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Diário das pequenas descobertas da vida.
Quinta-feira, 22 de Setembro de 2005
Aurea corona
No século I A.C. viveu um conhecido arquitecto romano, Marcus Vitruvius Pollio. É conhecido pelas suas obras e especialmente por ter editado a melhor fonte para entender a arquitectura romana, a sua obra em 10 volumes De Architectura. Usando os seus conhecimentos como arquitecto e constructor (bem como usando outras obras sobre arquitectura) descreveu com exactidão edifícios existentes no seu tempo, bem como valiosos conselhos sobre construção e arquitectura.



Vitruvius é também o frequentemente desconhecido autor de uma das mais divulgadas histórias sobre o famoso Arquimedes. A tradicional imagem que se tem sobre o talentoso e multi-facetado Arquimedes é a que envolve a sua corrida pela cidade nu enquanto gritava «Eureka! Eureka!» (Descobri! Descobri!)



Hiero II de SiracusaA história por detrás da sua corrida é também conhecida e foi contada originalmente por Vitruvius. A história envolve o Rei de Siracusa Hiero II. O Rei desta cidade (onde vivia Arquimedes) entregou a um ourives uma quantidade de ouro para que este fizesse uma coroa (a palavra corona significa, em latim, uma coroa de louros, como a que se associa aos imperadores romanos) para colocar na estátua de um deus ou deusa. Mas o Rei suspeitou que o ourives tinha ficado com parte do ouro entregue e a tinha substituído por uma menos preciosa prata (quem sabe se não foi por «sinais exteriores de riqueza»...?)



Para isso, pediu ao mais distinto e inteligente homem da cidade, Arquimedes, para que descobrisse uma forma de determinar a verdade sem danificar a coroa, visto que esta era preciosa e uma oferta a um deus (ou deusa). Reza a lenda que Arquimedes foi para casa a matutar no assunto. Não chegando a encontrar imediatamente uma solução foi tomar um banho. Ao mergulhar na banheira, constatou que o seu peso fazia deslocar a água. Percebeu então que esse deslocamento era devido ao seu peso e de que diferentes pesos deslocariam quantidades diferentes de água. Como a prata tem um peso diferente do ouro, tinha encontrado uma forma de determinar se a composição da coroa era a que o ourives afirmava: mergulhando em água uma quantidade de ouro igual à entregue e noutro recipiente a coroa, os dois teriam de deslocar a mesma quantidade de ouro. Não o fazendo tinha havido fraude. Com esta descoberta Arquimedes terá ficado tão entusiasmado que saiu do banho a correr, ainda nu, a gritar «Eureka! Eureka!»



~ Muito inteligente esse Arquimedes!



É amplamente reconhecido o génio matemático e científico de Arquimedes (graças às suas invenções o exército romano foi mantido fora das muralhas da cidade. Algumas dessas invenções incluem a utilização de espelhos parabólicos para focar a luz do sol sobre os navios romanos, dessa forma incendiando-os; a criação de alavancas enormes que levantavam no ar os barcos romanos e os deixavam cair impotentes sobre os rochedos da costa; e outras mais.)

Apesar disso a história contada por Vitruvius tem tido a sua veracidade refutada por vários críticos (e críticas). A mais significativa delas é, no meu entender, a seguinte:

Coroa de VerginaA maior coroa de ouro descoberta do tempo de Arquimedes é (oriunda da Vergina) tem um diâmetro exterior de 18,5 centímetros e uma massa de 714 gramas, apesar de algumas das suas «folhas» se terem perdido.
Semelhantes dimensões e pesos não teriam deslocado suficiente água para determinar sem instrumentos de precisão (desconhecidos na altura) a diferença na sua composição.

A coroa tinha uma forma aproximadamente circular. O diâmetro era 18,5 cm logo o seu raio era 18,5/2 = 9,25 cm.

Pela fórmula da área de um círculo (A = πr2) e usando um valor aproximado de π = 3,14 a área da coroa seria A = 3,14 x 9,252 = 3,14 x 9,25 x 9,25 = 268,66625 cm2).



Ouro: Como o ouro tem uma densidade de 19,3 g/cm3, 714 gramas teriam um volume de 714/19,3 = 36,995 cm3. (Pela regra de 3 simples, se há 19,3 g num cm3, há 714 g em x = 36,995 cm)

Esta quantidade de ouro faria subir o nível da água de um recipiente capaz de a conter em 36,995/268,66625 = 0,1377 centímetros.



Prata-Ouro: Suponha-se agora que o ourives substituiu 30% do ouro (714x0,30 = 214,2 gramas) por prata (uma maior quantidade puderia levantar suspeitas ao nível da coloração do objecto).

São 214,2 g de prata e 714 - 214,2 = 499,8 g de ouro.
A prata tem uma densidade de 10,6 g/cm3 e, portanto, a coroa com 30% prata - 70% ouro teria um volume de 214,2/10,6 (prata) + 499,8/19,3 (ouro) = 20,21 + 25,9 = 46,11 cm3.
Tal coroa teria feito subir a água do recipiente em 46,11/268,66625 = 0,172 cm.



A diferença entre a água deslocada pela coroa prata-ouro e a água deslocada pela coroa de ouro seria de

0,172 - 0,1377 = 0,0343 centímeros ≈ 0,3 milímetros.



É uma diferença demasiado pequena para ser medível a olho nu ou sem recorrer a instrumentos mais precisos, desconhecidos na altura, bem como a impossibilidade de detectar fontes de erro na medição como a tensão de superfície da água, bolhas de ar presas às reentrâncias das folhas de ouro da coroa, et caetera



Todos estes cálculos perante algumas suposições. O deslocamento de água seria inferior a 1 milímetro se o peso da coroa fosse inferior ao da de Vergina (peso ou diâmetro). Se o ourives tivesse sido mais prudente e a quantidade de ouro substituída fosse inferior a 30% a diferença seria bem menor.
Mesmo que a coroa fosse maior e pesasse 1000 gramas ou tivesse um diâmetro de 20 cm a diferença seria apenas de 0,4 milímetros!



Uma outra técnica teria de ter sido usada por Arquimedes para resolver a situação.

Provavelmente Vitruvius não se sentiria completamente à vontade com os números (ou suspeitasse que os seus leitores não fossem) e por isso criou esta história, que apela ao sentimento de verosimilhança sem afugentar com contas.



Método possível alternativoÉ possível imaginar uma outra técnica que usa ambas as Leis de Arquimedes (O deslocamento de fluidos pela imersão de volumes e a sua Alavanca.
Nessa técnica a coroa seria suspensa numa balança com o equivalente em ouro.
O conjunto é imerso em água.



Se a balança se mantiver equilibrada a coroa tem a mesma densidade e é de puro ouro.

Se a balança pender para o ouro a coroa é de uma liga de ouro com um metal mais leve.



Com este método a diferença de volume entre a coroa com 714 gramas (70% ouro-30% prata) e o seu equivalente em ouro é aproximadamente 12 g, perfeitamente ao alcance das balanças do tempo de Arquimedes.

Com este método a questão das fontes de erro (tenção de superfície na água, reentrâncias na forma,...) desaparecem.



Si non est uerus est bene dito.



No título «A coroa de ouro»


Publicado por Mauro Maia às 23:46
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4 comentários:
De Maria Papoila a 23 de Setembro de 2005 às 17:51
...estas cogitações tornaram-se visita diária e
obrigatória! Este modo de cogitar a ensinar é brilhante! Parabéns!


De Mauro a 27 de Setembro de 2005 às 00:12
Quando eu era mais novo a minha utopia da profissão docente eram os antigos mestres gregos: passeando pelos jardins, apontando para as coisas que cercavam os seus discíplos e filosofando sobre elas. O ensino concretamente pouco tem hoje em dia a ver com essa romântica noção que tinha na altura, mas o Cognosco permite-me fantasiar. Obrigado pelo interesse e pelas visitas.


De . a 27 de Setembro de 2005 às 12:18
Infelizmente é verdadeiro o comentário sobre o ensino. As nossas escolas não são jardins, os discípulos andam desmotivados e os mestres desmoralizados. E o pior é que os discípulos de hoje são os mestres de amanhã. Demorará muitos anos até conseguir alterar este estado de coisas e é por isso que a existência de blogs como este se vai revelando importante na transmissão de conhecimento; o elevado número de visitas verificado confere legitimidade às tuas fantasias e permite supor que melhores dias virão.


De Mauro a 27 de Setembro de 2005 às 21:36
Trabalhemos para que o sol brilhe de novo nos jardins das mentes lusitanas. Um abraço e obrigado pela visita e pelo comentário.


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