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Diário das pequenas descobertas da vida.
Sexta-feira, 9 de Dezembro de 2005
Natalis eadem
Quando se lança uma moeda ao ar, a probabilidade de que se obtenha «caras» é 1/2.
(Sobre o cálculo de probabilidade ver:
~ Alea jacta est sobre a Lei de Laplace para o cálculo de probabilidades;
~ Caecus adnumeratio sobre o cálculo combinatório;
~ Foris optio sobre um problema clássico de cálculo de probabilidades)

O facto de a probabilidade ser 1/2 de que se obtenha «caras» não significa que, se se atirar 2 vezes uma moeda ao ar obtemos de certeza 1 vez «cara», tal como se se atirar 6 vezes um dado, não se obtém de certeza uma vez cada face.
Uma probabilidade é uma indicação, não é uma previsão.

Uma probabilidade curiosa é a determinação da probabilidade de que, num grupo de pessoas, hajam duas que fazem anos no mesmo dia do ano.
Por exemplo, numa festa, qual será a probabilidade de que pelo menos duas pessoas fazem anos no mesmo dia do ano?

É claro que a probabilidade é diferente consoante o número de pessoas envolvidas.
Numa festa com apenas 2 pessoas, seria muito improvável que fizessem anos no mesmo dia no conjunto de 365 dias de um ano.
Se fossem 3 pessoas, seria ligeiramente (muito ligeiramente) mais provável que pelo menos duas fizessem anos no mesmo dia.
Quanto mais pessoas estivessem na festa, mais provável seria que pelos menos duas fizessem anos no mesmo dia. É de notar que a probabilidade de que 2 pessoas façam anos no mesmo dia nunca é 100%, desde que o número de pessoas não ultrapasse 365. Se houver 366 pessoas (num ano regular) e 365 delas fizerem anos em dias diferentes, a tricentésima sexagésima sexta terá de fazer anos num dos dias onde alguém já faz anos. Assim sendo, acima de n = 365 (366, 367, ...) a probabilidade de pelo menos 2 fazerem anos no mesmo dia passa a ser 100 %.
(Agradeço a «.» por ter, no comentário que fez ao artigo, indirectamente chamado a minha atenção para esta questão. Assim este artigo refere-se explicitamente às situações de grupos de pessoas entre 2 e 365 inclusivamente. Um grande obrigado a mais um comentário de enorme pertinência.)

~ Qual é então o número mínimo de pessoas que uma festa tem de ter para que a probabilidade de haver pelo menos 2 pessoas que façam anos no mesmo dia ?

Repare-se que há 365 dias num ano (não bissexto).
É necessário calcular a probabilidade de que duas pessoas façam anos no mesmo dia, somar à probabilidade de 3 fazerem anos no mesmo dia, somar ...
A melhor forma de calcular esta probabilidade é usar o que em Matemática é conhecido como acontecimento contrário.
Num conjunto de possibilidades, dois acontecimentos contrário são perfeitamente complementares, de tal forma que a junção dos dois seja o conjunto total de possibilidades.
e.g.No lançamento de um dado, o acontecimento contrário de {sair um número menor do que 3} é o acontecimento {sair um número maior ou igual a 3}.

Como a probabilidade do conjunto total (o designado espaço amostral) é 1 (ou 100%) e a junção de dois acontecimento contrários é igual ao espaço amostral, a soma das probabilidades dos dois é igual a 1 (ou 100%).
Suponhamos então que A e B são dois acontecimentos contrários.
Então p(A) + p(B) = 1. Isto significa que p(A) = 1 - p(B).
A probabilidade de um acontecimento é igual a 1 menos a probabilidade do seu acontecimento contrário.
e.g. No caso do lançamento de um dado, são acontecimentos contrários
A ={obter um número menor ou igual a 4} e B = {obter um número maior do que 4}.
p(A) = p({1}) + p({2}) + p({3}) + p({4}) e p(B) = p({5}) + p({6}).
Como a probabilidade de cada face é 1/6,
p(A) = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 4/6 (= 2/3) e p(B) = 1/6 + 1/6 = 2/6 (= 1/3)
Como se vê p(A) = 1 - p(B) (4/6 = 1 - 2/6)


Quanto maior a desproporção entre o tamanho dos acontecimentos contrários e quanto mais difícil é calcular a probabilidade de cada um, mais útil é utilizar o acontecimento mais pequeno para calcular a probabilidade do seu contrário, de maior tamanho.
e.g. Num saco com 20 bolas brancas e 3 bolas pretas, a probabilidade de, ao retirar um bola, se obter 1 bola brance é igual a 1 - p({bola preta}) = 1 - 3/23 = 20/23

No caso do Problema do aniversário coincidente, em que é necessário calcular uma infinidade de probabilidades (uma para cada número de pessoas), é mais fácil calcular a probabilidade do acontecimento contrário a esse conjunto.
Esse acontecimento contrário é {não há, das n pessoas, duas ou mais que fazem anos no mesmo dia}.

Fazendo variar o n (o número de pessoas do conjunto), a probabilidade de que não hajam pelo menos duas que façam anos no mesmo vai diminuindo quanto maior é o número de pessoas, da mesma forma que vai aumentando a probabilidade de pelo menos duas pessoas fazerem anos no mesmo dia.

Como se viu em Caecus adnumeratio, é possível obtermos este valor sem de facto contarmos o número em si mesmo.
Neste caso em particular, pretende-se calcular de quantas maneiras n pessoas podem não fazer anos no mesmo dia (casos favoráveis) a dividir pelo número total de maneiras de n pessoas fazerem anos num ano (casos possíveis).

Casos favoráveis
É claro que não pode haver repetição de dias (é o que se pretende calcular) e a ordem interessa (se alguém faz anos a 1 de Abril e outra pessoa a 23 de Agosto, isso é diferente da primeira fazer a 23 de Agosto e a segunda a 1 de Abril).
Como se viu no supracitado artigo, uma contagem em que não pode haver repetição e a ordem interessa é feita usando arranjos. Neste caso temos 365 dias por onde distribuir n pessoas.
Então 365 A n = 365! / (365 - n)!

Casos possíveis.
Como há 365 dias num ano, a primeira pessoa pode fazer anos num desses 365, a segunda num dos 365, terceira... , a nésima pessoa num dos 365.
Então interessa a ordem e pode haver repetição.
É assim um caso de arranjos completos.
Neste caso, 365 A' n = 365n.

Então, a probabilidade de não haver pelo menos 2 pessoas a fazer anos no mesmo dia é

e a probabilidade de pelo menos duas pessoas fazerem anos no mesmo dia é


Se se calcular a probabilidade para diferentes números de pessoas (variando n) é possível verificar que o número de pessoas a partir do qual a probabilidade de pelos menos 2 fazerem anos no mesmo dia é superior a 50 % (0,5) é 23.



Usando a mesma fórmula, verifica-se que
~ o número de pessoas mínimo para a probabilidade de pelos menos duas fazerem anos no mesmo dia seja superior a 99% é 57 (99,012245934117 %)
~ se, numa festa, estiverem presentes 100 pessoas, a probabilidade de que pelo menos duas façam anos no mesmo dia é 99,9999692751072 %

A probabilidade vai subindo continuamente, sem nunca alcançar 100%.
Passa a ser 100% quadno o número de pessoas chega a 365 ou o ultrapassa.

Ou seja, basta que numa festa estejam 57 pessoas para que seja muito improvável que duas não façam anos no mesmo dia...

No título «Aniversários simultâneos»


Publicado por Mauro Maia às 20:22
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21 comentários:
De Maria Papoila a 10 de Dezembro de 2005 às 19:47
Olá Mauro, achei interessantíssimo este cálculo de probabilidades. É engraçado, porque no meu Centro de Saúde, somos 80 funcionários, e fazemos três anos no mesmo dia! Beijo


De Mauro a 10 de Dezembro de 2005 às 23:19
Com 80 pessoas, Maria Papoila, a probabilidade de que pelo menos duas pessoas façam anos no mesmo dia é mesmo muito elevada(99,914332%). O curioso é que bastam 57 pessoas num grupo para que a possibilidade de que pelo menos duas façam anos no mesmo dia seja quase certa. Tendo em conta os 365 dias num ano (regular) é de facto um valor supreendente. Bastam 57 pessoas para os 365 dias...


De . a 12 de Dezembro de 2005 às 11:07
E qual será o valor dessa probabilidade se o número de pessoas presentes na festa for de 366 ou maior?


De Mauro a 12 de Dezembro de 2005 às 21:01
Obrigado pela questão, «.». É de facto muito pertinente. Não tinha ainda pensado nela (até porque, a partir de 120 pessoas, cálculos automatizados com calculadoras ou folhas de cálculo tornam-se intratáveis). A minha imediata tentação é a de inverter os arranjos, fazendo agora arranjos de n 365 a 365. Mas é uma tentação de que me devo precaver, evitando o risco da precipitação. Se houver mais pessoas do que dias do ano, a probabilidade de 2 fazerem anos no mesmo dia passa a ser de 100 %. Se 365 pessoas fizerem anos em dias diferente, a tricentésima sexagésima sexta terá de fazer num dos 365 dias onde já alguém faz anos. Ou seja, passa a ser certo que duas façam anos no mesmo dia. Sendo assim, uma modificação do artigo é indispensával, no ponto em que refiro que a probabilidade nunca é de 100%. De facto nunca é até 365 pessoas, acima desse valor torna-se sempre 100%, independentemente do número de pessoas (acima do dito 365). Obrigado pela chamada de atenção, «.» Como sempre os teus comentários são de uma extraordinária valia para o Cognosco e o artigo será de imediato reformulado nesse pequeno ponto.


De . a 12 de Dezembro de 2005 às 21:23
Exactamente ;-) Há um teorema que diz isso mesmo, mas não me lembro do nome do seu autor. Tenho-o num livro. Vou procurá-lo e depois direi alguma coisa. Cumprimentos


De . a 14 de Dezembro de 2005 às 12:09
Afinal não é um teorema, é um princípio e leva os nomes de princípio de Dirichlet (um matemático do séc. XIX) e de princípio do pombal. Dirichlet "utilizou-o muito nos seus trabalhos em teoria dos números e conseguiu com ele resultados curiosos, surpreendentes e profundos" [Miguel de Guzmán, "Aventuras Matemáticas", 1986]. Por exemplo, "em Madrid, neste preciso momento, há mais de 20 pessoas que têm exactamente o mesmo número de cabelos" [idem]. E muitos outros. Talvez não fosse uma má ideia para um artigo...


De . a 14 de Dezembro de 2005 às 12:20
Faltou referir, na referência bibliográfica do comentário acima, a editora: trata-se da Editorial Labor S. A., mas existe uma edição portuguesa de 1990 da Editorial Gradiva


De Mauro a 14 de Dezembro de 2005 às 13:57
A Gradiva continua a ser o bastião da cultura científica em Portugal. Não que não haja outras editoras que publicam obras igualmente meritórias, mas a colecção da Gradiva «Ciência Aberta» é algo fabuloso. São os livros que imediatamente procuro quando entro numa livraria.
Daria de facto um artigo interessante o que referes. Não tenho é material (para já pelo menos) de pesquisa para o supracitado item. Fico curioso é para saber como se pode calcular o número de cabelos na cabeça de alguém. Seguramente por métodos estatísticos. Nunca vi foi algo relacionado com isso. Seria pedir muito, «.», que me esclarecesses um pouco mais sobre esse tópico (enquanto não me ofereço, como prenda de Natal, a edição da Gradiva das «Aventuras matemáticas)?


De . a 15 de Dezembro de 2005 às 07:34
O livro não responde à tua pergunta, referindo apenas que "não há ninguém cujo número de cabelos atinja 200 000. Para isso seria precisa uma cabeça descomunal, de um tamanho impossível". Aqui vai a forma segundo a qual eu imagino que semelhante cálculo tenha sido obtido :-p

1 - começa-se por contar os cabelos existentes em 1 cm2 de couro cabeludo de algum indivíduo particularmente cabeludo; obtém-se, deste modo, uma estimativa grosseira da densidade máxima (em cabelos / cm2) de cabelos do ser humano;

2 - em seguida mede-se a superfície do couro cabeludo de algum indivíduo particularmente cabeçudo; obtém-se, desta vez, uma estimativa não menos grosseira do tamanho máximo (em cm2) da cabeça do ser humano;

3 - multiplicam-se ambos os números e obtém-se uma estimativa do número máximo de cabelos do ser humano; digamos que são 100 000;

4 - soma-se a esse valor outro tanto, de modo a garantir, pelo exagero, que a grandeza assim obtida (200 000) constitui, realmente, um majorante do número de cabelos do ser humano.

Daí em diante é fácil e vem explicado no livro: sabendo que em Madrid vivem (ou viviam, à data em que o livro foi publicado), mais de 4 milhões de habitantes, e aplicando o referido princípio de Dirichlet, divide-se este número por 200 000 e obtém-se 20, o número de madrilenos que terá, forçosamente, de ter um idêntico número de cabelos nas suas ilustres cabeças :-)


De . a 15 de Dezembro de 2005 às 07:47
Que raio de passatempo, os destes matemáticos: andar a contar os cabelos de outrem...


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