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Diário das pequenas descobertas da vida.
Sábado, 19 de Novembro de 2005
Pi
As formas geométricas acompanham o Homem desde que ele surgiu na Terra mas antecedem-no em milhares de milhões de anos (recorde-se, por exemplo, a forma hexagonal dos favos nas colmeias das abelhas, a trajectória dos planetas, a estrutura dos átomos e das moléculas, entre tantos outros exemplos das formas geométricas do Universo...). Já no artigo Omnia factus mathematica se abordou a presença das formas geométricas no mundo e a teoria de que tal se deve ao nascimento da Matemática no Big Bang.

Uma das formas geométricas mais apelativas, quer pela sua simplicidade que pela sua infinita simetria quer pela sua utilidade e versatilidade é a circunferência (a circunferência é a linha, a linha com o interior é o círculo). Esta é uma forma que tem suscitado a imaginação humana desde muito cedo, desde a pura utilidade da roda às divindades ligadas aos discos solares e lunares. Recorde-se a forma de Stonehenge...

Uma das características comuns a todas as circunferências é a razão entre o seu perímetro (comprimento da circunferência) e o seu diâmetro (a «largura» máxima da circunferência).
Qualquer que seja a circunferência, por muito grande ou pequena que seja, esta divisão dá sempre o mesmo valor, uma dízima infinita não periódica, um número que ganhou um nome no século XVIII, o número Pi.
Para qualquer circunferência, P = π x d, ou seja π (pi) = P/d.
(em que P é o comprimento do perímetro e d o comprimento do diâmetro).


Vários foram os povos que, ao longo da história, se fascinaram por este valor de aparência mística. Como era possível que o comprimento de toda e qualquer circunferência a dividir pela sua largura desse sempre o mesmo valor?

Os antigos Babilónios (ver Aevum decimale para outros contributos babilónicos) deixaram imensas placas de argila com a primeira forma de escrita conhecida: a escrita cuneiforme. Há placas com os mais diversos tipos de textos, desde poemas de amor, relatórios económicos e militares, lendas, histórias,... Há também registos da Matemática babilónica nalgumas dessas placas.
Numa delas surge a seguinte equação, relativa às circunferências: P = (3 + 1/8) x d.
Assim, para os Babilónios de há 4 000 anos, o valor de Pi era 25/8 = 3,125.
Não é muito exacto mas, ao menos, tem uma casa decimal correcta...

Para os Egípcios da mesma altura, o valor de Pi era √ 10 ≈ 3,162277.
Num dos mais famosos papiros que sobreviveu até aos tempos modernos, o chamado Papiro de Rhind, afirmava que a Área A de uma circunferência de diâmetro d é A = (d - d/9)2. Recorde-se que a Área de uma circunferência é igual a Pi vezes o raio ao quadrado.
O raio é metade do diâmetro e, por isso, A = π x d2/4.
Assim A/d2 = π / 4. Pelo Papiro de Rhind, isto resulta um valor para Pi de 3,160.

Estas duas civilizações conheciam já esta mítica constante e preocupavam-se em encontrá-la, apesar de não se saber se lhe davam algum nome em particular.

Mas a primeira tentativa sistemática para encontrar o valor de Pi foi desenvolvido pelo grego Arquimedes (conhecido matemático e inventor, de que já se falou de um outro feito em Aurea corona). Arquimedes colocou uma circunferência entre polígonos com n lados, de tal forma que n = 6x2k, ou seja, o número de lados do polígono é sempre igual a 6 vezes uma potência de 2.
k = 0 → n = 6x20 = 6 (hexágonos)
k = 1 → n = 6x21 = 12 (dodecágonos)
k = 2 → n = 6x22 = 24 (icosicaitetrágonos)
k = 3 → n = 6x23 = 48 (tetracaioctágonos)
k = 4 → n = 6x24 = 96 (Eneacontacaihexágonos)
...

Os nomes dos polígonos são formados pelos prefixos gregos para o número dos seus lados a que se junta o sufixo «gono», que significa lado.


Começou por colocar uma circunferência entre dois hexágonos, de tal forma que a circunferência fosse tangente a ambos. Calculou o perímetro de cada hexágono. Assim o perímetro da circunferência tinha um valor entre o perímetro do hexágono menor e do hexágono maior.
De seguida fez os mesmos cálculos mas com dois dodecágonos.
Depois com dois tetraicoságonos.
Depois...
Arquimedes calculou os perímetros dos polígonos que increviam e circunscreviam uma circunferência de raio 1 até aos polígonos com 96 lados. Se modernamente se pode fazer estes cálculos com relativa facilidade, imagine-se o trabalho que Arquimedes teve, não tendo nem a numeração hindu-árabe que usamos nem as fórmulas trignométricas modernas que permitem facilitar estes cálculos. Foi um trabalho de grande dedicação e paciência.
Para fazer os cálculos dos perímetros dos dois polígonos, chamemos ak ao exterior e bk ao interior, usam-se as fórmulas:
ak = 2k . tg (π/2k)
bk = 2k . sen (π/2k)
algo verdadeiramente impossível de fazer para uma civilização que desconhecia as funções trignométricas e apenas admirava, desconhecedora, o número Pi.

Arquimedes não prosseguiu os cálculos para além dos polígonos com 96 lados.
Dessa forma chegou à conclusão que 223/71 (3,14084...) < π <22/7 (3,14285...).
Fazendo o valor médio dos dois obtém-se π = 3123/994 ≈ 3,141851...

Mas outros prosseguiram-nos:
~ Ptolomeu (150 DC): 3,1416
~ Zu Chongzhi (450 DC): 355/113 ≈ 3,14159292...
~ al-Khwarizmi (800 DC): 3,1416
~ al-Kashi (1430): 3,14159265358979 (14 casas decimais)
~ Viète (1540-1603): 3,141592653 (9 casas decimais)
~ Roomen (1561-1615): 3,14159265358979323 (17 casas decimais)
~ Van Ceulen (1600): 3,1415926535897932384626433832795 (35 casas decimais)

Poucos progressos teóricos foram feitos ao longo dos séculos que sucederam a Aristóteles.
Os cálculos eram feitos pela inscrição e circunscrição de polígonos numa circunferência.
Até que a Renascença remodelou toda a cultura (europeia), não sendo a Matemática excepção.

Foi em 1706 que o matemático galês Jones usou o símbolo π com o sentido moderno (em 1647, Oughtred usou d/π para indicar a razão entre o diâmetro e o perímetro e, em 1697, Gregory usor π/r como a razão entre o perímetro e o raio). Euler adoptou o símbolo, que se tornou então a norma.
Entretanto novas formas de calcular Pi tinham sido criadas.
Uma delas (geralmente atribuida ao matemático Leibniz) usa um desenvolvimento em série de Pi:
π/4 = 1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ... + 1/(2n - 1)
Quanto mais valores se incluíssem mais casas decimais se encontreava de Pi.
Mas este processo é complicado e é parco em termos de casas decimais para Pi.
Para encontrar 4 casas decimais é necessário somar 10 000 termos.
Mas Gregory (que se pensa ser o verdadeiro criador da fórmula de Leibniz) aperfeiçoou-a e (usando a função trignométrica arctg) conseguia encontrar as 4 casas decimais com apenas 9 termos somados.
Machin aperfeiçoou ainda mais a fórmula, mas não a usou para calcular Pi.
Os cálculos exigidos eram imensos e tediosos e era preciso dispender enormes quantidades de tempo a uma tarefa de pouca utilidade (encontrar as casas decimais de Pi).
Mas, em 1873, o inglês Shanks, que pelo visto tinha pouco com que se entreter, publicou os seus resultados aplicando a fórmula de Machin. Após anos de trabalho calculou 707 casas decimais.

Até 1946 todos os cálculos eram feitos à mão, demorando anos a serem feitos.
Nesse ano Ferguson calculou 620 casas decimais.
Mas em 1947 o mesmo Ferguson utilizou uma calculadora para encontrar 710 c.d.
Isto marcou o início dos cálculos com o auxílio dos computadores.
Em Setembro de 1999, Kanada Takahashi usou um computador para calcular um número de casas decimais de 206 mil milhões, 158 milhões e 430 mil.
Além de iniciar o cálculo electrónico de Pi, Ferguson também mostrou que Shanks se tinha enganado ao calcular a 528ª casa decimal, pelo que todas as restantes estavam incorrectas.

Existe curiosamente uma forma experimental de calcular o valor de Pi.
Em 1777 o conde Leclerc de Buffon («it is I, Leclerc...»), acrescentou um suplemento à sua recentemente publicada obra de 36 volumes sobre História Natural.
O suplemento versava um curioso «Problema da agulha» conhecido mais tarde como «Agulha de Buffon».
Simplificadamene trata-se de descobrir a probabilidade (cuja forma de calcular se falou em Alea jacta est) de uma agulha com 2 cm de comprimento, lançada ao acaso sobre um plano com linhas paralelas separadas por 4 cm, atingir uma dessas linhas.
Depois de vários lançamentos, contacta-se que a probabilidade é 1/π.
É curioso como o número concreto Pi surge em algo que aparentemente é tão diferente, o cálculo da incerteza permitido pelas probabilidades...

Algumas outras curiosidades sobre Pi:
~ a soma dos primeiros 144 dígitos de Pi é 666. 144 = (6 + 6)x(6 + 6);
~ a altura de um elefante, da pata ao pescoço, é 2 x Pi x diâmetro da cada pata;
~ em 1995, Goto estabeleceu um novo recorde mundial ao dizer de cor, gastando perto de 9 horas, as primeiras 42 mil casas decimais de Pi;


Publicado por Mauro Maia às 14:49
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14 comentários:
De . a 20 de Novembro de 2005 às 18:19
Excelente artigo, como sempre. Aqui vai, se me é permitida, uma possível demonstração para o problema das agulhas:

Seja d a distância que separa duas linhas paralelas e l o comprimento da agulha. Lance-se a agulha e meça-se o ângulo que a mesma faz com as referidas linhas. Seja alfa o valor desse ângulo. Então a probabilidade de, nesse lançamento, a agulha intersectar uma linha é dada pela razão entre o comprimento da agulha medido segundo uma direcção perpendicular às linhas paralelas e a distância d (um diagrama aqui facilitaria muito a compreensão deste ponto, mas não me é possível fazê-lo). Ou seja:

p(alfa) = l . sen(alfa) / d.

O valor de alfa pode variar entre 0 e PI (e não entre 0 e 2PI, dada a simetria da agulha). A probabilidade de, para todos os valores de alfa, a agulha intersectar uma linha será, por conseguinte, dada por:

P = (1 / PI) . integral entre 0 e PI de (p(alfa) . dalfa).

Substituindo, obtemos:

P = (1 / PI) . integral entre 0 e PI de (l . sen(alfa) / d . dalfa) = (1 / PI) . (l / d) . integral entre 0 e PI (sen(alfa) . dalfa) = (1 / PI) . (l / d) . (-cos(alfa)) entre 0 e PI = (1 / PI) . (l / d) . (-cos(PI) - (-cos(0))) = (1 / PI) . (l / d) . (1 + 1) = (2 / PI) . (l / d).

Para os valores referidos no artigo, d = 4 cm e l = 2 cm, temos:

P = (2 / PI) . (2 / 4) = 1 / PI (qed).

Aqui vai outra maneira divertida de calcular PI:

PI / 4 = (1 / 1) - (1 / 3) + (1 / 5) - (1 / 7) + (1 / 9) - (1 / 11) + ...

Conheço outro método muito engraçado, baseado em tiro ao alvo, e que é muito fácil de implementar num computador (com o recurso a números aleatórios). Vou tentar explicá-lo: considere-se um quadrado unitário (isto é, um quadrado cujo lado é igual a 1) e um quarto de um círculo unitário (o raio é igual a 1), inscrito no quadrado (um diagrama aqui também seria útil). Disparem-se tiros aleatoriamente em direcção ao quadrado. Todos os tiros atingirão o quadrado, mas só alguns acertarão no quarto de círculo. A probabilidade é dada por:

P = número de tiros no quarto de círculo / número total de tiros = área do quarto de círculo / área do quadrado = (PI . R^2 / 4) / (lado^2) = PI / 4. A aproximação será tanto melhor quanto maior for o número total de disparos. Cumprimentos.


De Mauro a 20 de Novembro de 2005 às 21:18
Obrigado pelo complemento à «Agulha de Buffon». Eu hesitei em colocar a descrição geral do problema, recorrendo a um comprimento de agulha l e a uma distância entre as linhas d. Acabei por concluir que tal descrição não aclararia o artigo, pelo que serviria somente para o alongar. Agradeço-te a inclusão no teu comentário da descrição em termos de l e d, bem como a desmonstração da mesma (que nem originalmente cogitei colocar non artigo). Sem dúvida que é um óptimo suplemento. A primeira forma que referes para encontrar Pi (usando a soma de fracções de denominador ímpar com sinais alternadamente simétricos) está incluído no artigo, quando é referido como a primeira forma «moderna» de encontrar Pi sem o método de Arquimedes. Mas o «método» do tiro ao alvo eu desconhecia e é, sem dúvida, uma forma curiosa de encontrar Pi. Uma «Agulha de Buffon» (Pi através de probabilidades geométricas) mas com tiros ao alvo e alvos circulares. Sem dúvida interessante. Obrigado, «.», mais uma vez.


De . a 20 de Novembro de 2005 às 22:09
Tens razão no que se refere ao método do desenvolvimento em série. As minhas desculpas pela repetição. Quanto ao método do tiro ao alvo, foi-me ensinado, já lá vão muitos anos, por um professor de Introdução à Programação. Na sua formulação original entrava um quadrado com duas (e não uma) unidades de lado e um círculo unitário completo (em vez de um quarto de círculo). A probabilidade continua a ser de PI / 4. A formulação do quarto de círculo tem a vantagem de levar a algumas simplificações na escrita do programa.


De Mauro a 20 de Novembro de 2005 às 22:51
Sem dúvida um exercício interessante, ainda mais com o alvo com 2 unidades e um círculo inteiro a um canto. Quem sabe, uma boa sugestão para um pequeno exercício de aplicação...


De . a 21 de Novembro de 2005 às 00:03
Estive a testar o método do tiro ao alvo. Com um total de mil milhões de disparos, obtive para PI o valor aproximado de 3.141521. Não é propriamente um método eficiente, mas não deixa de ser divertido...


De Mauro a 21 de Novembro de 2005 às 00:14
O teu comentário pôs-me a cogitar... estiveste a testar o método do tiro ao alvo... sem estilhaços, espero ;) Fizeste um programa informático para gerar números aleatórios numa grelha que simula um alvo quadrado? Nada mau como aproximação de Pi. Em termos das aproximações históricas de Pi, é um valor nada mau. Fez-me lembrar a produção do triângulo do Sierpinski a partir da geração de números aleatórios. Já não me recordo bem como é, mas é um resultado interessante e, depois de mais aprofundadamente relembrado, um bom futuro artigo...


De . a 21 de Novembro de 2005 às 00:44
Referes-te à figura obtida com base na determinação do ponto médio do segmento de recta que liga um vértice do triângulo, escolhido ao acaso, a um ponto semente, passando o referido ponto médio a constituir a nova semente a usar na iteração seguinte?

Quanto ao programa do tiro ao alvo, considero o quadrado unitário definido pelos vértices opostos (0, 0) e (1, 1), e o quarto de círculo com centro em (0, 0), e extremos em (1, 0) e em (0, 1). Com base numa função geradora de números pseudo-aleatórios compreendidos no intervalo [0, 1[ produzo, para cada tiro, as coordenadas (x, y) do mesmo. Em seguida verifico se a distância ao centro não é superior à unidade (ou seja, se x^2 + y^2 <= 1; não é preciso calcular a raiz quadrada). Se assim for, o tiro atingiu o quarto de círculo, pelo que trato de incrementar de uma unidade um contador dos tiros que acertaram o alvo. No fim, estimo o valor de PI como sendo igual a 4 * número de tiros que acertaram o alvo / número total de tiros. Se estiveres interessado no programa, terei muito gosto em to oferecer.


De Mauro a 21 de Novembro de 2005 às 10:56
Vale, caro «.», da forma de gerar aleatoriamente o triângulo de Sierpinski. A forma tradicional é dividir um triângulo equilátero em 4 triângulos igualmente equiláteros e retirar o do meio. Repete-se para cada um dos triângulos seguintes e de novo para os triângulos deles resultantes. Essa é a forma tradicional. Mas ao que eu me refiro no comentário é forma aleatória que, de forma «mágica», acaba por ser o dito triângulo. Gerando pontos aleatórios e usando uma regra algorítmica simples, obtém-se o triângulo de Sierpinski. Tenho mesmo de escrever um artigo sobre o assunto. Se bem que, se calhar, devia começar por escrever um que falasse de fractais... Quanto ao programa que referes, tenho curiosidade em vê-lo, sim. Está programado em que linguagem? Ando a ver se arranjo tempo para me dedicar à programação, mas surge sempre algum projecto que mo impede... O e-mail é mauro.maia@sapo.pt (como se pode aduzir da «assinatura» em cada artigo). Obrigado, «.».


De . a 21 de Novembro de 2005 às 11:12
Bem sei. Trata-se do método que eu tentei, sem êxito, explicar: definem-se os vértices de um triângulo, e um ponto qualquer (designado por semente) no interior do mesmo. Em seguida itera-se várias vezes (quantas mais, melhor) o seguinte procedimento:

1 - escolhe-se aleatoriamente um dos vértices do triângulo;
2 - determina-se o ponto médio do segmento de recta definido pelo vértice escolhido e pelo ponto-semente;
3 - desenha-se o referido ponto médio;
4 - toma-se o ponto médio para o novo ponto-semente e repete-se o procedimento.

E o triângulo lá aparece por acção desta poeira fractal de perlimpimpim... :)


De . a 21 de Novembro de 2005 às 11:17
O programa do tiro ao alvo está escrito em C. Vou passar-to no comentário a seguir, pois é bastante pequeno. Receio, no entanto, que fique desformatado, devido à substituição dos tabs e das mudanças de linha por espaços. Se tiveres problemas, avisa.

Quanto ao triângulo de Sierpinski, também te posso ceder um programa, escrito em C e OpenGL, que o desenha. Mas este já não é assim tão pequeno...


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