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Diário das pequenas descobertas da vida.
Terça-feira, 7 de Dezembro de 2010
Fractal como o destino

Ainda que a premissa oficiosa do Cognosco seja, como já anteriormente referido, procurar escapar aos grilhões da «actualidade» e das «notícias mais recentes» (atitude norteada pela noção de que somente o Tempo permite garimpar a areia dos factos para encontrar as verdadeiras pepitas), há acontecimentos suficientemente marcantes para lhes garantir a imediata atenção. Este é o caso do recente falecimento do matemático Benoît Mandelbrot.

Benoit Mandelbrot

 

Tendo morrido a 14 de Outubro de 2010 (a um mês de fazer 86 anos), Benoît Mandelbrot nasceu a 20 de Novembro de 1924, em Varsóvia (Polónia). Cedo foi introduzido a conceitos matemáticos e físicos por vários membros da família ligados ao mundo académico: a sua Mãe foi uma das primeiras médicas licenciadas na Rússia e também por dois tios (um deles Professor de Matemática  no Collège de France em Paris). A família Mandelbrot (cuja tradução literal seria «pão de amêndoa») fugiu, em 1936 (3 anos após a subida de Hitler ao poder e 3 anos antes do início da II.ª Guerra Mundial) para a França.

 

Entretanto casou e mudou-se para os EUA, onde trabalhou 30 anos para a IBM. Sendo doutorado em Aerodinâmica e em Matemática, Mandelbrot dedicou a sua vida à investigação em campo tão variados como a Economia (procurou padrões reconhecíveis na flutuação dos mercados financeiros) ou a Astronomia. Neste campo, apresentou uma explicação para o chamado Paradoxo de Olbers, segundo o qual o facto de o céu nocturno ser escuro não é compatível com a noção de um Universo infinito mas estático.

Este paradoxo refere que, num Universo infinito e estático, qualquer ponto do céu tem obrigatoriamente uma estrela em cada ponto para onde se olha, o que levaria a que o céu fosse brilhante em vez de escuro, como de facto se observa. Apesar de receber o seu nome do astrónomo amador alemão do século 19 Heinrich Wilhelm Matthäus Olbers, desde o século 16 que se conhece este paradoxo. Esta noção foi referida pelo astrónomo inglês Thomas Digges, que foi o primeiro astrónomo a colocar oficialmente em causa o modelo geocêntrico de Ptolomeu em favor do modelo heliocêntrico de Copérnico. Tendo anteriormente procurado estabelecer a distância a que tinha ocorrido uma explosão de super-nova em 1572 e calculado que esta se tinha dado numa órbita superior à da Lua, Digges publicou as suas ideias heliocêntricas e de Universo mutável, onde foi o primeiro a sugerir a noção de um Universo infinito com infinitas estrelas. Com base na sua ideia de um Universo infinito, Digges postulou a distribuição das estrelas por um Universo de dimensões infinitas, em vez de uma esfera finita em redor da Terra como defendeu Ptoloomeu. A corrente Teoria do Big Bang tem aspectos em contradição com ambas as noções, uma vez que considera um Universo finito, em expansão, mutável e com um número finito de corpos celestes. Como a descoberta da Radiação Cósmica de Fundo comprovou, a Terra é atingida efectivamente por radiação cósmica de todos os pontos do céu mas a breve fase de expansão acelerada do Universo foi tão rápida que ainda há raios de luz a chegar até nós e os que nos chegam estão tão enfraquecidos que são apenas micro-ondas, invisíveis ao olhar humano e de fraca energia. Assim, cada ponto do céu nocturno é de facto «iluminado» mas por luz invisível aos nossos olhos.

Ver o artigo Loqui longinquitate para mais sobre as micro-ondas.

 

Mandelbrot, através do estudo de várias estruturas dinâmicas, criou a noção de fractal, que são figuras geométricas que não têm as usuais dimensões 1D, 2D, 3D (ou mesmo 4D) mas podem também ter dimensões não inteiras como 1/3, √2 ou outras.

Ver o artigo Simplesmente complexo para mais sobre conjuntos numéricos como os números naturais, inteiros, racionais reais ou complexos.

A noção da existência de figuras com as propriedades dos fractais (serem infinitamente complexas, terem uma regra de construção simples, uma parte da figura ser semelhante ao todo da figura ou  terem uma dimensão não necessariamente inteira) não surgiu com Mandelbrot mas foi ele o primeiro a baptizá-las. Das mais antigas que se conhecem está a Poeira de Cantor, que tem uma dimensão de aproximadamente 0,6309 (exactamente log 2 / log 3) e que é obtida dividindo um segmento de recta em 3 partes, retirando o segmento do meio e repetindo o procedimento para os dois segmentos resultantes. Constata-se que a figura pode ser calculada infinitamente, tem uma regra de construção simples, cada parte mais pequena da figura é semelhante à figura inicial e tem uma dimensão não-inteira).

 

 

A noção de fractais permite compreender de que forma é que os pulmões podem ter uma área de 70 m² (a dimensão de metade de um campo de ténis) e caberem no nosso peito: a área do interior dos pulmões têm uma dimensão fractal de aproximadamente 2,97. É um valor muito próximo de 3, o que confere aos pulmões uma dimensão total de aproximadamente 4!

O cérebro humano tem uma dimensão fractal de aproximadamente 2,79. Todas as dobras do cérebro permitem que esta estrutura única, que representa apenas 2% do total do peso do corpo, receba 15% do sangue bombeado pelo coração, 20% do total de oxigénio consumido e 25% do total de glucose usada pelo corpo!

Em média, o corpo de um ser humano adulto contém aproximadamente 5 litros de sangue ao longo de 96 560 quilómetros de artérias, veias, capilares. Tendo em conta que o perímetro da Terra é de  40 mil km, o sistema circulatório, se fosse estendido, daria 96 500/40 000 = 2,4125 voltas à Terra. Aproximadamente 2 voltas e meia! Porque o sistema circulatório se distribui de forma fractal, cada uma das aproximadamente 50 biliões de células estão próximas de uma artéria ou de uma veia e no entanto o sistema circulatório ocupa pouco espaço no corpo.

E muitos outros exemplos podem ser dados de como a Natureza utiliza as estruturas fractais.

 

Esta questão da dimensão não-inteira vale a pena abordar. Se estão representadas numa superfície de dimensão 2, como é que não são 2D? É importante recordar que é possível representar um cubo (3D) numa superfície plana (2D) sem que isto implique necessariamente que o cubo tenha dimensão 2. Para determinar com exactidão esta dimensão, os matemáticos recorrem ao conceito de Dimensão de Hausdorff-Besicovitch.

Felix Haurdorff foi um matemático alemão que viveu entre  1868 e 1942 e Abram Samoilovitch Besicovitch foi um matemático russo que viveu entre 1891 e 1970. Ambos viveram o suficiente para testemunharem as piores barbaridades cometidas nos seus países de origem durante o século XX.

A determinação da Dimensão de Hausdorff-Besicovitch foi já vista e aplicada a fractais e a figuras geométricas comuns (como quadrados e cubos) no artigo Fractais, onde também se explica o que é o log 2 (ou o log 3) que aparece na dimensão exacta da Poeira de Cantor. Os objectos naturais não têm as formas perfeitas que a maioria das pessoas conhece, o que se reflecte na dimensão que de facto têm. "As nuvens não são esferas, as montanhas não são cones, as costas marítimas não são círculos, uma tábua de madeira não é lisa nem um relâmpago viaja em linha recta" como referiu Mandelbrot em 1983. Alguns objectos naturais têm uma estrutura (e dimensão) fractal como as nuvens, montanhas, relâmpagos, costas marítimas, flocos de neve, várias plantas como os brócolos ou as couves-flor, a pigmentação exterior de muitos animais, a distribuição das galáxias no Universo, o sistema sanguíneo, a superfície dos pulmões,…

Bróculo

 

 

 Mas como fazer então para determinar essa dimensão fractal? Tomemos como exemplo um brócolo. Este vegetal (não é um legume, como foi já explicado em Frutas & Legumes), tem uma estrutura que se multiplica diversas vezes, sendo cada estrutura mais pequena semelhante ao brócolo inicial, com um procedimento de «construção» simples (cada nova «ramo» é semelhante ao anterior»), o que lhes dá algumas características fractais. Qual será então a sua Dimensão de Hausdorff-Besicovitch? Para a determinar, é necessário ter um procedimento de medida aplicável a diferentes escalas. É na evolução da dimensão ao longo de sucessivas escalas que se determina a dimensão fractal. Mede-se o comprimento do brócolo e regista-se o valor bem como o número de pedaços. Separa-se então o vegetal em partes mais pequenas mas ainda semelhantes ao inicial. Regista-se o comprimento médio dos pedaços e o seu número. Realiza-se repetidamente este procedimento. Para cada um dos valores anteriores calcula-se o seu logaritmo (log ou ln, que se pode encontrar muitas das calculadoras no mercado). Suponha-se que os valores obtidos foram os contidos na tabela apresentada (omitiu-se o inicial com apenas 1 pedaço por razões que se prendem com as propriedades dos logaritmos, já que o logaritmo de 1 é sempre 0).

 

Para minimizar o efeito de distorção de valores anómalos, pode-se omitir o valor mais baixo e o valor mais alto (a sombreado na tabela).

A Dimensão pretendida é dada pelo valor absoluto do declive da recta de regressão linear (ou dos mínimos quadrados) que é a recta que mais próxima está de todos os pontos do gráfico. O declive de uma recta é basicamente a inclinação que esta tem, em que valores positivos indicam que a recta, da esquerda para a direita, «sobe», valores negativos que a recta «desce» e se o declive for 0, que a recta é horizontal.

Há, pelo menos, 3 formas de calcular este valor (que é a dimensão fractal).

1.: Num computador, utilizando uma folha de cálculo, pode-se usar directamente a função «declive»

2.: Através do cálculo e posterior divisão do valor da covariância entre os valores respectivos de cada logaritmo pela variância dos logaritmos das escalas.

3.: Representando num gráfico os pontos correspondentes aos logaritmos obtidos, traçar a recta de regressão linear (ou o mais aproximado dessa recta que for possível) e dividindo o valor da intersecção dessa recta com o eixo das ordenadas pelo valor da intersecção da recta com o eixo das abcissas.

Pode ser visto aqui uma imagem desses três cálculos efectuados numa medição para o cálculo de uma dimensão fractal (ver dimensão fractal de uma linha de costa mais abaixo).

 

Eis um exemplo simples. Considere-se um fractal simples como a Curva de Sedgewick (do matemático Robert Sedgewick). Começa-se por um quadrado. Coloca-se em cada canto um quadrado com metade de lado do anterior, com o centro no vértice do quadrado anterior. Repetindo o procedimento, obtém-se a Curva de Sedgewick.

Fractal de Sedgwick

 

 

Para calcular a dimensão fractal da Curva de Sedgewick, pode-se dividir a curva,

 

no terceiro passo, em quadrados.

 

A figura fica coberta com 14 quadrados de 1/14 de lado e o fractal cobre 148 quadrados.

Fazendo o mesmo para passos diferentes, obter-se-ia outras contagens de quadrados.

Utilizando um dos métodos acima explicados, obtemos um valor para a dimensão fractal da Curva de Sedgewick de 0,8936.

 

E para outro tipo de fractais como o comprimento da linha costeira de um país?

É fácil obter valores dados como certezas do comprimento das linhas de costa de diversos países.

Por exemplo, na página virtual CIA - The world factbook, a linha de costa de Portugal é dada como 1793 km.

Já a costa do Reino Unido é dada como sendo de 12 429 km.

Mas, como Mandelbrot salientou em 1963, no artigo que escreveu «How long is the coast of Britain?» (Quão longa é a costa da Inglaterra), o comprimento obtido depende do comprimento da régua usada.

Se for usada uma régua de 1 quilómetro de comprimento, há muitos detalhes menores do que a régua que não são medidos.

Se for usada uma régua de 1 hectómetro de comprimento, há muitos detalhes que não são medidos.

Se for usada uma régua de 1 decâmetro de comprimento, há muitos detalhes que não são medidos.

Se for usada uma régua de 1 metro de comprimento, há muitos detalhes que não são medidos.

Cada régua medirá um comprimento diferente e essa diferença pode ser estabelecida através da dimensão fractal.

Considere-se uma linha de costa arbitrária como a da figura. Pretende-se determinar o seu comprimento. Cada régua diferente que se use dará valores diferentes.

.:Réguas 10 km: 6, costa mede 60 km.

.:Réguas 9 km: 7, costa mede 63 km.

.:Réguas 8 km: 7, costa mede 56 km.

.:Réguas 7 km: 8, costa mede 56 km.

.:Réguas 6 km: 12, costa mede 72 km.

.:Réguas 5 km: 13, costa mede 65 km.

.:Réguas 4 km: 14, costa mede 56 km.

.:Réguas 3 km: 20, costa mede 60 km.

.:Réguas 2 km: 29, costa mede 58 km.

 

 

Calculando a dimensão fractal usando os métodos acima explicados, obtém-se a dimensão fractal desta costa: 0,979182758616188...

 

Mas falar de Mandelbrot não fica completo sem falar no fractal criado por si e que ostenta o seu nome: o Conjunto de Mandelbrot.


 

Este lindíssimo fractal tem propriedades curiosas, como é próprio de todos os fractais.

A linha de fronteira deste conjunto tem dimensão 2, em vez da dimensão 1 que esperamos de uma linha.

Fazendo aproximações a qualquer parte da fronteira, há sempre pormenores complexos e surgem imagens do conjunto inicial, a parte repetindo o todo. Este belo e complexo fractal (e é mesmo no plano complexo que ele é representado) é construído com a fórmula f(z) = z² + c

 


 



Publicado por Mauro Maia às 19:04
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