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Diário das pequenas descobertas da vida.
Quinta-feira, 3 de Novembro de 2005
Euler ergo Platon
Os chamados sólidos platónicos são somente 5 (tetraedro, cubo, octaedro, isocaedro, dodecaedro). São sólidos regulares, todas as suas faces são iguais e, em cada face, os lados são todos iguais. São a epítome da igualdade.
Tetraedro Hexaedro Octaedro Dodecaedro Isocaedro
Para além disso há somente e exactamente 5 sólidos deste tipo. Por muito criativo que se seja, por muito que se tenha uma imaginação fértil, é impossível conceber (tal como construir) outros sólidos (além destes 5) que tenham as faces todas iguais e em que os lados de cada face sejam também iguais.

~Como assim «é impossível conceber»? Vivemos num país livre! Imagino o que quiser!

A questão é «Como é que se sabe que há apenas 5?». Não haverá algum outro, que nunca foi imaginado e tentado? Não há infinitos sólidos, com tantas faces regulares quantas se queiram? Como sabem que não há mais nenhum?

Existe uma demonstração matemática de que assim é. (Já «.» o tinha referido num comentário ao artigo Omnia factus mathematica)
Não há mais sólidos platónicos para além dos 5 conhecidos

Essa demonstração é extremamente curta e recorre à chamada Fórmula de Euler
«Num qualquer poliedro (sólido formado por polígonos, regulares ou não)
o número de faces menos o número de arestas mais o número de vértices é sempre 2»
F - A + V = 2

(um outro dos muitos feitos de Euler pode ser apreciado em As pontes de Königsberg)

Aplique-se então a fórmula aos sólidos de Platão.
Cada tem um número de faces (n) e cada face tem um número de arestas (k) e em cada vértice há o mesmo número de faces que se tocam (p).

Aplicando à Fórmula de Euler obtem-se:
n - (n×k/2) + (n×k/p) = 2

Como todos os termos que estão a somar tem um factor comum (n) colocamo-lo em evidência:
n×(1 - (k/2) + (k/p) ) = 2

Como n é o número de faces, tem de ser um número positivo.
Isso significa que 1 - (k/2) + (k/p) também tem de ser positivo, uma vez que o produto de ambos dá um número positivo (2).

1 - (k/2) + (k/p) > 0

Isto é o mesmo que
(2/k)+(2/p) > 1

Analisem-se agora as opções para os valores de k (arestas de cada face) e de p (faces por vértice).

Primeiro têm de ser números inteiros positivos.
Obviamente que, para ser um sólido, é necessário haver 3 ou mais faces (k ≥ 3) e logo há também 3 ou mais faces por vértice (p ≥ 3)
(Vivemos num mundo a 3 dimensões, se bem que uma nova teoria não comprovada admite que o universo possa ter 10 dimensões...)

Os únicos valores que satisfazem a condição de (2/k)+(2/p) > 1
são:
k = 3, p = 3 (tetraedro) 2/3 + 2/3 = 4/3 = 1,333... > 1
k = 3, p = 4 (octaedro) 2/3 + 2/4 = 14/12 = 1,1666... > 1
k = 3, p = 5 (dodecaedro) 2/3 + 2/5 = 16/15 = 1,0666... > 1
k = 4, p = 3 (cubo) 2/4 + 2/3 = 14/12 = 1,1666... > 1
k = 5, p = 3 (isocaedro) 2/5 + 2/3 = 16/15 = 1,0666... > 1

Quaisquer outros valores de k ou de p não dão valores superiores a 1.
k = 3, p= 6 → 2/3 + 2/6 = 3/3 = 1
k = 4, p = 4 → 2/4 + 2/4 = 16/16 = 1
k = 7, p = 10 → 2/7 + 2/10 = 34/70 ≈ 0,4857 < 1

Isto também explica porque os Sólidos de Platão são constituídos por
triângulos (k=3); quadrados (k=4); pentágonos (k=5). q.e.d.
(Quod erat demonstrandum - Como queriamos demonstrar)

Curiosamente, o nome de Platão era
Aristócles. Platão foi a alcunha que um professor lhe deu quando era estudante. Platon significa «ombros largos» em Grego, alcunha que encaixava tão bem no jovem Aristócles que todos, incluindo ele mesmo, para sempre o nomearam assim («ombros largos» poderia tanto referir-se à largura anatómica quer à largura dos seus argumentos...)

No título "Euler logo Platão", numa inversão curiosa, uma vez que foi Euler que demonstrou a unicidade dos sólidos de Platão (pelo que Euler justifica Platão neste aspecto) mas por outro lado Platão antecede Euler em 2 000 anos. Sou, para quem ainda não teve oportunidade de constatar nos meus sucessivos artigos, um apreciador de paradoxos...


Publicado por Mauro Maia às 12:15
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