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Diário das pequenas descobertas da vida.
Quarta-feira, 5 de Outubro de 2005
Conor explicare gravitatem
Na sequência do artigo «Apolo não favoreceu Aristóteles» e à luz das questões levantadas por «.» num seu comentário penso que devo aprofundar a questão levantada pelo artigo.

Na sua essência o que o artigo relembra é o princípio de Galileu de que objectos sujeitos ao mesmo campo gravitacional são sujeitos à mesma aceleração, independentemente da sua massa. A fórmula para a distância percorrida por um corpo em queda sobre a influência exclusiva da gravidade é d = g.t2/2,
em que d é a distância percorrida, g o valor da aceleração devida à gravidade e t o tempo decorrido. Esta fórmula é independente da massa do corpo em queda.
Como a velocidade é distância a dividir pelo tempo decorrido, segue-se que corpos com massas diferentes caem à mesma velocidade.


Geralmente confunde-se massa com peso. Na linguagem corrente existe essa mistura de conceitos. Dizemos «um quilograma de carne» para indicar a quantidade de carne que pretendemos e a balança regista «1 Kg». Mas a quantidade de carne e o seu peso são coisas diferentes. O mesmo 1 Kg de carne seriam:
.: 0,378 Kg em Mercúrio; 0,907 Kg em Vénus;
.: 0,166 Kg na Lua; 0,377 Kg em Marte;
.: 2,533 Kg em Júpiter; 1,064 Kg em Saturno;
.: 0,889 Kg em Urano; 1,125 em Neptuno;
.: 0,067 Kg em Plutão;
.: 27,02 Kg no Sol;
.: 1 milhão e 300 mil Kg numa Anã Branca;
.: 140 mil milhões num buraco negro
(nota: os valores indicados são os pesos na superfície do corpo celeste em questão. Para os corpos gasosos com os planetas Júpiter e Saturno são os pesos no topo das suas nuvens. Os planetas Urano, Neptuno e Plutão são também somente gasosos mas como o gás está congelado têm uma superfície sólida).
Esta diferença acontece porque a quantidade de massa (cuja unidade de media é o Kg) é a mesma mas o seu peso (medido em Kg/N, em que Newton é a unidade de força SI) varia. A mesma massa sujeita a forças diferentes tem pesos diferentes.
(por isso nos sentimos «puxados» para baixo quando estamos num elevador a subir. A força exercida sobre a nossa massa é maior).
Por comodidade geralmente consideramos o peso em Kg somente, mas em termos físicos são claramente diferentes.
(Já agora, para calcular o nosso peso nos diferentes corpos celestes basta multiplicar o nosso peso pelos valores relativos a cada um).

Ora a massa é uma propriedade dos objectos que, de uma forma lata e sem grande precisão, mede a quantidade de matéria que o objecto contém.
Há 3 tipos diferentes de quantidades a que se chama «massa»:

~ massa inercial: é a medida da inércia do objecto (a resistência à mudança do seu estado de repouso para o de movimento rectilíneo uniforme) quando sujeito à força de gravidade. Um objecto com uma pequena massa inercial oferece menos resistência à actuação da força da gravidade do que um com uma massa inercial maior.

~ Massa gravitacional passiva: é a medida da intensidade da interacção do objecto com o campo gravitacional. No mesmo campo gravitacional, um objecto com uma massa gravitacional passiva é sujeito a uma intensidade de força menor do que a que um objecto com maior massa gravitacional passiva (geralmente é a esta massa gravitacional passiva que se chama «peso». Mas as suas quantidades são diferentes. A massa gravitacional passiva é constante em qualquer campo gravitacional, mas o peso varia.)

~ Massa gravitacional activa: é a intensidade da força do campo gravítico relativo ao objecto em questão. Assim o campo gravitacional em Júpiter é maior do que o de Mercúrio porque Júpiter tem uma massa gravitacional activa maior do que a de Mercúrio.

Apesar de serem 3 conceitos distintos, a massa inercial, a massa gravitacional passiva e a massa gravitacional activa, são difíceis de destinguir entre si e não há ainda registo de nenhuma experiência objectiva que os distinga uns dos outros. Em termo práticos são equivalentes.

Uma das consequências da equivalência « massa inercial - massa gravitacional passiva» é o facto registado no artigo que conduziu ao comentário que levou a este artigo:
como demonstrado por Galileu, usando esferas de diferentes tamanhos deslizando por planos de inclinação diferentes (na mitologia urbana lançando pesos da Tore Inclinada de Pisa, o que dificilmente terá ocorrido), objectos com massas diferentes caem com a mesma velocidade (descontando a resistência do fluido em que está imerso).

As massas gravitacionais activa e passiva são consideradas equivalentes à luz da Terceira Lei do Movimento de Newton.
As 3 Leis do Movimento de Newton são:
~ 1ª - Lei da Inércia - Um corpo não sujeito a nenhuma força externa (atrito, gravidade, empurrão,...) permanecerá em repouso ou em movimento rectilíneo uniforme;
~ 2ª - a aceleração de um corpo é igual à força exercida dividida pela sua massa; a = F/m
~ 3ª - Lei da acção-reacção - quando um corpo exerce uma força sobre outro, este exerce uma força com a mesma intensidade e sentido oposto o primeiro;

A equivalência entre a massa inercial e as massas gravitacionais (o chamado «princípio de equivalência fraco» ou «princípio de Galileu») é a directa responsável pela igualdade da queda de corpos com massas diferentes no mesmo campo gravítico.

Pela Lei da Gravitação de Newton sabemos que a força da gravidade exercida entre dois corpos A e B é proporcional às suas massas e é inversamente proporcional ao quadrado da distância que os separa.
F = - G . mA . mB / r2, em que G é a Constante de Gravitação Universal.
(G =6,6720 x 10-11 N.m2/Kg2)

No caso da queda de um corpo sobre a Terra, F = -G . mA . mTerra / r2.

Pela 2ª Lei F = mA.g (em que F é a força, m a massa e g a aceleração devida à gravidade)

Combinando as duas obtemos que a massa inercial (M) e as massas gravitacionais (m) são proporcionais, logo são equivalentes.
No campo gravítico terrestre M . g / m é uma constante. Através das suas experiências Galileu provou que corpos de massas diferentes caem à mesma velocidade e logo as duas são equivalentes.

Tenho estado a matar a cabeça já lá vão algumas horas (é agora meia noite) a tentar pegar em fórmulas matemáticas para provar que corpos com massas diferentes caem à mesma velocidade. Não o consegui. Somente realizando as experiências de Galileu. Gostava de ver uma demonstração matemática deste facto porque não a logrei alcançar nem encontrar na net.
O exercício não foi contudo irrelevante. Permitiu-me aprofundar algumas questões relacionadas com a Gravitação.
Uma simples curiosidade é que a aceleração de um corpo devido a uma campo gravítico é g=m/4.cm.d2
,

em que m é a massa do corpo, cm = 299792458 kg/m3,
d a distância do corpo ao centro de massa e π = 3,1415926...

Em relação ao artigo «Apolo não favoreceu Aristóteles»,
~ o astronauta era o Capitão David Scott;
~ o martelo era de alumínio e tinha uma massa de 1,32 Kg
~ a pena era de falcão e tinha uma massa de 0,03 Kg
.</b>

O propósito que me levou a começar a escrita deste artigo foi uma. O resultado, como em tantas coisas na vida, foi outro.
Quis provar matematicamente que a velocidade de queda num campo gravítico era igual para corpos de massas diferentes. Não consegui.
Tentei depois encontrar uma demonstração já feita. Não consegui.
Este artigo é o produto das minhas tentativas.
Não passa de uma colagem de coisas interessantes que tinha uma finalidade não cumprida.
Mas cada pedaço eu considero tão importante como o resultado que pretendia,
da mesma forma que um indivíduo é tão importante como o total da humanidade.

No título «Tento explicar a gravidade»

</i>Graças ao comentário de «.», as pontas soltas deste artigo ficam finalmente atadas.
Talvez pelo adiantado da hora falhei em constatar que tudo estava já falado. Bastava ligar as pontas. Parei a poucos metros da meta. Mas graças a este valioso contributo o objectivo a que me propus quando comecei o artigo foi alcançado. Aparentemente tinha instintivamente as ideias certas mas chegada a hora de as ligar falhou-se a intuição. Mais uma vez obrigado. Segue-se então o contributo de «.»:


por um lado, a segunda lei de Newton diz-nos que a aceleração de um corpo é directamente proporcional à força que sobre ele actua e inversamente proporcional à sua massa. Julgo que, neste caso, se trata da massa inercial. Chamemos-lhe M:

a = F / M.

Por outro lado, a lei da gravitação de Newton diz-nos que a força gravitacional exercida por um corpo (a Terra, por exemplo, mas também poderia ser a Lua, ou qualquer outro corpo) sobre outro (uma pena ou um martelo, por exemplo) é directamente proporcional às suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância que os separa. As massas em questão são, segundo creio, massas gravitacionais. Chamemos-lhes mTerra e m:

F = - G . mTerra . m / r2.

Combinando ambas as equações, temos que a aceleração de um corpo em queda livre na superfície da Terra (chamemos-lhe g) será dada por

g = - (G . mTerra . m) / (M . r2),

em que G é a constante gravitacional;
mTerra é a massa gravitacional da Terra;
m é a massa gravitacional do corpo;
M é a massa inercial do mesmo corpo;
r é o raio da Terra.

Se se admitir como válido o princípio da equivalência que referes no artigo, temos que as massas inercial e gravitacional do corpo são idênticas:

m = M.

A equação da aceleração gravitacional resulta, então, bastante simplificada:

g = - G . mTerra / r2.

Ou seja, a aceleração é constante, no sentido em que não depende da massa do corpo. Depende apenas da massa e do raio da Terra. Se se fizerem os cálculos, obter-se-á para a aceleração gravitacional à superfície do nosso planeta o valor aproximado de -9.8 m / s2. Para a Lua seria de cerca de 1/6 daquele valor.

Estamos, por conseguinte, em presença de um movimento uniformemente acelerado, o qual, como bem referes, é dado pela equação

d = g . t2 / 2.

Resolvendo em ordem a t, obtemos o tempo que um corpo leva para percorrer uma determinada distância d:

t = √ (2 . d / g).

Como se pode ver, o tempo despendido depende apenas da distância a percorrer e do valor da aceleração gravitacional, não dependendo das características (designadamente da massa) do corpo em queda livre. Isto é, tanto faz ser um martelo como uma pena, que o tempo da queda será o mesmo.

Mas atenção, isto só é verdadeiro se o princípio da equivalência das massas inercial e gravitacional também o for! A teoria de Newton limita-se a tomar este dado como adquirido, não tendo havido a preocupação de o tentar explicar. Também não explica a razão para a força gravitacional decrescer com o quadrado da distância. E é aqui que entra Einstein.

Este cientista formulou um princípio de equivalência bastante mais restritivo: as leis da física para um sistema em movimento rectílineo uniforme (um referencial de inércia) deverão ser idênticas às de um sistema em queda livre num campo gravitacional (um referencial local acelerado). Por exemplo, se o cabo de um ascensor se partir e o ascensor começar a cair em direcção ao solo, os infelizes ocupantes ficarão a flutuar no interior da cabina (ou seja, a aceleração da cabina e a dos seus ocupantes serão idênticas), não sendo capazes de distinguir o movimento uniformemente acelerado de que estão animados do movimento rectilíneo uniforme que teriam se, digamos, se deslocassem pelo espaço interestelar a bordo de um foguetão com os motores desligados (claro está que a realidade será bem diferente - e dolorosa - no momento em que o ascensor embater no solo, mas isso é outra história).

Com base neste princípio, desenvolveu Einstein a relatividade generalizada, a qual interpreta a acção gravitacional em termos de deformações na geometria do espaço e do tempo. E é precisamente do carácter geométrico desta teoria que decorre a lei do inverso do quadrado que Newton não soube explicar :)
</b>


Publicado por Mauro Maia às 20:13
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12 comentários:
De marius70 a 6 de Outubro de 2005 às 06:45
Olá Mauro. A esta hora da manhã estou aqui a ler (ao som do Hotel California), na calma da noite estes teus temas. Curioso o do Cláudio, o do Galileu, fiz um tema também para um fórum mas versando outro aspecto sobre o facto de Galileu ter dado por não dito que a Terra se movia: «Em 22 de junho de 1633, ano do Senhor – e numa quarta- feira – o Sacro Tribunal da Inquisição havia portanto decidido. A Terra – que ficasse bem claro – está imóvel; ela é o centro do universo, e a Igreja de Roma – que também isto ficasse bem claro - é o centro da Terra. E o Vaticano é o centro da Igreja. Roma locuta est, causa finita est.
Roma falou, a causa está terminada». A formiga e o elefante que só demonstra que a realidade do mundo é esta, quantos «fracos» afinal são mais fortes que aqueles que assim o julgam. Sobre os dados, sabias que já no tempo dos Romanos eles os jogavam? Haviam duas variedades: "Tesserae" e os astrálagos (tali), feitos com os ossos do calcanhar de ovelhas, vitelos ou outros animais, ou com a sua reprodução em metal. Podemos não ter "bagagem" suficiente para os comentar mas que ficámos mais ricos culturalmente ficamos e isso é afinal é que importa. Tudo de bom e espero ter mais noites assim.


De Mauro a 6 de Outubro de 2005 às 09:57
Agradeço-te a visita e o comentário. É bom saber o interesse que os artigos suscitam em quem os lê. A questão da retracção de Galileu perante o tribunal da inquisição é, a meu ver, um dos episódios mais negros da Igreja Católica. E no entanto foram necessários mais de 300 anos para que o Papa João Paulo II reconhece-se a validade das afirmações de Galileu! «Et por se muove» diria novamente Galileu mas agora sobre a Igreja, fosse ainda hoje vivo. Sabia da existência dos jogos de dados no tempo dos romanos. Desconhecia era a existência de 2 tipos. Interessante. Mas o estudo das probabilidades iniciou-se quando foi colocado a Pascal um problema relacionado com a divisão do dinheiro após uma partida de dados interrompida. Este, juntamente com Fermat, desenvolveriam a Teoria das Probabilidades. (Meu caro «.», não esqueci ainda a promessa sobre o «Último Teorema de Fermat». Aguardo apenas o ensejo para o fazer). Como sempre não deixo nunca de visitar o teu blog (http://marius.blogs.sapo.pt/) sobre a história (e as histórias) do Império Romano. É sem dúvida um blog a não perder e a qualquer um recomendo vivamente a sua leitura. No blog encontram-se os links para outros blogs do mesmo autor igualmente interessantes. Visitem, comentem e esclareçam-se. É o que por norma também por lá faço. Ave Marius.


De . a 6 de Outubro de 2005 às 16:03
Creio que conseguiste, Mauro. Os conceitos de massa inercial e gravitacional são fundamentais para a compreensão do problema. Vejamos:

por um lado, a segunda lei de Newton diz-nos que a aceleração de um corpo é directamente proporcional à força que sobre ele actua e inversamente proporcional à sua massa. Julgo que, neste caso, se trata da massa inercial. Chamemos-lhe M:

a = F / M.

Por outro lado, a lei da gravitação de Newton diz-nos que a força gravitacional exercida por um corpo (a Terra, por exemplo, mas também poderia ser a Lua, ou qualquer outro corpo) sobre outro (uma pena ou um martelo, por exemplo) é directamente proporcional às suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância que os separa. As massas em questão são, segundo creio, massas gravitacionais. Chamemos-lhes mTerra e m:

F = - G . mTerra . m / r2.

Combinando ambas as equações, temos que a aceleração de um corpo em queda livre na superfície da Terra (chamemos-lhe g) será dada por

g = - (G . mTerra . m) / (M . r2),

em que G é a constante gravitacional;
mTerra é a massa gravitacional da Terra;
m é a massa gravitacional do corpo;
M é a massa inercial do mesmo corpo;
r é o raio da Terra.

Se se admitir como válido o princípio da equivalência que referes no artigo, temos que as massas inercial e gravitacional do corpo são idênticas:

m = M.

A equação da aceleração gravitacional resulta, então, bastante simplificada:

g = - G . mTerra / r2.

Ou seja, a aceleração é constante, no sentido em que não depende da massa do corpo. Depende apenas da massa e do raio da Terra. Se se fizerem os cálculos, obter-se-á para a aceleração gravitacional à superfície do nosso planeta o valor aproximado de -9.8 m / s2. Para a Lua seria de cerca de 1/6 daquele valor.

Estamos, por conseguinte, em presença de um movimento uniformemente acelerado, o qual, como bem referes, é dado pela equação

d = g . t2 / 2.

Resolvendo em ordem a t, obtemos o tempo que um corpo leva para percorrer uma determinada distância d:

t = raiz quadrada (2 . d / g).

Como se pode ver, o tempo despendido depende apenas da distância a percorrer e do valor da aceleração gravitacional, não dependendo das características (designadamente da massa) do corpo em queda livre. Isto é, tanto faz ser um martelo como uma pena, que o tempo da queda será o mesmo.

Mas atenção, isto só é verdadeiro se o princípio da equivalência das massas inercial e gravitacional também o for! A teoria de Newton limita-se a tomar este dado como adquirido, não tendo havido a preocupação de o tentar explicar. Também não explica a razão para a força gravitacional decrescer com o quadrado da distância. E é aqui que entra Einstein.

Este cientista formulou um princípio de equivalência bastante mais restritivo: as leis da física para um sistema em movimento rectílineo uniforme (um referencial de inércia) deverão ser idênticas às de um sistema em queda livre num campo gravitacional (um referencial local acelerado). Por exemplo, se o cabo de um ascensor se partir e o ascensor começar a cair em direcção ao solo, os infelizes ocupantes ficarão a flutuar no interior da cabina (ou seja, a aceleração da cabina e a dos seus ocupantes serão idênticas), não sendo capazes de distinguir o movimento uniformemente acelerado de que estão animados do movimento rectilíneo uniforme que teriam se, digamos, se deslocassem pelo espaço interestelar a bordo de um foguetão com os motores desligados (claro está que a realidade será bem diferente - e dolorosa - no momento em que o ascensor embater no solo, mas isso é outra história).

Com base neste princípio, desenvolveu Einstein a relatividade generalizada, a qual interpreta a acção gravitacional em termos de deformações na geometria do espaço e do tempo. E é precisamente do carácter geométrico desta teoria que decorre a lei do inverso do quadrado que Newton não soube explicar :)

As minhas desculpas pela extensão deste meu comentário; e parabéns pelos artigos, pelos temas neles tratados e sobretudo pelas motivações que subjazem à sua abordagem.


De Maria Papoila a 6 de Outubro de 2005 às 22:10
...a sua escrita tem a "leveza" da pena, mesmo em textos como este! Sabe que é sempre um espaço de cogitação este seu canto. Abraço


De Mauro a 6 de Outubro de 2005 às 22:31
Obrigado «.» pelo comentário. Uma vez que completa tão bem o artigo acabei por o juntar ao artigo original. Espero que não me leves a mal por o ter feito. Penso que o teu comentário merece um lugar de destaque, a par do artigo. Obrigado pelas visitas, comentários e interesse manifestado. Agradeço-te também Maria Papoila teres mais uma vez perfumado o blog com o aroma da tua fragrância.


De . a 6 de Outubro de 2005 às 23:50
Com certeza que não levo a mal. Pelo contrário, sinto-me honrado com o destaque dado ao comentário, não obstante o mérito ser teu e não meu. Um abraço.


De Elsita a 7 de Outubro de 2005 às 14:52
Tambem estou aqui no: utilidades...bom fim de semana


De Mauro a 7 de Outubro de 2005 às 20:10
Peço desculpa, Elsita, por ter apagado o teu comentário. Sendo uma piada engraçada, choca em excesso com o espírito do Cognosco. Nada de partidos, futebol, ou qualquer outro tema que não permite uma opinião objectiva. Tivesse eu recebido num e-mail a piada teria dado boas gargalhadas e reenviado. Não o posso permitir no Cognosco. Peço mais uma vez desculpa mas o Cognosco é um espaço de pluralidade e acima de tudo objectividade. Aguardo como sempre as tuas visitas e comentários. Não deixo de todavia referir o link do blog que estava contido na mensagem: ritmos.blog.sapo.pt


De Carlos Rodrigues a 17 de Fevereiro de 2007 às 22:08
Na terceira lei se Newton não considerasse a contradição física como tu não consideras a matemática ele não teria feito a equação que ainda hoje funciona. Por mim espero que se encontrem distinções entre massas activas passivas e inerciais, depois subtraindo a rasteira do movimento que pode equivaler a qualquer campo gravitico talvez descubramos que a gravidade não é um objecto contínuo, linear e omnipresente. Quanto à terceira lei e aos movimentos que a simulam talvez sirva para inverter o gravitão que bem podia estar tanto no estado ondulatório como corposcular simultaneamente para se obter o antigravitão semelhante ao que Dirac fez ao descobrir a antimatéria. Tem calma Mauro já sabes que eu exagero em tudo. Se comentares este comentário fá-lo no radical. Carlos Rodrigues


De Mauro a 17 de Fevereiro de 2007 às 23:26
Confesso,, «Carlos Rodrigues», que o teu «Tem calma Mauro já sabes que eu exagero em tudo» me fez sorrir. Que bom é saber que os extremos não saem do campo dos conceitos. Fiquei sem perceber o que é que eu não considerarei na Matemática. A Matemática constrói-se sobre o sólido princípio da não-contradição. E isso não é uma consideração minha, é o único princípio sine qua non da construcção matemática. O que consideras como «inversão» do gravitrão». Colocar-lhe unicamente o prefixo «anti»? É que uma coisa é criar uma palavra (ou mesmo um conceito) outra, bem diferente, é provar a que existência ou veracidade. O «sexo dos anjos» é um bom exemplo.


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