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Diário das pequenas descobertas da vida.
Sábado, 25 de Março de 2006
Cantor infinito
Símbolo do infinitoO infinito é um conceito que já se tornou bastante comum na linguagem do dia-a-dia, principalmente como «sinónimo» de «enorme».
O meu amor por ti é infinito; Tenho infinitas contas para pagar; ...
Apesar da sua entrada na linguagem comum como uma metáfora para algo muito grande ou numeroso, o significado concreto do termo é um pouco nebuloso para a maioria das pessoas. A ideia (correcta) que terão é a de que é algo que é maior do que qualquer outra coisa.

Uma das coisas que mais poderá surpreender as pessoas será a de que:
O «conhecido» é constituido por, pelo menos, 2 infinitos, um maior que o outro.

~ Como assim «um maior do que o outro»? Se os dois são infinitos nenhum pode ser maior do que o outro! Há o mais infinito e o menos infinito mas esses têm o mesmo tamanho...

Os dois infinitos de que falo não são os infinitos que qualquer aluno de Matemática do Ensino secundário está habituado a ver e a trabalhar, a noção matemática de infinito. (Sobre o uso da maiúscula no substantivo «Matemática» e da minúscula no adjectivo «matemática» ver Quom maiores aut minores.)

Georg CantorA história destes dois irmãos separados à nascença começa com um senhor alemão de nome Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor. Georg Cantor nasceu em São Petersburgo, filho de Georg Waldemar Cantor, negociante dinamarquês e da russa Maria Anna Böhm.
Desde criança evidenciou-se como um excepcional violinista e com notáveis talentos musicais, mais uma vez mostrando a forte ligação que existe entre a Matemática e a Música (que começou com os pitagóricos, como visto em Simplesmente complexo).
Ao longo da sua vida profissional sofreu depressões nervosas, agravadas e permanentes após a morte de um dos seus 8 filhos.


Cantor, entre outras grandes contribuições para o desenvolvimento da Matemática, fundou e realizou importantes trabalhos na Teoria dos Conjuntos.
Um «conjunto», em Matemática, é uma colecção de objectos únicos e claramente distintos. {martelo, elefante, martelo, locomotiva} é um conjunto.

Os conjuntos podem ter um tamanho finito ou um tamanho infinito.
{1, 2, 3, 4, 5} é um conjunto finito ; {todos os números naturais} é um conjunto infinito.
Foi sobre os conjuntos infinitos que Cantor se debruçou e obteve resultados surpreendentes e contra-intuitivos (perante alguns deles terá mesmo exclamado «Eu vejo-o mas não acredito»).
As surpressas surgiram quando Cantor decidiu contar o número de elementos de conjuntos infinitos.

~ Como assim, contar o número de elementos de um conjunto infinito? Pois se é infinito, é infinito. Nunca se acaba de contar. Por isso é infinito!

Para contar conjuntos infinitos, Cantor imaginou uma estratégia engenhosa:
compararia os conjuntos que pretendia contar com o conjunto de números naturais.

No conjunto {martelo, elefante, martelo, locomotiva} cada elemento pode ser associado, por ordem, a um número natural.
Neste caso até ao número 4, pelo que o número de elementos do conjunto é 4 (diz-se que o cardinal do conjunto é 4.

No caso dos números pares, podemos associar cada um deles a um número natural individual e diferente. Dessa forma o conjunto dos números pares também é infinito mas, eis algo de surpreendente, há tantos números pares quanto números naturais (em vez da metade que se esperaria. No conjunto de 6 números 1, 2, 3, 4, 5, 6 há 3 números pares: 2, 4, 6. Os números pares (3) são metade dos números considerados (6)). Com os números ímpares passa-se o mesmo.
Ou seja, a parte é igual ao todo! Há tantos números pares como naturais.
Não admira que Cantor tenha ficado abismado com este aparente paradoxo (que não é verdadeiramente, encontrando-se perfeiramente demonstrado matematicamente).


Assim o cardinal dos números naturais ( # ) é igual ao cardinal dos números pares (e ao dos números ímpares)</b>
Ao número de elementos do conjunto dos números naturais Cantor chamou
Aleph-zero (aleph é a primeira letra do alfabeto hebraico), que se representa como 0

Cantor começou então a verificar se outros conjuntos infinitos também tinham o mesmo cardinal (isto é, o mesmo número de elementos). Teriam todos os conjuntos infinitos cardinal 0 ?
Veja-se o artigo Simplesmente complexo sobre outros conjuntos de números.

O conjunto dos números inteiros :


É possível associar cada número inteiro a um número natural (em que cada número inteiro positivo par corresponde o número natural que é a sua metade e cada número inteiro ímpar ao número natural seguinte)

Conjunto dos números racionais :

Este conjunto colocou algum problema quanto ao método de contagem. É que entre quaisquer dois números inteiros há infindos números racionais. Não era já possível associar facilmente cada fracção a um número natural por ordem crescente. Mas então Cantor lembrou-se de imaginar as fracções numa grelha. Podia-se associar cada fracção da grelha a um número natural fazendo um percurso «enviesado» mas consistentemente lógico para a célula seguinte. Cada fracção numa célula corresponderia ao número natural seguinte.


Desta forma Cantor mostrou que também tem cardinal 0.

Conjunto dos números reais :

Este conjunto de números reais era ainda mais bicudo do que o anterior mas Cantor, mais uma vez, imaginou uma forma inteligente de determinar o cardinal de .

Imagine-se que se colocam todos os números reais numa lista.
Obviamente que, se estão numa lista, é fácil associá-los a números naturais crescentes.
O primeiro número da lista associa-se a 1; o segundo número da lista associa-se a 2;... ; o décimo-terceiro número da lista a 13; ...

Parte da lista poderia ser:
...
0,345236425643765...
0,14534536357457...
...
652,4567458478475...
1,453453645645645...
...

Esta lista deve conter todos os números reais!
Mas, no entanto, imagine-se o seguinte número:
É diferente do primeiro número da lista no primeiro (1.º) algarismo, é diferente do segundo (2.º) número da lista no segundo algarismo, ..., é diferente do décimo-terceiro (13.º) número no décimo-terceiro algarismo, ..., é diferente do tricentésimo sexagésimo quarto (364.º) número no algarismo tricentésimo sexagésimo quarto algarismo;...

Obviamente que este número também é real. Mas no entanto não está nesta lista que supostamente contém todos os números reais. Há uma contradição: como pode uma lista que contém todos os números reais não conter este?

~ Não faz mal, é só juntar esse número e a lista fica completa...

Poderia pensar-se que a lista ficaria completa se se adicionasse à lista esse número.
Mas se repetirmos o mesmo processo com a «nova» lista obtemos novamente um número que não faz parte da lista.

Esta contradição diz-nos então que não é possível fazer um lista ordenada com todos os números reais. Dessa forma se constata que é não é possível associar a cada número real um número natural.

O cardinal de não é 0. Chamou-se a esse cardinal (a letra «c» minúscula do alfabeto germânico)

Há então dois números infinitos, em que O é menor do que

Assim, o «velhinho» é na verdade um termo geral que abarca dois infinitos de tamanhos diferentes!

Um problema matemático que está ainda por resolver é a de saber se há algum cardinal maior do que «aleph-zero» mas menor do que «c».
Por outras palavras, será que «aleph-um» é igual a «c»?
Sabe-se apenas que «aleph-zero» elevado a «aleph-zero» é igual a «c»...

Assim, quando se ouvir dizer «Eu tenho infinitos problemas!», já podemos retorquir «Os teus problemas são «aleph-zero» mas os meus são os teus elevados a si mesmos. Se os teus são «aleph-zero» os meus são «c»!
Desta forma Cantor conseguiu o feito aparentemente impossível de contar conjuntos infinitos e determinar que uns são maiores do que outros.

Pedindo licença a George Orwell, «Todos os números são iguais, mas alguns são mais infinitos do que outros» (adaptado de «Todos os animais são iguais mas alguns são mais iguais do que outros» no livro «Animal Farm», traduzido em Portugal como «O triunfo dos porcos»)

Alguns dos resultados que Cantor viu mas não quis acreditar:
~ Há tantos números pares como números naturais;
~ Há tantas fracções como números pares;
~ Há dois infinitos, uma maior do que o outro;


Nas palavras do matemático David Hilbert: «Ninguém nos expulsará do paraíso que Cantor criou»


Publicado por Mauro Maia às 10:11
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Sábado, 18 de Março de 2006
Só phi é d'ouro

ϕ A razão humana é de ouro, é a maior conquista da Humanidade. As definições do que se entende exactamente por razão variam grandemente mas qualquer um, dotado dela, saberá que ela existe (mas que interessante tautologia...)

 

Mas, além da razão no sentido intelectual do termo, há também um número a que se chama razão de ouro, proporção de ouro, secção de ouro ou secção divina (sectio divina) e é representado pela letra grega ϕ (phi ou fi), também escrita como .Tal como o número Pi ( π ), phi ( ϕ ) é um número irracional, i.e., não pode ser escrito como a divisão de dois números inteiros e é uma dízima infinita não periódica (ver o artigo Simplesmente complexo para mais sobre os diferentes conjuntos de números, como os irracionais).

 

ϕ =

 

ϕ é um número a que se associam várias qualidades estéticas que lhe valeram o cognome de número de ouroDuas quantidades estão numa proporção de ouro quando, se uma mede 1, a outra mede &#966 &#8776 1,61803.Isto acontece sempre que «a divisão (razão) da soma das duas quantidades pela maior das duas é igual à divisão (razão) da maior quantidade pela menor». Dito de outra forma, duas quantidades «a» e «b» (em que «a» é maior do que «b») estão numa proporção de ouro se (a+b)/a = a/b (ou então b/(a-b) = a/b.) Quando a quantidade mais pequena «b» mede 1, a quantidade maior «a» mede ϕ. Dessa forma, (ϕ+1)/ϕ = ϕ/1. Então ϕ + 1 = ϕ2. Chegamos assim à equação:

ϕ2 - ϕ - 1 = 0. Esta equação do segundo grau tem 2 soluções possíveis, uma positiva e outra negativa. Como ϕ é uma quantidade, tem de ser positivo. Assim a solução é

Isto é, se se substituir a incógnita da equação por este valor, o resultado, depois de efectuadas as operações, será 0.

 

Um rectângulo tem a proporção de ouro quando os seus lados estão numa proporção de ouro, ou seja a soma dos dois lados está para o lado maior assim como o lado maior está para o lado menor. Quando um lado mede 1 o outro mede ϕ ≈ 1,618033; Quando um mede 2 o outro mede ≈ 3,236066;...Quando um mede «b» o outra mede bxϕ ≈ bx1,61803. Um rectângulo com a proporção de ouro pode ser dividido num quadrado e num rectângulo que também tem a proporção de ouro. Esse novo rectângulo também pode ser dividido num quadrado e num rectângulo. Além disso, se se pegar num rectângulo de ouro dividido noutro rectângulo de ouro e num quadrado, pode-se unir os vértices opostos do quadrado por uma curva. Se em seguida se colocar, ao lado do rectângulo original, um quadrado com o mesmo lado que o rectângulo, os seus vértices podem ser unidos por uma curva unida â curva anterior. Se ao novo rectângulo (fruto da união do rectângulo original com o quadrado) se se juntar um novo quadrado, com os vértices opostos unidos por uma curva unida à curva já existente e se se prolongar este procedimento indefinidamente, obtém-se o que se chama uma espiral logarítmica (já se falou em logaritmos em Fractais).É claro que ϕ tem infinitos valores após a vírgula, pelo que não é humanamente possível determinar esse valor com precisão. Apesar disso, é possível encontrar aproximações inteiras muito próximas para os lados de um rectângulo de ouro. Nos primeiros 10 números positivos (para o lado mais pequeno), a aproximação mais próxima de ϕ é a=13 e b=8 (um rectângulo de lados 13 e 8), para os quais o valor de ϕ seria 1,625. No entanto há melhores aproximações. Por exemplo, um rectângulo de lados a=1597 e b=987 dá uma aproximação de ϕ de 1,618034448 (para o lado menor inferior a 1 000, esta é melhor aproximação do valor de ϕ). A tabela seguinte indica as aproximações melhores com os primeiros 10 números, primeiros 50, primeiros 100, primeiros 500 e primeiros 1 000 (para quem quiser fazer rectângulos «de ouro»).Recorde-se que ϕ ≈ 1,6180339887...

No entanto, a sua aproximação 1,618 surge várias vezes em muitas obras tanto humanas como naturais.Grande Pirâmide de Queóps

~ Pensa-se que já os Egípcios tinham conhecimento deste valor (mas não o individualizavam como um número). A Grande Pirâmide de Quéops, em Gizé, construída sensivelmente entre 2540 AC e 2560 AC, é uma pirâmide quadrangular (a base é um quadrado) em que o comprimento dos lados é aproximadamente 186,4 metros e a metade da base mede 115,2 metros.É um triângulo rectângulo (porque tem um ângulo recto, o que a base faz com a altura) em que a hipotenusa (o «lado inclinado») e a base estão numa proporção de ouro (186,4/115,2 ≈ 1,618);

Reconstituição da Estátua de Zeus de Fídias~ Foram os Gregos antigos que primeiro o identificaram. Pensa-se que terá sido identificado pela escola pitagórica, talvez por Theano (a mulher de Pitágoras). O famoso matemático grego Euclides (de que em breve se falará no Cognosco) dava a seguinte descrição geométrica do ϕ: «um segmento de recta é dividido na proporção de ouro quando o segmento inteiro está para a divisão maior assim como a divisão maior está para a menor». O grande escultor Fídias (Phidias), devido ao uso que dava a esta proporção, deu origem ao seu nome (as primeiras letras do seu nome). O símbolo ϕ foi primeiramente usado, no início do século 20, por Mark Barr, em honra deste escultor grego. (Fídias foi o escultor da, entre outras famosas obras, Estátua de Zeus, uma das 7 Maravilhas do Mundo Antigo, curiosamente revestida de ouro e marfim...);O rectângulo de ouro no Parténon

~ O Parténon (de que anteriormente já se falou, no artigo Parténon) tem, nos elementos arquitectónicos que o compõem, a presença constante do rectângulo de ouro e do número ϕ.Os gregos apreciavam bastante as qualidades estéticas dos rectângulos que possuíam esta proporção divina e, em vários dos seus templos, usaram-nos. O Parténon não constituiu excepção...;

O pentagrama~ Como já se viu no caso da Grande Pirâmide, não só os rectângulos possuem a proporção de ouro. Também os triângulos a podem ter. Um triângulo diz-se um triângulo de ouro quando é um triângulo isósceles (ver um dos primeiros artigos do Cognosco, Medir a Terra sobre os nomes dos triângulos) no qual a divisão de um dos lados iguais por metade da base é aproximadamente ϕ. Além dos triângulos, uma outra figura muito importante para os pitagóricos era o pentagrama (a estrela de 5 pontas iguais). Cada uma das pontas é um triângulo de ouro e o pentagrama central pode ser dividido, ligando os vértices do mesmo, num novo pentagrama e assim continuamente;

~ Na Sequência de Fibonacci, que tem importantes e curiosas manifestações nas contrucções da Natureza (como se viu no artigo Fibonacci), a divisão de cada termo pelo termo anterior aproxima-se do número ϕ. Cada termo da sequência é igual à soma dos dois termos que o antecedem. A sequência é 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...1/1 = 1 ; 2/1 = 2 ; 3/2 = 1,5 ; 8/5 = 1,6 ; 13/8 = 1,625 ; 21/13 = 1,6184 ; ...Quanto maiores são os números da sequência, mais a sua divisão é próxima de φ.

 

E estas são algumas das curiosidades geométricas ligadas a ϕ. Numericamente sabe-se que ϕ é igual a 1 mais 1 dividido por 1 somado com 1 dividido por 1 somado com 1... Além disso, ϕ é igual à raíz quadrada de um mais a raíz quadrada de um mais a raíz quadrada de 1 mais...Para quem conhecer (e gostar) de funções trigonométricas temos ainda que: ϕ = 1 + 2 sen 18º; ϕ = 2 cos 36º;

 

Assim, temos a trilogia dos números irracionais mais importantes: o «π», associado primordialmente às circunferências, o número «e», base de todo o cálculo moderno e modesto mas importantíssimo «ϕ», ligado a muitos dos aspectos mais bonitos da Natureza...


Na figura ao lado: a «Divina proportione» por Luca Pacioli (1509). Um estudo da presença de ϕ no rosto humano...

 

Sem dúvida que, se π é redondo, e «e» é moderno, só phi é de ouro...

Ceci c'est un bise pour une personne d'or.



Publicado por Mauro Maia às 19:34
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Sábado, 11 de Março de 2006
Simplesmente complexo
Os primeiros números que o Homem conheceu eram os que usava para indicar as quantidades dos objectos que via.
Uma borboleta, duas pessoas, três carneiros, quatro abelhas, ...
Esse conjunto de números viria a ser chamado de Conjunto dos números Naturais e teria como símbolo (um N maiúsculo com um traço vertical junto à primeira perna, para o distinguir da letra)
São os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., 12 874, ..., 7 481 649 145 150, ..., isto é, todos os números positivos que não têm vírgula.

Mas o Homem, à medida que a sua cultura se ia expandindo, teve necessidade de inventar outros números. Surgiu-lhe a necessidade de se referir a quantidades negativas, ainda inteiras, mas menores do que zero.
Se eu tenho 3 € e compro uma revista por 5 €, eu fico a dever 2 €; se eu estou no topo de uma escada com 10 degraus e desço 2 degraus, fico dois degraus abaixo.
Estas quantidades são representadas pelo sinal negativo antes do número: -2.

Em termos matemáticos essa é a resposta à pergunta:
~ Qual é o número que, somado a 2, dá 0?

Esse conjunto de números viria a ser chamado de Conjunto dos números Inteiros e teria como símbolo (um Z maiúsculo com um traço oblíquo paralelo ao traço, para o distinguir da letra)
São os números ..., -1 412, ..., -786, ..., -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., 54 567, ..., 587 363 534 452 345, ...
isto é, todos os números (positivos, negativos e o zero) que não têm vírgula.

~ Porque escolheram a letra Z? Não tinha mais lógica que fosse a letra I, de inteiros (ou mesmo I de
integers?

A escolha do símbolo vem da palavra alemã zahal, que significa número.

Mas e quando se divide algo em partes mais pequenas, que números se obtêm? Se eu tenho uma barra de chocolate e a divido igualmente por 3 amigos, com quanto chocolate é que cada um fica? Ficará, claro está (?), com 1/3 (um terço). Se eu tiver 3 bolos numa festa e cada um dos 19 convidados tiver uma fatia de igual tamanho, quanto bolo é que cada um fica? 3/19 (três dezanove avos).
(eis mais uma palavra em que a presença ou ausência ou o tipo de acento faz toda a diferença: avÓ, avÔ, avO)
Em termos matemáticos essa é a resposta à pergunta:
~ Qual é o número que resulta de dividir 1 por 3?

Esse conjunto de números seria chamado de Conjunto dos números Racionais e teria como símbolo (um Q maiúsculo com um traço vertical no seu interior, para o distinguir da letra)
São os números ..., - 4/5, -56/45, 1/2, 6/7, 3/2, 23453/83424, ...
isto é, todos os números (positivos, negativos e o zero) que resultam da divisão de dois números inteiros.


A escolha do símbolo vem do latim Quanta que significa quantidade.

Para a maioria das pessoas e para os usos mais frequentes no quotidiano, estes conjuntos numéricos poderão ser suficientes (aparentemente). Mas há questões que não são respondidas com um número natural, ou inteiro ou racional, tal como «num triângulo rectângulo com lados 1 e 1, quanto mede o terceiro lado?»

Foi esta a questão que atormentou os matemáticos gregos clássicos, nomeadamente Pitágoras (580 AC a 500 AC), que fundou e liderou a seita místico-matemática pitagórica.
Os pitagóricos acreditavam que tudo era formado por números (não só em termos figurativos mas mesmo em sentido literal). Os números que conheciam eram os números naturais, os inteiros e os racionais. Nada mais existia e tudo podia ser descrito pela divisão de dois números inteiros (mesmo os números naturais e os números inteiros não passam de números racionais, da divisão de números inteiros: 2 = 2/1 ou 6/3 ou 12/6 ou ...; 0 = 0/3 ou ...; -5 = -15 / 3 ou ...)

Foi na sua incessante procura da essência numérica racional das coisas que os pitagóricos determinaram a ligação entre a Música e a Matemática, o que deu origem à escala musical. Apenas os sons produzidos por dedilhar uma corda numa parte de uma divisão inteira produz uma nota agradável.
Foi o monge beneditino Guido d'Arezzo, no ano 1000 DC, que introduziu os nomes que actualmente se usam para as notas musicais: dó, ré, mi, fá, sol, lá, si.
Nessa altura era famosa uma música em Latim, criada em 770 DC. O iníco de cada verso era dado por uma nota diferente, cada uma mais aguda do que a anterior. Arezzo então chamou a cada nota a sílaba que lhe correspondia na música.
(Ut queant laxis, resonare fibris, mira gestorum, famuli tuorum, solve poluti, labii reatum sancte ioanes)

Foi depois mudado o nome «Ut» para o mais musical «dó», primeira sílaba de «Dominus» (Senhor) e foi acrescentada a nota «si», iniciais de «Sancte Ionnes» (São João), com que termina o sexto verso.

Uma das curiosas interdições dos pitagóricos era a proibição de comer leguminosas (feijões, favas, ...) Pitágoras acreditava que, na flatulência, perde-se uma parte da alma (era a sua explicação para a origem do ar que se soltava). Como estas leguminosas são conhecidas pelos seus efeitos flatulentos, Pitágoras proibia o seu consumo.

Foi também na escola pitagórica que se descobriu uma quantidade que não podia ser descrita pela divisão de dois números inteiros. Num triângulo rectângulo de lados 1 e 1, o terceiro lado tem um comprimento de raíz quadrada de 2, número que se prova facilmente não poder ser descrito como um racional. Diz-se que os pitagóricos, horrorizados pela descoberta, mataram o discípulo que encontrou essa «aberração».
Uma característica que distingue números racionais de números irracionais é que os primeiros são sempre números com finitas casas decimais (um número limitado de algarismos depois da vírgula) ou então têm infinitas casas decimais mas têm sempre o mesmo conjunto de números a repetir-se, o chamado período.
0,456 é uma dízima finita, logo é racional por isso pode escrever-se como uma fracção(57/125);
0,1121212121... é uma dízima infinita periódica (período = 21), logo é racional e por isso uma fracção (111/990);
0,5613456832... é uma dízima infinita não periódica logo é irracional e não se pode escrever como uma fracção.


Mas este tipo de números não parava de aparecer. Na circunferência era o Pi, em questões artísticas e de harmonia a razão de ouro φ (que terá sido descoberta por Theano, matemática e mulher de Pitágoras, após a morte deste.)

Esse conjunto de números seria chamado de Conjunto dos números Irracionais e estes, juntamente com os números racionais formam o Conjunto dos números Reais. Foi dado a este o símbolo (um R maiúsculo com um traço vertical ao lado, para o distinguir da letra).
Durante muito tempo foram estes os números que se conheciam, esta infinidade de números que descreviam tudo o que as pessoas podiam pensar (daí o seu nome).

Mas continuava a haver questões que se obtinham como resposta números que não eram reais (no sentido que os matemáticos então davam ao termo). Por exemplo, a equação simples x 2 + 1 = 0 (qual o número que, multiplicado por si mesmo e adicionado a um, dá zero?)

É fácil ver que o número que, multiplicado por si mesmo e subtraindo quatro dá zero é o 2 (2x2 - 4 = 4 - 4 = 0). Mas e qual o número que multiplicado por si mesmo e adicionado a um, dá zero?
Durante muito tempo os matemáticos respondiam que não há esse número e descartavam a pergunta como sendo irrelevante. Mas, como já se disse aqui no Cognosco, os matemáticos são seres que não se contentam com aceitar as limitações:
quando elas existem resolvem-nas ou contornam-nas.
Foi o que fizeram neste caso. A solução da equação não era «real» então criaram um número a que chamaram «i» (de imaginário), que seria essa solução.
i 2 = -1. Assim i 2 + 1 = -1 + 1 = 0.

Este novo número tem uma série de propriedades curiosas e cria, só por si, um conjunto inteiramente novo de números, o Conjunto dos números Complexos, que tem o símbolo (um C maiúsculo com um traço vertical no interior, para o distinguir da letra)

Todos os conjuntos de números «encaixam» uns nos outros, como matryoshka russas.

Os números naturais são os inteiros positivos, os inteiros são os racionais em que o denominador (o número que divide) é 1, os reais são os números racionais mais os irracionais, os complexos são os reais mais o i

Um número complexo é formado por duas partes: uma parte real e uma parte imaginária (ligada a i). Por exemplo 5 + 3i. (5 + 3i)2 = 5x5 + 5x3i + 3ix5 + 3ix3i = 25 + 30i - 9 = 16 + 30i.
Qualquer número pode ser escrito como um número complexo.
1 = 1 + 0i; -4,6735 = -4,6735 + 0i; ...

Quando um número é real a sua parte imaginária é 0, pelo que só se obtém a parte real (que é igual ao próprio número). Mas há várias formas de representar o mesmo número complexo (tal como 1/2 = 4/2 = 6/3 = 88/44 = ...)
Assim, -1 = 0 + i2, 5 = 0 - 5i2, ...

Num outro artigo falarei das operações com números complexos (todas as que se fazem com os números reais também são feitas com os complexos).
Para já fica a noção de que «há mais números entre o céu e a terra do que sonha a tua filosofia» (adaptada da frase There are more things in heaven and earth, Horatio, than are dreamt of in your philosophy da cena 5, do primeiro acto, da peça Hamlet de Shakespeare).

Fica uma das mais bonitas equações matemáticas, que liga quatro dos mais importantes números (só falta o φ...):
Esta fórmula (do profícuo Euler, de que já se falou em:
~ As pontes de Königsberg;
~ Omnia factus mathematica;
~ Euler ergo Platon)
liga os números:
«e» (a base para o cálculo moderno e cujo símbolo é uma homenagem a Euler;
«π» (a razão entre o perímetro de uma circunferência e o seu diâmetro;
«0» e «1» (os números com os quais os computadores geram o nosso mundo tão eficientemente)


Publicado por Mauro Maia às 15:26
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Domingo, 5 de Março de 2006
A derrota de pizza
Estátua de D. Afonso III em frente à Sé de FaroEm 1254, era rei, em Portugal, D. Afonso III, o Bolonhês (ou o Bravo). Este era o quinto rei português (1210-1270), bisneto de D. Afonso Henriques. Era filho de D. Afonso II (o terceiro rei português) mas era o segundo filho do rei, pelo que não antevia uma subida ao trono. Ficaria sempre na sombra do seu irmão Sancho. Como tal passou grande parte da vida na França, no condado da Bolonha, onde veio a casar com a herdeira do condado bolonhês, Dona Matilde, em 1238. Tornou-se assim o Conde de Bolonha (de onde viria o seu cognome o Bolonhês).

Mas, devido a conflitos existentes entre o seu irmão Sancho II (nessa altura já o quarto Rei de Portugal) e os poderes eclesiáticos, em 1246 o papa Inocêncio IV ordenou que o rei fosse afastado e substituído pelo seu irmão, o Conde de Bolonha, Afonso.
Obedecendo à ordem papal, Afonso regressou a Portugal e assumiu o trono com relativa facilidade (devido à impopularidade do seu irmão) em 1247, abdicando do título de Conde de Bolonha. Em 1253 divorciou-se de Dona Matilde e casou com Dona Beatriz, filha do Rei Afonso X de Castela. Foi em 1254 que D. Afonso III reuniu as primeiras Cortes do reino, em Leiria, reunindo representantes do três sectores da sociedade portuguesa: a nobreza, o clero e o povo. Foi também Afonso III, o Bolonhês, que finalizou as conquistas do território que seria Portugal, aos Mouros, ao conquistar a cidade de Faro.

Enquanto tudo isto decorria em Portugal nascia, a 15 de Setembro de 1254, na cidade italiana de Veneza, um menino a quem foi dado o nome de Marco.
Marco nasceu numa família de comerciantes e os seu pai (Nicolau) e os seus tios (Mafeu e Marco, o Velho) faziam negócios com o Oriente.
Em 1259 a família vivia em Constantinopla mas decidiu mudar-se para a cidade de Soldaia, no Mar Negro, parte do Império Mongol, receando os ventos de mudança que se avizinhavam. Em 1261 (apenas dois anos depois) a cidade foi conquistada e os residentes venezianos na cidade mortos.
Foi neste mesmo ano, 1261, que nasceu o herdeiro real do trono português, D. Dinis, filho de Afonso III e Dona Beatriz, mais novo do que o pequeno Marco 7 anos.

Kublai KhanFicaram pouco tempo na cidade e mudaram-se para Sarai. Mas a cidade não passava de um aglomerado de tendas e a família viveu lá apenas um ano. A estada seguinte foi na cidade de Bocara (actual Uzbiquistão) por três anos.
O Império mongol estava dividido em 4 grandes zonas. A divisão onde se integrava a cidade onde vivia a família de Marco incluía o que é agora o Irão, o Iraque, Afeganistão, Azerbeijão e parte do Paquistão. Era governada por um irmão de Kublai Khan, o grande líder que residia na capital mongol Khanbaliq, actual Pequim na China.

Em 1264 Nicolau e Mafeu integraram uma embaixada com destino ao Grande Khan, que chegou em 1266. Os irmãos foram acolhidos pelo Imperador Mongol e enviados por este de volta ao Ocidente, com uma carta dirigida ao papa pedindo-lhe professores que ensinassem aos mongóis os costumes e religião ocidentais. Chegaram a Veneza em 1269, após muitas peripécias, para descobrirem que o Papa tinha morrido. Aguardaram então a eleição de um novo, que só ocorreu em 1271, com a subida ao trono de Gregório X.

O novo papa respondeu ao pedido de Kublai Khan e, nesse mesmo ano (1271), os irmãos foram enviados de volta ao Império mongol. Desta vez Marco (que tinha já 17 anos) acompanhou-os. Quando lá chegaram Marco caiu nas boas graças do Imperador mongol e trabalhou para ele durante 17 anos.
Entretanto já morrera, em Portugal, D. Afonso III e subira ao trono, em 1279, o seu filho e de Dona Beatriz, D. Dinis, o Lavrador.

Em 1291 foi incubida, ao já adulto Marco (29 anos), a missão de escoltar uma princesa mongol até ao reino do seu noivo, o novo governante do reino mongol que tinham deixado para trás. Após completarem a sua missão voltaram à cidade de Veneza, onde chegaram em 1295.

Todos estes acontecimentos são relatados no seu livro As viagens de Marco Pólo.

Poucos acreditaram nas suas fantásticas descrições mas as multidões aglomeravam-se para as ouvir. Entretanto as cidades de Veneza e Génova (e também Pisa) regularmente entravam em conflito militar com vista ao domínio do Mediterrâneo.
Numa dessas batalhas, em Setembro de 1298, na Batalha Naval de Curzola, ganha pelos genoveses aos venezianos, Marco Pólo foi capturado e enviado para a prisão.

Reza a tradição que Marco Pólo ditou ao seu companheiro na prisão, Rustichello da Pisa, as suas vivências na China (chamada de Catai por Marco Pólo), escrita em Francês arcaico.
Rustiquelo era uma romancista que tinha, anteriormente à prisão, escrito Roman de Roi Artus (O Romance do Rei Artur), também conhecido como A Compilação, que inspirou, durante séculos, a literatura espanhola, francesa, italiana e mesmo grega.

Estátua de Marco Pólo na cidade de Hangzhou, na China
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<img alt="Estátua de D. Afonso III em frente à Sé de Faro" src="http://cognoscomm.com/mm/PolAfons.jpg" width="120" height="310" align="right" border="0" />Em 1254, era rei, em Portugal, D. Afonso III, <i>o Bolonhês</i> (ou <i>o Bravo</i>). Este era o quinto rei português (1210-1270), bisneto de D. Afonso Henriques. Era filho de D. Afonso II (o terceiro rei português) mas era o segundo filho do rei, pelo que não antevia uma subida ao trono. Ficaria sempre na sombra do seu irmão Sancho. Como tal passou grande parte da vida na França, no condado da Bolonha, onde veio a casar com a herdeira do condado bolonhês, Dona Matilde, em 1238. Tornou-se assim o Conde de Bolonha (de onde viria o seu cognome <i>o Bolonhês</i>).

Mas, devido a conflitos existentes entre o seu irmão Sancho II (nessa altura já o quarto Rei de Portugal) e os poderes eclesiáticos, em 1246 o papa Inocêncio IV ordenou que o rei fosse afastado e substituído pelo seu irmão, o Conde de Bolonha, Afonso.
Obedecendo à ordem papal, Afonso regressou a Portugal e assumiu o trono com relativa facilidade (devido à impopularidade do seu irmão) em 1247, abdicando do título de Conde de Bolonha. Em 1253 divorciou-se de Dona Matilde e casou com Dona <u>Beatriz</u>, filha do Rei Afonso X de Castela. Foi em 1254 que D. Afonso III reuniu as primeiras <i>Cortes</i> do reino, em Leiria, reunindo representantes do três sectores da sociedade portuguesa: a nobreza, o clero e o povo. Foi também Afonso III, <i>o Bolonhês</i>, que finalizou as conquistas do território que seria Portugal, aos Mouros, ao conquistar a cidade de Faro.

Enquanto tudo isto decorria em Portugal nascia, a 15 de Setembro de 1254, na cidade italiana de Veneza, um menino a quem foi dado o nome de <i>Marco</i>.
Marco nasceu numa família de comerciantes e os seu pai (Nicolau) e os seus tios (Mafeu e Marco, <i>o Velho</i>) faziam negócios com o Oriente.
Em 1259 a família vivia em Constantinopla mas decidiu mudar-se para a cidade de <i>Soldaia</i>, no Mar Negro, parte do Império Mongol, receando os ventos de mudança que se avizinhavam. Em 1261 (apenas dois anos depois) a cidade foi conquistada e os residentes venezianos na cidade mortos.
<i>Foi neste mesmo ano, 1261, que nasceu o herdeiro real do trono português, D. Dinis, filho de Afonso III e Dona Beatriz, mais novo do que o pequeno Marco 7 anos</i>.

<img alt="Kublai Khan" src="http://cognoscomm.com/mm/PolKub.jpg" width="100" height="122" align="left" border="0" />Ficaram pouco tempo na cidade e mudaram-se para <i>Sarai</i>. Mas a cidade não passava de um aglomerado de tendas e a família viveu lá apenas um ano. A estada seguinte foi na cidade de <i>Bocara</i> (actual Uzbiquistão) por três anos.
O Império mongol estava dividido em 4 grandes zonas. A divisão onde se integrava a cidade onde vivia a família de Marco incluía o que é agora o Irão, o Iraque, Afeganistão, Azerbeijão e parte do Paquistão. Era governada por um irmão de <i>Kublai Khan</i>, o grande líder que residia na capital mongol <i>Khanbaliq</i>, actual Pequim na China.

Em 1264 Nicolau e Mafeu integraram uma embaixada com destino ao Grande Khan, que chegou em 1266. Os irmãos foram acolhidos pelo Imperador Mongol e enviados por este de volta ao Ocidente, com uma carta dirigida ao papa pedindo-lhe professores que ensinassem aos mongóis os costumes e religião ocidentais. Chegaram a Veneza em 1269, após muitas peripécias, para descobrirem que o Papa tinha morrido. Aguardaram então a eleição de um novo, que só ocorreu em 1271, com a subida ao trono de Gregório X.

<img src="http://cognoscomm.com/mm/PolEmb.jpg" width="150" height="115" align="right" border="0" />O novo papa respondeu ao pedido de <i>Kublai Khan</i> e, nesse mesmo ano (1271), os irmãos foram enviados de volta ao Império mongol. Desta vez Marco (que tinha já 17 anos) acompanhou-os. Quando lá chegaram Marco caiu nas boas graças do Imperador mongol e trabalhou para ele durante 17 anos.
<i>Entretanto já morrera, em Portugal, D. Afonso III e subira ao trono, em 1279, o seu filho e de Dona Beatriz, D. Dinis, </i>o Lavrador.

Em 1291 foi incubida, ao já adulto Marco (<u>29 anos</u>), a missão de escoltar uma princesa mongol até ao reino do seu noivo, o novo governante do reino mongol que tinham deixado para trás. Após completarem a sua missão voltaram à cidade de Veneza, onde chegaram em 1295.

Todos estes acontecimentos são relatados no seu livro <b>As viagens de <u>Marco Pólo</u></b>.

Poucos acreditaram nas suas fantásticas descrições mas as multidões aglomeravam-se para as ouvir. Entretanto as cidades de Veneza e Génova (e também Pisa) regularmente entravam em conflito militar com vista ao domínio do Mediterrâneo.
Numa dessas batalhas, em Setembro de 1298, na <b>Batalha Naval de Curzola</b>, ganha pelos genoveses aos venezianos, Marco Pólo foi capturado e enviado para a prisão.

Reza a tradição que Marco Pólo ditou ao seu companheiro na prisão, <i>Rustichello da Pisa</i>, as suas vivências na China (chamada de Catai por Marco Pólo), escrita em Francês arcaico.
<i>Rustiquelo era uma romancista que tinha, anteriormente à prisão, escrito </i>Roman de Roi Artus<i> (O Romance do Rei Artur), também conhecido como </i>A Compilação<i>, que inspirou, durante séculos, a literatura espanhola, francesa, italiana e mesmo grega.</i>

<img alt="Estátua de Marco Pólo na cidade de Hangzhou, na China" src="http://cognoscomm.com/mm/PolEst.jpg" width="100" height="216" align="left" border="0" /><Foi liberto em 1299 e voltou à cidade de Veneza, de onde nunca mais partiu.
Com o dinheiro que ganharam nas suas viagens, os Pólo compraram uma grande casa na cidade e retomaram a actividade mercantil. Marco Pólo tornou-se um mercador abastado e, em 1300, casou e teve 3 filhos. Entre 1310 e 1320 escreveu uma nova versão das suas viagens em Italiano, traduzida depois por um padre franciscano para Latim que foi depois por sua vez traduzida de novo para Italiano (todas estas traduções e versões originaram discrepâncias nas histórias relatadas pelo mercador-aventureiro-explorador Marco Pólo).
Em Janeiro de 1324 morreu, 8 meses antes de fazer 70 anos.
<i>D. Dinis morreu um ano após Marco Pólo, em Janeiro de 1325, com a idade de 63 anos</i>.



A influência da vida de Marco Pólo foi grande:
~ foi na obra de Marco Pólo que Cristovão Colombo se baseou para os seus «cálculos» para chegar à China por Ocidente, após os Portugueses terem descoberto a Rota da Índia pelo Cabo da Boa Esperança;
~ o aeroporto de Veneza chama-se <i>Aeroporto <u>Marco Pólo</u> di Venezia</i>, em sua honra;

Uma das lendas mais conhecidas sobre Marco Pólo refere que teria sido ele que trouxe, da China para a Europa, as <i><b>pizzas</i></b> e o <i><b>esparguete</i></b>.
No entanto há evidências históricas de que os romanos conheciam e comiam <b>esparguete</b> pelo menos desde o século IV AC (perto de 600 anos antes de Marco Pólo chegar da China).
Além disso há também registos do consumo de alimentos cozinhados na forma de <b>pizzas</b> na Itália romana e mesmo antes, nas colónias gregas na península (é referido, por exemplo, o consumo de «um pedaço achatado e redondo de massa cozinhada em pedras quentes e coberta com azeite, ervas aromáticas e mesmo mel».)
<img src="http://cognoscomm.com/mm/Pizza.gif" width="100" height="100" align="right" border="0" />
Além disso, na cidade subterrada de Pompeia (a cidade romana engolida por uma erupção vulcânica do Monte Vesúvio no ano 79 DC), há vestígios de antigas «pizzarias». A diferença dessas «pizzas» romanas para as «pizzas» modernas é que, nessa altura, o tomate ainda <b>não</b> era conhecido na Europa. Nunca um europeu tinha visto ou comido um tomate.

<img alt="frutos da Belladonna" src="http://cognoscomm.com/mm/PolBel.jpg" width="100" height="76" align="left" border="0" />O tomate, <i>Solanum lycopersicum</i>, é originário da América do Sul, onde era consumido pelos Aztecas, que lhe chamavam «tomatl».
Da família botânica do tomate fazem parte o pimento picante, a batata, o tabaco e as flores petúnia e <i>belladonna</i>.
Ora esta última flor é venenosa e a semelhança dos seus frutos com os recém-chegados-da-América tomates levou a que estes não tivessem muita aceitação inicialmente (as pessoas receavam que também fossem venenosos).
Mas um comerciante, que trouxe os frutos da América, comeu, perante uma multidão com a respiração suspensa, um cesto inteiro de tomates, provando que não eram tóxicos.
Aos poucos o fruto passou a ser aceite e a fazer parte da dieta das pessoas. Daí para as «pizzas» foi uma pequena garfada...

<i>Agora, sempre que se ouvir falar de Marco Pólo, qualquer português poderá dizer: «foi contemporâneo de D. Dinis, o Lavrador, marido da Rainha-Santa Isabel».
Sempre dá um outro aspecto à história de Portugal saber que, enquanto D. Dinis deambulava pelas terras lusas, Marco Pólo vivia as suas peripécias...</i>


Publicado por Mauro Maia às 16:43
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