Últimas atualizações
Novo endereço do Cognosco: http://www.cognoscomm.com
Diário das pequenas descobertas da vida.
Terça-feira, 29 de Novembro de 2005
Helius armentum
Arquimedes (d)escreveu, numa carta dirigida aos estudantes da cidade egípcia de Alexandria (fundada por Alexandre Magno e que continha a famosa Biblioteca de Alexandria) um problema relacionado com o cálculo do número de cabeças de gado do Deus Sol grego Hélio. O gado deste deus pastava na ilha da Sicília, na Itália, e era conhecida pelos Gregos como Trinácio («três cantos» em Grego). Na altura a ilha tinha colónias gregas e os gregos acreditavam que o gado divino pastava perto de Taormina (nome derivado da designação original dos colonos gregos «Tauromenion», 85 quilómetros a norte de Siracusa. «Tauro» significa touro em grego. Daí o Minotauro, o famoso monstro com cabeça de Touro que vivia no labirinto de Minos.

A origem e idade do problema não são conhecidas com exactidão, mas pensa-se que, de facto, terá a ver com Arquimedes. (Ver também a solução do problema da coroa do rei de Siracusa em Aurea corona)

Supercomputador Cray-1A dificuldade do problema proposto é tal que a primeira solução (ainda que incompleta) só surgiu em 1880, pelas mãos de Amthor. Amthor conseguiu mostrar que o número total de animais da solução total tem 206 mil e 545 dígitos e conseguiu calcular alguns desses dígitos mas o cálculo completo não podia ser feito com os meios da altura.
Apenas com o advento dos computadores foi possível a Williams, German e Zarnke, em 1965, encontrar uma solução. No aetanto os autores apenas descreveram os passos para esse cálculo mas não a solução em si mesma.
O menor número de animais no gado de Hélio foi publicado por Harry Nelson em 1981, usando o supercomputador CRAY-1.
Mas uma solução geral para o problema foi encontrada em 2001 usando meios de cálculo mais modestos do que um supercomputador.

Em termos simplificados o problema é dividido em duas partes.
A primeira é basicamente a seguinte:
O Deus Sol Hélio tinha bois e vacas a pastar. O gado estava dividido em quatro partes: a primeira era Branca, a segunda Preta, a terceira era Malhada e a quarta Castanha e cada parte tinha bois e vacas.
Entre os bois, o número de bois brancos era um meio mais um terço dos bois pretos mais o de castanhos; o número de bois pretos era um quarto mais um quinto dos bois malhados mais o de castanhos; o número de bois malhados era um sexto mais um sétimo do de bois brancos mais o de castanhos.
Entre as vacas, o número de vacas Brancas era um terço mais um quarto do total de animais pretos; o número de vacas Pretas era um quarto mais um quinto do total de animais malhados; o número de vacas Malhadas um quinto mais um sexto do total de animais castanhos; o número de vacas Castanhas era um sexto mais um sétimo do total de animais brancos.
Quantos animais existiam ao todo de cada tipo?


A solução geral encontrada por Verdi em 2001 é a seguinte:

Seja «b» o número de bois brancos, «p» o de bois pretos, «m» o de bois malhados, «c» o de bois castanhos, «B» o de vacas Brancas, «P» o de vacas Pretas, «M» o de vacas malhadas e «C» o de vacas castanhas.

Teremos então as seguintes 7 equações:

b = (1/2 + 1/3)p + c <=> b = 5/6 p + c
p = (1/4 + 1/5)m + c <=> p = 9/40m + c
m = (1/6 + 1/7)b + c <=> m =13/42 + c
B = (1/3 + 1/4) (p + P) <=> B = 7/12 (p + P)
P = (1/4+ 1/5) (m + M) <=> P = 9/20 (m + M)
M = (1/5 + 1/6) (c + C) <=> M = 11/30 (c + C)
C = (1/6 + 1/7) (b + B) <=> C = 13/42 (b + B)

Como facilmente se constata, há 7 equações para 8 incógnitas.
Então ou o problema não tem solução ou então há infinitas soluções.
(para que um sistema de equações tenha apenas uma solução é necessário que haja tantas equações como incógnitas.
Deste forma só há três tipos de soluções para um sistema de equações:
0 soluções; 1 solução; soluções.

Neste caso concreto há soluções, logo há infinitas soluções para este problema.
Para as calcular é necessário o uso de um computador que permita resolver equações diofantinas (equações cujas soluções sejam inteiras, uma vez que o número de animais de qualquer tipo tem de ser inteiro).
Usando um programa desse tipo determina-se a seguinte solução:

b = 10 366 482 x k
p = 7 460 514 x k
m = 7 358 060 x k
c = 4 149 387 x k
B = 7 206 360 x k
P = 4 893 246 x k
M = 3 515 820 x k
C = 5 439 213 x k

em que o número k é um número inteiro positivo (1, 2, 3, ...)
Substituindo k, obtemos diferentes (e infinitas) soluções.

A mais pequena delas todas é quando k = 1.
Essa é a solução mais pequena conhecida deste problema e obtém-se:

b = 10 milhões 366 mil e 482 bois brancos
p = 7 milhões 460 mil e 514 bois pretos
m = 7 milhões 358 mil e 60 bois malhados
c = 4 milhões 149 mil e 387 bois castanhos
B = 7 milhões 206 mil e 360 vacas brancas
P = 4 milhões 893 mil e 246 vacas pretas
M = 3 milhões 515 mil e 820 vacas malhadas
C = 5 milhões 439 mil e 213 vacas castanhas

No total o gado de Hélio teria 50 milhões 389 mil e 82 animais.

Mas Arquimedes refere ainda, como continuação do problema, que:
Quando os bois brancos se juntam aos negros, podem formar um quadrado com tantos animais de comprimento como de largura. E quando os bois malhados se juntam aos castanhos, podem formar um triângulo, em qua a primeira fila tem 1 animal, a segunda 2 animais, e assim sucessivamente, cada fila com um animal mais do que a anterior.

Com mais estas duas equações, o número de animais cresce imenso.

Em termos de equações temos então que b + p = número quadrado.
(ou seja, o número de bois pretos mais o números de bois brancos tem de ser igual a um número ao quadrado). Ou seja, b + p = r2, em que r é um número inteiro positivo qualquer.
Assim, 10 366 482 x k + 7 460 514 x k = r2 <=>
<=> 17 826 996 x k = r2 <=>
<=> 2x2x3x11x29x4 657 x k = r2

Para que isto ocorra, e uma vez que 2x2 é um número quadrado,
3x11x29x4 657xk = r2 <=> 4 456 749 x r2

Além disso, m + c = número triangular.
Um número triangular é igual à soma 1 + 2 + 3+ ...
A soma de números consecutivos é dada pela fórmula n x (n+1) / 2
(descoberta por Gauss quando ainda era pequeno, como visto no artigo Simples mente ). Ou seja, m + c = n x (n+1) / 2, que que n é um número inteiro positivo qualquer.
Assim, 4 149 387 x k + 7 358 060 x k = n x (n + 1) / 2 <=>
<=> 11 507 447 x k = n x (n + 1) / 2

Unindo as duas equações que se obtiveram das duas condições, obtém-se:
11 507 447 x 4 456 749 x r2 = n x (n + 1)/2 <=>
<=> 102 571 605 819 606 x r2 = n x (n + 1)/2

O problema então consiste agora em encontrar dois números inteiros r e n com os quais isto ocorra.
O supracitado A. Amthor foi o primeiro a determinar que os valores r e n dão um valor para o número de animais com 206 545 dígitos que começa com 776.

Mais tarde, em 1889 e 1893, calcularam-se os primeiros 31 dígitos e e os 12 últimos.
Eram 7760271406486818269530232833213 . . . 719455081800

Mas o valor mais pequeno só foi publicado em 1981, por Harry Nelson, que usou um supercomputador para o cálculo do número com 206 545 dígitos que ocupava 47 páginas impressas.

Nunca um problema matemático tinha demorado 22 séculos a resolver!
Mas a questão é, sabendo que a solução envolve Álgebra, sistema de equações, supercomputadores, 47 páginas impressas, como terá Arquimedes solucionado a questão (se é que o fez)?

No título «O gado de Hélio»


Publicado por Mauro Maia às 21:28
Atalho para o Artigo | Cogitar | Adicionar aos favoritos

6 comentários:
De Cristiane a 30 de Novembro de 2005 às 15:24
Adoro esse blog, mas pela 1ª vez escrevo.
vem me visitar.
http://cristiane.a.souza.blog.uol.com.br (http://cristiane.a.souza.blog.uol.com.br)
bjs
Cris


De Mauro a 30 de Novembro de 2005 às 21:54
É sempre bom receber cumprimentos do outro lado do Atlântico. É bom saber que o Cognosco chega também aí, Cris. Claro, não deixarei de te visitar. Pode ser na base do Pão-de-Açúcar? Ou será melhor na Praia da Tijuca? Ou em Búzios? ou em Fortaleza? Ou... ;)


De Elsita a 6 de Dezembro de 2005 às 17:17
Este foi o último post que tinha conseguido ler, mas não me permitiu comentar, hoje não perdoarei, pois sendo a Hist´ria o meu calcanhar de Aquiles, os números aliados à matemática (ou será o contrário?!?!? rsss, acho que não), são a minha paixão e este post deixou-me a pensar....muito e vai dar-me muito que fazer, vou pesquisar umas coisas, tenho que ler e reler e retirar daqui umas mais valias (como quem diz rsss). Fica bem


De Mauro a 6 de Dezembro de 2005 às 19:42
Não pode haver aspiração mais pura, Elsita, do que a de contribuir para o crescimento pessoal e para o aguçamento da curiosidade e do interesse. E os artigos que mais me apraz escrever são aqueles que combinam várias facetas do total que é conhecimento humano, em especial se raramente são vistas em conjunto. História, Matemática, Filosofia, Física, Psicologia, BIologia, Estatística...


De denner a 13 de Agosto de 2007 às 22:30
nada


De Mauro a 14 de Agosto de 2007 às 07:12
certo


Comentar artigo

Cognosco ergo sum

Conheço logo sou

Estatísticas

Nº de dias:
Artigos: 336
Comentários: 2358
Comentários/artigo: 7,02

Visitas:
(desde 26 de Abril de 2005)
no Cognosco
 
Cogitações recentes
Olá Ribeiro. Eis um link atualizado para a folha d...
Seria possível fornecer um link atualizado para o ...
Obrigado, João, pela contribuição. Não está no art...
Estive lendo sua cogitação à respeito do cálculo d...
Obrigado, Aleff, pelo apreço pelo artigo. Exatamen...
Artigos mais cogitados
282 comentários
74 comentários
66 comentários
62 comentários
44 comentários
Artigos

Novembro 2017

Outubro 2017

Agosto 2017

Julho 2017

Junho 2017

Maio 2017

Abril 2017

Março 2017

Fevereiro 2017

Janeiro 2017

Dezembro 2016

Novembro 2016

Outubro 2016

Julho 2016

Março 2015

Dezembro 2014

Outubro 2013

Maio 2013

Fevereiro 2013

Outubro 2012

Setembro 2012

Agosto 2012

Junho 2012

Janeiro 2012

Setembro 2011

Abril 2011

Fevereiro 2011

Dezembro 2010

Maio 2010

Janeiro 2010

Abril 2009

Fevereiro 2009

Janeiro 2009

Novembro 2008

Outubro 2008

Agosto 2008

Julho 2008

Junho 2008

Abril 2008

Fevereiro 2008

Janeiro 2008

Novembro 2007

Outubro 2007

Agosto 2007

Julho 2007

Junho 2007

Maio 2007

Abril 2007

Março 2007

Fevereiro 2007

Janeiro 2007

Dezembro 2006

Novembro 2006

Outubro 2006

Setembro 2006

Agosto 2006

Julho 2006

Junho 2006

Maio 2006

Abril 2006

Março 2006

Fevereiro 2006

Janeiro 2006

Dezembro 2005

Novembro 2005

Outubro 2005

Setembro 2005

Julho 2005

Junho 2005

Maio 2005

Abril 2005

Março 2005

Fevereiro 2005