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Quarta-feira, 25 de Maio de 2005
As pontes de Königsberg

A cidade de Kaliningrad é uma cidade na Rússia.

Na verdade, é uma cidade num exclave da Rússia, entre a Polónia e a Lituânia, situada a 510 quilómetros da Rússia, com 15 mil e 100 m2 e perto de 1 milhão da habitantes. Um enclave é um território estrangeiro rodeado por um único outro país. Um exclave é um território nacional separado geograficamente da maioria do país. Assim, Kaliningrad é um exclave da Rússia. Não é um enclave porque faz fronteira com 2 países: Polónia e Lituânia.

Após a 2ª Guerra Mundial, a região urbana de Königsberg passou a fazer parte da Rússia e o seu nome foi mudado, em 1946, para Kaliningrad como homenagem ao recém-falecido Mikhail Kalinin, um dos primeiros bolcheviques.

Há alguns factos curiosos ligados ao passado alemão da cidade:

~ o filósofo alemão Immanuel Kant (1724-1804) era natural de lá.

~ o matemático alemão Christian Goldbach (1690-1764) era também natural de lá;

~ o matemático alemão David Hilbert (1862-1943) residiu lá, apesar de ser natural de Wehlau, cidade na Prússia Oriental com capital em Königsberg;

~ a cidade foi fundada, em 1255, pelos Cavaleiros Teutónicos e só deixou de ser alemã após a 2.ª Guerra Mundial, em 1945, passando a integrar a Rússia. Foi 690 anos alemã e uns meros 60 anos russa...

Um outro facto relevante relacionado com Kaliningrad prende-se com a cidade que anteriormente se chamava Königsberg. Königsberg era a capital da Prússia Oriental, o estado alemão que unificou todos os outros estados germânicos no final do século XIX para formar a Alemanha, até então um conjuntos de estados independentes cada um com o seu Rei. Juntos formaram a Império Alemão, tendo como soberano o Kaiser prussiano Wilhelm II.

 

 

A Alemanha entrou na Grande Guerra para honrar o pacto que tinha com o Império Austro-Húngaro (que iniciou a Grande Guerra). Perderam-na e a Alemanha tornou-se uma república. Até que Hitler chegou ao poder. Após a derrota na 2ª Guerra Mundial a Alemanha foi dividida em 2: a Alemanha Federal (a união dos sectores de ocupação inglesa, francesa e americana) e a Alemanha Democrática (o sector de ocupação soviética). Além disso, perdeu importantes partes do seu território. A Prússia, elemento unificador da Alemanha, foi dividida entre a Polónia e a Rússia. (Ver os artigos Wilhelm e ainda Pequenos tijolos sobre estas questões). Könisberg passou a ser uma cidade russa e mudou de nome para Kaliningrad.

As pontes de Königsberg

Mas, no século XVIII, era- prussiana. A cidade foi construída à volta do rio Pregel. A meio do rio há uma ilha chamada Kniephof. Para unir todas as partes da cidade foram construídas 7 pontes. Os habitantes da cidade gostavam de passear pelas pontes e tentavam encontrar uma forma de atravessar todas as pontes apenas uma vez. Mas, por muito que tentassem, não conseguiam encontrar um forma. Os nomes das 7 pontes de Königsberg eram: ~ Kraemer «lojista»; ~ Schmiede «ferreiro»; ~ Holz «madeira»; ~ Honig «mel»; ~ Greune «verde»; ~ Koettel «entranha»; ~ Hohe «alto»;

 

Pediram então ajuda a um grande Matemático suíço, de nome Euler «ói+lâr». Grafo de EulerEste começou por analisar o problema focando-se nos pontos relevantes e descartando os desnecessários (a típica abordagem matemática). Para isso simplificou o esquema das pontes: cada terreno a atingir seria um ponto e cada ponte o traço que os unia e tudo o mais era desnecessário à resposta. Este tipo de rede (pontos e ligações) chama-se um grafo. Com este esquema verificou ser impossível atravessar cada ponte uma única vez. Como todos os 4 pontos tinham um número ímpar de traços, qualquer caminho único depois de atravessar uma delas só conseguiria passar para um lado e não conseguiria regressar. Desta forma Euler criu um novo ramo da Matemática (a Topologia, que estuda as características que não são alteradas quando são distorcidas ou esticadas sem rasgar), mostrou que era impossível esse caminho pelas pontes da cidade e criou a Teoria dos Grafos, que é o estudo das redes de pontos unidos. Um resultado importante desta Teoria é: Num grafo, para que haja um caminho que une todos os pontos uma só vez apenas 2 deles podem ter um número ímpar de ligações (o ponto inicial e o ponto final). Como se vê no esquema os 4 pontos do Grafo das pontes de Konisberg, os 4 pontos têm ligações ímpares. É impossível percorrer todas as pontes apenas uma vez. Casa Cruzada Casa Cruzada solucionadaMas os grafos com 2 ou menos pontos com ligações ímpares têm solução. Um dos mais conhecidos é o da Casa Cruzada. Como se constata facilmente, apenas 2 pontos têm ligações ímpares (os da base), pelo que é possível traçar a casa uma única vez sem passar 2 vezes pela mesma linha. Várias soluções são possíveis e é apresentada uma delas. O início do trajecto é o ponto inferior esquerdo e o fim o inferior direito, que são os pontos com ligações ímpares. As soluções começarão num ou noutro ponto (ímpar). A Teoria dos Grafos fornece também o método para os encontrar mas só o facto de permitir saber de antemão se um dado desenho se pode fazer de uma vez é uma óptima ajuda. Impossível (4 pontos ímpares)Possível (todos os pontos são pares) Um método de resolução é:

~ numerar os vértices do grafo;

~ em seguida constrói-se uma tabela onde são colocados os vértices;

~ representa-se nessa tabela as arestas que unem os diferentes vértices;

~ verifica-se quais os vértices ímpares (se os houver);

~ escolhe-se um vértice para começar a resolução. Se houver 2 ímpares é um deles, se não houver qualquer um pode ser escolhido;

~ verifica-se qual a primeira aresta livre na linha do vértice escolhido;

~ marca-se essa aresta (2 vezes, uma vez que 2-5 é a mesma que 5-2)

~ na linha do vértice onde a aresta anterior se liga marca-se a primeira aresta livre;

~ repete-se até todas as arestas estarem escolhidas.

No exemplo acima dado, uma forma de desenhar o grafo é unir os vértices: 4 - 2 - 1 - 3 - 2 - 5 - 3 - 4 - 5 Não é a única forma de desenhar este grafo mas de certeza que este método indica uma delas. Escolhendo outros vértices neste método (e desde que se garanta que todas as arestas foram escolhidas) obtêm-se outras formas.

 

Leonard Euler, nascido em 1707 e falecido em 1783, foi um grande Matemático de nacionalidade suíça (se bem que a Matemática, com o seu carácter e linguagem universais não tenha nacionalidade), que contribuiu para quase todos os campos matemáticos existentes. Diz-se que entre a chamada para o jantar e a refeição propriamente dita demonstrava teoremas, tal como, sendo pai de 11 filhos (o gosto matemático pelos números primos...?) era capaz de embalar um bebé com um braço e com o outro resolver problemas matemáticos.

 

Actualmente, uma fotografia de satélite mostra o que aconteceu às pontes de Königsberg: fazem parte das vias rápidas que atravessam a cidade. As pontes de Königsberg no séc. XXI

 



Publicado por Mauro Maia às 15:51
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1 comentário:
De Paralaxe a 26 de Maio de 2005 às 13:52
Amigo Mauro,

Este comentário não tem a ver com Konisberg, mas tem a ver com pontes...
Sou, desde ontem, editor do directório da DMOZ.ORG, para a área de blogs em português; incluí o "Cognosco" no directório porque, como já disse, ele tem utilidade pública; esperemos que este link sirva de ponte para alargar a audiência junto da Comunidade de Língua Portuguesa.
............
Um abraxe do Paralaxe
http://www.dmoz.org/ (http://www.dmoz.org/)


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