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Diário das pequenas descobertas da vida.
Terça-feira, 22 de Novembro de 2005
Celer turtur
Já todos (?) ouviram falar do paradoxo de Aquiles e da Tartaruga.
Aquiles, o mortal mais rápido do mundo, herói grego na guerra de Tróia, foi desafiado para uma corrida com a Tartaruga, um dos mais lentos.
Uma vez que Aquiles era muito mais rápido, deu à tartaruga um avanço à partida.
A Tartaruga partiria alguns metros à frente de Aquiles.
Assim que o sinal de partida soou, Aquiles rapidamente percorreu a distância de onde partiu a Tartaruga.
Mas quando lá chegou, já a ela tinha avançado e encontrava-se mais à frente.
Aquiles rapidamente cobriu a a distância que os separava.
Mas assim que lá chegou já a Tartaruga estava mais à frente.
Aquiles correu para lá, para descobrir que a Tartaruga tinha avançado mais um bocado.
De cada vez a Tartaruga estava menos longe, mas Aquiles nunca a apanhava, porque ela estava sempre nem que um só milímetro mais à frente (quanto mais ultrapassá-la)


~ O que se passava com ele? Então não se vê logo que Aquiles a ultrapasa num ápice?

Para se entender o que Zenão pensava e defendia, é necessário conhecer a escola filosófica a que ele pertencia.
Zenão foi discípulo de Parménides, legislador e filósofo da já desaparecida cidade de Elea-Velia, uma cidade grega na costa oeste italiana (junto ao mar de Tirreno). Parménides fundou na cidade uma escola filosófica que é conhecida como Escola Eleática. As ruínas da cidade podem ser vistas no Parque Nacional de Cilento. As ruínas da cidade são mais grandiosas do que as de Pompeia e de Herculaneum juntas, mas são no geral desconhecidas. Novas escavações têm revelado muitas descobertas interessantes e parte da cidade está ainda por desenterrar.

Parménides era admirado pelos seus concidadãos pela sua vida exemplar e pela excelente legislação que deu à cidade, a que os cidadãos sentiam que deviam a sua prosperidade.
Parménides era um forte opositor da escola de pensamento de Heraclito, que defendia que tudo no Mundo era feito de mudança, alteração e nada permanecia sempre o mesmo (a célebre ideia de que nunca se passa pelo mesmo rio duas vezes. Na segunda vez as águas já passaram e portanto estamos a passar por águas diferentes, logo por um rio diferente).
Mas para Parménides o movimento e a mudança são ilusões dos sentidos. Tudo é uno e indivisível e apenas a razão permite conhecer essa realidade imutável.
Ao contrário da sua legislação, a sua filosofia não era aceite pelos seus conterrâneos.
Muitos criticavam-no e até o gozavam.

Zenão era também oriundo de Elea-Velia e o melhor discípulo de Parménides. As críticas ao seu mestre não lhe agradavam e foi para o defender que criou os seus famosos Paradoxos de Zenão. Neles propôs-se mostrar que os sentidos forneciam informações que eram contraditórias e que portanto a mudança, o movimento, a pluralidade eram ilógicas e inexistentes.

Quase tudo o que se sabe sobre Zenão encontra-se nas páginas de abertura da obra de Platão Parmenides. (Para mais sobre Platão ver também Euler ergo Platon).
Na citada obra, é referido que Zenão tinha 40 anos quando Sócrates era jovem. Como este nasceu em 469 AC, Zenão terá nascido mais ou menos em 490 AC. Sabe-se também que Zenão descreveu os seus paradoxos num livro e que ele e Platão eram grandes amigos.

O livro não sobreviveu até aos nossos dias e tudo o que se sabe sobre os paradoxos é através das críticas dos seus opositores, como Aristóteles. Uma das personagens que Aristóteles criou, de nome Simplício, segue em traços gerais as argumentações de Zenão, apesar de este ter vivido mil anos antes de Aristóteles.
(veja-se Apolo não favoreceu Aristóteles para mais sobre Aristóteles).

Parece ter havido 40 paradoxos relacionados com a Pluralidade (que mostravam que acreditar que tudo era composto de muitas coisas, em vez de só uma, conduzia a paradoxos lógicos). Desses 40 apenas dois sobreviveram. Aristóteles refere também 4 paradoxos relacionados com o Movimento (onde se inclui o Paradoxo de Aquiles e da Tartaruga) e ainda atribui outros 2 paradoxos a Zenão.

Paradoxos da Pluralidade

~ Argumento da Densidade: suponha-se que existissem, como os sentidos nos indicam, um conjunto de várias coisas distintas. Se é um conjunto, argumenta Zenão, tem um número finito de coisas (o infinito não é um número concreto, portanto um conjunto não pode ter, na sua óptica, infinitas coisas). Para que se percepcione cada coisa como individual, tem de haver algo que as separe. Esse algo tem de estar, também separado por outra coisa (se não seria a mesma coisa, e não as separaria). Assim continuamente.
Por exemplo, uma fila de 2 maçãs. As maçãs não são uma só, são 2. Percebe-se isso porque algo as separa, digamos ar. Mas a separar o ar da maçã há mais ar, porque se não o ar e a maçã eram a mesma coisa. Então a separar o ar da maçã há outra coisas, mais ar. Mas a separar esse da maçã há ainda outro,...)
Temos então que um conjunto finito de coisas tem infinitos elementos, o que é uma contradição. Assim a premissa inicial de que há um conjunto de várias coisas é falso. Há apenas uma entidade do Universo.

~ Argumento do Tamanho Finito: Zenão argumenta que, se houvesse infinitas coisas no Universo, estas teriam de ter um tamanho nulo. Assim sendo seriam não existentes. Então não pode haver infinitas entidades no Universo, elas não existem.
Além disso, se as coisas tivessem um tamanho finito, teriam pelo menos duas partes (digamos frente e verso). Cada parte, sendo distinta, também teria de ter frente e verso. Cada uma destas também. Assim ad infinitum. Uma soma infinita de coisas é infinita, na perspectiva de Zenão. Assim algo finito é também infinito, o que é uma contradição. Não pode haver infinitas coisas no universo, este é uno.
(O argumento é um pouco nebuloso, sendo costituido por 3 partes sem uma evidente ligação. Mas esta é a sua argumentação.)

~ Argumento da Completa Divisão: este argumento é apresentado pela personagem Simplício. Suponha-se que se divide um corpo até às mínimas partes, partes que não são mais divisíveis. Então essas partes ou não existem (porque não têm tamanho) ou são pontos sem extensão. Se forem nada, então a sua soma, o corpo em questão, também não existe. Se forem pontos sem extensão, a sua soma, o corpo em questão, também não tem extensão, logo não existe com tal.

Paradoxos do Movimento

~ A Dicotomia: antes de se chegar a um local, tem primeiro de se chegar a meio. Antes de se chegar a meio tem de se chegar a um quarto. Antes de se chegar a um quarto tem de se chegar a um oitavo. E assim sucessivamente, um número infinito de intervalos a percorrer cada vez mais pequenos. Para Zenão, isto implica que nunca sequer se chega a partir. Como tal o movimento é ilógico e uma ilusão dos sentidos.

~ Aquiles e a Tartaruga: como a Tartaruga parte mais à frente e, de cada vez que Aquiles chega ao local onde ela estava, ela já se encontra mais à frente, Aquiles, por muito que corra nunca a chega a apanhar. A velocidade de Aquiles é ilógica e como tal uma ilusão.

~ A Seta: Zenão considera que o Tempo é constituído por instantes. Considera uma seta, aparentemente em movimento, depois de lançada. Em cada momento a seta está parada nessa altura e local (se não estaria noutra altura e local), como o conjunto de imagens que constituem um filme. Nesse instante a seta não se desloca, o seu movimento num instante preciso é nulo. Como o tempo é constituido por uma sucessão de instantes em que o movimento é nulo, a soma de deslocamentos nulos é também nulo. O movimento da seta é apenas aparente, uma ilusão dos sentidos.

~ o Estádio: imagine-se 3 filas de corpos iguais. Uma das filas está parada, as outras duas estão em movimento paralelo entre as três a uma velocidade constante. A fila do meio move-se da esquerda para a direita e a terceira fila da direita para a esquerda. A velocidade das filas é V e de cada vez o corpo de um fila alinha-se com um corpo da outra. Por meio de algumas confusões em relação às velocidades relativas de cada fila umas em relação à outras, Zenão afirma que o movimento de uma fila demora metade do tempo e o da outra o dobro, sendo que as suas se movem ao mesmo tempo. Conclui assim que o movimento é uma ilusão.

Paradoxo do Local

Tudo o que existe tem que estar em algum lugar. Esse lugar, por sua vez, também está algures. Esse por sua vez noutro ainda. E assim ad infinitum. Haveria assim um número infinito de coisas, de locais no Universo. Isso, para Zenão, é ilógico. Portanto a pluralidade é uma ilusão.

O Saco de Grãos

Quando um saco com grãos cai ao chão, produz um som. Este som é a soma dos sons produzidos por todos os grãos a chocarem contra o chão. E o som produzido por cada grão é a soma do som produzido por cada parte do grão. Assim cada parte de cada grão produz um som quando atinge o chão. Mas, argumenta, quando se deixa cair uma parte de um grão no chão não se ouve qualquer barulho. Então o sentido da audição apresenta falsas informações. Se cada parte não produz barulho, a soma de todos os não-barulhos é também um não barulho. Pensa-se que se ouve um som, mas isso é falso. Os sentidos são uma ilusão.

É claro que todos os paradoxos apresentados por Zenão (os que sobreviveram) são simplesmente aparentes. Todos eles são demonstráveis como contendo falsas conclusões.
Muitas das suas conclusões prendem-se com o facto de ele considerar que uma soma infinita tem de ser infinita. Mas uma soma infinita de coisas pode ser um número finito (basta pensar que, entre 0 e 1 há infinitos números, apesar de este ser um intervalo finito). As questões das filas que demoram metade do tempo e simultaneamente o dobro do tempo é um simples caso de incorrecção no cálculo das velocidades relativas dos corpos. Além disso, mesmo que não se ouça o som de uma parte de um grão a cair, ele produ-lo. Nós é que não o conseguimos ouvir (mas temos instrumentos que o conseguem).

Mas, apesar disso, Zenão teve um profundo impacto em vários filósofos: os Pitagóricos (uma escola filosófica que considerava que tudo era constituido por números. Foi Pitágoras quem cunhou o termo Filosofia pela primeira vez. Ele foi o primeiro filósofo); os Atomistas (que, segundo Aristóteles, consideraram o argumento da eterna divisão e consideraram que teria de haver um limite à divisão. Esse limite era o atom, «indivisível» em grego); Grünbaum (1967) aplicou os conhecimentos matemáticos modernos para, de uma vez por todas, mostrar a falsidade dos argumentos de Zenão; Monoteísmo (há quem considere a Escola Eleática a primeira filosofia monoteísta europeia. Tudo é apenas uma entidade, imóvel, imutável. Muitos vêem estas características como sendo próprias de uma divindade, una e universal).

Um dos primeiros monoteísmos que se conhece surgiu em África, o culto a Aton (Disco Solar), no Egipto, no reinado do faraó Akenaton - pai de Tutankamon. Akenaton nasceu em 1370 AC e começou o seu reinado com o nome de Amenotépe IV, mas depois mudou-o para Akenaton («o horizonte de Aton»).
Até ao seu reinado, uma das divindades maiores da religião clássica egípcia era Amon, o Deus-Sol. Este era um entre outros deuses. A classe religiosa egípcia era muito poderosa, pois as pessoas pagavam pesados tributos aos seus deuses. A classe de sacerdores mais poderosa e rica era a dos sacerdotes de Amon.
Busto de NefertitiAkenaton decidiu acabar com os seus privilégios e abusos e criou então o culto a Aton, o Disco Solar. Akenaton era casado com a mulher mais bela do Egipto, Nefertiti, e teve muitos filhos. Um deles (que não era de Nefertiti), a quem foi dado o nome de Tutankaton («imagem viva de Aton»), viria a ser faraó. Mas os sacerdotes de Amon não ficaram satisfeitos com o tratamento que receberam e, quando uma série de desastres naturais atingiu o Egipto, culparam a heresia de Akenaton.
O povo revoltou-se e exigiu o retorno à velha religião.
O faraó cedeu e os sacerdotes de Amon foram restituidos aos seus postos e previlégios Algum tempo depois o faraó Akenaton foi encontrado morto (pensa-se que morto pelos sacerdotes de Amon como vingança). Todas as suas representações foram mutiladas, os seus bustos destruídos e os morais onde aparecia danificados.
A rainha Nefertiti desapareceu (pensa-se que assumiu uma falsa identidade masculina e governou o Egipto nos anos a seguir à morte do marido).
Com o culto a Amon restaurado, o nome da criança foi mudado para Tutankamon («imagem viva de Amon»), que foi tornado faraó quando tinha 9 anos. Quando tinha 18 anos Tutankamon morreu de causas desconhecidas. O seu impacto na história egípcia foi nulo e só é lembrado porque foi o único túmulo de um faraó alguma vez encontrado que não tinha sido pilhado. Se o seu túmulo tinha as riquezas que tinha, imagine-se os de farós muito mais influentes, que governaram o Egipto por mais tempo e quando o país era muito mais rico (Ramsés, por exemplo)...

No título «A rápida tartaruga»


Publicado por Mauro Maia às 22:27
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13 comentários:
De Rui a 23 de Novembro de 2005 às 16:07
Um artigo intenso, com todas essas "desconstruções da realidade" que o Zenão apregoava. Por acaso no outro dia ouvi uma contra-resposta curiosa a um dos mais famosos enigmas paradoxais: "Se uma árvore cai na floresta e ninguém está lá para a ouvir, será que faz barulho?"; "E se a avó cair das escadas abaixo e partir uma perna e ninguém estiver lá para a ouvir, será que faz barulho?" Meditemos...


De Maria Papoila a 23 de Novembro de 2005 às 19:39
Paradoxalmente ou não, gostei muito da parte final do artigo, que nos lembra a história egípcia... Li os paradoxos da escola de Zenão, mas o assunto é denso! Tenho de o reler e ...triler... Beijo


De . a 23 de Novembro de 2005 às 20:06
Se a realidade for objectiva, a queda da avó fará, certamente, muito barulho. Se não o for, depende do ponto de vista. Na perspectiva de alguém que ainda não teve a oportunidade de se aperceber da queda da senhora, esta existe numa estranha sobreposição de dois estados: o da avó que não caiu (e que, por conseguinte, não fez barulho) e o da avó que deu um (ruidoso) trambolhão. Essa sobreposição seria regida por uma função matemática que tem o nome de função de onda, a qual deveria, pelo menos em princípio, permitir calcular a probabilidade de cada um desses estados sobrepostos (na prática assim não acontece, dada a complexidade do problema). Já na perspectiva da senhora, ela aperceber-se-ia com certeza da sua própria queda, pelo que provocaria o colapso da referida função de onda, passando o estado correspondente à queda (e à existência de barulho) a ser verdadeiro (100% de probabilidade) e o estado complementar de não-queda/não existência de barulho a ser falso (0%). A menos, claro, que a pobre da senhora fosse surda...


De MZ a 23 de Novembro de 2005 às 21:57
gostei desta abordagem quântica...


De Mauro a 23 de Novembro de 2005 às 22:39
Objectivamente, a senhora caiu de facto. A questão da avó é, pelo menos num ponto crucial, diferente da da árvore: há pelo menos um observador presente na queda da avó (a própria). Não há a mesma garantia de existência de um observador no caso da queda da árvore. Logo, como bem referiu «.», a função de onda de Schrödinger colapsa pela presença de um observador na avó mas não necessariamente no da árvore. A avó caiu mesmo, pois ela sabe que sim. Claro, se ela for surda e não ouvir a sua queda, será que fez barulho? Era necessária a presença de um observador/registador para colapsar a função de onda nesta questão. Mas esta questão é complexifica-se em relação ao que entende por um observador. A imagem clássica do «gato de Schrödinger», bem adaptada por «.» à questão da queda, levanta uma questão: é verdade que, sendo o spin da partícula emitida desconhecido, não se sabe se o gato morreu ou não. É necessário abrir a caixa para que a função de onde colapse. Mas não é o gato um observador/registador? Será uma câmara de vídeo mais observadora do que um gato (vê mais, mas não observa)? Não é a presença felina suficiente para colapsar a função de onda? Um observador externo pode não saber se o gato morreu ou não (por não saber o spin da partícula libertada), mas garantidamente o gato sabe se está vivo (não saberá é se está morto...)


De MZ a 24 de Novembro de 2005 às 00:14
hei-de falar sobre isso com o meu professor de Mecânica Quântica... no entanto, como observa Feynman, uma árvore real a cair numa floresta real faz barulho mesmo que não esteja lá ninguém para ouvir. a onda sonora que se liberta poderá fazer oscilar as folhas de outras árvores, por exemplo. e poderá também acontecer que uma folha a oscilar raspe num ramo e faça um pequeno risco. assim, numa observação posterior, encontraríamos uma pequeno risco que só poderia ser explicado se a folha tivesse vibrado. ou seja, teríamos de admitir que uma onda sonora se tinha propagado.


De Mauro a 24 de Novembro de 2005 às 09:57
Mas a questão que, para mim, é a mais importante é a da adequação das teorias físicas à realidade que desejam descrever. Já li, algures, que a ideia de que a presença de um observador/registador altera «per se» o resultado de uma experiência quântica é incorrecta e de as teorias quânticas modernas já a ultrapassaram. Mas necessitaria de fazer uma pesquisa mais profunda sobre o assunto. Mas sem dúvida que, se a teoria quântica não prevê com alto grau de probabilidade que uma árvore faz barulho quando cai, independentemente de alguém a ouvir ou não, então necessita de uma revisão e/ou aprimoramento. Na minha opinião (e ressalvo que é a minha) há uma realidade objectiva que não necessita de um observador externo para se concretizar. Por mais de 10 mil milhões de anos o Universo evolui e formou-se, estrelas nasceram e morreram sem que alguém necessitasse estar presente. Mesmo que pressuponhamos a existência de extraterrestres algures no Universo (que é impossível e indesejável de excluir) que existissem há muito milhões de anos, só podiam ter surgido após a morte das primeiras estrelas ter produzido elementos mais pesados do que o hidrogénio e o hélio (mais um pouco de lítio) que se formou após o Big-Bang e o arrefecimento do Universo. Em particular, após a das primeiras estrelas acima do limite do princípio de exclusão de Pauli (ou seja, as estrelas cuja morte produz uma super-nova e consequentemente uma estrela de neutrões ou um buraco negro). Só estrelas massiças produzem, nas suas reacções nucleares, elementos mais pesados do que os de nº atómico mais baixo. Num Universo de composição (quase-)homogénea e de números atómicos baixos não pode surgir a vida e muito menos vida inteligente. A vida, por mais simples que seja, pressupõem uma variedade de átomos e moléculas que interajam para produzirem as reacções químicas complexas necessárias. Portanto, nos seus primeiros milhares, milhões de anos, o Universo não teve como produzir observadores. E no entanto as estrelas nasceram, morreram, galáxias formaram-se e, neste cantinho do Universo, na fronteira externa de um dos braços de uma simples galáxia espiralada, a vida pode surgir e, depois de mais de 4 mil milhões de anos, produzir a inteligência humana que se interroga de onde veio e onde está. Por isso reforço a minha ideia inicial: algo não está correcto na aplicação de um teoria ao mundo observável se falha nas suas previsões quanto à objectividade dos fenómenos que estuda. Ou falha na própria teoria ou falha na aplicação dessa teoria a um contexto onde não se aplica. Como disse, parece-me ter já visto algures que a visão dos modernos físicos quânticos alterou-se e permite um universo macroscópico que não necessita de observadores conscientes para se justificar. Mas necessito de mais tempo... Ainda bem que temos um comentador com acesso directo à Matemática quântica. As questões podem mais correctamente serem aferidas à luz da ciência actual (é inegável que a simples leitura está permanentemente, por limitações de publicação, ligeiramente desfasada dos conhecimentos que tenta explicar).


De Alfinete de Peito a 25 de Novembro de 2005 às 14:32
Sempre que oiço falar em Tartarugas só me lembro de ver o Mário Soares em cima duma nas Seychelles.

Gosto muitom do artigo.

Temos dito.
Ass: Alfinete de Peito


De Mauro a 25 de Novembro de 2005 às 18:59
Há alfinetadas que se recebem com prazer. As do (não no) peito são algumas delas. Bem vindo(a) ao Cognosco, obrigado pela visita e pelo comentário. É sempre um gosto saber que o que produzimos é apreciado, um gosto maior do que o que terá tido a tartaruga em transportar um passageiro...


De maresia a 29 de Novembro de 2005 às 20:46
não era um coelho??


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