Últimas atualizações
Novo endereço do Cognosco: http://www.cognoscomm.com
Diário das pequenas descobertas da vida.
Domingo, 22 de Maio de 2005
Alea jacta est

Atenção Alguns erros que se cometem no uso da Língua portuguesa prendem-se por vezes com o desconhecimento dos contextos correctos de aplicação das palavras (a crescente confusão na aplicação de «derivado» e «devido» é somente um dos mais ouvidos).

 

Ouve-se por vezes poucas probabilidades de isso acontecer ,   o que é uma aplicação incorrecta do termo probabilidade e mostra simplesmente a ignorância do seu significado, confundindo «probabilidade» com «possibilidade». O correcto é dizer poucas possibilidades de isso acontecer ou então É pequena a probabilidade de isso acontecer .

 

Probabilidade é um número que se atribui a uma possibilidade de um acontecimento. Quanto maior é o número (entre 0 e 1 ou equivalentemente entre 0% e 100%) mais certo é que que aconteça. Possibilidade é uma das maneiras com que determinado acontecimento pode ocorrer. Cada possibilidade tem uma probabilidade de acontecer. A soma das probabilidades de todas as possibilidades de um acontecimento aleatório é 1 (ou 100%). Como a probabilidade é um número não «há poucas probabilidades», porque isso é o mesmo que dizer «há poucos números» e os números são infinitos.

 

Em termos simples, a forma de calcular a probabilidade da possibilidade de um acontecimento aleatório envolve a determinação do número de vezes em que pode ocorrer essa possibilidade e também o número total de possibilidades do acontecimento em causa. Geralmente essas contagens são complicadas de fazer em acontecimentos do quotidiano, e com formas mais ou menos elaboradas. Mas se a contagem total for possível usa-se a Regra de Laplace : para calcular a probabilidade de uma possibilidade basta dividir o número de vezes que ocorre essa possibilidade (n.º de acontecimentos favoráveis) pelo número total de possibilidades do acontecimento (nº de acontecimentos possíveis).

E.g. Um saco contém 5 bolas: tem 2 bolas pretas e 3 bolas vermelhas .

Qual é a probabilidade de ao retirar, sem ver, uma bola do saco obter 1 vermelha?

Saco com 5 bolas Há aqui um acontecimento (retirar uma bola) com algumas possibilidades; O número de possibilidades de sair uma bola vermelha é 3; O número total de possibilidades é 5 bolas; A probabilidade é então 3 / 5 (que é 60%).

~ A probabilidade de obter cara quando se atira uma moeda ao ar é 1 / 2 = 50%. (Há uma cara na moeda, que tem 2 faces possíveis); No entanto é necessário cautela no cálculo de probabilidades. Só se pode calcular probabilidades em acontecimentos aleatórios (acontecimentos em que não intervenha uma escolha humana consciente ou inconsciente); Só se pode calcular probabilidades quando cada uma das possibilidades tem a mesma probabilidade de ocorrer (são equiprováveis); Se assim não fosse poderiam ocorrer as seguintes situações a que se atribui uma probabilidade errada:

~ Se ao retirar uma bola do saco com 2 bolas pretas e 3 vermelhas se se espreitar pode-se sempre retirar uma bola vermelha. Então a probabiliade seria assim de 100% e não de 60%;

~ No totoloto só há duas possibilidades: ganhar ou não ganhar. Então a probabilidade de ganhar o totoloto é 1/2 = 50% ? Não, porque as duas possibilidades não são equiprováveis (não ganhar é mais provável do que ganhar);

 

Infelizmente a probabilidade do uso incorrecto de «probabilidade» quando se devia usar «possibilidade» é cada vez maior!

 

«Os dados estão lançados», de «Alea» - Dados; «jacta» - lançar; «est» - 3.ª Pessoa do verbo «esse» - ser, como bem chamou a atenção «Buba» no comentário que aqui deixou.

~ Frase dita por Júlio César quando atravessou o rio Rubicão em direcção a Roma.

(Ver Ao contrário da crença popular (Julius) para saber porquê)



Publicado por Mauro Maia às 21:10
Atalho para o Artigo | Cogitar | Adicionar aos favoritos

74 comentários:
De . a 19 de Agosto de 2010 às 23:53
Para quem gostar de linguagem matemática, talvez se possa dizer que o problema da refracção da luz é o limite para que tende o problema do nadador-salvador quando as distâncias deste e da donzela à margem tendem para o infinito.

Amanhã procurarei comentar a tua referência ao comportamento da luz polarizada, bem como estabelecer a prometida ligação ao gravlev. Preciso de procurar uns livros que tenho por aqui :-)


De . a 20 de Agosto de 2010 às 20:00
Quando tratámos do gravlev fiz referência, se bem te lembras, a um artigo da Time de Fevereiro de 1966. Intitula-se “Mathematics: To Everywhere in 42 Minutes” e podes encontrá-lo aqui:

http://www.time.com/time/magazine/article/0,9171,842469,00.html

Nele, o jornalista escreve o seguinte:

“Cooper has also set up and solved by computer a set of differential equations for curved tunnels that would provide minimum gravity-powered travel time between any two cities on earth. These tunnels would swoop into the ground at steeper angles and penetrate to even greater depths. Though travel times would vary, all would be less than the 42.2 minutes required for straight-line trips.”

Por outras palavras, o percurso rectilíneo é o mais curto e, no caso do gravlev, tem a particularidade de garantir sempre o mesmo tempo de viagem - cerca de 42 minutos, para a Terra - independentemente das cidades de origem e de destino que se escolherem. Mas não é o percurso mais rápido. Este será curvo, descendo, de uma forma mais pronunciada, a uma profundidade maior do que a alcançada pelo correspondente percurso rectilíneo, e subindo depois simetricamente até alcançar de novo a superfície.
Só se escolhermos duas cidades situadas nos antípodas uma da outra é que estaremos em presença de um caso particular em que o percurso mais rápido se identifica com o rectilíneo.

As semelhanças entre o problema do nadador-salvador e o do gravlev já começam a aparecer: em ambos as situações existe um percurso mais curto, em linha recta, que, excepção feita aos casos particulares, não coincide com o percurso mais rápido.
Para prosseguir com esta tentativa de explicação vou ter de efectuar uma pequena digressão e de consultar um livro que aqui tenho. Depois retomarei o problema. Antes que o Sapo se queixe, vou iniciar um novo comentário :-)


De . a 20 de Agosto de 2010 às 21:27
O livro em questão intitula-se “Aventuras Matemáticas” e foi escrito por um matemático chamado Miguel de Guzmán. A versão portuguesa foi editada pela Gradiva em 1990. E inclui as equações :-) Infelizmente encontra-se esgotado. Podes encontrá-lo aqui:

http://www.gradiva.pt/livro.asp?L=16001

A título de curiosidade, trata-se do mesmo livro que usei para descrever, há uns anos e num comentário a um artigo teu, o princípio de Dirichlet, ou princípio do pombal, que esteve na base da nossa conversa acerca do número médio de cabelos que podem existir na cabeça de uma pessoa :-)

Noutro capítulo deste livro é abordada uma classe de curvas matemáticas que dá pelo nome de ciclóides. Imagina uma pessoa a passear de bicicleta pela rua. Considera um qualquer ponto situado na periferia de uma das rodas da bicicleta. A curva descrita por esse ponto à medida que a roda gira e que a bicicleta avança, é uma ciclóide. Mais informação (e até uma animação ilustrativa) aqui:

http://en.wikipedia.org/wiki/Cycloid

As ciclóides exibem inúmeras propriedades curiosíssimas. Por exemplo, a área compreendida entre um arco de ciclóide e a linha recta (a rua) sobre a qual rodou o círculo (a roda da bicicleta) que lhe deu origem é exactamente igual a três vezes a área do referido círculo. E o comprimento do arco de ciclóide é exactamente igual a quatro vezes o diâmetro do círculo.
Há, no entanto, duas outras propriedades das ciclóides que nos interessam particularmente: a “tautocronia” (que palavrão! Vê aqui: http://en.wikipedia.org/wiki/Tautochrone_curve ) e a “braquistocronia” (ainda pior! Vê aqui: http://en.wikipedia.org/wiki/Brachistochrone_curve ).

Uma curva tautócrona caracteriza-se pelo seguinte: se fizeres deslizar ao longo da mesma um objecto sem atrito - um berlinde, por exemplo - por acção de uma gravidade uniforme, o tempo despendido a atingir o ponto mais baixo da curva não depende do ponto que se tiver escolhido para a partida.
Lembra-te alguma coisa? Cerca de 42 minutos para atingir o seu destino, independente da origem e do destino escolhidos? Hum? :-)
Há, no entanto, uma diferença: no caso do gravlev a gravidade não é uniforme. Varia em módulo (diminui com a diminuição da distância ao centro da Terra) e em direcção (é radial). Tal explica, penso eu, a razão pela qual o percurso tautócrono, no caso do gravlev, ser o definido por uma linha recta e não por uma ciclóide.

Vejamos agora a outra propriedade, a braquistocronia. Considera um dado ponto de partida e um dado ponto de chegada, mais abaixo do que o anterior. Qual o percurso que leva o nosso berlinde sem atrito, por acção de uma gravidade uniforme, a viajar do primeiro para o segundo no menor intervalo de tempo possível? Trata-se do percurso definido por uma curva braquistócrona.
Tal como anteriormente, há uma diferença que decorre de, no caso do gravlev, a gravidade não ser uniforme. Tal implicará, creio eu (mas não quero pôr as mãos no fogo por isso) que o percurso braquistócrono, no caso do nosso comboio gravitacional, não corresponda ao definido por uma ciclóide. E penso haver um argumento, embora meramente circunstancial, a favor desta ideia: o artigo da revista Time que citei no comentário anterior refere que o matemático Paul Cooper recorreu a um computador para resolver o sistema de equações diferenciais que estabelece os percursos mais rápidos. Certamente este matemático conhecia a ciclóide e a sua propriedade braquistócrona. Por que motivo não a usou? Por que razão complicou as coisas? Resposta: porque a gravidade não é uniforme e a resposta correcta não será, penso eu sem querer garantir, uma ciclóide.

(mudança de comentário)


De . a 20 de Agosto de 2010 às 22:44
Como determinar a resposta correcta? Dada uma cidade de origem e outra de destino, como calcular o trajecto mais rápido do gravlev para essas duas cidades?

O livro que aqui tenho faz referência a diversas formas de abordar o chamado problema da braquistócrona. Surgiram como resposta a um desafio proposto por Johann Bernouilli em 1696. De entre os matemáticos que o resolveram no prazo que foi estipulado destacam-se Newton, De l’Hôpital, Leibniz e Jakob Bernouilli, irmão de Joahnn. A mais fecunda e geral foi a de Jakob, tendo dado origem a todo um ramo da matemática moderna: o cálculo das variações. Mas a mais curiosa de todas foi a do próprio Johann. Tratava-se de uma mistura de física e geometria e baseava-se, nada mais nada menos, no comportamento da luz refractada :-)

Em vez de um berlinde sem atrito a deslocar-se entre dois pontos por acção de uma gravidade uniforme, Joahnn Bernouilli imaginou um raio luminoso a viajar através de um meio transparente constituído por uma “sanduíche” de inúmeras lâminas horizontais muito finas dispostas umas sobre as outras. Cada uma dessas lâminas teria um índice de refracção diferente, de tal forma que, em cada uma delas, a velocidade de propagação da luz seria igual à do berlinde nesse mesmo ponto. No livro são apresentadas as equações: os cálculos iniciam-se com a nossa já bem conhecida lei de Snell e terminam na equação da ciclóide :-)

Assim sendo, como é que deveremos proceder para determinar, por exemplo, o percurso mais rápido do gravlev entre Paris e Nova Iorque? Raciocinando por analogia, talvez não fosse má ideia imaginar a Terra como sendo uma cebola transparente, composta por inúmeras camadas esféricas, concêntricas e muito finas. Cada uma dessas camadas teria um índice de refracção criteriosamente escolhido de tal forma que a velocidade de propagação da luz nessa camada seria idêntica à do gravlev nesse mesmo ponto. Lançamos um raio luminoso de Paris e orientamo-lo de modo a que o mesmo apareça em Nova Iorque. O percurso percorrido pela luz será o mais rápido possível entre essas duas cidades. Agora é só começar a escavar o túnel.

Resumindo: parece ser possível determinar o percurso braquistócrono do gravlev com base na lei de Snell ( dito assim até parece importante :-p ). E esta, por sua vez, pode ser deduzida do problema do nadador-salvador. Está feita a ligação.

Espero não ter estragado nenhum fusível por esses lados. Os mesmos rebentaram há muito :-) Amanhã comento o teu comentário.


De . a 21 de Agosto de 2010 às 18:27
Na sequência do teu comentário, estive a rever outro livro que aqui tenho. Trata-se de "QED - A Estranha Teoria da Luz e da Matéria", de Richard Feynman. Foi editado em português pela Gradiva, em Agosto de 1988. É talvez o melhor livro de divulgação de ciência que alguma vez li, embora haja outros também muito bons. Felizmente parece não estar esgotado :-) Podes encontrá-lo aqui, se quiseres:

http://www.gradiva.pt/livro.asp?L=2025

Não tem equações e consegue explicar uma teoria tão complexa como a da electrodinâmica quântica a qualquer pessoa com a ajuda de algumas setas e, mais adiante no livro, dos famosos diagramas de Feynman.
De entre os diversos fenómenos da natureza que Feynman explica destaca-se o da difracção da luz por uma rede.

Iniciando a sua palestra com um vulgar espelho plano, Feynman começa por demonstrar que, contrariamente ao que se pensa, a reflexão da luz se processa em toda a extensão do espelho e não apenas na parte central do mesmo, onde os ângulos de incidência e de reflexão dos raios luminosos são iguais (e, já agora, onde o tempo de percurso é menor ;-) ). Fá-lo em toda a extensão do espelho e com igual probabilidade.
Com a ajuda de setas desenhadas numa folha de papel e de um cronómetro imaginário, Feynman revela que, nas zonas periféricas do espelho, as amplitudes de probabilidade (as tais setas) dos eventos de reflexão têm fases (indicadas pela direcção do ponteiro do cronómetro imaginário) de tal forma diferentes umas das outras que têm tendência a anular-se mutuamente. Na parte central do espelho, pelo contrário, as fases das amplitudes de probabilidade diferem apenas ligeiramente umas das outras, pelo que tendem a reforçar-se mutuamente.

A amplitude total do acontecimento de reflexão (e, por conseguinte, a probabilidade do mesmo, que mais não é do que o quadrado da amplitude) é calculada somando todas as amplitudes (setas) parciais. Uma vez que, na periferia do espelho, as setas têm tendência para se anularem umas às outras, o principal contributo para a amplitude total é dado pela reflexão na parte central do espelho, onde as setas tendem a reforçar-se. Parece assim, ao nível macroscópico, que a luz percorre apenas o caminho mais rápido (ou de menor acção), reflectindo-se apenas na zona do espelho para o qual os ângulos de incidência e de reflexão são iguais.

(continua no comentário seguinte)


De . a 21 de Agosto de 2010 às 18:29
Na sequência do teu comentário, estive a rever outro livro que aqui tenho. Trata-se de "QED - A Estranha Teoria da Luz e da Matéria", de Richard Feynman. Foi editado em português pela Gradiva, em Agosto de 1988. É talvez o melhor livro de divulgação de ciência que alguma vez li, embora haja outros também muito bons. Felizmente parece não estar esgotado :-) Podes encontrá-lo aqui, se quiseres:

http://www.gradiva.pt/livro.asp?L=2025

Não tem equações e consegue explicar uma teoria tão complexa como a da electrodinâmica quântica a qualquer pessoa com a ajuda de algumas setas e, mais adiante no livro, dos famosos diagramas de Feynman.
De entre os diversos fenómenos da natureza que Feynman explica destaca-se o da difracção da luz por uma rede.

Iniciando a sua palestra com um vulgar espelho plano, Feynman começa por demonstrar que, contrariamente ao que se pensa, a reflexão da luz se processa em toda a extensão do espelho e não apenas na parte central do mesmo, onde os ângulos de incidência e de reflexão dos raios luminosos são iguais (e, já agora, onde o tempo de percurso é menor ;-) ). Fá-lo em toda a extensão do espelho e com igual probabilidade.
Com a ajuda de setas desenhadas numa folha de papel e de um cronómetro imaginário, Feynman revela que, nas zonas periféricas do espelho, as amplitudes de probabilidade (as tais setas) dos eventos de reflexão têm fases (indicadas pela direcção do ponteiro do cronómetro imaginário) de tal forma diferentes umas das outras que têm tendência a anular-se mutuamente. Na parte central do espelho, pelo contrário, as fases das amplitudes de probabilidade diferem apenas ligeiramente umas das outras, pelo que tendem a reforçar-se mutuamente.

A amplitude total do acontecimento de reflexão (e, por conseguinte, a probabilidade do mesmo, que mais não é do que o quadrado da amplitude) é calculada somando todas as amplitudes (setas) parciais. Uma vez que, na periferia do espelho, as setas têm tendência para se anularem umas às outras, o principal contributo para a amplitude total é dado pela reflexão na parte central do espelho, onde as setas tendem a reforçar-se. Parece assim, ao nível macroscópico, que a luz percorre apenas o caminho mais rápido (ou de menor acção), reflectindo-se apenas na zona do espelho para o qual os ângulos de incidência e de reflexão são iguais.

Feynman prossegue fazendo algo de muito curioso: produz diversos buracos no espelho, com dimensões e espaçamentos criteriosamente escolhidos (os quais dependem do comprimento de onda da luz que está a ser usada na experiência), de modo a eliminar os eventos de reflexão nessas partes do espelho. À primeira vista seria de esperar que a quantidade de luz reflectida diminuísse. Mas não, aumenta! Como é que isto é possível? Como é que menos espelho produz mais luz reflectida?
O que Feynman fez foi anular as amplitudes de probabilidade responsáveis pelo cancelamento mútuo acima referido. Uma vez eliminadas estas setas, as que restam têm orientações idênticas, pelo que se reforçam umas às outras numa amplitude total (e, consequentemente, numa probabilidade) substancialmente maior do que a anteriormente verificada.
Ou seja, Feynman consegue, com a sua teoria, explicar com corpúsculos (fotões) o que anteriormente só a teoria ondulatória da luz, com os seus mecanismos de interferência construtiva e destrutiva, conseguia explicar. É caso para dizer que foi BRILHANTE ;-)

O fenómeno que referes também parece magia: com duas barreiras de vidro polarizado, a luz não passa. Acrescenta-se uma terceira barreira e a luz já passa. Feynman refere, logo no início do livro, que optou por não referir os aspectos ligados à polarização da luz para não complicar as coisas. Penso, portanto, que não lhe seria possível explicar este fenómeno apenas com base nas setas e no cronómetro imaginário. Não queres desvendar tu um pouco da explicação que encontraste nesse teu livro? Teria muito interesse em lê-la. Bom fim de semana.


De . a 9 de Agosto de 2010 às 19:30
A figura está bem feita e facilita a compreensão do problema. Obrigado :-)

A donzela não está em movimento. Não há corrente de água e as poucas energias que lhe restam são inteiramente gastas no esforço para se manter à superfície.

O percurso mais curto (linha recta) não será o mais rápido porque envolve uma extensão considerável de mar que terá de ser feita a nadar. E, recorde-se, a velocidade no mar é baixa.

O percurso em linha recta só seria o mais rápido nos seguintes casos especiais:

- se a donzela estivesse em frente ao nadador-salvador, ou seja, se a = 0 na figura. Tal não será, normalmente, o caso;
- se o nadador-salvador ou a donzela se encontrassem na margem. Também não será este o caso;
- se a velocidade do nadador-salvador na água fosse igual à verificada na areia, o que não é, mais uma vez, o caso.

Haverá uma melhor solução? :-)


De Mauro Maia a 10 de Agosto de 2010 às 11:59
Se o nadador-salvador corre mais depressa do que nada, então temos de maximizar o tempo no areal e minimizar o tempo na água num percurso que o leve à D e sem ultrapassar o tempo de percurso em linha recta? Em terra, tem uma velocidade v e na água uma velocidade w.

Se for directamente para a D, tem de percorrer y*cos(tg^-1(a/b) no areal à velocidade v e sqr (a^2 + b^2) - y*cos(tg^-1(a/b) na água à velocidade w, com v>w, y<b, a,b,y>=0

javascript:nicTemp();

Se for na diagonal no areal e a direito na água, tem de percorrer a^2 + y^2 no areal à velocidade v e b-y na água a uma velocidade w, com v>w, y<b, a,b,y>=0

javascript:nicTemp();

Trajecto 1. indo a direito, demora [y*cos(tg^-1(a/b)]/v + [sqr (a^2 + b^2) - y*cos(tg^-1(a/b)]/w unidades temporais.

Trajecto 2, indo na diagonal no areal e a direito na água, demora [a^2 + y^2]/v + (b - y)/w unidades temporais.

Agora seria uma questão de demonstrar que trajecto 1 >= trajecto 2, isso se a minha linha de raciocínio presente é um passo na direcção certa...

Mas isto poderá indicar-me SE este trajecto é mais rápido mas não me dá garantidamente o MAIS rápido...



De . a 12 de Agosto de 2010 às 22:12
Estás a raciocinar muito bem :-)

Se o trajecto 1 (linha recta) é ou não mais demorado do que o trajecto 2 (diagonal na areia e a direito no mar), depende dos dados concretos do problema, ou seja, dos valores que se atribuírem a a, b, y, v e w.

No entanto, nenhum dos trajectos será o MAIS rápido. O trajecto 1, pelas razões expostas no comentário anterior; e o trajecto 2 porque, não obstante o percurso no mar ser mínimo, a extensão total a percorrer (na areia e depois no mar) ser elevada. O trajecto 2 só seria o mais rápido se a velocidade na areia fosse infinita: o percurso na areia seria feito em tempo nulo e o percurso no mar em tempo mínimo, pelo que o trajecto seria óptimo.

Temos então duas situações extremas que só constituem a solução do problema nos seguintes casos particulares:

trajecto 1, se v = w
trajecto 2, se v = ∞

No caso geral em que w < v < ∞, a solução corresponderá a um trajecto intermédio entre os trajectos 1 e 2; ou seja, o trajecto óptimo consistirá numa linha quebrada (diagonal na areia e outra diagonal no mar) a ligar o nadador-salvador à donzela. Como determinar esta linha? Temos de parametrizar o problema e de calcular o valor do parâmetro para o qual o tempo total do percurso é mínimo.

Suponhamos então que o nadador-salvador entra na água no ponto de coordenadas (x, y). Recordo que y é constante e conhecido, pois representa a ordenada da margem. Só x é que varia e o seu valor óptimo é desconhecido. É o nosso parâmetro. Mais tarde gostaria de usar o ângulo de entrada do nadador-salvador na água, mas por agora não.

O tempo total do percurso será dado pelo tempo gasto a correr na areia + o tempo despendido a nadar no mar:

t(x) = tAREIA(x) + tMAR(x)

Sabendo que o tempo é calculado dividindo o espaço percorrido pela velocidade, temos:

t(x) = sAREIA(x) / v + sMAR(x) / w = √(x2 + y2) / v + √((a - x)2 + (b - y)2) / w

Como calcular o valor de x para o qual t(x) é mínimo? Determinamos a derivada da função t(x), anulamo-la e resolvemos a equação que daí resultar em ordem a x. Para finalizar, inspeccionamos o sinal da derivada à esquerda e à direita do valor assim obtido, de modo a garantir que o mesmo corresponde, de facto, a um mínimo local (e não a um máximo local :-p)

dt / dx = x / (v * √(x2 + y2)) - (a - x) / (w * √((a - x)2 + (b - y)2))

dt / dx = 0 sse x / (v * √(x2 + y2)) = (a - x) / (w * √((a - x)2 + (b - y)2))

Elevando ambos os membros da equação ao quadrado, obtemos

x2 / (v2 * (x2 + y2)) = (a - x)2 / (w2 * ((a - x)2 + (b - y)2))

Agora falta resolver em ordem a x. Vou tratar disso e depois direi alguma coisa. Abraço :-)


De . a 13 de Agosto de 2010 às 00:28
Mauro, aqui vai a continuação:

Multiplicando ambos os membros da equação por v2, temos

x2 / (x2 + y2) = v2 / w2 * (a - x)2 / ((a - x)2 + (b - y)2)

Dividindo o numerador e o denominador do lado esquerdo da equação por x2, temos

1 / (1 + y2 / x2) = v2 / w2 * (a - x)2 / ((a - x)2 + (b - y)2)

Dividindo o numerador e o denominador do lado direito da equação por (a - x)2, temos

1 / (1 + y2 / x2) = v2 / w2 * 1 / (1 + (b - y)2 / (a - x)2)

Passando a fracção existente no lado direito da equação para o lado esquerdo, temos

(1 + (b - y)2 / (a - x)2) / (1 + y2 / x2) = v2 / w2

É aqui que entram os ângulos :-). Chamemos alfa ao ângulo que a diagonal correspondente ao percurso na areia faz com o eixo dos XX. Analogamente, designemos por beta o ângulo que a diagonal correspondente ao percurso na água faz com o mesmo eixo. A ser assim, temos que

y / x = tg(alfa)

e que

(b – y) / (a – x) = tg(beta)

Substituindo na nossa equação, temos

(1 + tg2(beta)) / (1 + tg2(alfa)) = v2 / w2

Sabendo que 1 + tg2( ) = sec2( ), temos

sec2(beta) / sec2(alfa) = v2 / w2

Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros da equação, temos

sec(beta) / sec(alfa) = v / w

Sabendo que sec( ) = 1 / cos( ), temos

cos(alfa) / cos(beta) = v / w

Consideremos agora os seguintes ângulos: gama é o ângulo de entrada do nadador-salvador na água. Mais precisamente, é o ângulo que a diagonal correspondente ao percurso na areia faz com o eixo dos XX. Analogamente, designemos por delta o ângulo que a diagonal correspondente ao percurso na água faz com o mesmo eixo A ser assim, alfa = 90° - gama e beta = 90° - delta. Substituindo na nossa equação, temos

cos(90° - gama) / cos(90° - delta) = v / w

Isto é equivalente a

sin(gama) / sin(delta) = v / w

Ou seja, o trajecto óptimo será o trajecto cuja diagonal na areia faz um ângulo gama com o eixo dos YY e cuja diagonal na água faz um ângulo delta com o mesmo eixo, sendo que gama e delta terão de verificar a condição imposta pela equação anterior.

Era a esta equação que eu pretendia chegar, por razões que nada têm a ver com nadadores-salvadores ou com donzelas em risco de se afogarem. Passo a explicar no próximo comentário :-)


De . a 13 de Agosto de 2010 às 10:53
Olá Mauro. Antes de prosseguir, duas notas prévias.

A primeira é uma autocrítica. Analisando o meu comentário anterior, verifico que, após derivar a função e anular a derivada, compliquei desnecessariamente os cálculos. Elevei ambos os membros da equação ao quadrado para, mais tarde, extrair a raiz quadrada. Determinei tangentes e converti-as em secantes e posteriormente em co-senos e senos. Nada disto era necessário. Começando com a equação que resulta de anular a derivada da função t(x)

x / (v * √(x2 + y2)) = (a - x) / (w * √((a - x)2 + (b - y)2))

Se multiplicarmos ambos os membros da equação por v, obtemos

x / √(x2 + y2) = v / w * (a - x) / √((a - x)2 + (b - y)2)

Olhando para uma figura parecida com as que desenhaste anteriormente, é fácil verificar que x e √(x2 + y2) representam, respectivamente, um cateto e a hipotenusa de um triângulo rectângulo (o triângulo na areia), pelo que a sua razão designa o seno de um dos seus ângulos:

x / √(x2 + y2) = sin(gama)

O mesmo sucede com (a - x) e √((a - x)2 + (b - y)2). Representam, respectivamente, um cateto e a hipotenusa de outro triângulo rectângulo (o triângulo no mar), pelo que a sua razão designa o seno de um dos seus ângulos:

(a - x) / √((a - x)2 + (b - y)2) = sin(delta)

Substituindo na nossa equação, temos

sin(gama) = v / w * sin(delta)

Ou

sin(gama) / sin(delta) = v / w

Ou seja, a mesma equação de ontem, mas deduzida sem grandes complicações. Mas que falta de jeito a minha!

A segunda nota prévia prende-se com a aplicação da equação aos casos particulares descritos anteriormente. Repara: se impusermos que v = w, temos

sin(gama) / sin(delta) = 1

E como quer gama, quer delta são ângulos do primeiro quadrante, temos que

gama = delta

Concluímos que, quando as velocidades são iguais, as diagonais (na areia e no mar) têm o mesmo declive, reduzindo-se a uma única diagonal a ligar directamente o nadador-salvador à donzela. Trata-se do trajecto 1 que referiste no teu comentário.

Se impusermos que v tenda para ∞, temos

sin(gama) / sin(delta) → ∞

Tal só será possível se gama ≠ 0 e se delta → 0, ou seja, se o nadador-salvador correr na diagonal e nadar a direito. Trata-se do trajecto 2 que descreveste.

A equação é ainda suficientemente generalista para lidar com as situações (não abordadas) em que a velocidade na areia é inferior à velocidade no mar. Se impusermos que w tenda para ∞, temos

sin(gama) / sin(delta) → 0

Tal só será possível se gama → 0 e se delta ≠ 0, ou seja, se o nadador-salvador correr a direito e nadar na diagonal. Tratar-se-ia de um trajecto 3, não abordado.

Feitas estas considerações, vamos então olhar para o problema com uma ÓPTICA diferente ;-)


De . a 13 de Agosto de 2010 às 16:01
Ah! Faltou verificar se o extremo da função corresponde a um mínimo ou a um máximo local. Tomando a equação da primeira derivada e fazendo as substituições já referidas dos catetos e das hipotenusas, temos

dt / dx = sin(gama) / v - sin(delta) / w


Analisemos agora o sinal da derivada à esquerda e à direita do valor óptimo.

Considerar para x valores inferiores ao valor óptimo corresponde a atribuir a gama e a delta valores inferiores e superiores, respectivamente, aos impostos pela nossa equação. Recordo que os ângulos pertencem ao primeiro quadrante. Tal implica que os senos sejam sempre crescentes e positivos. Assim sendo, temos que

sin(gama) / sin(delta) < v / w

sin(gama) / v < sin(delta) / w

dt / dx < 0

Ou seja, a primeira derivada, à esquerda, é negativa, pelo que a função t(x) é decrescente à esquerda.

Do mesmo modo, considerar para x valores superiores ao óptimo equivale a atribuir a gama e a delta valores superiores e inferiores, respectivamente, aos estipulados pela nossa equação. Daqui resulta, portanto, que

sin(gama) / sin(delta) > v / w

sin(gama) / v > sin(delta) / w

dt / dx > 0

Ou seja, a primeira derivada, à direita, é positiva, pelo que a função t(x) é crescente à direita. Concluímos assim que o extremo corresponde, efectivamente, a um mínimo local :-)


De . a 13 de Agosto de 2010 às 16:03
(É espantoso as coisas que se conseguem fazer sem ter de calcular a expressão de x :-p )


De . a 13 de Agosto de 2010 às 17:42
Até aqui tudo bem. Vamos então aplicar as conclusões extraídas do problema do nadador-salvador a outro aparentemente bem distinto: a refracção da luz por um meio transparente.

Se ignorarmos os aspectos quânticos da interacção da luz com a matéria e considerarmos apenas a abordagem clássica, verificamos que a luz se comporta como um nadador-salvador: tende a “escolher” os trajectos mais rápidos em detrimento dos restantes. Creio que seria mais correcto dizer “os trajectos de menor acção” do que “os trajectos mais rápidos”, sendo que “acção”, neste contexto, designa um conceito físico bem definido que poderás encontrar aqui (http://en.wikipedia.org/wiki/Action_%28physics%29). Para o efeito desta discussão, no entanto, a distinção não deve ser relevante.

Nas situações em que a velocidade de propagação da luz não se altera, os trajectos mais rápidos correspondem aos trajectos mais curtos (o trajecto 1 que tu identificaste, quando a velocidade no mar for igual à verificada na areia). É por esta razão que se costuma dizer que “a luz se propaga em linha recta”.

As coisas são, porém, diferentes e um pouco mais complicadas quando a luz transita de um meio transparente para outro e sofre, assim, os efeitos de uma refracção. Diferentes meios propagam a luz a diferentes velocidades, pelo que também a direcção da luz se irá alterar. A trajectória seguida pelos raios luminosos passará a ser a de uma linha quebrada, tal como sucede com o nadador-salvador quando corre/nada para salvar a donzela em perigo. Estabeleçamos a seguinte analogia:

nadador-salvador → raio luminoso
areia → um qualquer meio transparente; o ar, por exemplo
mar → um qualquer meio transparente, diferente do anterior; um bloco de vidro, por exemplo
ângulo gama → ângulo de incidência do raio de luz sobre a superfície do vidro
ângulo delta → ângulo de refracção da luz
eixo dos YY → a normal à superfície do vidro no ponto de incidência do raio de luz

Tendo esta analogia em consideração, retomemos a nossa equação:

sin(gama) / sin(delta) = v / w

Agora v e w designam a velocidade de propagação da luz no ar e no vidro, respectivamente. Vamos introduzir uma grandeza adicional: a velocidade da luz no vácuo. Chamemos-lhe c. E vamos multiplicar o numerador e o denominador do segundo membro da equação por esta grandeza:

sin(gama) / sin(delta) = (c * v) / (c * w) = (c / w) / (c / v)

Acontece que (c / w) e (c / v) exprimem aquilo a que os físicos designam por índices de refracção do vidro e do ar, respectivamente. Podes encontrar a definição de índice de refracção aqui (http://en.wikipedia.org/wiki/Refractive_index). E podes encontrar uma tabela dos índices de refracção mais comuns aqui (http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_refractive_indices). O do vácuo é 1, por definição; o do ar é muito ligeiramente superior a 1; o do vidro é superior a 1.4; etc.

Designemos os índices de refracção do vidro e do ar por n e por m, respectivamente. Temos então que a equação que deduzimos do problema do nadador-salvador se passa a exprimir desta maneira:

sin(gama) / sin(delta) = n / m

A equação assim obtida é bem conhecida dos físicos. Exprime a chamada lei de Snell-Descartes. E para que serve esta lei? Serve para descrever, precisamente, o comportamento da luz refractada. Podes encontrá-la aqui (http://en.wikipedia.org/wiki/Snell%27s_law) e compará-la com a nossa equação. São iguaizinhas :-)

(continua no comentário seguinte, por imposição do Sapo)


De . a 13 de Agosto de 2010 às 17:43
Nos meus tempos de estudante do ensino secundário não se ensinava a lei de Snell. Aflorava-se apenas uma versão qualitativa da mesma, traduzida em duas ladainhas que eram recitadas vezes sem conta:

“Quando a luz passa de um meio menos refrangente para um meio mais refrangente, aproxima-se da normal”.

“Quando a luz passa de um meio mais refrangente para um meio menos refrangente, afasta-se da normal”.

Afinal bastava ir à praia para chegar à mesma conclusão. Apetece fazer um trocadilho: que faz um nadador-salvador para se comportar como um raio luminoso refractado? Resposta: NADA! As equações são idênticas.

Falta abordar a questão da ligação deste problema ao “gravlev”. Se não te importares, fá-lo-ei mais tarde, noutro comentário. E apresento desde já as minhas desculpas por me estar a alongar desta maneira. Abraço.


De Mauro Maia a 19 de Agosto de 2010 às 18:48
Obrigado, «.», pelas sempre interessantes e pertinentes viagens ao mundo da Física. Terei de digerir um pouco mais a Matemática desta tua análise ao problema do «nadador refractado» ;). Algumas linhas parecem-me estranhas e eu não sei se o problema é a limitada linguagem matemática passível de ser usada aqui no Sapo ou se é apenas a necessidade de que eu nada em águas matemáticas mais profundas ao ler o teu comentário. Sem dúvida, merece o empenho de mais  leituras. Fiquei com uma questão (talvez a resposta esteja já contida no teu comentário, necessitando apenas do supracitado aprofundamento meu): o trajecto óptimo é refractado, dois segmentos de recta unidos e a ligar NS a D. Mas que ângulo devem ambos fazer entre si? Certamente dependente da posição de D, que é «conhecido (a; b).
Tenho estado a reler um livro bastante interessante intitulado «o Código Secreto». à partida o título não me convida à sua leitura (ou aquisição) mas se o fiz foi porque um breve relance a algumas páginas do livro me revelou que «há mais entre a capa e a contracapa do que sonha a minha vã Filosofia, Horácio» ;) O livro é uma colectânea de artigos de autores portugueses sobre uma grande variedade de assuntos relacionados com a Física e a Matemática. Recordo o primeiro artigo: aborda a Mecânica Quântica (ou melhor, como referido no artigo, a Física Quântica) de uma forma apropriada a um leigo sem abdicar das importantíssimas equações e descrições matemáticas (se não as tivesse dificilmente teria comprado o livro). Nesse artigo, a Física Quâtica é trazia para a nossa «Realidade macroscópica». O artigo encerra com esta pequena experiência, acessível a qualquer um, e que permite explorar a noção de spin de partículas quânticas. Como diz o autor, que eu subscrevo amplamente, é uma experiência que devia ser realizada em todas as salas de aulas: coloque-se dois vidros polarizados afastados e de forma a que o segundo vidro tenha uma rotação de 90º em relação ao primeiro, bloqueando a passagem da luz através dos dois vidros. Se colocarmos um 3 vidro polarizado entre os dois, com uma rotação em relação ao primeiro, vemos que agora a luz já passa entre os dois vidros polarizados, que não foram alterados de qualquer forma com a introdução do 3.º vidro. Os spins dos fotões explicam o porquê...
Terei bastante interesse em ler também a ligação entre o «gravlev» e o «humilde» NS e a sua D...


De . a 19 de Agosto de 2010 às 22:42
Talvez o problema decorra, de facto, das restrições que o Sapo impõe à formulação de equações matemáticas. Ou talvez estejas a visualizar os comentários usando uma codificação de caracteres diferente da que eu estou a usar (Unicode UTF-8, segundo o meu navegador). Em todo o caso, vou tentar explicar melhor:

"∞" significa "infinito", obviamente :-)

"√" significa "raiz quadrada de". Tive o cuidado de exprimir o radicando dentro de parênteses para delimitar bem o seu âmbito.

Todas as ocorrências do algarismo "2" designam "ao quadrado". Deveria ter escrito "^2" em vez de "2"

"→" significa "tende para", excepto na parte em que eu procuro estabelecer a analogia entre o problema do nadador-salvador e o da refracção da luz por um meio transparente. Nessa parte designa simplesmente "é análogo a".

Espero que ajude :-)

Quanto à tua questão: que ângulo devem os segmentos de recta fazer entre si? Se fizeres uma figura representativa do trajecto óptimo, composto por dois segmentos de recta em diagonal, poderás verificar que o ângulo entre os mesmos será de (180° + delta - gama), em que gama e delta representam, recordo, o ângulo de incidência e o ângulo refractado, ou seja, os ângulos que as referidas diagonais formam com a normal (o eixo dos YY).

Prosseguindo com a tua questão: o ângulo depende da posição (a, b) da donzela? Esta pergunta é extraordinariamente pertinente e tem gerado uma grande confusão na minha mente ao longo dos últimos tempos. Passo a explicar:

Como referi num comentário anterior, eu já conhecia a lei da refracção da luz, primeiro na sua versão simplificada, meramente qualitativa, que me foi ensinada no secundário; e, mais tarde, de forma quantitativa, na lei de Snell.
Também já tinha conhecimento do problema do nadador-salvador. Um professor meu resolveu-o no quadro, já lá vão muitos anos.
Mas nunca me tinha ocorrido que os problemas pudessem estar relacionados.
Há uns tempos tive a necessidade de estudar um documento que está disponível na Internet. Este:

http://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-837-computer-graphics-fall-2003/lecture-notes/06_raytrace.pdf

Nele (páginas 32 a 42; as restantes páginas são irrelevantes) é estabelecida (mas não demonstrada) a ligação entre o problema da refracção da luz e o do nadador-salvador. Chamo especialmente a atenção para a página 42, onde este problema se encontra ilustrado. Verás que é idêntico ao que aqui descrevi. A única diferença reside no facto de a donzela "deles" ter barba :-p Talvez seja politicamente mais correcta do que a "nossa", mas a nossa, na sua abstracção física e matemática, é incomparavelmente mais bonita! Piadas à parte, penso que a "donzela" deles se trata, na realidade, de Frédo Durand, professor no MIT e um dos autores do documento :-)

(continua no próximo comentário por imposição do Sapo)


De . a 19 de Agosto de 2010 às 22:43
Não obstante os problemas estarem relacionados, eu estava convencido de que não seriam rigorosamente equivalentes. Porquê? Precisamente pelas razões que decorrem da tua questão. Vejamos:

No caso do problema do nadador-salvador pretende-se minimizar o tempo do percurso. Este terá, por conseguinte, de ser finito, o que implica que, quer o nadador-salvador, quer a donzela, ocupem posições bem definidas.
No caso da refracção da luz, pelo contrário, tal não se verifica. Não importa a posição da fonte de luz; assume-se que a luz provém do infinito, através do ar. Só a direcção da mesma (o ângulo de incidência) é importante. Analogamente, uma vez verificada a refracção, também não importa o destino da luz; assume-se que é o infinito, desta vez através do vidro. Só a direcção da mesma (o ângulo de refracção) é importante. E se a luz provém do infinito e se dirige para o infinito, o tempo de percurso será, também ele, infinito; E, por conseguinte, na minha modesta compreensão, não minimizável.

No entanto, as equações não mentem: contrariamente ao que eu pensava, os dois problemas são rigorosamente equivalentes, no sentido em que o trajecto óptimo do nadador salvador é, tal como sucede com a luz refractada, o descrito pela lei de Snell/Descartes. Como resolver então este aparente imbróglio?
Penso que a resposta será a seguinte: é verdade que as posições do nadador-salvador e da donzela determinam o ângulo que os segmentos de recta formam entre si, mas o contrário já não se verifica: para um dado ângulo, há uma infinidade de posições possíveis quer para o nadador-salvador, quer para a donzela. Ou seja, o que realmente importa não são os valores das abcissas e das ordenadas das posições dos nossos personagens, mas as razões entre elas (ou seja, as tangentes dos ângulos). Repara: se substituíres cada um dos segmentos de recta por uma semi-recta com idêntico declive, poderás "deslocar" livremente as posições do nadador-salvador e da donzela ao longo das correspondentes semi-rectas, aproximando-os ou afastando-os da margem, sem que a solução obtida perca a sua validade. O trajecto previamente determinado continua a ser o óptimo e o ângulo que lhe está associado permanece inalterado. No limite, podes afastar infinitamente quer o nadador-salvador (na areia), quer a donzela (na água), obtendo, desta forma, uma situação exactamente idêntica à da luz que provém do infinito (através do ar), se refracta, e se dirige para o infinito (através do vidro) :-)


De kamaruana a 23 de Maio de 2005 às 12:36
Provavelmente este o "blog" mais interessante que visito.Tank´s por tudo e também por estas informações despretensiosas e úteis para confirmar certezas, ou acentuar dúvidas.


De Rata Zinger a 23 de Maio de 2005 às 13:29
É bom que esclareças determinadas coisas. Muito bom artigo.


De Buba a 6 de Julho de 2009 às 21:32
De fato você está certo. Quando não se conhece o contexto, costuma-se cometer erros. Como no seu caso ao citar Júlio César, cuja expressão "alea jacta est" é traduzida como "a sorte está lançada", apesar de não dizer exatamente isso.


De . a 8 de Julho de 2009 às 10:34
Olá Mauro. Enquanto não descubro o procedimento correcto para calcular um simples momento de inércia (é caso para dizer que a minha cabeça não pára de andar às voltas), proponho-te este desafio interessantíssimo, relacionado com o cálculo de probabilidades, que encontrei num velho livro da Gradiva. Trata-se de um jogo de dados a ser jogado por duas pessoas. Há quatro dados disponíveis, mas não são dados vulgares. Em vez dos habituais números de 1 a 6, as suas faces exibem as seguintes configurações: Dado A: 0, 0, 4, 4, 4 e 4. Dado B: 3, 3, 3, 3, 3 e 3. Dado C: 2, 2, 2, 2, 6 e 6. Dado D: 1, 1, 1, 5, 5 e 5. Considere-se que os dados são equilibrados, no sentido em que, quando lançados, a probabilidade de uma qualquer face ficar virada para cima é de 1/6. O primeiro jogador escolhe um dado deste conjunto. O segundo jogador escolhe um dos três dados restantes. Lançam-se ambos os dados e vence aquele a quem sair o maior número. Existe alguma estratégia ganhadora para este jogo? Em caso afirmativo, qual? Numa primeira abordagem ao problema, parece que o primeiro jogador dispõe de uma vantagem decisiva, na medida em que pode escolher o "melhor" de todos os dados. Ou não será assim? A resposta é surpreendente :-)


De Mauro a 8 de Julho de 2009 às 14:33
Obrigado, «Buba», por me chamares a atenção a essa tradução incorrecta. De facto, «Alea» é o nome em Latim para «dados», «jacta» é o verbo lançar e «est» do verbo «esse» (ser em Latim). »Os dados estão lançados» é a correcta tradução literal, que comporta o mesmo significado que a usual tradução «A sorte está lançada». Mudarei esta incorrecta tradução para a mais correcta. Agradeço-te teres-me chamado a atenção para isso. Também eu, «.», tenho andado (e ando) com a cabeça cheia de outras coisas, como se pode constatar pelo Cognosco. Realmente é uma pergunta interessante e o resultado, como em todos os problemas interessantes, é simultaneamente surpreendente e não. Não vi ainda com cuidado a justificação teórica, mas a probabilidade total de ganhar escolhendo A é p(A)=0,12037 (13/108); p(B)=p(C)=p(D)=0,115741 (25/216). A diferença é muito pequena (0,00462(962) ou perto de 0,463%). Não chega a meio de 1 porcento (se os meus cálculos estiverem bem). Perdi mais tempo a divertir-me um pouco a fazer uma folha de cálculo que apresentasse estes resultados como fracções irredutíveis (especialmente as somas das fracções já irredutíveis) tendo em conta os casos favoráveis e possíveis (fiz uma tabela de dupla entrada). Interessante a questão. A minha conclusão? É um jogo quase justo bom para jogar com os amigos mas será difíxil ficarmos ricos assim ;). E se puséssemos a hipótese de sermos nós os segundos a escolher, não tendo o nosso amigo noção desta escolha mais favorável? Gostava de pensar nisso mas tenho de me ir arranjar para um jantar.


De . a 8 de Julho de 2009 às 20:40
Não te esqueças de que, em cada jogada, há dois dados em confronto. Temos, portanto, de contar os casos favoráveis e os casos possíveis para cada par de dados em confronto. O número de casos possíveis é sempre de 6 x 6 = 36, pois cada dado tem 6 faces e são lançados 2 dados. Comecemos por confrontar, por exemplo, os dados A e B: dos 36 casos possíveis, 24 são favoráveis a A (quando sai uma face com "4" e uma face com "3"); 12 casos são favoráveis a B (quando sai uma face com "0" e uma face com "3"). Ou seja, podemos afirmar que o dado A vence o dado B com uma probabilidade de 24/36 = 2/3. Proponho agora que confrontes os dados B e C; em seguida, os dados C e D. E tira as tuas conclusões. Mas não deixes que isso te estrague a digestão do jantar. Bom apetite :-)


De Mauro a 16 de Julho de 2009 às 11:51
Desculpa o atraso da resposta mas estas últimas semanas têm sido cheias de trabalho. E as próximas também prometem... Vejamos então a situação: dois dados são lançados, cada um com 6 possibilidades, num total de 36 casos em cada lançamento. Mas a probabilidade aqui, penso, não se esgota só no lançamento de um par de dados. É necessário ter em conta também a escolha dos dados. Analisando esta probabilidade em termos de pares de dados, em que a ordem é relevante, já que ser o jogador 1 a ter o dado A é diferente de ser o jogador 2 a ter o dado A, teremos os casos AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB e DC. Em cada um deles há um número diferente de possibilidades. Assim, no par AB, temos os casos 03 (12x) e 43 (24x); no par AC, temos 02 (8x), 06 (4x), 42 (16x) e 46 (8x); AD, 01 (6x), 05 (6x), 41 (12x) e 4 5 (12x). Seria fastidioso enumerar todos os casos para todos os pares possíveis. Mas cada par tem 36 possibilidades e há 12 pares. 36x12=432. Quando os dados são lançados, o jogador 1 ganha se o seu par for vencedor. Se tiver escolhido o dado A, tem 52 casos em que vence (24AB, 16AC, 12AD). Se tiver escolhido o dado B, tem 54 (12BA, 24BC, 18BD). Se tiver escolhido o C, tem 56 (20CA, 12CB, 24CD). Se tiver escolhido o D, tem 54 (24DA, 18DB, 12DC). Então a probabilidade de ganhar se tiver escolhido A é p(A)=52/216=13/54; p(B)=54/216=1/4; p(C)=56/216=7/27; p(D)=54/216=1/4. De todas estas possibilidades, escolher o C é o que terá uma maior, ainda que ligeira, vantagem para ganhar. Há um total de 216 casos em que vence e um total de 216 casos em que perde. A probabilidade de ganhar se escolher ao acaso o dado é 50% e de perder se escolher ao acaso é 50%. Mas se escolher o dado C tem uma ligeira vantagem... Ou então tenho já a cabeça feita em água e só fazendo uma simulação estatística é que me ajudará a perceber se o meu raciocínio bate certo ou não.


De . a 16 de Julho de 2009 às 13:40
Não tens de pedir desculpa. Os teus cálculos aplicar-se-iam a uma situação em que a atribuição dos dados aos jogadores se efectuasse de uma maneira aleatória. Mas não é isso que sucede neste jogo. O jogador 1 tem total liberdade de escolha do dado com que pretende jogar; o jogador 2 também tem alguma liberdade, embora menos, pois não pode escolher o dado que já foi escolhido pelo adversário.

Tenho de sair por umas horas, mas assim que regressar completo o raciocínio. Até logo :-)


Comentar artigo

Cognosco ergo sum

Conheço logo sou

Estatísticas

Nº de dias:
Artigos: 336
Comentários: 2358
Comentários/artigo: 7,02

Visitas:
(desde 26 de Abril de 2005)
no Cognosco
 
Cogitações recentes
Obrigado, João, pela contribuição. Não está no art...
Estive lendo sua cogitação à respeito do cálculo d...
Obrigado, Aleff, pelo apreço pelo artigo. Exatamen...
achei muito interessante essa sua forma de ver a l...
Obrigado, Desejo um bom 2014 também.
Artigos mais cogitados
282 comentários
74 comentários
66 comentários
62 comentários
44 comentários
Artigos

Agosto 2017

Julho 2017

Junho 2017

Maio 2017

Abril 2017

Março 2017

Fevereiro 2017

Janeiro 2017

Dezembro 2016

Novembro 2016

Outubro 2016

Julho 2016

Março 2015

Dezembro 2014

Outubro 2013

Maio 2013

Fevereiro 2013

Outubro 2012

Setembro 2012

Agosto 2012

Junho 2012

Janeiro 2012

Setembro 2011

Abril 2011

Fevereiro 2011

Dezembro 2010

Maio 2010

Janeiro 2010

Abril 2009

Fevereiro 2009

Janeiro 2009

Novembro 2008

Outubro 2008

Agosto 2008

Julho 2008

Junho 2008

Abril 2008

Fevereiro 2008

Janeiro 2008

Novembro 2007

Outubro 2007

Agosto 2007

Julho 2007

Junho 2007

Maio 2007

Abril 2007

Março 2007

Fevereiro 2007

Janeiro 2007

Dezembro 2006

Novembro 2006

Outubro 2006

Setembro 2006

Agosto 2006

Julho 2006

Junho 2006

Maio 2006

Abril 2006

Março 2006

Fevereiro 2006

Janeiro 2006

Dezembro 2005

Novembro 2005

Outubro 2005

Setembro 2005

Julho 2005

Junho 2005

Maio 2005

Abril 2005

Março 2005

Fevereiro 2005