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Diário das pequenas descobertas da vida.
Quarta-feira, 12 de Outubro de 2005
Omnia factus mathematica
Platão é conhecido principalmente por ser a voz de Sócrates, pela sua obra A República (onde descreve uma sociedade «perfeita») e principalmente pela sua concepção de que o mundo em que vivemos não passa da sombra de um outro, esse sim perfeito, no qual existiriam as ideias de que os objectos reais eram apenas sombras.

Foi para ilustrar esta ideia que criou a célebre «Alegoria da caverna» (contida no livro VII do «A República»), na qual Sócrates descreve uma estranha caverna:
«Um grupo de pessoas está acorrentada no interior da caverna de tal forma que não conseguem nem mexer a cabeça. São prisioneiros e por trás deles há um caminho mais elevado e depois uma fogueira. Pelo caminho circulam pessoas, carregando todo o tipo de objectos. Mas tudo o que os prisioneiros conseguem ver é as sombras projectadas na parede e as vozes dos transeuntes (nem se conseguem ver uns aos outros). Para eles toda a realidade é constituída pelas sombras que passam e pelas vozes que ecoam. A dada altura um dos prisioneiros consegue soltar-se. Liberta-se e sai da caverna. Os seus olhos doem devido à luz do Sol que pela primeira vez na sua vida ele observa. Assim que se acostuma à luz vê pela primeira vez o mundo e compreende que a realidade que ele conhecia era uma mera ilusão. Há quem diga que voltou então à caverna e contou aos outros prisioneiros o que tinha visto. Riram-se dele. Tentou então mostrar-lhes que estavam presos e libertou-os. Eles então mataram-no. Há também quem diga que, tendo agora um maior conhecimento da realidade, apercebeu-se de qual seria o seu destino se voltasse à caverna. Optou então por não o fazer.»

Um dos parceiros de conversa de Sócrates, Glauco, exclama «Mostraste-me uma estranha imagem e uns estranhos prisioneiros.» Ao que Sócrates, pela pena de Platão, replica «São como nós...»

Um dos pontos relevantes desta noção de um mundo ideal é também a ideia de que os conceitos matemáticos, como o triângulo, a linha recta, os números, existem verdadeiramente e o que possuímos na nossa realidade são meras aproximações imperfeitas dessa «realidade» ideal. Assim, toda a Matemática é um processo de descoberta e não de invenção. Ainda hoje existe a dicotomia entre a visão de uma Matemática que o Homem inventa (de acordo com a inflexível regra de coerência com os resultados matemáticos já provados) e a visão de que a Matemática é um simples processo de descoberta de uma realidade ideal a que todos temos acesso através da nossa mente.

Uma das ideias matemáticas que mais apelou ao espírito de Platão e que o tornou um devoto apreciador da mais bela das ciências (ou da mais exacta das artes) foi o conceito de sólidos regulares, os sólidos constituídos por figuras geométricas iguais (a mesma figura com o mesmo comprimento de lados). Apesar de se puder pensar que seria possível construir tantos sólidos regulares quantos os que se quisessem, a verdade é que só há 5 (outras tentativas de «encaixar» polígonos regulares de forma a constituir um sólido não resultam, sendo impossível ligar todo o conjunto de forma coerente).

Estes 5 sólidos são:

~ Tetraedro: este sólido é formado por 4 triângulos com o mesmo lado (por outras palavras é uma pirâmide com a base triangular).

~ Cubo: este é um sólido que dispensa apresentações. É constituído por 6 quadrados (é também conhecido como hexaedro).

~ Octaedro: este sólido é constituído por 8 triângulos (é mais ou menos como 2 pirâmides de base quadrada unidas).


~ Dodecaedro: este sólido é constituído por 12 pentágonos (polígonos com 5 lados).


~ Isocaedro: este sólido é constituído por 20 triângulos.


Para ver os Sólidos Platónicos em 3D
O fascinante deste conceito é que não é possível formar outros sólidos, além destes, com as faces todas iguais. Não se sabe ao certo quem primeiro descreveu estes cinco sólidos. Puderão ter sido os primeiros Pitagóricos, fontes credíveis (incluindo o famoso matemático Euclides, fundador das bases demonstrativas e lógicas da geometria plana, que viria a dominar o pensamento dos homens sobre a forma do mundo durante milénios) indicam que terá sido um amigo de Platão. A obra fundamental de Euclides, a Bíblia da Geometria durante milénios, os seus «Elementos», constituído por vários volumes, inclui, no final do Livro XIII uma descrição dos 5 sólidos, conhecidos normalmente por Sólidos de Platão.

Esta visão de perfeição de construção, este desígnio de unicidade, capturaram a imaginação de artistas e cientistas por toda a história humana. Vários quadros de artistas do renascimento incluem desenhos dos Sólidos de Platão. Uma das influências que teve num famoso cientista foi a visão do Universo do conhecido astrónomo Kepler (o primeiro a descobrir que os corpos celestes não descrevem órbitas circulares, mas antes elipses. Pensava-se que os planetas, existindo no céu, seriam perfeitos. Como tal a sua órbita também seria uma perfeita circunferência. Kepler mostrou que na verdade era uma espécie «circunferência achatada», uma elipse).

Na altura apenas 6 planetas eram conhecidos e Kepler via o Universo como sendo constituído pelos 6 planetas girando à volta do Sol e com os Sólidos Platónicos entre cada par de planetas. Os valores que ele possuía para as órbitas dos planetas não eram muito exactos e só por isso as distâncias que ele previa entre os planetas correspondiam mais ou menos às dimensões dos sólidos (além de que a descoberta posterior dos outros planetas invalida esta bonita, mas errónea, visão do Universo). Além disso atribuía a forma de um dos sólidos aos «constituintes» da matéria como eram aceites na sua altura: terra, fogo, água, ar e o quinto elemento - a matéria perfeita de que era feito o celeste Universo (ainda a teoria atómica estava completamente esquecida).



Mas uma das mais curiosas demonstrações de que eses 5 sólidos fazem parte da imaginação colectiva da humanidade desde os nosso primórdios vem deste conjunto de 5 rochas talhadas, datadas do neolítico.
Estes conjuntos provêm da Escócia e datam de 2000 AC. Há vários conjuntos, com sólidos regulares e semi-regulares. Este, com os sólidos regulares, é um deles.
Os 5 sólidos estão aqui claramente presentes, esculpidos por mãos de um homem que, desconhecendo a Matemática, tinha já em si as ideias de perfeição e beleza que a constituem.



A minha visão sobre este assunto (se a Matemática é descoberta ou inventada) tem um pouco das duas perspectivas. A meu ver, a Matemática nasceu com o Big Bang, no sentido em que as proporções, as causalidades e as proporções foram estabelecidas nesse instante primordial. O Homem obviamente não nasce com conceitos matemáticos impressos na sua mente (funções, números, probabilidades, et caetera), estes são ferramentas inventadas pelo Homem para lidar com uma verdade subjacente à sua realidade e com a qual a sua mente foi também esculpida. Por isso estudar Matemática, para além de um prazer em si mesmo, é também revelar o que de mais primordial nos constitui: a nossa ligação a esse maravilhoso instante em que tudo «nasceu».
Não concordo com Pitágoras que disse «Tudo é números».
Mas no fundo «Tudo é Matemática», incluindo os números.

No título «Tudo é feito de Matemática»


Publicado por Mauro Maia às 23:38
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10 comentários:
De Maria Papoila a 13 de Outubro de 2005 às 13:51
A Matemática é o princípio e o fim, na Matemática se espelha a nossa necessidade de abstrato, de infinito e justifica-nos até o caos... Mauro, este modo superior de tornar quase simples os temas que vais expondo fascina-me! Aqui vou sempre crescendo um pouco e com deleite. Um beijo


De Mauro a 13 de Outubro de 2005 às 18:33
Fico feliz por teres vindo, Maria Papoila, e apreciado o artigo. Como sempre as portas do Cognosco estão abertas de par em par aguardando a tua vinda.


De JS a 13 de Outubro de 2005 às 19:42
...desde já agradeço o "artigo" que deixaste no meu comentário... já que abordas o tema matemática... é pena que se tenha inventado em Portugal... uma publiciade negativa relativamente a essa disciplina... numa fuga ao que é certo (apesar de haver principios de incerteza)... para nos aproximar-mos de tudo o que é virtual ou abstracto ... será por isso que temos um país de incertezas?...
FORÇ'AÍ!
js de http://politicatsf.blogs.sapo.pt e Membro do Movimento PR'ó Coiso em http://mprcoiso.blogs.sapo.pt


De Mauro a 13 de Outubro de 2005 às 20:22
Infelizmente quem mais sofre com esta situação são os alunos e Portugal (está mostrado que a literacia matemática é indispensável à prosperidade de um país, a par com a igualdade de oportunidades do sexo. A Matemática como princípio existe desde o início dos tempos e como conceito desde o Homo Sapiens. Sobrevive muito bem à estupidez humana. Nós é que sobrevivemos mal sem ela. O prazer do comentário que te deixei é proporcional ao prazer que a leitura do teu artigo me proporcionou.


De . a 13 de Outubro de 2005 às 22:15
Num apêndice do livro "Cosmos", de Carl Sagan, pode encontrar-se uma bela demonstração matemática de que existem cinco e só cinco sólidos regulares. O ponto de partida é a fórmula de Euler, a qual estabelece a relação entre o número de vértices, arestas e faces que compõem esse tipo de objectos:

F + V = A + 2


De Mauro a 13 de Outubro de 2005 às 22:59
Sem dúvida foi uma grande perda para a cultura humana o falecimento do grande Carl Sagan. E o livro que referes ,«.», e a série televisiva nele inspirada são de facto excepcionais. Quem sabe se não terão sido as influências inconscientes para a existência do Cognosco? Tenho saudades de ler esse livro. Assim que puder terei de o reler. A fórmula de Euler refere-se a uma característica dos grafos facilmente extensível às planificações dos sólidos. Sem dúvida a fonte de um artigo muito interessante, a par com o Último Teorema de Fermat. Tenho pena que a minha vida profissional ainda não me permita permanecer o tempo suficiente na mesma região para puder ter os meus livros sempre comigo... O Cosmos seria um deles, sem dúvida.


De . a 14 de Outubro de 2005 às 00:23
Quem sabe... Sagan também dedicou uma boa parte da sua vida a explicar Ciência, por um lado, e a combater mitos e pseudo-ciências, por outro.

O teu comentário acerca da utilização de grafos na representação de figuras planas fez-me pensar num outro problema muito interessante da Matemática, entretanto resolvido: a demonstração de que bastam quatro cores para colorir um mapa plano de modo a que duas regiões (países, por exemplo) adjacentes (isto é, com uma fronteira comum) não sejam nunca pintados com a mesma cor. A demonstração, conseguida em 1976, não é, no entender de alguns matemáticos, satisfatória, pois baseia-se num método exaustivo que só pode ser levado à prática com o recurso aos computadores, não sendo, dada a extensão dos cálculos, humanamente possível testar a sua veracidade.


De Mauro a 14 de Outubro de 2005 às 11:01
De facto a demonstração do Teorema das 4 cores (que se pode colorir qualquer mapa com apenas 4 cores, tendo regiões com fronteiras comuns cores diferentes) foi em parte uma desiluão. Quando se soube que o teorema tinha finalmente sido demontrado (a primeira referência a esta questão é de 1852) os Matemáticos pensaram que uma nova abordagem, original e bela, tivesse sido encontrada. Afinal era um teorema que envolvia a queantidade infinita de mapas que se podem fazer. Quando souberam que a demonstração envolveu a redução a 1482 configurações básicas de mapas analisadas por um supercomputador que verificou que eram possíveis de colorir com apenas 4 cores tiveram um choque. As 1482 demonstrações eram impossíveis de analisar por humanos. Teria de se confiar que o computador não tivesse cometido algum erro (particularmente o programa usado). A força da Matemática tem assentado no facto de uma qualquer pessoa, com a formação correcta, puder verificar demonstrações que outros encontram. Neste caso não o podiam fazer. Muitos rejeitaram aceitar o que foi realizado pelo computador como demonstração matemática. Outros saudaram-na como o início de uma nova era de demonstrações assistidas por computador. Percebo ambos os pontos de vista. A aplicação de grafos à coloração de mapas é interessante. Não permite uma demonstração para os infinitos casos, mas é interessante.


De . a 22 de Outubro de 2007 às 22:07
Olá Mauro. Deparei recentemente, nos meus afazeres profissionais, com informação acerca de poliedros que desconhecia quase totalmente e que achei muito interessante. Talvez queiras usá-la como matéria-prima para um novo artigo que sirva de complemento a este teu texto sobre os sólidos platónicos. Fala sobre outros poliedros regulares que não os cinco acima referidos (os deltaedros convexos, cujos vértices não têm todos a mesma valência), bem como sobre poliedros semi-regulares (os sólidos de Arquimedes, em número de treze, entre os quais se inclui a conhecida bola de futebol) e poliedros regulares côncavos (os sólidos de Kepler-Poinsot). Aqui vai um de entre muito links possíveis, caso tenhas interesse em aprofundar o assunto:

http://math.rice.edu/~nsfmli/presentations/Cohort2Presentations/Polyhedra.pps


De Mauro a 23 de Outubro de 2007 às 21:48
É mesmo, «.», uma apresentação dos sólidos regulares muito interessante. Na altura em que escrevi sobre os sólidos de Platão neste artigo (bem como o outro em que se fala na demonstração de que só há mesmo 5), pensei em alargar a descrição para incluir as outras duas categorias. Ainda não foi algo que tenha deixado de lado faltando apenas encontrar uma forma satisfatória para as abordar. Um artigo que seja apnas uma descrição desses sólidos sabe-me a muito pouco: tenho de encontrar uma relevância, ligações a outros tópicos, causas para a explicação de um fenómeno/acontecimento... Uma dessas (ou, de preferência mais de uma). Agradeço-te imenso o link para a apresentação dos sólidos: muito interessante. Realmente é algo para explorar e profundar. Preciso é de estar com o espírito mais concentrado (estou com alguns problemas de índole pessoal que dificultam uma concentração criativa na elaboração de artigos e este assunto merece a mais profunda criatividade e concentração). Para já, pelo menos, posso deleitar-me a ler sobre eles. Talvez a inspiarção me surja. Como disse Picasso: «A inspiração só de vez em quando nos bate à porta e eu quero lá estar quando acontecer»


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