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Diário das pequenas descobertas da vida.
Domingo, 10 de Julho de 2005
Fibonacci

Casais de coelhos de FibonacciUm homem colocou um par de coelhos num local cercado, por todos os lados, por uma parede. Quantos pares de coelhos podem ser gerados, a partir desse par, ao fim de um ano, sabendo que, por mês, cada par gera um novo par que se torna produtivo no segundo mês de vida?
in «Liber Abaci», Leonardo de Pisa

O casal de coelhos é comprado ainda jovem.
Os coelhos reproduzem-se com um mês de idade, quando forem adultos.
Passado um mês, dão à luz um outro casal de coelhos, jovem.

~ No 1.º mês há 1 casal de coelhos
(O casal novo comprado)
~ No 2.º mês há 1 casal de coelhos
(O casal já é adulto)
~ No 3.º mês há 2 casais de coelhos
(O casal original adulto e um casal jovem filho)
~ No 4.º mês há 3 casais de coelhos
(O primeiro casal, o casal jovem filho e o casal que agora já é adulto)
~ No 5.º mês há 5 casais de coelhos
(2 adultos pais, 1 que agora é adulto e 2 jovens filhos)
~ No 6.º mês há 8 casais de coelhos
(3 adultos pais, 2 agora adultos e 3 jovens fihos)
~ No 7.º mês há 13 casais
(5 maduros pais, 3 agora adultos e 5 jovens filhos)
~ No 8.º mês há 21 casais
(8 maduros pais, 5 agora adultos e 8 jovens filhos)
...
~ No 100.º mês há 61 305 790 721 611 600 de casais de coelhos
...

Como se pode calcular o número de casais de coelhos em cada mês?
Em cada mês, há o mesmo número de casais adultos do mês anterior mais os casais que, no mês anterior, eram jovens e que cresceram mais tantos casais filhos jovens como os casais adultos do mês anterior (os pais).

Esta foi a questão colocada a Leonardo de Pisa, que a relatou no seu livro «Liber Abaci», publicado em 1202. Este livro (cujo título significa «Livre do Ábaco») continha uma série de problemas aritméticos e a respectiva resolução, e continha também os numerais hindu-árabes que facilitavam as contas e portanto dispensavam o uso do Ábaco (daí o título do livro).

Leonardo de Pisa nasceu na cidade de Pisa, claro. O seu pai tinha a alcunha de Bonacci devido à sua natureza bondosa (Era «bonacheirão», palavra portuguesa com a essa mesma raíz).
Por consequência, o filho era chamado Filius bonacci («Filho de Bonacci»), o que era encurtado para Fibonacci. Ele verificou que, em cada mês, o número de casais de coelhos era igual à soma dos casais dos dois meses anteriores. A sequência de casais era:
1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; 34 ; 55 ; 89 ; ...
Cada valor na sequência é igual à soma dos dois anteriores.
Esta sequência viria a ser conhecida como a sequência de Fibonacci.

~ E então? Que importância tem isso? Eu não crio coelhos!

Podia-se pensar, apressadamente, que esta sequência apenas tem interesse para quem cria coelhos. Mas não é bem assim. Têm-se descoberto espantosas situações em que surge esta sequência, da Matemática à Biologia, à Física, à Arquitectura,...

Pinha ~ Numa pinha (de um pinheiro e de onde nascem os pinhões), há várias sequências de «pétalas» que rodeiam a pinha, ou em espiral para a esquerda ou em espiral para a direita. Em cada espiral, o número de número de «pétalas» é um número da sequência de Fibonacci (pode haver 3, ou 5, ou 8... «pétalas»;
O mesmo se verifica com as sementes na flor do girassol
Também os ananazes e outras plantas têm sequências de Fibonacci na sua formação (é só comprar um e contar as sequências de pétalas ou sementes).

Abelha ~ Numa comeia, há 3 tipos diferentes de abelhas: a Rainha, as Obreiras e os Zangões. A Rainha produz as Obreiras e os Zangões, as Obreiras fazem todos os trabalhos na colmeia (reúnem néctar, constroem os favos, limpam a colmeia, arejam os ovos, cuidam das larvas,...) e o Zangões nada fazem além de uma única vez na sua vida em que seguem uma jovem Rainha para a fertilizar. Um consegue e morre, os outros não conseguem e morrem. De vez em quando, as Obreiras matam os Zangões da colónia, quando estão a mais. Ora a Rainha tem a invejável capacidade de poder determinar os sexo das larvas que irão nascem. Quando o ovo é fertilizado, pelo sémen do único Zangão que alguma vez fecundou a fémea, nasce uma obreira, com 32 pares de cromossomas. Se o ovo não for fertilizado nasce um Zangão, com 16 cromossomas (metade).
Linhagem de um Zangão Estudando estão a linhagem de 1 Zangão:
teve 1 mãe; teve 2 avôs (uma fêmea e o Zangão que a fecundou); teve 3 bisavós (a fêmea e o macho pais da sua avó e a mãe do avô); teve 5 trisavós (as duas mães e dois pais das suas duas avós e a mãe do bisavô); teve 8 tetravós (as três mães e três pais das suas bisavós ;...
o número de ascendentes de um só Zangão é uma sequência de Fibonacci.

Rotação das folhas ~ Nas plantas, são as folhas as responsáveis pela absorção da luz do sol e pela canalização da água da chuva para as raízes. Para isso, é importante que as folhas se tapem o mínimo possível. Isso é conseguido pela rotação das folhas ao longo do caule. Há duas rotações possíveis: da direita para a esquerda e da esquerda para a direita. É claro que há um número limitado de rotações possíveis até que uma folha fique directamente acima de outra. Numa grande maioria das plantas, o número de rotações para a esquerda até que uma nova folha fique debaixo de outra, o número de rotações para a direita até que a nova folha fique debaixo de outra e o número de folhas nascidas até essa «sobreposição» são 3 números seguidos da sequência de Fibonacci.
Por exemplo, poderão ser ser precisas 3 rotações para a esquerda, 5 para a direita e 8 folhas no total para que surja uma nova folha por cima da folha «original». Ou então 8 para a esquerda, 5 para a direira e 13 folhas para a «sobreposição. Ou então,...

~ A Eneida de Vergílio é o épico poema que conta as aventuras de Eneias, desde que foge da cidade de Tróia em chamas até fundar a cidade de Roma. Tem a sua estrutura formada com a sequência de Fibonacci, bem como muitas obras de outros poetas romanos. Também Camões, na composição do seu Lusíadas, usou a construção clássica com esta sequência (é claro que os Romanos não a conheciam por esse nome);

Muitas outras propriedades estão ligadas à razão de ouro, um valor considerado como esteticamente belo quando usado em proporções de figuras. A razão de ouro é um número irracional (tem infinitas casais decimais e as sequências de números nunca se repetem) aproximadamente 1,618033988749... O seu símbolo é a letra grega Φ. Um rectângulo que seja construído usando esta medida no comprimento dos seus lados tem a proporção de ouro. Este rectângulo tem uma estética muito apelativa e tem sido usado por artistas ao longo da História.
À medida que se dividem termos consecutivos da Sequeência de Fibonacci obtêm-se valores cada vez mais próximos da razão de ouro (1,61803...). 1/1=1 ; 2/1 = 2 ; 3/2=1,5 ; 5/3=1,667 ; 8/5=1,6 ; 13/8=1,625 ; ...)

~ Muitos músicos clássicos (Beethoven, Mozart, Bach,...) usam na estrutura das suas obras a razão de ouro, que está ligada à sequência de Fibonacci;

Concha do Nautilus~ As conchas de moluscos como o Nautilus têm uma espiral em que cada câmara é aproximadamente igual a Φ x a largura da anterior formando uma espiral logarítmica (a «spira mirabilis» de Bernoulli);

Soma das diagonais do Triângulo de Pascal~ No triângulo de Pascal, de que se falou no artigo Pessoa (in)completa, os números que o compõe seguem sequências de Fibonacci. Quando se soma as sucessivas diagonais do triângulo obtêm-se os valores sucessivos da Sequência de Fibonacci.

~ No Parténon os lados têm a proporção de ouro, o que contribui para o seu apelo estético. A proporção de ouro ocorre quando num rectângulo o lado menor a dividir pelo lado maior é igual ao lado maior a dividir pela soma do lado menor com o lado maior. m / M = M / m + M

Muitos outros exemplos podiam ser descritas para expressar a universalidade da Sequência de Fibonacci. O que começou com um par de coelhos pode bem ser a chave que abre muitos mistérios do Universo...

Fibonacci.jpgFibonacci é considerado o maior matemático da Idade Média. nasceu na cidade de Pisa no ano 1175. A cidade era um grande centro comercial e tinha ligações com os mais importantes portos do Mediterrâneo, controlado a Norte pelos países europeus e a sul pelos árabes. O seu pai era um intermediário comercial que trabalhava na cidade de Bugia, no Norte de África controlada pelos Árabes. Fibonacci recebeu assim educação árabe, que eram na altura o povo mais avançado da sua época porque a extensão do seu império colocou-os em contacto com a arte e a ciência clássica, hindu, chinesa, persa, bizantina,... (ver o artigo Míngua sobre alguns factos curiosos sobre esta civilização). Na altura os árabes usavam já um tipo de numeração que tinham aprendido com os hindu da Índia, a que mais tarde viria a ser conhecida como numeração hindu-árabe e que hoje todos nós (ocidentais) usamos. Nessa numeração existia um algarismo na altura desconhecido na Europa: o zero. Na Europa usava-se ainda a numeração romana, o que dificultava muito a contabilidade no comércio.
Fibonacci aprendeu a usar esta numeração e mais tarde introduziu-a na Europa.


Se hoje sabemos usar o que é o zero, se hoje facilmente fazemos contas de multiplicar e dividir, se a nossa numeração é fácil e intuitiva devemos ao filho de Bonacci...

Recomendo vivamente a leitura do excelente livro «A espiral dourada» (Nuno Crato, Carlos Pereira dos Santos e Luís Tirapicos) ISBN 989-616-116-X sobre a sucessão de Fibonacci, a razão de ouro e muitos outros tópicos interessantes, abordados de forma rigorosa mas sem complicações para a maioria dos leitores.



Publicado por Mauro Maia às 22:02
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13 comentários:
De Rui a 11 de Julho de 2005 às 12:06
Como é que esta sequência dos coelhos, que considera um número exponencial e crescente de novos indivíduos, se relaciona com aquela ideia que uma população que começe somente por dois indivíduos esta destinada a desaparecer rapidamente? Acredito que esta é uma dos argumentos utilizados para refutar as noções bíblicas da Criação, pela impossibilidade de todos nós termos nascido somente do Adão e da Eva...


De Rata Zinger a 11 de Julho de 2005 às 12:52
Esta matemática é potente.


De Mauro a 11 de Julho de 2005 às 18:10
Não entendo bem a questão que colocas, Rui. Porque uma população que comece por dois indivíduos está destinada a desaparecer rapidamente? No artigo esTepes dei outro de crescimento. Mas neste caso dos coelhos o crescimento não é bem exponencial devido à limitação da maturação sexual para a reprodução (ao contrário daquela situação dos vampiros).
O que talvez te estejas a referir é às ideias de Malthus. Nelas o crescimento de uma população é exponencial (na minha opinião aproximadamente) enquanto os recursos alimentares crescem aritmeticamente (que crece também mas não tão rapidamente). Talvez por aí a população acabe por desaparecer rapidamente por falta de alimentos. A questão de Adão não puder ser o progenitor de todos devido a esta questão não parece um argumento válido. CIentificamente sabemos que todos descendemos de um pequeno grupo que sobreviveu em África à Era Glacial (que lá foi uma era de grande seca) e depois colonizou o Mundo. Seria possível o major pater ser Adão em termos matemáticos mas forçosamente à custa de incestos, o que em termos genéticos seia uma bomba que há muito teria incapacitado a espécie.


De Lady Nox a 11 de Julho de 2005 às 20:57
A sequência saltou o 8...? Freud havia de apreciar esse lapsus calami... :)


De Mauro a 11 de Julho de 2005 às 21:16
Ahahahahahah. Realmente! Que olho apurado. Obrigado pela chamada de atenção. Quando descrevi a reprodução dos coelhos lá estava o 8 no 6º dia. Quando enumerei a sequência eis que ficou de fora. Que diria Freud a isto? Que imagética de Eros retiraria das suaves curvas do número 8? Nem me atrevo a questionar... ;) Está já ractificada a situação. Obrigado Lady Nox.


De Lady Nox a 11 de Julho de 2005 às 21:20
De nada, sempre ao dispôr. Resta saber também que diria Freud de eu me lembrar de o mencionar perante uma história sobre coelhos...


De Rui a 11 de Julho de 2005 às 21:49
Realmente não me lembro bem dessa ideia da população estar destinada a desaparecer caso nascesse de somente dois indivíduos. Conceitos malhtusianos? Instabilidades subjacentes da teoria do caos? Ideias mal-formadas? Quem sabe.


De cristiana a 8 de Janeiro de 2006 às 16:55
olá, eu so queria que me esplicasse melhor a 1ª resposta que vocÊ esclareceu ao rui, porque eu nao entendi lá muito bem.obrigado


De Mauro a 8 de Janeiro de 2006 às 17:27
Certamente, Cristiana, tentarei esclarecer melhor a questão se bem que não tenha uma ideia precisa de qual é a dúvida em concreto. Mas tentarei. A questão que o Rui levantou prende-se com o facto de uma população que comece apenas com 2 indivíduos está condenada a desaparecer. Em termos matemáticos relacionados apenas com a variável «nº de indivíduos» o crescimento é exponencial e como tal tende para o infinito. Eu refiro o facto de um crescimento populacional ligado à reprodução sexual dentro do mesmo grupo estará de facto limitado pela escassez de recursos alimentares (Malthus já há muito referiu o facto de o crescimento populacional ser exponencial e o dos recursos alimentares ser aritmético. O crescimento exponencial é muito mais rápido do que o aritmético e a população acaba assim por ser limitada pela fome e pela luta pelos recursos (é o que acontece aos lémures, foi o que aconteceu na Ilha da Páscoa, como referido no Cognosco). Mas o crescimento sexual de uma população (como a dos coelhos) não é exactamente exponencial (se fosse exponencial, o número de casais de coelhos, ao longo das gerações, seria 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,... e não 1, 1, 2, 3, 5, 8, 11, ... A relevância da questão para a existência de um Adão primordial é, a meu ver, é a de que o grau de incestos nas primeiras gerações seria de 100%, o que levaria inevitavelmente à degeneração genética de espécie humana (nem Adão nem Eva terão sido criados geneticamente perfeitos. Se fossem os seus filhos também seriam, os filhos destes também,..., até nós). As mutações genéticas acidentais que por vezes ocorrem não poderiam ter sido de monta o suficiente para que, de uma perfeição genética, se chegasse ao grau de imperfeição genética que temos (é só lembrar os cancros, as mal-formações,...). A questão da degenerescência genética devido ao incesto só seria ultrapassada se fossem adicionados ao grupo de seres humanos novos indivíduos não descendentes do primordial Adão e da primordial Eva. (A questão da impossibilidade genética da sobrevivência das populações iniciadas apenas por um casal parece bem crucial no desmontar da noção da Arca de Noé: já não é uma populção, são todas as milhões de populações animais do Mundo). Não sei se respondi à tua questão, Cristiana, se não o fiz peço desculpa e peço também que me indiques o que faltou. Obrigado pela visita e pelo comentário.


De marius70 a 29 de Janeiro de 2006 às 23:28
Olá Mauro, há muito que não colocava aqui um comentário embora tenha acompanhado os teus temas. Só que são temas que requerem das duas uma, ou se lê e nada se diz (é o que acontece na maior parte das vezes com o "meu" Império e o Rumo ao Sul) ou então tenta-se pesquisar sobre os teus temas para se poder colocar um comentário merecedor dos teus artigos. Embora já estejas "muito adiantado" não queria deixar de referir este teu tema. Quando o li lembrei-me de ter lido algo sobre o assunto num livro que tinha sido "best sellers". Tenho o livro aqui a meu lado e é o «Código Da Vinci» de Dan Brown. Não sei se o leste mas a sequência deixada pelo assassinado, Saunière, 1-1-2-3-5-8-13-21 em que cada termo é igual à soma dos outros dois que o antecedem, é considerada uma das mais famosas progressões matemáticas da Históra. Relativamente a esse factor na formação de tudo aquilo que nos rodeia está bem explícita no teu texto. Agora o que mais tarde li é que me chamou a atenção para essa sequência, e não é mais que o nº 1.618 o PHI. E o que é o PHI? Como se disse anteriormente a sequência Fibonacci é a soma dos dois termos adjacentes sei igual ao termo seguinte, mas também qor os quocientes de dois termos adjacentes aproximam-se deste nº 1.618 que segundo o autor foi considerada pelos primeiros cientistas de Proporção Divina. Exemplos dados: Numa comunidade de abelhas se se dividir o número de fêmeas pelo nº de machos em qualquer colmeia do mundo a proporção é de ... 1.618. Outros exemplos: a razão do diâmetro de cada espiral de um náutilo e a seguinte, as sementes do girassol, pétalas espiriladas, segmentos de insectos, disposição das folhas no caule de uma árvore e «O Homem de Vitrúvio» de Leonardo da Vinci que o concebeu tendo como base este PHI. Se quisermos experimentar se esse nº se manifesta em toda concepção universal, é só pegar numa fita métrica e quando se for ao banho medir da cabeça ao umbigo e dividir esse valor pelo da distância do umbigo ao chão, e qual é o resultado? Pois é 1.618 o nº mágico, afinal a "tua" proporção de ouro. Tudo de bom e um abraço.


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