Últimas atualizações
Novo endereço do Cognosco: http://www.cognoscomm.com
Diário das pequenas descobertas da vida.
Segunda-feira, 5 de Setembro de 2005
Campester numerus
Habituada como a nossa civilização está às proezas da Ciência moderna nem sempre nos questionamos como antes do advento dos computadores ou dos satélites se chegavam a resultados científicos, exactos e precisos na Antiguidade. É claro que pelo caminho existiram percalços (o geocentrismo ou a superstição ou a astrologia ou ...) mas o caminho da Ciência tem sido maioritariamente acumulativo ao longo da sua História (apesar de graves retrocessos como a Idade Média europeia ou destruição das culturas pré-colombianas no continente americano).

Terra vista pela Apollo17 Uma dos mais curiosos resultados obtidos na Antiguidade foi a do cálculo da curvatura da Terra. Apesar do que muitas vezes se pensa e se repete nem todos os Gregos acreditaram que a Terra era plana. A simples observação de que as velas de um navio surgem primeiro no horizonte do que o seu casco era suficiente para se chegar à conclusão da esfericidade da Terra (a curvatura da linha do horizonte é outro indicador). Nem é preciso imagens de satélites ou as belíssimas imagens da Terra das missões Apolo para se saber isso. Já na Antiguidade o sabiam.

Mas uma coisa é saber-se que a Terra é redonda (mas não exactamente esférica) outra é saber quão redonda é, por outras palavras, o seu grau de curvatura. E a resposta foi encontrada por um Matemático grego de nome Erastótenes de Cirene (perto da actual Shahat, no Norte da Líbia) do século 2 AC.

Erastónes era director da famosíssima Biblioteca de Alexandria. Através dela muitos conhecimentos e dados da mundo conhecido (pelos Europeus) passaram-lhe pelas mãos. Um desses dados curiosos era que no dia 22 de Junho (Solestício de Verão), na cidade de Sienne (actual Aswan), ao meio-dia, o Sol era reflectido no fundo de um poço.

Ora na mesma altura do ano mas na cidade de Alexandria (que se situa no mesmo meridiano que Sienne) uma coluna tinha sombra. Em Sienne o Sol era reflectido no fundo de um poço (ou seja estava na vertical em relação à Terra) e em Alexandria fazia sombra (o que indicava que aí não estava na vertical em relação à Terra). Tal acontece porque a Terra não é plana. Facilmente constactou que o ângulo do Sol em Alexandria era de 7,5º. Dessa forma pode, fazendo alguns cálculos, que a linha equatorial da Terra media 23º 51' 15''. Determinou assim também que o Raio Médio Equatorial da Terra era de 6 548 quilómetros. Tendo em conta que o verdadeiro valor é de 6 378 quilómetros, o resultado foi obtido com um erro muito pequeno. Se 6 378 são os 100 % então 6 548 serão 103,15%. Esta é uma diferença de 3,15%!

Eu situo esta conclusão no mesmo patamar de genialidade como a medida da altura das pirâmides egípcias: simplemente brilhante e brlhante por ser tão simples. E é quando o brilhantismo se junta à simplicidade que se faz a verdadeira magia...

Erastótenes é mais conhecido por um outro resultado importantíssimo ligado aos números primos. Os números primos são o cerne da segurança moderna, particularmente ao nível dos pagamentos on-line. Todos os códigos modernos utilizam as propriedades dos números primos para os tornarem inquebráveis.

Um número primo é um número que só se divide de forma inteira por um e por ele próprio. Assim 2 é um número primo, 3 é um número primo, 4 não é um número primo porque se divide por 1, 4 e também por 2. Um outro Matemático grego provou que há infinitos números primos. O que não se sabia era uma forma de saber quais são os números primos. Mas Erastótenes encontrou uma forma, que se conhece por Crivo de Erastótenes

Erastótenes começou por elaborar uma tabela com todos os números entre 1 e 100. Começou por eliminar todos os números pares há excepção de 2 (todos eles são por definição divisíveis por 2), de seguida eliminou todos os múltiplos de 3 (à excepção do próprio 3), de seguida não eliminou os múltiplos de 4 (já tinham sido anteriormente excluídos quando se retiraram os múltiplos de 2), depois retirou os múltiplos de 5 (excepto o próprio 5),...
Ao chegar a 100 os únicos números que sobram na lista são os números primos entre 1 e 100. Para primos maiores basta fazer tabelas que em vez de irem até 100 podem ir até 1 000, 10 000, ... Ainda hoje este é o método para se encontrar números primos, uma vez que não há regra para se saber de antemão se um determinado número é primo ou não. Tem de se verificar se é divisível ou não por todos os primos menosres do que ele.

No título «Números planos»


Publicado por Mauro Maia às 15:57
Atalho para o Artigo | Cogitar | Adicionar aos favoritos

7 comentários:
De Xico Corra a 5 de Setembro de 2005 às 23:51
Não é muito importante para o seu artigo mas o nome do homem era Eratóstenes e não Erastotenes.
Cumprimentos e continue!


De Mauro a 6 de Setembro de 2005 às 10:22
Há sem dúvida as duas versões do nome: Erastótenes e Erastostenes, como se pode constatar numa rápida procura pela internet. De qualquer forma trata-se da mesma individualidade, do mesmo Crivo e da mesma medição da curvatura da Terra. Se uso Erastótenes é porque o meu primeiro contacto com o nome foi esse. Obrigado Xico pela visita e pelo comentário. Assim vai crescendo o Cognosco.


De Rui a 6 de Setembro de 2005 às 12:25
A parte que mais apreciei neste artigo foi o pormenor poético do Sol que apenas num determinado dia, a uma determinada hora, numa determinada cidade, reflectia-se directamente num determinado ponto...


De . a 6 de Setembro de 2005 às 21:28
Aqui vai, se me é permitido, um pequeno aperfeiçoamento do método descrito para encontrar números primos: para verificar se um determinado número X é primo basta testar a sua divisibilidade por todos os primos menores do que a raiz quadrada de X (e não por todos os primos menores do que X). No caso de X não ser primo, ou a raiz quadrada de X é um divisor de X (por exemplo, 49 = 7 x 7) ou, a haver um divisor maior do que a raiz quadrada de X, terá forçosamente de haver outro menor do que a referida raiz (por exemplo, 51 = 17 * 3, sendo 17 > raiz quadrada de 51 e 3 < raiz quadrada de 51.

A título de curiosidade, refira-se que a eficácia das técnicas de encriptação de dados existentes hoje em dia assenta na premissa de que não se conhece uma regra que permita saber de antemão se um determinado número é primo ou não. Não está, no entanto, matematicamente provado que tal regra não exista. A existir, a sua eventual descoberta terá consequências catastróficas ao nível da segurança e privacidade da comunicação de dados.


De Mauro a 7 de Setembro de 2005 às 20:12
Tens razão em todo o teu comentário. É a raíz quadrada que serve de fronteira no teste dos divisores de um primo. Também é verdade que ainda não está matematicamente provado que não haja esse teste analítico à primalidade de um número. Por enquanto os algoritmos que factorizam números (e portanto verificam se um número são primos ou não) demorariam mais do que a idade actual do universo (15 mil milhões de anos) para factorizar os enormes números que se utilizam na encriptação moderna. Há é também a esperança (?) que os muito falados mas muito hipotéticos «computadores quânticos» permitam essa factorização em tempo útil. A Teoria dos Números continua na vanguarda da Matemática, não há dúvida, como o mostrou a demonstração do Último Teorema de Fermat (que até à demonstração não passava de uma conjectura) mais de 350 anos depois de ter sido escrito na margem de uma página de um livro. Eis um bom tópico para um próximo artigo. Obrigado «abc» pela visita e pelo oportuno comentário.


De . a 7 de Setembro de 2005 às 21:01
Sejamos optimistas e aguardemos para breve a chegada de um novo Babbage ou de um novo Jacquard e da consequente invenção de uma máquina quântica das diferenças ou de um tear quântico automatizado, respectivamente. Entretanto, e não vá semelhante optimismo ser injustificado, o melhor é aguardar, pela parte que me toca, pelo prometido artigo sobre o último teorema de Fermat. Eu é que agradeço.


De js a 8 de Setembro de 2005 às 18:54
... eu nunca me dei muito bem com essa familia!...
FORÇ'ÁI!
js de http://politicatsf.blogs.sapo.pt


Comentar artigo

Cognosco ergo sum

Conheço logo sou

Estatísticas

Nº de dias:
Artigos: 336
Comentários: 2358
Comentários/artigo: 7,02

Visitas:
(desde 26 de Abril de 2005)
no Cognosco
 
Cogitações recentes
Olá Ribeiro. Eis um link atualizado para a folha d...
Seria possível fornecer um link atualizado para o ...
Obrigado, João, pela contribuição. Não está no art...
Estive lendo sua cogitação à respeito do cálculo d...
Obrigado, Aleff, pelo apreço pelo artigo. Exatamen...
Artigos mais cogitados
282 comentários
74 comentários
66 comentários
62 comentários
44 comentários
Artigos

Outubro 2017

Agosto 2017

Julho 2017

Junho 2017

Maio 2017

Abril 2017

Março 2017

Fevereiro 2017

Janeiro 2017

Dezembro 2016

Novembro 2016

Outubro 2016

Julho 2016

Março 2015

Dezembro 2014

Outubro 2013

Maio 2013

Fevereiro 2013

Outubro 2012

Setembro 2012

Agosto 2012

Junho 2012

Janeiro 2012

Setembro 2011

Abril 2011

Fevereiro 2011

Dezembro 2010

Maio 2010

Janeiro 2010

Abril 2009

Fevereiro 2009

Janeiro 2009

Novembro 2008

Outubro 2008

Agosto 2008

Julho 2008

Junho 2008

Abril 2008

Fevereiro 2008

Janeiro 2008

Novembro 2007

Outubro 2007

Agosto 2007

Julho 2007

Junho 2007

Maio 2007

Abril 2007

Março 2007

Fevereiro 2007

Janeiro 2007

Dezembro 2006

Novembro 2006

Outubro 2006

Setembro 2006

Agosto 2006

Julho 2006

Junho 2006

Maio 2006

Abril 2006

Março 2006

Fevereiro 2006

Janeiro 2006

Dezembro 2005

Novembro 2005

Outubro 2005

Setembro 2005

Julho 2005

Junho 2005

Maio 2005

Abril 2005

Março 2005

Fevereiro 2005