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Diário das pequenas descobertas da vida.
Domingo, 28 de Maio de 2006
Nonas provas
Prova dos 9

A Prova dos 9, ou «Noves fora nada», é um teste de validade para o cálculo de somas e multiplicações de números inteiros.
É um teste muito fácil de fazer, tão fácil que era ensinado às crianças na escola primária (presumo que, com o advento dos computadores e das calculadoras, passou a ser considerado desnecessário aprendê-la. Pena... mas, de acordo com o valioso comentário de «.» e «marius70», a Prova dos 9 caiu em desuso mesmo antes da introdução das calculadoras. A Prova dos 9 caiu pelas suas próprias limitações...

Para realizar a Prova dos 9 para verificar se uma soma foi bem feita:
~ faz-se uma cruz (espaço para 4 algarismos);
~ somam-se os algarismos dos números que se estão a operar;
~ colocam-se os resultados das duas somas nas células do topo;
~ somam-se os algarismos do resultado que se pretende verificar se é válido;
~ coloca-se o resultado desta soma na célula inferior esquerda;
~ somam-se os algarismos do topo da cruz e coloca-se na célula inferior direita;
~ se os algarismos da base da cruz forem iguais então a conta que fizémos estará quase de certeza correcta.

Para realizar a Prova dos 9 para verificar se uma subtracção foi bem feita:
~ faz-se uma cruz (espaço para 2 algarismos);
~ somam-se os os algarismos do aditivo («o primeiro número»);
~ soma dos dígitos do subtractivo («o segundo número») com os dígitos do resultado;
~ se os algarismos na cruz forem iguais então a conta que fizémos estará quase de certeza correcta.

Para realizar a Prova dos 9 para verificar se uma multiplicação foi bem feita:
~ faz-se uma cruz (espaço para 4 algarismos);
~ somam-se os algarismos dos números que se estão a operar;
~ colocam-se os resultados das duas somas nas células do topo;
~ somam-se os algarismos do resultado que se pretende verificar se é válido;
~ coloca-se o resultado desta soma na célula inferior esquerda;
~ multiplicam-se os algarismos do topo da cruz e coloca-se na célula inferior direita;
~ se os algarismos da base da cruz forem iguais então a conta que fizémos estará quase de certeza correcta.

Na divisão é mais complexa do que isto e apenas é possível para divisões inteiras (aquelas em que o quociente não tem casas decimais):
~ calcula-se a soma dos algarismos do divisor;
~ calcula-se a soma dos dígitos do quociente;
~ multiplicam-se essas duas somas;
~ calcula-se a soma dos dígitos do produto anterior e adiciona-se com o resto;
~ calcula-se a soma dos dígitos desse número;
~ calcula-se a soma dos dígitos do dividendo.
~ se os algarismos da base da cruz forem iguais então a conta que fizémos estará quase de certeza correcta.

Exemplos:


Geralmente a prova indica se o resultado que obtivémos está correcto.
Mas algo tão simples como a troca de dígitos do resultado que obtivémos é verificado como correcto pela Prova dos 9 mas está obviamente incorrecto.
E esse erro não é detectado pela Prova dos 9, quer na soma quer na multiplicação.
Como bem apontou «.», não é certo que, se a Prova dos 9 indica que um conta esteja correcta, ela de facto esteja. Mas se diz que está errada, é porque o está de facto.

Pode não dizer se estamos correctos mas de certeza indica se estamos errados.


A Prova dos 9 recebe este nome porque, aquando das somas para a verificação, os 9 podem ser ignorados «Noves fora nada»...
Por exemplo,
6753 -> 9 + 7 + 5 = 21 - > 3
6753 -> 9 + 7 + 5 = 12 -> 3


Publicado por Mauro Maia às 16:59
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Domingo, 21 de Maio de 2006
Divisa matemática
Na sequência do artigo Inveja matemática, ficou em aberto a forma de fazer a divisão manualmente. Igualmente a questão da radiciação e até a prova dos 9, quer da soma quer da multiplicação.

Estando abordada a questão das multiplicações (isto é, das formas como o processo pode ser acelerado, uma vez que verdadeiramente não passa de uma série de somas) fica por abordar a questão das divisões, a operação inversa da multiplicação.

Assim, se tivermos 2 grupos de berlindes, tendo cada grupo 3 berlindes, há um total de 2x3 = 6 berlindes no total (multiplicação).
Alternativamente, se tivermos 6 berlindes em 2 grupos, cada grupo tem 6:2 = 3 berlindes cada grupo (divisão).

O número que será dividido é o dividendo.
O número que irá dividir é o divisor.
O resultado da divisão é o quociente.
O que sobra do dividendo que não é dividido pelo divisor é o resto.

Há, pelo menos, 2 algoritmos diferentes (podendo-se dizer que há 3, dois deles iguais na sua essência): a divisão curta (a que se aprende em Portugal), a divisão longa (que se ensina na Inglaterra e nas suas antigas colónias, como a África do Sul) e a divisão egípcia.

Apesar dos nomes diferentes, a divisão curta e a divisão longa são essencialmente a mesma, mudando unicamente a disposição dos números. A divisão egípcia segue outra forma, na qual a divisão é transformada numa série de somas (do mesmo modo que a multiplicação egípcia, como visto em Inveja matemática</i>)



Nestes exemplos apenas foi considerada a chamada divisão inteira, isto é, divisões cujo resultado é um número inteiro (ver Simplesmente complexo sobre os diversos «tipos» de números, como os inteiros). Mas qualquer uma delas pode ser adaptada para a divisão com números racionais.

Vejamos então como funciona cada um dos algoritmos de divisão:

~ divisão curta/longa:
Colocam-se os dividendo e divisor lado a lado. É importante verificar o número de algarismos do divisor. Considera-se os primeiros algarismos do dividendo de forma a que o grupo formado seja maior do que o divisor. Em seguida tem de se procurar o número que, multiplicado pelo divisor, fica o mais próximo do dividendo sem o ultrapassar. Faz-se a dita multiplicação e coloca-se o resultado por baixo do dividendo, alinhado à direita com o último algarismo do grupo considerado. Subtraem-se então os dois. O resultado da subtracção é sempre inferior ao divisor, por isso acrescentam-se os algarismos seguintes do dividendo a seguir ao grupo, até que o número seja superior ao divisor (geralmente basta 1) e repete-se.
Para a divisão inteira o processo termina quando o número mais abaixo do dividendo é menor do que o divisor.
Para a divisão comum acrescenta-se ao dividendo zeros (depois da vírgula) de acordo com o número de casas decimais pretendidas no resultado.


Pode-se alternativamente, quanto às casas decimais, esquecer as vírgulas e fazer a divisão sem elas (345678 : 234 = 147725...).
Após encontrar tantos algarismos para o quociente quantos os pretendidos contam-se o número de casas decimais do quociente («o número de algarismos depois da vírgula») subtraindo o número de casas decimais do dividendo pelo número de casas decimais do divisor (no caso de exemplo acima o dividendo tinha originalmente 2 casas decimais e foram acrescentados 2 zeros. O dividendo tem 4 casas decimais e o divisor tem 1 casa decimal. O quociente terá 4 - 1 = 3 casas decimais, contadas a partir do fim do quociente.)

~ divisão egípcia:
Este divisão é, em muitos aspectos semelhante à multiplicação egípcia.
Colocam-se os números a dividir lado a lado, dividendo à esquerda, divisor à direita.
Por baixo do dividendo escreve-se 1, por baixo do divisor repete-se o seu valor.
Soma-se então os números consigo mesmo em cada coluna (1+1 e divisor+divisor).
Repete-se a soma dos últimos números de cada coluna até que a soma seguinte na coluna do divisor seja maior do que o dividendo. Somam-se então os números que, na coluna do divisor, dão o dividendo ou fiquem o mais próximo possível dele. Como na multiplicação, vão-se subtraindo ao dividendo os maiores números da coluna do divisor sem que o resultado seja negativo. Após a escolha dos números da coluna do divisor verificam-se a que númeos correspondem na coluna do dividendo. Somam-se esses valores. O resultado da soma é a divisão pretendida. A diferença entre o dividendo e a soma dos números que se escolheram na coluna do divisor é o resto.
No exemplo ao lado, a divisão tem quociente 57 e o resto é 92.
Ou seja, o quociente será 57 + 92/98


Publicado por Mauro Maia às 23:00
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Quinta-feira, 11 de Maio de 2006
Inveja matemática
É bastante fácil fazer somas. A soma de dois números, quaisquer que eles sejam, não passará de uma questão de tempo e nunca de dificuldade (após «dominar» a técnica do «e vai...» nenhuma soma atemoriza).

Mas há uma conta que, apesar de intimamente relacionada com a soma, é menos
compreendida. Falo da multiplicação.
Tendo em conta que a multiplicação não passa de uma série de somas, é curiosa então esta dificuldade, se nasce de algo tão simples e instintivo.
4x3 = 4 + 4 + 4 = 8 + 4 = 12 (três vezes o 4 somado ou quatro vezes o 3 somado)
7x5 = 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 14 + 14 + 7 = 28 + 7 = 35 (sete vezes o 5 somado ou cinco vezes o 7 somado).

(Um outro exemplo, mas desta vez de infinita complexidade nascida da simplicidade, veja-se o artigo Fractais)

É hoje uma das contas mais e mais incompreendida pelas gerações mais novas, as gerações que cresceram com as «calculadoras» e com os «computadores».
(Para uma breve opinião sobre esta questão ver Celeres dies)

O desconhecimento da forma como se efectuam multiplicações, à mão e rapidamente, é cada mais preocupante.
É óbvio que há sempre (?) calculadoras para fazer 2x3=6 mas o desconhecimento do como isto sucede leva a bizarrias (que já pude pessoalmente testemunhar) de alguém que, perante uma caixa com 3 berlindes e outra com 6 berlindes, não percebe que uma quantidade é o dobro da outra. (Falta a simples noção da relação entre números, muitas vezes também motivada pelo desconhecimento da tabuada).

Todos (?) nós aprendemos na Escola Primária (actual 1º Ciclo) a fazer multiplicações e só a falta de uso pode levar ao desconhecimento de como o fazer, já que é tão fácil.
Mas o que raramente é referido é que:
há vários processos para se fazerem multiplicações! (mais precisamente designados algoritmos de multiplicação).

Luca Pacioli, 1445-1517, expôs 8 algoritmos diferentes para se fazerem multiplicações, na sua obra Summa de arithmetica (onde surge uma figura ligada ao número Phi, como visto em Só phi é d'ouro).
De entre estes há os 5 seguintes:

~ Multiplicação longa (ou «per scachiero» - em italiano):
A forma que se aprende tradicionalmente na escola (portuguesa). Colocam-se os dois números que se querem multiplicar um sobre o outro.
Multiplica-se então cada algarismo do número que ficou «por baixo», da direita para a esquerda, por todos os algarismos do que «ficou em cima», também da direita para a esquerda. Coloca-se a unidade do resultado da multiplicação dos algarismos alinhados, por debaixo dos outros dois números, novamente da direita para esquerda. De cada vez que o resultado é superior a 10, soma-se o algarismo das dezenas à próxima multiplicação de algarismos que se fará. Após multiplicar o último algarismo do número «de baixo» por todos os algarismos do «de cima» e colocar os resultados alinhados por baixo dos dois primeiros, passa-se para o penúltimo algarismo, fazem-se as mesma operações e colocam-se os resultados alinhados, da direita para a esquerda, por baixo do penúltimo algarismo do resultado imediatamente acima dele. De cada vez que se começa um nova série de multiplicações com um novo algarismo, os resultados são inseridos começando uma posição mais à esquerda. Após todos os algarismos estarem multiplicados, somam-se os resultados, ordenadamente, coluna a coluna. O número obtido é o resultado pretendido.

~ Regra do quadrilátero (ou «Gelosia» - inveja em latim/italiano):
Começa-se por um quadrado dividido em colunas e linhas: tantas colunas quanto um dos números a multiplicar, tantas linhas quanto o outro número. Cada um dos quadrados que se obtêm são depois divididos ao meio. No topo, acima da tabela, escrevemos um dos números, cada algarismo acima de uma coluna. Ao alto, fora da tabela, escrevemos o outro (começando por baixo), cada algarismo ao lado de uma linha. Multiplicam-se os algarismos, os das linhas pelos das colunas. Escreve-se o resultado na célula de intersecção dos dois, as dezenas na metade inferior e as unidades na metade superior. Por fim somam-se, ao longo das diagonais, os algarismos alinhados e coloca-se o resultado ao lado da última célula da soma. De cada vez que o valor da soma é maior do que 10, escreve-se só a unidade e soma-se o algarismo das dezenas na próxima diagonal.
O resultado da multiplicação é o número formado pelos algarismos que se foram escrevendo, lidos da esquerda para direita e de baixo para cima.

~ Multiplicação Russa (ou «castellucio» - em italiano)
Colocam-se os números que se querem multiplicar lado a lado.
Calcula-se o dobro do 1º número e coloca-se por baixo.
Calcula-se metade do 2º número e coloca-se por baixo deste. Quando o resultado tem casas decimais, ignoram-se as casas decimais e coloca-se apenas a parte inteira.
(Por exemplo, se na sequência da divisão por 2 se obter 34,8 escreve-se 34)
Por baixo dos primeiros números coloca-se sempre o dobro do anterior e, por baixo dos segundos, coloca-se sempre metade do anterior. Pára-se os cálculos do dobro e da metade quando o resultado das divisões é 1.
Em seguida riscam-se todas as linhas de números nas quais o 2º número é par.
Somam-se os números da primeira coluna que não foram riscados.
O resultado final é a multiplicação pretendida.

~ Multiplicação de Leonardo de Pisa (ver também Fibonacci)
Colocam-se os 2 números que se querem multiplicar um sobre o outro. Multiplicam-se os algarismos finais de cada um. Coloca-se a unidade por baixo deles e transporta-se a dezena (se existir). Em seguida, no conjunto dos dois algarismos finais dos números, multiplicam-se os algarismos que estão no extremo, o canto superior esquerdo com o direito e vice-versa e somam-se os resultados obtidos. Em seguida, no conjunto dos 3 seguintes, multiplicam-se os extremos e os do meio e soma-se. Nos 4 seguintes os extremos exteriores e interiores e soma-se. E assim sucessivamente. Assim que todos os algarismos já tiverem sido incluídos, fazem-se grupos incluindo todos menos os dois finais, multiplicam-se os extremos e soma-se. E, seguida grupos onde não estão os dois finais e repetem-se as operações. Prossegue-se até que se chegue ao grupo onde só se incluem os dois primeiros algarismos dos números a multiplicar. Sempre que um dos números seja maior do que o outro, fazem-se as multiplicações por 0 em lugar dos algarismos em falta.

~ Multiplicação Egípcia
Escrevem-se os números que se querem multiplicar lado a lado. Por baixo do primeiro escreve-se 1, por baixo do segundo o próprio número. Em seguida soma-se cada número novo por si mesmo e coloca-se por baixo de si mesmo. Repete-se a soma (o número por si mesmo) até que a primeira coluna dê um valor que, somado consigo mesmo, ultrapasse o número do topo (o que se estava a fazer a multiplicação). Em seguida verifica-se quais os números que, na primeira coluna, somados dão o número do topo.
Isto requer simplesmente que se subtraia ao número do topo os maiores números que a coluna contenha, sem que se obtenha um resultado negativo e até obter 0. Verificam-se quais os números que correspondem aos que foram subtraídos na 2ª coluna e somam-se. o resultado da soma é a multiplicação pretendida.
No caso do exemplo ao lado:
75 - 64 = 11 -> 2176
11 - 8 = 3..... -> 272
3 - 2 = 1....... -> 68
1 - 1 = 0....... -> 34
..........................2550

Em qualquer um dos algoritmos, caso se pretenda multiplicar números com casas decimais (números após a vírgula), basta que estas sejam ignorados inicialmente, colocando-se depois, no resultado obtido, tantas casas decimais quantas as obtidas pela soma das casas decimais de cada um dos números (Para calcular 7,5 x 0,34 multiplica-se 75 x 34 = 2550. Como 7,5 tem 1 casa decimal e 0,34 tem 2, o resultado terá 3 casas decimais. Assim, 7,5 x 0,34 = 2,550

~ Multiplicação védica
Na sequência de ter visto este vídeo no youtube sobre a Matemática Védica, e tendo-me surgido questões quanto à inclinação das linhas usadas e ao processo de selecção dos grupos, adaptei o método.
Começa-se por se desenhar grupos de linhas horizontais e verticais. Faz-se um grupo com tantas linhas horizontais como o primeiro dígito do primeiro número a multiplicar, faz-se um segundo grupo com tantas linhas horizontais como o segundo dígito do primeiro número a multiplicar, assim por diante até que todos os dígitos do primeiro número estejam representados por linhas horizontais. Na vertical, faz-se um grupo com tantas linhas verticais como o primeiro dígito do segundo número a multiplicar, faz-se um segundo grupo com tantas linhas verticais como o segundo dígito do segundo número a multiplicar, assim por diante até que todos os dígitos do segundo número estejam representados por linhas verticais. Fazem-se os grupos das intersecções das linhas horizontais e verticais que estão próximas. Para esta multiplicação basta contar os pontos de cada grupo e somar. Começa-se pelo grupo no canto inferior direito. O número de pontos desse grupo é o último dígito do resultado. Unem-se então os grupos mais próximos (à esquerda e acima) do(s) último(s) já contados e somam-se todos os pontos desses grupos. O resultado é o penúltimo dígito do resultado da multiplicação. Em seguida, unem-se os grupos que estão mais próximos dos anteriores. Continua-se até só haver um grupo (o mais à esquerda e acima), que contém tantos pontos quanto o primeiro dígito do resultado da multiplicação. Sempre que uma das somas de pontos do grupo der um número maior ou igual a 10, fica o último dígito (as unidades) e as dezenas somam-se aos grupos que vão ser somados em seguida. Caso um dos algarismos dos números a multiplicar seja 0, basta que seja representado por uma linha tracejada, efectuando-se todos os passos na mesma, mas tendo sempre presente que as intersecções com a linha tracejada correspondem a 0.

Compare-se então o uso de cada um dos métodos na multiplicação
123 x 432 = 53 136.
Multiplicação Longa


Gelosia


Russa


Russa (o mesmo exemplo com as colunas trocadas)


Leonardo de Pisa


Multiplicação Egípcia


Multiplicação Védica



Fazendo uma consideração pessoal sobre estes métodos, é fácil de constatar que:

~ a Multiplicação Longa é a mais rápida de efectuar, mas exige o conhecimento pleno da tabuada e requer constante transporte dos valores das dezenas. Além disso, quanto maior forem os números mais papel se gasta na realização das multiplicações (a multiplicação de números de 2 algarismos necessita de 5 linhas (2+2+1), de 4 algarismos de 7 (2+4+1), de um com 4 algarismos e outro com 3 de 6 (2+3+1); de um modo geral de 2 linhas (os números a multiplicar) + tantas linhas quantas as do menor número + 1 linha (o resultado). Se n for o nº de algarismos do menor número e m o nº de algarismo do maior são necessárias 2n + 1 linhas e 2m – n ou 2m – n + 1 colunas.);
Um bom método aquando da multiplicação de números com menos de 3 algarismos;

~ a Gelosia exige também conhecer-se a tabuada mas o número de transportes a efectuar é menor (só se efectuam transportes nas somas finais) e exige menos espaço para ser usado (são sempre m linhas e n colunas). Tem o inconveniente de se ter primeiro de criar um quadrilátero com diagonais para ser usado, o que diminui a rapidez do seu uso, que, a não ser isso, é mais rápido do que a multiplicação longa.
O melhor método para a multiplicação de números com mais de 3 algarismos. Menos de 3 o facto de se tder de desenhar o quadrilátero diminui-lhe a utilidade. O único método em que confio quando multiplico,à mão, grandes números.

~ A Multiplicação Russa deve o seu nome à ideia de que ainda é usada nas regiões mais interiores desse país, de que não tenho registo de provas do mesmo. Dispensa por completo o conhecimento da tabuada (basta saber calcular o dobro e a metade de qualquer número, o que é bastante fácil), é rápida de se usar e requer pouco papel: precisa de 2 colunas e entre 2n + 1 a 4n + 1 linhas;
O melhor método para multiplicar números com 4 ou menos algarismos. Acima desse valor calcular dobro e metades não é tão rápido...

~ A Multiplicação de Leonardo de Pisa é o método que menos papel requer (3 linhas e mn colunas) mas não é muito rápido e é necessário cautela na selecção dos grupos que se vão usar e nas multiplicações e somas a efectuar com eles; é fácil cometer erros na sua selecção…
Um método engraçado de usar mas pouco prático. É bom quando se quer economizar papel e também se se tem saudades de calcular a característica de matrizes...

~ A Multiplicação Egípcia tem a enorme facilidade de transformar uma multiplicação em algumas, poucas, somas. Para qualquer um que tenha alergia À tabuada ou a divisões (mesmo que por 2), é sem dúvida o melhor método.
Usa tanto papel como a multiplicação russa mas é ainda mais fácil de usar

Para uma comparação mais imediata destes 6 métodos, veja-se a seguinte imagem, com a aplicação de cada método à multiplicação 35 x 13:


E assim se pode multiplicar, da forma que mais nos aprouver. Eu pessoalmente acho a «Gelosia» a mais divertida de usar (chato é andar a fazer o quadrilátero e a sua divisão em triângulos mas para grandes números dá até menos trabalho) e é o que tem o nome mais engraçado. Além disso é o que sinto mais fiável na multiplicação manual de grandes números...</i>


Publicado por Mauro Maia às 19:56
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