procura era a de tornar o <b>forno micro-ondas</b> apetecível e acessível ao grande público. Uma primeira demonstração, ainda de 1947, era a de um que custava entre $2 000 e $3 000 e ocupava o mesmo espaço que um frigorífico. Em 1952 um modelo de uso doméstico foi comercializado com o custo de $1 295. Em 1967 foi criado o primeiro forno de uso doméstico, com um preço inferior a $500 e mais pequeno e seguro do que os anteriores modelos.

À medida que as vendas de <b>fornos micro-ondas</b> aumentavam também subiam as preocupações infundadas e as crendices associadas ao uso de micro-ondas. O conceito de um forno que funcionava emitindo radiação assustava as pessoas, que erroneamente associavam a palavra a «nuclear» (convém lembrar que a luz visível também é uma radiação, as ondas de rádio também). As micro-ondas, como visto em <a href="http://cognosco.blogs.sapo.pt/arquivo/925125.html" target="_blank"><font color="blue">Loqui longinquitate</font></a> são não-ionizáveis: não têm energia suficiente para alterar a estrutura genética, apenas agitam os corpos com que chocam, aquecendo-os.

Uma das dúvidas que se pode ter sobre os <b>fornos micro-ondas</b> é a razão pela qual, sendo a porta dos mesmos revestida com buracos circulares, as micro-ondas não saem e a luz projectada pela lâmpada no interior do forno sai. Se ambas são radiações, porque saem umas e não saem as outras?

<img src="http://cognoscomm.com/mm/MoComp.jpg" width="150" height="80" align="right" border="0" />Isto tem a ver com duas características das micro-ondas: estas são reflectidas por superfícies condutoras (ou seja, pelas quais a electricidade é facilmente transportada, como os metais), da mesma forma que a luz é reflectida por objectos polidos (como os espelhos). Além disso, o comprimento de onda das micro-ondas é maior do que o diâmetro desses buracos redondos na porta do micro-ondas.

As <b>micro-ondas</b> do forno homónimo têm um comprimento de onda de mais de 30 centímetros. <small>(O comprimento de onda é a distância entre duas ondas consecutivas)</small>.
Os orifícios na porta dos <b>fornos micro-ondas</b> têm um diâmetro inferior a 2 milímetros (como pude pessoalmente verificar). Dessa forma, as micro-ondas não passam: são maiores do que o diâmetro dos orifícios.
Mas a luz visível tem um comprimento de onda entre os os 400 nanómetros (luz violeta) e os 700 nanómetros (luz vermelha). Assim a luz passa: é bem menor do que os mesmos.
(<i>Como visto em <a href="http://cognosco.blogs.sapo.pt/arquivo/695830.html" target="_blank"><font color="blue">Luz mundi</font></a>, o nanómetro é 1 milhão de vezes menor do que um milímetro. Assim as micro-ondas dos fornos são 150 vezes maiores do que os orifícios dos fornos, logo não saem. Mas os orifícios das portas são entre 200 milhões de vezes e 350 milhões de vezes maiores do que a luz visível, logo esta sai.)

<img alt="Símbolo da WHO «World Health Organization»" src="http://cognoscomm.com/mm/MoWHO.jpg" width="128" height="126" align="right" border="0" />O símbolo que inicia o artigo é o <b>Bastão de Asclépio/Esculápio</b>, um antigo símbolo grego associado à cura de doenças através da medicina.
Asclépio (que foi adoptado pelos romanos como Esculápio) era o Deus da Cura e da Medicina que foi ensinado pelo centauro Chiron («chiron» significa mão em grego. Daí o termo «quiromância», a suposta capacidade de ler o futuro nas mãos de alguém).
O símbolo é constituido por uma serpente (desde sempre associado à cura e ao rejuvenescimento por mudar de pele todos os anos) enrolada à volta de um bastão (símbolo de autoridade e portanto digna de um Deus).
Há também quem sugira que não se tratava originalmente de uma serpente mas de uma sanguessuga, que eram usadas para extrair sangue a um paciente em tempos antigos e era em seguida retiradas usando um bastão.
Uma das 3 filhas de Asclépio chamava-se Panaceia «tudo-cura»...

No título «Micro-ondas»</i>


Publicado por Mauro Maia às 19:02
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Segunda-feira, 16 de Janeiro de 2006
Loqui longinquitate
Alexander Graham BellJá todos (muitos?) ouviram falar da história do telefone:
Alexandre Graham Bell patenteou o telefone a 10 de Março de 1876 (foi uma sexta-feira, como se pode verificar usando a Regra de Zeller).
Nesse dia efectuou a célebre primeira chamada para uma sala adjacente onde estava o seu assistente, Thomas Watson. As primeiras palavras proferidas foram «Sr. Watson, venha cá, preciso de si!" (talvez também sido a «primeira chamada de valor acrescentado» da história...)
Graças ao comentário de «Joues», realça-se aqui o facto de a «US House of Representitives» (parte do Congresso dos EUA) ter reconhecido, em Junho de 2002, o emigrante italiano Antonio Meucci como o inventor do telefone e não Bell. Como é supracitado, Bell patenteou o telefone em 1876 mas já em 1854 Meucci tinha ligado, através de um dispositivo de comunicação, o quarto de dormir no 2º andar da sua casa com o laboratório na cave para poder falar com a esposa acamada com reumatismo. A patente lá está, em nome de Bell, mas a invenção é de, pelo menos, de 1854 (por Meucci).

Mas a história dos telemóveis não é tão conhecida.

O Homem sempre procurou formas de comunicar à distância: sinais de fumo, espelhos, tambores, pombos-correio,... até usar a ressonância especial de algumas zonas para ampliar o eco da voz e projectá-la a uma maior distância. Surgiu depois o telefone e a possibilidade de pôr em contacto duas pessoas a uma grande distância.
Mas necessitava de um fio para transmitir os sinais elétricos em que a voz tinha sido convertida. Isso implicava que ambos os interlocutores estiveussem em pontos fixos, onde existisse um telefone, para poderem comunicar.

Mas o sonho de ligar, por voz, duas pessoas independentemente da sua localização não foi esquecido e, em 1946, o primeiro serviço de telefones móveis foi lançado nos EUA, ligando, através de um rádio, veículos em movimento (tipicamente táxis e ambulâncias) com a central de telefones. Isto levou à ideia de que várias antenas, espalhadas por uma grande área, permitiriam estabelecer várias comunicações móveis simultaneamente em frequências diferentes (o conceito moderno básico do telemóvel). Mas restições puramente legais ao número de chamadas permitidas simultaneamente atrasaram o desenvolvimento dessa tecnologia.

Só em 1977 (101 anos após a patente do telefone) a companhia fundada por Bell construiu e operou um primeiro protótipo de telemóvel e em 1979 o primeiro serviço de telemóveis começou a operar em Tóquio, no Japão. Entretanto, nos EUA, somente em testes a nova tecnologia progredia (devido às limitações legais) mas finalmente, em 1982, a legislação foi alterada e serviços de telemóveis tornaram-se enfim competitivos.

O modo de funcionamento dos telemóveis usa o princípio das várias antenas espalhadas numa região para providenciarem cobertura. Cada antena tem uma limitada zona de recepção e envio e estão separadas em intervalos regulares no centro de célula em forma de hexágono de recepção-envio.
É esta a razão porque, no Brasil, os telemóveis são chamados de «celulares» e, nos EUA, de «cell phones»)

Cada célula tem uma antena no seu centro e todas as células estão agrupadas em grupos de 7, formando um hexágono maior com a célula interior com a antena mais potente. Célula adjacentes funcionam a frequências diferentes, pelo que é possível, na mesma região, células a funcionarem com frequências iguais (basta que tenham uma outra célula, com frequência diferente, entre ela.)
Desta forma alargou-se significativamente o número de chamadas que era possível realizar na mesma rede.
Nas primeiras redes criadas, as analógicas, cada célula permitia 56 chamadas simultâneas eram permitidas dentro de uma mesma célula (1ª Geração, 1G).
Com a digitalização dos sinais (em que a voz é transformada em 0's e 1's) passou a ser possível 168 chamadas simultâneas na mesma célula (2ª Geração, 2G).
Os telemóveis de 3ª Geração possuem características de multimédia, como leitura de música, vídeos, recepção e emissão de e-mails,...

Há medida que o telemóvel se afasta da antena da sua célula, o sinal vai diminuindo. Mas na célula contígua o sinal vai surgindo mais forte. Cada célula monitoriza os sinais dos telemóveis que estão na sua zona mas também os sinais que recebe das células vizinhas. Quando o telemóvel passa a fronteira entre as células, a antena da célula que se abandonou recebe a informação e o telemóvel muda a frequência para a da célula na qual entrou. Tudo feito com tal rapidez que impede a percepção da mudança da frequência que o telemóvel está a usar.

Os telemóveis comunicam com as antenas receptoras-emissoras (e estas com os telemóveis) através de radiações com uma frequência entre os 3 kHz e 300 GHz.


Essas frequências situam-se na parte mais baixa do espectro, na zona das radiações não-ionizáveis. Isto significa que não são, em si mesmas, cancerígenas. Não possuem energia suficiente para alterar a estrutura genética das células.
(Para outras considerações sobre os efeitos da radiação ver:
Lux mundi sobre o espectro electro-magnético;
Solar ambusti sobre os efeitos da raiação na pele;
)
Por isso também os micro-ondas não são cancerígenos nem tornam os alimentam que confeccionam cancerígenos.
As radiações dos telemóveis situam-se na mesma banda de frqueências dos micro-ondas mas com menos potência.

As preocupações quanto aos efeitos potencialmente prejudiciais para a saúde do uso dos telemóveis não se prendem então com o tipo de radiação que emitem.
As micro-ondas dos telemóveis apenas aquecem as partículas com que entram em contacto, tal como o faz a luz do sol, por exemplo.
Portanto a preocupação não é com o tipo de radiação que os telemóveis emitem (que é perfeitamente segura) mas com os eventuais (mas não ainda demonstrados cientificamente como existentes) efeitos do ligeiro aquecimento das células do corpo mais próximas do transmissor do telemóvel. A preocupação (se se confirmar como verdadeira) é com persistente exposição a esse aquecimento ao nível das células internas.
Os olhos, em especial, são particularmente sensíveis a ligeiros aumentos de temperatura, uma vez que não têm mecanismos de dissipação rápida de calor.
É esta a razão pela qual, quando se fala muito tempo ao telemóvel, a orelha que esteve em contacto com o telemóvel aquece muito. Recomenda-se alternar o telemóvel entre ouvidos durante a conversa para diminuir esse efeito.

Estima-se que, em 2005, existissem 1 mil milhões e 600 milhões de telemóveis no mundo para os 6 mil milhões e 500 mil habitantes totais do mundo.
Dá 1 telemóvel para 4 seres humanos actualmente existentes.
Tendo em conta a novidade da tecnologia (de 1977 até 2005 medeiam apenas 28 anos) é um número impressionante.
(Agradeço à «Raquel» a chamada de atenção para o facto de a referência anterior, de que existiam 4 telemóveis para cada pessoa no mundo, estar incorrecta. Obviamente são 4 pessoas por cada telemóvel.)

Há um ponto que falta referir sobre os telemóveis: os seus efeitos sociais positivos. Antigamente, num café, quem estivesse à espera de alguém puxava de uma cigarro e assim entretia-se a fumar enquanto aguardava. Quem não fumasse sujeitava-se aos períodos incertos de espera pela outra pessoa e dava a ideia de desespero, de solitário. Mas com a invenção do telemóvel tudo isso mudou em, pelo menos, 3 aspectos importantes: quem aguarda pode:
1- ligar à pessoa que espera e perguntar se falta muito;
2- enquanto espera depois pode ocupar-se a ligar para a sua caixa de correio ou para o saldo ou ler as mensagens ou mandar uma (ou fingir que faz qualquer uma delas) ou jogar um jogo;
3- ao usar o telemóvel evita encher os pulmões de alcatrão, o cérebro de nicotina, as células de elementos cancerígenos, o ambiente de fumo, as roupas de mau-cheiro, os dedos de amerelo, os dentes de sujidade e evita que tudo isso aconteça às pessoas que partilham o mesmo espaço comercial e também têm o direito de não fumarem nem apanharem com fumo alheio.

O telemóvel é o cigarro do futuro, dependência e tudo mas sem fumo...


No título «Falar à distância»


Publicado por Mauro Maia às 20:41
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Domingo, 15 de Janeiro de 2006
Problema calendarii
Por diversas vezes acontece ser necessário (ou desejável) saber-se qual o dia da semana em que calha (ou calhou) determinado dia do mês de um qualquer ano, por exemplo para determinar em que dia da semana se nasceu ou em que dia da semana determinado feriado ocorrerá. Ou em que exacto dia da semana foi o 25 de Abril de 1976 (5ª), em que dia da semana nasceu uma determinada personalidade sabendo a sua data de nascimento (ou morte). Em vários artigos são referidas datas específicas em que ocorreram determinados acontecimentos. Por exemplo, Fernando Pessoa nasceu em 13 de Junho de 1888. Em que dia da semana foi? (quarta feira)

É uma questão que se responde recorrendo à memória dos mais velhos (quando os acontecimentos foram por eles testemunhadoos) ou procurando algum calendário perdido em alguma gaveta (procura amiudadamente infrutífera pois dificilmente se tem calendários para anos que não o anterior).

Mas há alguma forma de calcular o dia da semana sem andar a procurar por calendários?
Já no artigo Celeres dies se falou de uma forma de determinar o dia da semana de uma determinada data, tendo como referência um dia de que se conheça a posição na semana. Mas o facto de requerer o conhecimento de uma data específica e da sua localização na semana impede (pela morosidade dos cálculos ou desconhecimento dos dias da semana) a sua aplicação a datas afastadas dos anos mais próximos.

Mas, usando uma regra chamada Regra de Zeller.
Este regra foi criada pelo reverendo alemão Julius Christian Johannes Zeller, e com ela é possível calcular com exactidão o dia da semana de qualquer data, bastando saber o dia, o mês e o ano (no calendário Gregoriano que usamos).
Zeller nasceu em 1822 e morreu em 1899.
Foi um estudioso de Matemática, Geografia e de Teologia.
Em 1883 desenvolveu a fómula, uma para o calendário Juliano outra para o calendário gregoriano.

Para o nosso calendário, a fórmula é a seguinte:
f = d+INT((13*m - 1)/5)+a+INT(a/4)+INT(s/4)-2*s

Nesta fórmula, adaptada ao Português em termos dos nomes das variáveis usadas,
d é o dia do mês dia; m é o número do mês; s é os primeiros dois dígitos do ano (o século) e a é os últimos dois dígitos do ano.


Para o cálculo deste valor é necessário também conhecer a fórmula matemática que aqui designei por INT: é simplesmente a parte inteira do número.
É diferente do arredondamento!
e.g. int(1,45) = 1; int (4,51) = 4; int (5/2) = int (2,5) = 2

Após o cálculo de f, divide-se de forma inteira esse valor por 7 e o resto da divisão indica o dia da semana em que a data se situa.
(Em algumas aplicações, o cálculo do resto quando o valor é negativo poderá dar um resto errado. Caso o valor seja negativo deve-se então somar 7.)

Soma-se ao resultado final 1.
Se esse valor final for 1 o dia da semana é domingo, se for 2 é segunda-feira,... ,
se for 6 é sexta-feira e se for 7 é sábado.

É necessário ter alguns cuidados como a questão de considerar o ano anterior quando o cálculo envolve os meses de Janeiro ou Fevereiro ou a do facto de não existir o ano 0 no calendário gregoriano.
Passa-se do ano -1 (1 AC) directamente para o ano 1 (1 DC).
É por esta razão (a falta do ano 0) que a passagem do milénio ocorreu de 2000 para 2001 e não de 1999 para 2000, apesar de as razões comerciais levarem à sociedade com um todo a comemorar duas vezes a passagem do milénio!

Verifique-se a aplicação da fórmula a uma data específica.
O dia 31 de Dezembro de 2005 foi num sábado. Use-se a fórmula neste caso para a verificar. Para evitar a questão do dia extra que Fevereiro tem nos dias bissextos, para usar esta fórmula o ano começa em Março (como faziam os Romanos).
Assim Março é 1, Abril é 2, Maio é 3,... , Novembro é 9 e Dezembro é 10.
Janeiro é o mês 11 do ano anterior e Fevereiro é o mês 12 do ano anterior.

Então a data de que procuramos o dia da semana terá, para valores:
~ d = 31;
~ m = 10;
~ s = 20;
~ a = 05;

f = 31 + int((13*10 - 1)/5) + 5 + int(5/4) + int(20/4) - 2*20 =
= 31 + int ((130 - 1)/5) + 5 + int(1,25) + int(5) - 40 =
= 31 + int(129/5) + 5 + 1 + 5 - 40 =
= 31 + int(25,8) + 5 + 1 + 5 - 40 =
= 31 + 25 + 5 + 1 + 5 - 40 =
= 27

Como 27 = 7*3 + 6, a divisão de 27 por 7 dá resto 6.
Como é um número positivo soma-se 1. 6 + 1 = 7
O dia da semana é o sétimo. É sábado.

• Outro exemplo, o dia de criação do Cognosco (18/02/2005)
~ d = 18;
~ m = 12; (o ano começa em Março e Fevereiro é 12.)
~ s = 20;
~ a = 04; (como o mês é Fevereiro, para a fórmula é o ano anterior)

f = 18 + int((13*12 - 1)/5) + 4 + int(4/4) + int(20/4) - 2*20 =
= 18 + int ((156 - 1)/5) + 4 + int(1) + int(5) - 40 =
= 18 + int(155/5) + 4 + 1 + 5 - 40 =
= 18 + int(31) + 4 + 1 + 5 - 40 =
= 18 + 31 + 4 + 1 + 5 - 40 =
= 19

Como 19 = 7*2 + 5, a divisão de 32 por 7 dá resto 5.
Como é um número positivo soma-se 1. 5 + 1 = 6
O dia da semana é o sexto.
O Cognosco nasceu numa sexta-feira.

• Outro exemplo, o imperador Cláudio nasceu a 1 de Agosto de 10 AC.

~ d = 10;
~ m = 6;
~ s = 00;
~ a = -9; (como o ano é AC, tem de se somar 1. -10 + 1 = -9)

f = 10 + int((13*6 - 1)/5) + -9 + int(-9/4) + int(0/4) - 2*0 =
= 10 + int ((78 - 1)/5) + 4 + int(1) + int(5) - 40 =
= 10 + int(77/5) + 4 + 1 + 5 - 40 =
= 10 + int() + 4 + 1 + 5 - 40 =
= 10 + 31 + 4 + 1 + 5 - 40 =
= 10

Como 10 = 7*1 + 3, a divisão de 10 por 7 dá resto 1.
Como é um número positivo soma-se 1. 1 + 1 = 2
O dia da semana é o segundo.
Cláudio nasceu numa segunda-feira.

Claro que a fórmula necessita de um pouco de familiarização para ser usada facilmente.
Mas a sua utilidade é maior na programação de computadores (ou de outros aparelhos programáveis).

É fácil, usando estas regras, criar programas informáticos para, introduzindo uma data, obter-se o dia da semana. Há vários programas para diversas linguagens.
A que mais falta me fez sempre foi ter a Regra de Zeller numa folha de cálculo.
Mas com um pouco de empenho finalmente transcrevi a fórmula para ser usada neste caso.

O dia está na célula A1, o mês está na célula B1 e o ano na célula C1.

=RESTO((A1+TRUNCAR((13*(SE(B1-2>0;B1-2;B1+10))-1)/5)+(SE((SE(B1-2>0;B1-2;B1+10))>10;C1-(TRUNCAR(C1/100))*100-1;C1-(TRUNCAR(C1/100))*100))+TRUNCAR((SE((SE(B1-2>0;B1-2;B1+10))>10;C1-(TRUNCAR(C1/100))*100-1;C1-(TRUNCAR(C1/100))*100))/4)+TRUNCAR((TRUNCAR(C1/100))/4)-2*(TRUNCAR(C1/100)));7)+1

No título «O problema calendário», parte do título da obra de 1883 de Zeller «Problema duplex calendarii fundamentale» (O problema fundamental dos dois calendários)


Publicado por Mauro Maia às 15:39
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Sábado, 14 de Janeiro de 2006
Nex terrae
Corria o século XII DC.
Na Europa, Portugal torna-se independente e são lançadas as 2ª e 3ª Cruzadas para libertar a Terra Santa.
Na Ásia, Gengis Khan controla o maior império terrestre da História.
No Médio Oriente Saladino resiste aos cruzados e ao Rei Ricardo Coração de Leão.

Na América Central, um grupo de nómadas percorre a paisagem alimentando-se de vermes e cobras ou roubando comida aos povos com que se cruzava.
Eram um grupo rejeitado pelos demais, pelos seus hábitos bárbaros, incivilizados e que percorria terra alheia sem local para chamar lar.

Dois séculos depois, no início do século XIV DC:
Na Europa é o início da Guerra dos 100 anos entre a França e a Inglaterra, o poeta Petrarca cria o termo Idade das Trevas para descrever o período que vai da queda do Império Romano do Ocidente em 410 DC até ao presente século, começa a Renascença em Itália e, na China, pela primeira vez usa-se o ábaco.

Na América Central, em 1325, o chefe do bando nómada recebe uma mensagem directamente da maior das suas divindades, o Deus da Guerra e do Sol, dizendo-lhe que deveriam dirigir-se a umas ilhas pantanosas no meio de um lago próximo. Lá encontrariam o refúgio que procuravam, a Terra Prometida que há muito a divindade lhes prometera. Deveriam lá procurar por uma águia, pousada sobre um cacto, a comer uma cobra. Onde a encontrassem construiriam a sua cidade e honrariam o Deus da Guerra e do Sol com sacrifícios humanos.

Ao chegarem ao lago Texcoco, viram uma série de ilhas pantanosas. Numa delas havia um cacto, com uma águia a devorar uma cobra. Tinham chegado à sua Terra Prometida. Na ilha fundaram uma cidade, a que deram o nome do seu chefe Tenoch. A cidade tornou-se Tenochtitlán («a cidade de Tenoch»).
O deus da Guerra e do Sol por quem matariam pessoas chamava-se Huitzilopochtli
O povo era os Aztecas (que deriva do nome do local de onde partiram para a sua busca da Terra Prometida, a ilha de Aztlam «Local Branco»).

A cidade teve um início humilde, perdida no meio de uma ilha pantanosa no meio de um lago. Os Aztecas trabalharam arduamente, adoptaram as técnicas agrícolas dos seus vizinhos Maias (a construção de terraços sobre as águas, cobertas por terra e em seguida cultivadas) e cresceram militarmente.

No século XV DC, Portugal conquistou Ceuta aos Mouros, iniciando o seu período de expansão naval que viria a ser conhecido como Descobrimentos.
Constantinopla, a última cidade do Império Bizantino (anteriormente designado Império Romano do Oriente) cai, às mãos dos Otomanos.
Granada, a última possessão moura na Península Ibérica é conquistada pelos espanhóis.

Na América Central, os Aztecas já se tornaram uma potência militar na região e, sob a chefia de Moctezuma I (geralmente referido como Montezuma I) firmaram alianças com os seus poderosos vizinhos, os Texcoco e os Tacuba. Formou-se a Tríplice Aliança.
Os Aztecas recebiam agora tributos das nações que conquistavam e os prisioneiros de guerra eram usados nos seus rituais de sangue em honra de Huitzilopochtli.

De um bando nómada e incivilizado, os Aztecas cresceram para se tornarem uma potência militar, um centro de cultura e civilização. As suas realizações culturais foram imensas:
• Em termos matemáticos usavam um sistema numérico de base 20, sem 0.
Os algarismos (de 1 a 9) representavam-se pelo número de pontos respectivos, 20 por uma bandeira, 400 (20x20) por uma pena e 8 000 (20x20x20) por um saco (que representava um saco contendo 8 000 grãos de cacau).
(sobre bases matemáticas ver Bases para a leveza do ser)
• Em termos mitológicos os Aztecas acreditavam que os Deuses tinham criado a Humanidade a partir do milho. Após várias tentativas infrutíferas (que resultaram nos macacos) os Deuses finalmente conseguiram criar o Homem.
(sobre este assunto ver também Ah, a foto de família)
• As suas proezas arquitectónicas são lendárias, como as suas famosas pirâmides. O facto de serem pirâmides em nada os liga aos Egípcios: a pirâmide é simplesmente a forma mais lógica de erigir grandes construcções sem os alicerces de betão armado modernos.
Pirâmide de Uxma

Era este o aspecto da América Central quando os espanhóis lá chegaram.
A 21 de Abril de 1519 (2ª feira) 11 galeões espanhóis, sob o comando de Hernán Cortés, chegaram à costa marítima do império azteca com 550 homens e 16 cavalos.
Estes poucos homens viriam a conquistar o formidável império dos Aztecas.

Pelos menos três variáveis foram imprescindíveis para essa derrota de uma civilização de cariz militarista com milhares de guerreiros habituados à luta às mãos de tão poucos homens:

• a questão religiosa: um dos deuses mitológicos dos Aztecas era Quetzalcoatl «Serpente Alada» que tinha partido para o oeste e prometido um dia voltar para reclamar de novo as suas terras. Quetzalcoatl era associado ao sol e como tal era associado à cor amarela. Quando o líder dos Aztecas, o glorioso guerreiro Montezuma II, recebeu notícias da chegada destes estrangeiros, vindos do oeste em «torres que flutuam na água», temeu que estivessem ligados à divindade. Apesar de os espanhóis terem pele morena e cabelos escuros, um deles, Pedro de Alvarado, tinha cabelos e barba louros («como se a cara irradiasse raios de sol» foi a descrição que dele fizeram os Aztecas). A convicção então que estavam ligados à divindade assentuou-se de tal forma que diminui a resistência azteca.
• A questão médica: os espanhóis trouxeram consigo a varíola, doença desconhecida para os Aztecas. Após uma primeira tentativa falhada de conquistarem a cidade de Tenochtitlán os Espanhóis voltaram a tentar. Desta vez foram bem sucedidos, pois tinham sucumbido à doença milhares de Aztecas e os sobreviventes poucas forças tinham para lutar.
• A questão do desconhecimento: os Aztecas nunca tinham visto cavalos e a imagem de um homem montado era-lhes assustadora. Imaginavam que se tratava de uma única besta gigante, com 4 patas e corpo de homem. A pólvora e os cavalos eram desconhecidos dos Aztecas e ajudaram à derrota dos Aztecas. O terror infligido pelos «homens-besta» e pelo barulho da pólvora e a capacidade de matar «à distância» apavoraram os guerreiros aztecas.

A colónia espanhola viria mais tarde a conquistar a sua independência e usaria na sua bandeira a mesma imagem que conduziu os Aztecas até ao lago Texcoco. O império azteca tornar-se-ia o México e a cidade de Tenochtitlán foi destruída e sobre ela os espanhóis erigiram a Cidade do México.

O mais curioso neste desconhecimento sobre os cavalos, por partes dos «naturais» da América, é que o ser humano conviveu com cavalos quando primeiro chegou à América. Os cavalos surgiram na América e só depois colonizaram outros continentes.
O choque dos Aztecas ao verem um animal que desconheciam, tendo os cavalos sido tão abundantes no continente prende-se com a sua extinção, juntamente com outros animais, antes de surgirem civilizações nas Américas.

Eohippus, o antepassado dos cavalosHá 60 milhões de anos, nas Grandes Planícies americanas evoluiu o pequeno Eohippus, antepassado de todos os cavalos modernos, com uns modestos 20 centímetros de altura.

Há entre 17 mil e 11 mil anos, quando o homo sapiens chegou ao Norte da Ásia, encontrou uma faixa de terra. Na altura vivia-se uma Glaciação e o nível do mar era mais baixo do que o actual (havia muita água congelada). O ser humano atravessou essa ponte (ou terá partido de jangada atravessando o Pacífico) e encontrou uma nova terra.
Foram esses primeiros povos que descobriram a América.
(para a origem dos nomes do continentes ver Magnus tellus)

Tigre dentes-de-sabreO continente que descobriram era rico em fauna e flora.
Existiam mamutes, bisontes, preguiças terrestres, 5 espécies de cavalos (incluindo uma de zebras), 2 tipos de camelos (também os camelos surgiram primeiro na América), o conhecido tigre dentes-de-sabre e o maior mamífero carnívoro terrestre que alguma vez existiu, o urso de focinho curto.
Os camelos surgiram na América e, há 3 milhões de anos migraram para a Ásia e para a África. Os camelos norte-americanos eram mais altos do que os actuais camelos, medindo mais de 2 metros de altura e tendo um peso de 600 kg. Apenas uns parentes seus, as lamas, subsistiram na América do Sul, onde eram e ainda são usados como animais de carga.

Ponta da lança ClovisApesar de tamanho e ferocidade enormes, estes animais enfrentavam agora o mais poderoso de todos os caçadores, o ser humano, armado com as sua lanças de pedra (as primeiras foram desenterradas perto da cidade de Clovis no Novo México. Esses primeiros povos passaram a ser designados por Clovis por essa razão).

A inovadora arma dos Clovis permitia-lhe caçar todos os tipos de animais, desde os gigantescos Mamutes aos velozes cavalos (que os Clovis caçavam para comer).
Pouco tempo após a chegada dos seres humanos os grandes mamíferos do continente extinguiram-se (pensa-se que em parte devido às caçadas humanas) e com eles morreram os seus predadores.

Algumas gerações após a chegada do Homem à América, tudo o que restava dos fantásticos animais que os seus antepassados caçavam não passavam de histórias e pinturas. Aperceberam-se do terrível papel que desempenharam nesse desaparecimento e alteraram a sua forma de se relacionarem com a Natureza.

Caçada aos bisontesDurante os 12 mil anos seguintes não houve mais extinções em massa na América. Até à chegada dos europeus.
Após a colonização europeia da América em apenas 60 anos mataram-se milhões de bisontes. A espécie (o único herbívoro de grandes dimensões que sobreviveu à chegada do Homem à América) era extremamente abundante e, no entanto, foi levado até perto da extinção por caçadores europeus. Se alguns rancheiros, mais conscienciosos, não tivessem mantido, nas suas terras, alguns grupos de bisontes, a espécie teria desaparecido. Em 1853 só existiam 500 búfalos selvagens.

Apesar da tradicional imagem dos índios norte-americanos a lutar montados a cavalo, esses cavalos são os descendentes dos animais deixados ou fugidos aos espanhóis.
O cavalo, como espécie, não existiu na América durante milhares de anos, até que os Europeus inadvertidamente os trouxeram de novo para casa.


Os índios (que devem a sua designação colectiva ao engano cometido por Colombo ao achar que tinha chegado à Índia) devem ser admirados pelo facto de terem aprendido a lição dos seus antepassados e não só por respeitarem a natureza.
Afinal foram os seus antepassados que causaram a maior extinção em massa desde o fim dos dinossáurios…

A maior façanha dos índios norte-americanos foi fazer algo que a maioria das pessoas actualmente parece-se recusar fazer: aprender com os erros da sua História e não os voltar a cometer.

No título «A morte da terra»


Publicado por Mauro Maia às 12:58
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Domingo, 8 de Janeiro de 2006
Typi sanguinis

glóbulo vermelhoJá todos ouviram falar de sangues diferentes, os chamados «tipos sanguíneos». Há A, B, AB e O e cada um deles pode ser positivo ou negativo. Mas o desconhecimento do que esses tipos são exactamente e as crendices associadas a esse desconhecimento parecem grassar.

  

A primeira questão a ter em conta é os grupos sanguíneos A, B, AB e 0 (é um zero e não a letra «o», já que indica ausência). Os grupos sanguíneos são determinados pela presença ou ausência, na parede exterior dos glóbulos vermelhos, de certas moléculas conhecidas como antigenes. Os antigenes (que são geralmente ou proteínas ou polissacarídeos) são substâncias que induzem uma resposta imunitária por parte dos glóbulos brancos do corpo quando estes não os conhecem. Os antigenes podem ser produzidos pelo metabolismo natural do corpo (e esses antigenes não induzem normalmente respostas imunitárias) ou provirem de fontes externas (podendo despoletar ataques do sistema imunitário caso esses antigenes sejam desconhecidos para o sistema imunitário). Este grupo sanguíneo, AB0, foi descoberto em 1901.

Por estranho que possa parecer, os quatro grupos sanguíneos são determinados por apenas 2 antigenes (A e B).

Caso os glóbulos vermelhos tenham apenas antigenes A, o grupo sanguíneo é A.

Caso os glóbulos vermelhos tenham apenas antigenes B, o grupo sanguíneo é B.

Caso os glóbulos vermelhos tenham antigenes A e B, o grupo sanguíneo é AB.

Caso os glóbulos vermelhos não tenham antigenes A nem B, o grupo sanguíneo é 0.

 

Macaco RhesusAlém destes 2 antigenes, há ainda o chamado Factor Rhesus, que deve o seu nome à designação comum dada a uma espécie de macacos, os macacos Rhesus (Macaca mulatta). Os Macacos Rhesus são amplamente usados em pesquisas médicas e foi neles que primeiro se determinou a existência do antigene Rhesus, descoberto depois também nos seres humanos, em 1937. Quando o antigene Rhesus está presente nos glóbulos vermelhos, o sangue é Rh+. Quando está ausente, é Rh-. Assim quem, nos glóbulos vermelhos, tem os antigenes A e Rh é A+.

Quem, nos glóbulos vermelhos, não tem o antigene A nem B nem Rh é 0-.

Quem, nos glóbulos vermelhos, tem o antigene B mas não o Rh é B-.

 

Na verdade, o grupo Rh tem vários antigenes diferentes, sendo os mais importantes os antigenes C, c, D, E, e. O D é o antigene mais importante e quando se diz que se é Rh+ ou Rh- isto indica exclusivamente a presença ou ausência do antigene D. Apesar de ser mais prático utilizar os sinais «+» e «-» após o grupo sanguíneo, em termos de laboratório é utilizada a nomenclatura RhD positivo e RhD negativo, por ser mais seguro: não há o risco de um traço mal feito ou apagado gerar confusões.

~ E que importância tem essas coisas do A, do B e do Rh?

 

A determinação do tipo sanguíneo de uma pessoa é crucial em transfusões sanguíneas e na gravidez de uma mulher. (Apesar de serem muitas vezes usadas como expressões sinónimas, Grupo sanguíneo e Tipo sanguíneo não são a mesma coisa: grupo sanguíneo refere-se ao sistema ABO mas o tipo sanguíneo inclui o sistema AB0 e o factor Rh. AB é o meu grupo sanguíneo e AB- é o meu tipo sanguíneo, por exemplo).

 

Como indicado em cima, o sistema imunitário ataca os glóbulos vermelhos que contenham antigenes que desconhece.

As consequências no caso de transfusões sanguíneas com tipos sanguíneos incompatíveis incluem anemia hemolítica (destruição de glóbulos vermelhos), falha renal (os rins deixam de funcionar), choque (hipoperfusão, as células do corpo não recebem o oxigénio que necessitam) e morte.

 • Se uma pessoa é A+ e receber sangue do tipo AB- :

~ o sistema imunitário reconhece o antigene A, não estranha a ausência do Rh mas ataca o antigene B. A pessoa entra em hipoperfusão e morre.

• Se uma pessoa for AB- e receber sangue A- :

~ o sistema imunitário reconhece o antigene A, não estranha a ausência de B nem estranha a ausência de Rh. A transfusão é bem sucedida e a pessoa fica bem.

• Se uma pessoa é 0- e receber B+ :

~ o sistema imunitário ataca o antigene B e o Rh. A pessoa entra em choque e morre. (na verdade o tipo 0- só pode receber sangue do tipo 0-. Qualquer outro tipo é letal.)

• Se uma pessoa é AB+ e receber 0+ :

~ o sistema imunitário não estranha a ausência do A, nem do B e reconhece o Rh. A transfusão é bem-sucedida.

Como regra geral, o corpo estranha e ataca o que não tem e é indiferente à ausência do que tem. Pode-se assim, com base nesta simples regra, estabelecer os seguintes quadros para tipos compatíveis em transfusões sanguíneas:

Analisando-se os quadros, percebe-se porquê:

~ o tipo AB+ é receptor universal (como tem todos os antigenes presentes, não estranha nenhum tipo de sangue);

 ~ o tipo 0- é o dador universal (não tem qualquer antigene que um sistema imunitário possa estranhar e atacar). A questão nem sempre é assim tão simples, apesar de geralmente o ser e, para efeitos práticos, isto é o mais importante.

Incluído está também, tendo em conta a percentagem dos diversos tipos de sangue em Portugal, qual a percentagem de pessoas de que se pode receber sangue e, na segunda tabela, a percentagem de pessoas a quem se pode dar.

Em termos de herança genética, o grupo sanguíneo (A, B, AB ou 0) tem regras muito simples e é determinado principalmente por um par de alelos. Dessa forma, é fácil determinar as possibilidades do grupo sanguíneo dos filhos, tendo em conta os grupos sanguíneos dos pais. O Factor Rhesus é determinado por vários pares de alelos, pelo que não é linear a sua determinação no sangue dos filhos. A regra básica é que A e B são dominantes e O é recessivo. Assim, por exemplo:

 

~ se um dos pais é A e o outro é A os filhos podem ser A ou 0 (mas não B ou AB);

~ se um dos pais é A e o outro é AB, os filhos podem ser A, B ou AB (mas não 0);

~ se um dos pais é B e o outro é 0 os filhos podem ser B ou 0 (mas não A ou AB);

 

Se pensarmos no grupo sanguíneo dos filhos, a tabela anterior é facilmente transformada nesta, que indica, tendo em conta o grupo sanguíneo da criança os possíveis grupos sanguíneos dos pais (tanto faz que a primeira seja da mãe ou que a primeira seja do pai)

 

Nunca é demais lembrar de que não há incompatibilidades entre os sangues dos pais. Todos os grupos sanguíneos dos pais são compatíveis em termos genéticos. Problemas de saúde como Síndroma de Down, paralesia cerebral, ... não se devem a quaisquer incompatibilidades entre os sangues dos pais. Na verdade esses problemas surgem por excesso de compatibilidade genética entre os pais. Se um tiver nos genes a informação para uma doença (mesmo que não a revele) e o outro também, há, pelo menos, uma probabilidade de 25% de que os filhos a tenham e revelem. Já tive conhecimento de casamentos que terminaram devido ao nascimento de uma criança com síndroma de Down. Como a explicação incorrecta que lhes deram foi que se devia à incompatibilidade entre os seus sangues, acabaram por transpôr essa suposta incompatibilidade para a sua relação pessoal. Aqui está um caso de crendices que influenciam directamente o bem-estar emocional das pessoas...

 

A questão da incompatibilidade é também importante na gravidez, conforme o tipo de sangue da mãe grávida e do feto. Se a mãe for Rh- e o feto Rh+, o sistema imunitário pode criar defesas contra os antigenes Rh do feto do bebé, levando a um aborto espontâneo. Por vezes essa incompatibilidade não surge com o primeiro filho Rh+ de uma mãe Rh- mas se um segundo filho tiver também Rh+, os anticorpos maternos acumulados na primeira gravidez podem atacar e matar o bebé. Felizmente há panaceias para ambas as situações, bastando fazer análises pré-natais e efectuando o tratamento adequado. Acresce-se ainda que a distribuição dos tipos sanguíneos no mundo não é uniforme.

Dos habitantes do mundo: 38% são 0+, 34% A+, 9% B+, 7% 0-, 6% A-, 3% AB+, 2% B- e 1% AB-.

Dos Portugueses: 39,9% são A+; 6% 0+ ; 7% B+ ; 6,6% A- ; 6,1% 0- ; 2,9% AB+ ; 1,1% B- ; 0,4% AB-.

É claro que quando se refere «+» é Rh+ e quando é «-» é Rh-.

A tabela seguinte mostra a probabilidade da combinação dos diversos tipos de sangue de um casal, tendo em conta as percentagens de distribuição dos diversos tipos de sangue no Mundo:

 

Assim, a probabilidade de haver um casal com tipos de sangue:

~ A+ e A+ é 11,56%;

~ A- e AB+ é 0,18%;

~ 0+ e AB- é 0,38%

Assim, quanto à ideia errada que ainda se vai repetindo por aí quanto a «incompatibilidades de sangue», esta tabela dá-lhe uma machadada final:

A probabilidade de um casal ter o mesmo tipo de sangue é 11,56% + 0,36% + 0,81% + 0,04% + 0,09% + 0,01% + 14,44% + 2,66% = 29,97%. Se os tipos de sangue fossem incompatíveis, quase 30% (aproximadamente 1 em cada 3 crianças) teriam problemas de saúde, o que é obviamente ridículo.

Em Portugal, a probabilidade de um casal ter o mesmo tipo de sangue é 41,14%. No Brasil, a probabilidade de um casal ter o mesmo tipo de sangue é 39,8%. Nenhum destes países tem quase metade das crianças com problemas genéticos. A incompatibilidade de tipos de sangue é um mito abolutamente errado!

 

De acordo com a página Index Mundi, a taxa de natalidade no Brasil é de 16,04 por cada 1000 habitantes, a de Portugal 10,45/1000 e a mundial 85/1000.

Da tabela verifica-se que, em 6,95% dos casais, ambos têm o mesmo tipo de sangue. Mas 6,95% de todos os bebés nascidos não têm problemas de saúde. Isso seriam perto de 9 milhões e meio no mundo (6 mil milhões, 706 milhões, 993 mil e 152 habitantes), perto de 212 mil bebés no Brasil (190 milhões, 132 mil e 630 habitantes) e perto de 8 mil e 500 bebés em Portugal (10 milhões, 617 mil e 575 habitantes) teriam problemas de saúde apenas devido a o tipo sanguíneo dos pais ser o mesmo.

Penso que o absurdo dos números mostra bem a a irrazoabilidade de o tipo sanguíneo parental ter a ver com a saúde dos bebés. No Mundo, morrem, por ano, cerca de 282 milhões de crianças, 4 milhões e meio no Brasil e 51 mil e 500 em Portugal. 3% dos bebés do Mundo morreriam só por causa de os pais terem o mesmo tipo de sangues? 5% dos bebés brasileiros? 15% dos bebés portugueses? Das principais causas de mortalidade no Mundo são, de acordo com a página 20 principais causas mundias de mortalidade, a SIDA (AIDS) que mata 4,9% da população mundial. Esse número é enorme e assustador. Se 3%, 5% ou 15% dos bebés tivessem problemas de saúde por o tipo sanguíneo dos pais ser igual, haveria campanhas tão intensas a nível mundial como as que são feitas para a prevenção de comportamentos de risco na infecção por HIV!

 

Além do grupo sanguíneo do sistema ABO (o mais comum), e o Rh, há ainda outros, muito raros, 27 grupos (que receberam o nome da primeira pessoa na qual foram identificados):

~ Diego positivo é um tipo de sangue encontrado apenas em populações asiáticas e em nativos norte-americanos (como consequência da expansão dos seres humanos da África, para a Ásia e daí para a América);

~ o sistema MNS, com os tipos M, N e MN de antigenes.

~ Duffy negativo confere imunidade parcial à malária e é apenas encontrado em populações africanas (resultado de alguma mutação que conferiu ao indivíduo original protecção contra essa doença que ainda hoje mata milhares de pessoas no continente).

~ o sistema Luterano contém 21 antigenes diferentes.

Outros sistemas são o Colton, Kell, Kidd, Lewis, Landsteiner-Wiener, P, Cartwright, XG, Scianna, Dombrock, Chido, Kx, Gerbich, Cromer, Knops, Indian, Ok, Raph e o JM.

Mas qualquer um destes é tão raro que a maioria das pessoas não tem de se preocupar com eles, exceptuando se forem de um grupo étnico onde forem mais comuns. Em termos evolutivos, pensa-se que inicialmente todos os seres humanos eram do grupo O. À medida que os seus descendentes se iam expandindo pelo mundo, foram ocorrendo mutações. Por volta de 20 mil AC, ocorreu uma mutação e surgiu o grupo A nos seres humanos que habitavam a Europa Central e a Escandinávia (Suécia, Noruega e Finlândia). Em 10 mil AC, com uma nova mutação, surgiu o grupo B nos seres humanos que tinham chegado à Ásia. Com os descobrimentos, a partir de 1 500 DC, as populações Africanas, Europeias e Asiáticas começaram a cruzar-se e surgiu um novo grupo, o grupo AB. Provavelmente é esta a razão pela qual os grupos sanguíneos estão distribuídos numericamente como estão, sendo o tipo O (o mais antigo) o mais comum e o tipo AB (o mais recente) o menos frequente.



Publicado por Mauro Maia às 20:43
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Sábado, 7 de Janeiro de 2006
Fractais
Qual é a forma de uma nuvem? Qual é a forma de uma montanha? Qual é a forma de uma árvore? Qual é a forma de um rio?

As formas dos objectos no mundo são geralmente pensadas em termos das figuras geométricas clássicas (círculos, triângulos, quadrados, esferas, cubos,...).
Mas nada no Mundo tem a perfeição dessas figuras (e poucas são as que a parecem ter).
Os seres humanos apreciam bastante essas formas e é das suas mãos que geralmente surgem objectos com essas formas (mas apenas aproximadamente, mesmo que isso não seja visível a olho nu).

O mundo definitavamente não se apresenta visualmente como geométrico e é apenas a mente humana que as apercebe na realidade que a rodeia como aproximações desses ideais platónicos.

Mas se assim é, qual será a verdadeira forma das coisas no mundo?
Terá a Matemática (como única lente correcta para a observação do mundo) explicações e descrições para a forma como as coisas realmente se apresentam no mundo (e menos como «nós» gostaríamos de as ver)?

O mundo é um poço de surpresas mas o ser humano tem conseguido (nestes 5 milhões de anos desde que surgiram os hominídeos e nos 150 mil anos desde que surgiu o Homo Sapiens) permanentemente alargado a sua consciência, a sua cultura e o seu conhecimento de forma a compreender mais e mais a infinita complexidade do mundo no qual nasceu e no qual foi moldado (uma complexidade que se espelha no próprio cérebro humano que a procura entender).

Nos anos 70 do século XX a espécie humana deu mais um dos decisivos passos na percepção do mundo tangível. Nessa década o matemático francês Benoit Mandelbrot estudou umas estranhas formas matemáticas que eram há muito conhecidas pelos matemáticas como «curvas monstruosas», figuras como a curva com 1 dimensão que ocupava completamente o plano de 2 dimensões. Mas a ninguém tinha ocorrido que essas «curvas monstruosas» eram a chave para a representação do mundo real.
Alguns fractais

Mandelbrot estudou essas estranhas formas como um todo, deu-lhes o nome de «fractais» e estudou as suas propriedades, propriedades que apenas se tornaram possíveis de estudar com o advento dos computadores (e especialmente dos computadores pessoais).

Um fractal é uma figura geométrica que tem:
~ uma dimensão que não é inteira (enquanto as figuras geométricas clássicas têm dimensão 2 ou 3 os fractais têm dimensões como 1,123);
~ têm uma infinita complexidade (por muito que se façam ampliações a figura é sempre intrincada e cheia de pormenores);
~ apesar da sua complexidade são contruídos usando regras muito simples.
Geralmente também os fractais têm auto-semelhança a um grau infinito, isto é, pequenas partes da figura são iguais ao todo.

~ Como assim «têm dimensões que não são inteiras»? Como pode uma figura que se desenha num papel que tem 2 dimensões ter uma dimensão diferente de 2?

Apesar de os fractais terem dimensões não inteiras, a sua dimensão é sempre inferior à do espaço que ocupa (um fractal desenhado numa folha de papel tem uma dimensão menor do que 2, um fractal numa escultura tem uma dimensão menos do que 3).
Mas como se calcula essa dimensão?

Para isso é necessário um conceito muito simples (e largamente usado antes do surgimento dos computadores) para o cálculo de multiplicações com grandes números: os logaritmos.

O logaritmo é a função inversa exponenciação (tal como a subtracção é a função inversa da soma, a divisão da mutltiplicação).
Quando se eleva 2 ao cubo (2x2x2) obtém-se 8.
Quando se eleva 4 a cinco (4x4x4x4x4) obtém-se 1024.

Então, o número que elevado a 3 dá 8 é 2 (o logaritmo de base 2 de 8 é 3); o número que elevado a 5 dá 1024 é 4 (o logaritmo de base 4 de 1024 é 5).
Qual é o logaritmo de base 9 de 81? (como 9 elevado a 2 dá 81, o logaritmo de base 9 de 81 é 2).

Para estudar a dimensão destas estranhas formas a que se dá o nome de «fractais» usa-se o que é designado por Dimensão de Hausdorff-Besicovich.
Este processo de cálculo envolve primeiro determinar o tamanho do objecto depois de se efectuar um dado aumento. Faz-se então a divisão entre o logaritmo (não interessa a base) do novo tamanho e o logaritmo (com a mesma base do anterior) do factor de aumento.

e.g.
~ Imagine-se um segmento de recta.
Se se aumentar 2 vezes o segmento de recta este fica com o dobro de comprimento (cabem 2 segmentos com a dimensão original no novo segmento).
A dimensão é então log 2 / log 2 = 1
~ Imagine-se um quadrado.
Se se aumentar 2 vezes o quadrado este fica com o quádruplo do tamanho (cabem 4 quadrados com a dimensão original no novo quadrado).
A dimensão é então log 4 / log 2 = 2
~ Imagine-se um cubo.
Se se aumentar 2 vezes o quadrado este fica com o óctuplo do tamanho (cabem 8 cubo com a dimensão original no novo cubo).
A dimensão é então log 8 / log 2 = 3
Uma nota para explicar estes log sem base que aqui se apresenta na fórmula:
devido ao seu constante uso em Matemática, subentende-se que log é o logaritmo de base 10. Outros logaritmos têm de ter a base indicada (log 2, log45, ...)


Quando se aplica esta fórmula aos fractais descobre-se que os valores não são inteiros. Veja-se a aplicação da dimensão de Hausdorff-Besicovich a um dos fractais mais simples: a Curva de Köch ou Floco de Neve.
Para a sua contrução comece-se por um triângulo equilátero. Junte-se depois a meio de cada lado um triângulo equilátero que tem de lado um terço (1/3) do anterior. Em cada um dos 3 triângulos mais pequenos junte-se um triângulo um terço mais pequeno. Repete-se indefinidamente o processo.
Obtém-se uma figura com uma área finita (é sempre inferior à circunferência que o circunscreve) e um comprimento infinito.


Como se vê esta figura tem todas as características de um fractal:
~ Cada figura seguinte é igual à anterior com a junção de triângulos que são 1/3 maiores.
Assim a cada passo obtém-se um figura que é 4/3 maior do que a anterior.
(Se cada lado for dividido em 3 partes, o triângulo que se lhe junta é constituido por 2 dessas partes. Cada lado passa a ter 1/3+1/3+1/3+1/3 = 4/3 de comprimento.)
Então a Curva de Koch tem dimensão log 4 / log 3 = 1,26185950714291487419905422868552...
~ não é difícil de visualizar que cada pequena parte da Curva de Koch é uma reprodução da figura maior, situação que se repete infinitamente.
~ A construção da curva é muito simples: pega-se num triângulo, calcula-se 1/3 e coloca-se no meio do triângulo anterior, repete-se indefinidamente.
~ A curva tem um grau de pormenor infinito: por mais que se amplie a figura, há sempre igual nível de detalhe.

Um outro fractal de simples construção é o Triângulo de Sierpinski.
Pegue-se num triângulo equilátero. Retire-se o triângulo que mede 1/3 do original.
Para os triângulos restantes repete-se. Obtém-se um fractal que tem comprimento infinito e área nula!


Os belos fractais que se apresentam acima têm uma construção igualmente simples (uma única e pequena fórmula) que é aplicada indefinidamente. O resultado é cada um dos fractais que se apresentam (a que é adicionada cor, em função do tipo de resultado que cada aplicação da fórmula produz).

O fractal mais conhecido é o Conjunto de Mandelbrot, por ter sido descoberto pelo criador da Teoria dos Fractais, Benoit Mandelbrot.
Para a construção deste fractal começa-se por usar o ponto de coordenadas (0, 0).
(na verdade usa-se o número complexo 0 + 0i, mas este é geometricamente igual).

Em seguida aplica-se a fórmula zn+1 = zn2 + C.

Se o ponto a que se aplica a fórmula produz continuamente números maiores, o ponto é representado com uma cor, dependente da «velocidade» a que os pontos crescem.
Se o ponto produz números pouco maiores do que si mesmo, é representado a preto.
O resultado de se aplicar continuamente esta pequena fórmula é o belo, intrincado e infinitamente complexo fractal de Mandelbrot, que possui igualmente a infinita complexidade, a simplicidade de construção, a dimensão fractal e a auto-semelhança.



É dessa forma que as formas aparentemente impossíveis de complexidade do mundo orgânico (e não só) podem surgir de princípios muito simples.
Não é difícil de visualizar, nos fractais apresentados acima, formas biológicas como folhas ou animais microscópicos. A representação fractal faz hoje parte das simulações por computador de cadeias de montanhas, com uma verosimilhança altamente sofisticada.


Publicado por Mauro Maia às 18:05
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Domingo, 1 de Janeiro de 2006
Curiosulus
Uma nova página abre-se então neste primeiro dia do ano de 2006 no Cognosco.
Recém chegado, ainda de espírito leve e a um dia do recomeço das actividades profissionais, sentei-me à frente do computador que não via há 15 dias. O número de visitas e desejos de boas festas aqueceram-me o coração.

É então hora de recuperar o fôlego e a energia, de reconquistar o ânimo e a imaginação para procurar alcançar a fasquia a que o Cognosco se tem proposto ao longo destes 10 meses e 14 dias. E cada passo falhado é um novo passo mais seguro.

Para quebrar então o entorpecimento dos dedos que quinze dias de inactividade provocaram e, uma vez que o cansaço impede outros de natureza mais profunda, eis um artigo leve. É uma pequena curiosidade que me ocorreu nestas férias (e que não requere uma análise mais profunda e demorada).

Recordei-me então de uma adivinha dos meus tempos de infância:
«Qual é a coisa, qual é ela, que antes de ser já era?»
(devo dizer que as adivinhas fascinam-me de uma forma que os provérbios não fazem, como expressei no artigo Provérbios e adivinhas)

A resposta a esta adivinha é a pescada:
antes da pescada (o peixe) ser pescada (o verbo pescar) já era pescada.
Foi uma adivinha que marcou a minha meninice. As reviravoltas de sentidos, a ubiquidade do termo «pescada» simultaneamente peixe e verbo fez-me compreender a profundidade das camadas de beleza da língua portuguesa.

Mas na verdade, ponderando um pouco, chega-se à conclusão que esta adivinha permite várias soluções igualmente válidas e curiosas:

• o vestido já é vestido (a peça de roupa) antes de ser vestido (verbo).
• a comida já é comida (a parte sólida da refeição) antes de ser comida (verbo).
• a bebida já é bebida (a parte líquida da refeição) antes de ser bebida (verbo).
• o dado já é dado (o cubo com fins lúdicos) antes de ser dado (verbo).

Não me ocorrem, para já, outras soluções válidas.
(Se a algum dos muito criativos leitores do Cognosco ocorrer mais alguma, peço que a refiram)

Uma outra curiosidade ligada às palavras do muito belíssimo Português é as palavras masculinas terminadas em «a».
A regra geral é que palavras masculinas terminam em «o» e que palavras femininas terminam em «a».

Há, no entanto, excepções. A maioria envolve terminações em letras que não as supracitadas a» ou «o». (luar; mente; mais; ...)
Também como regra geral, perante um grupo de mil mulheres e um homem, tem de se usar a forma masculina na referência ao grupo.
(Uma grande amiga minha «amiga da sabedoria» tem uma visão sui generis sobre esta situação: o masculino é o sexo neutro em Português, por isso se emprega para grupo contendo ambos os sexos. É um curioso olhar feminista sobre a questão).

Mas a questão que pretendo aqui expôr é a das palavras que, sendo masculinas, escaparam ao crivo machista que por tantos séculos dominou a cultura portuguesa (por inerência do machismo da civilização ocidental). São palavras masculinas que terminam em «a». Alguns exemplos incluem:

• o cinema;
• o poeta;
• o poema;
• o dilema;
• o diadema;
• o cientista;
• o tema;
• o conviva;
• o dia;
• o enigma;
• o motorista;
• o camionista;
• o problema;
(recentemente adicionado graças ao comentário de PN)

Curiosamente ocorreram-me, nas férias, as 7 primeiras palavras. Assim que me sentei para escrever este artigo ocorreram-me outras 5. E de certeza há ainda mais do que esta modesta lista. Mais uma vez deixo o repto, a quem esta questão intrigar, que deixe as suas sugestões para palavras masculinas que terminam em «a».


Houve outras curiosidades ligadas a algumas excepções na língua portuguesa:
• Paridades sobre porque itens singulares, como as calças, serem referidos no plural;
• Inclusivas sobre um tipo de palavras que se auto-referem;
Excepções sobre o próprio conceito de excepção;)


Publicado por Mauro Maia às 21:23
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