Últimas atualizações
Novo endereço do Cognosco: http://www.cognoscomm.com
Diário das pequenas descobertas da vida.
Sexta-feira, 20 de Fevereiro de 2009
Mentes aplanadas

Olhando o longínquo horizonte, vejo que um barco se aproxima: primeiro surgem as velas, orgulhosas na sua alvura, depois timidamente se revela o casco, como uma tímida donzela na sua noite de núpcias: só após descobrir o alvo véu se entrega à rubra paixão.

 

Este é um fenómeno que qualquer um, tendo a isso prestado atenção, se terá já apercebido. Primeiro avista-se o topo de objectos distantes (as velas de um barco, o cume de distantes montanhas) e só depois a sua base. Isto ocorre pelo facto de a Terra ser uma esfera (na verdade uma elipsóide, uma elipse que, ao girar ao longo de um dos seus eixos, produz uma figura tridimensional como a de uma bola de Râguebi. Particularmente, trata-se de um esferóide, um elipsóide com dois eixos de igual comprimento, como notou «Fernando Vouga» no comentário que aqui deixou).

 

A Terra, que se não rodasse seria uma esfera, gira sobre o seu eixo, desta forma distorcendo a sua forma (devido à força centrífuga, achata-se nos pólos). Devido também a essa rotação, existe a alternância entre dias e noites. Como o eixo de rotação da Terra não é perpendicular à sua órbita em volta do Sol, a rotação faz com que a inclinação em relação aos raios solares dos diferentes hemisférios varie ao longo do ano, o hemisfério Norte e o hemisfério Sul alternando as estações (quando a Norte é Inverno no Sul é Verão). É um fenómeno facilmente observado e que não passa despercebido a quem olhe para o horizonte.

 

Mas é comum a ideia de que, na Idade Média, se acreditava que a Terra era plana. Será que as pessoas não olhavam à sua volta? Não olhavam para o horizonte? E o que dizer sobre o papel da Religião Católica nisto tudo? Gravura de 1888, contida em «L'atmosphère : météorologie populaires», do Cosmógrafo francês Nicolas Camille Flammarion, a brincar com a noção de que a Terra e o Céu se tocavamBem, a verdade é que já no século IV AC (a Idade Média começou no século V DC, com a queda do Império Romano do Ocidente, à mãos de tribos germânicas fugidas às investidas hunas), filósofos naturalistas gregos (como Eudóxo de Cnides e Calipo de Cyzicus, na actual Turquia, propuseram o universo como formado por esferas, centradas na Terra; Heraclides propôs que a Terra girava sobre o seu eixo; Eratóstenes mediu a curvatura da Terra com grande precisão) tinham já afirmado que a Terra era esférica. Nesses perto de 900 anos que separam a Antiguidade Grega da Idade Média, esqueceu-se tão evidente observação? É também amplamente divulgada a história de que Colombo, contrariando a noção de que a Terra era plana, propôs a sua esfericidade e assim encontrar um caminho por Ocidente para a Ásia, diferente do caminho por Oriente depois encontrado pelos Portugueses, o que não corresponde à verdade histórica. Ver mais sobre Eratóstenes e algumas das suas descobertas em Campester numerus

 

Mas a verdade é que a visão de que a Terra era «redonda» (esférica ou elipsóide) era compreendida e aceite pela generalidade das pessoas ao longo da Idade Média. Seria até estranho que não o fosse: não só pela sua evidência ao olhar o horizonte como pelo facto de, na Idade Média, o conhecimento da Antiguidade Grega ser tida como autoridade máxima em muitas questões. Em 1945, a Associação Histórica, baseada na Inglaterra, com o propósito de apoiar o estudo e a fruição da História a todos os níveis, criando um atmosfera que promove o estudo continuado e dá resposta às necessidades emergentes das pessoas que partilham um interesse pela História) listou o mito «Colombo e a Noção da Terra Plana» como uma das concepções erradas sobre História mais populares (listada como a segunda maior entre vinte). o Rei D João II, o príncipe perfeitoA questão perante a qual Colombo se defrontou para ganhar o apoio dos Monarcas espanhóis (depois de ver recusada a sua proposta de chegar à Índia pelo Ocidente pelo grande Monarca português, D. João II, o príncipe perfeito) não foi sobre a possibilidade de chegar à Índia pelo Ocidente (obviamente possível já que a Terra era redonda) mas sim quanto às distâncias envolvidas e se elas permitiriam a uma tripulação humana lá chegar. Teve a sorte de encontrar, a meio caminho, um Continente pela maioria dos Europeus desconhecido, que viria a receber o nome de América (ver o artigo Magnus Tellus para a origem do nome dos Continentes). Até ao fim da sua vida, Colombo pensou que tinha chegado à Índia e daí os povos que lá viviam terem recebido o nome de «Índios» (modernamente opta-se pela designação «Ameríndios», para evitar confusões). Sobre Colombo há ainda que referir que ele designou, a ilha depois chamada de «Cuba», de «Isla Juana» em homenagem ao filho varão dos Reis espanhóis, Juan, príncipe das Astúrias, que morreu com 19 anos (em 1497), a caminho do casamento da sua irmã mais velha, D. Isabel, que se casou com o sucessor de D. João II, D. Manuel I, o venturoso) pelo que a ideia de que Colombo era português, nascido em Cuba, Alentejo, e por isso ter assim chamado à ilha que descobriu, cai por Terra (pode até ter nascido português mas o nome de Cuba não remete para a localidade portuguesa). O nome «Cuba» terá vindo ou de «Cubao» (onde há terra fértil abundante) ou «Coabana» (grande local), da língua dos povos que moravam na ilha quando a expedição espanhol lá chegou. A história de um Colombo a enfrentar a ideia generalizada de que a Terra seria plana terá surgido apenas no século 19, pelas mãos do ensaísta e autor norte-americano Washington Irving, numa ficção histórica de nome «A vida e viagens de Cristóvão Colombo» (The Life and Voyages of Christopher Columbus).

 

No entanto, apesar da noção de que a Terra era esférica (ou elipsóide) datar dos antigos Gregos, durante séculos não existiu a Matemática que permitisse estudar convenientemente a geometria desta Terra curva. Apesar de se saber que a Terra era curva, apenas a Geometria plana era conhecida. No século 3 AC, o matemático grego Euclides de Alexandria escreveu a sua obra «Elementos» (dividida em 13 livros) e a Matemática ainda hoje se desenvolve com o espírito que Euclides usou na sua obra. Esquecida durante vários séculos, a sua obra foi dos primeiros livros a serem publicados, em 1482) usando a prensa recém-inventada (cujo primeiro livro que imprimiu, a Bíblia, em 1452) prensa de Gutemberg. Conjectura-se que, depois da Bíblia, é o livro mais vezes foi impresso, tamanho foi o seu sucesso e importância. (Mais sobre Gutemberg e a origem da translinearização pode ser lido em 42 regras). Nesta importante obra, que dominou o pensamento matemático até hoje, Euclides parte de 5 axiomas (um axioma é uma proposição que não carece de demonstração por ser intuitivamente evidente, como o célebre axioma de Descartes «Penso logo existo» que é obviamente verdadeiro) básicos e incontestáveis e, com base neles, construía uma série de demonstrações. Um pouco como se, usando 5 expressões de uma Língua estrangeira, se fosse a um país onde ela era falada e, a partir das 5 expressões que se tinha, se fosse reconstruindo e aprendendo toda a Língua. Podia ser, por exemplo, «Bom dia», «Que horas são?», «Quanto é?», «Sim» e «Não». Mas como poderia entender as respostas não entendendo a Língua? Talvez fosse melhor «Não compreendo porque não falo a vossa Língua», «Pode-me mostrar o caminho para...», «Indique-me onde posso comer e dormir», «Explique com sinais de mãos o que quer dizer» e «O que acabei de dizer está correcto?». Talvez se governasse melhor com estas expressões, para poder ir aprendendo a Língua interagindo com os seus falantes. Talvez a expressão «Como se chama isto para o qual estou a apontar?» pudesse dar jeito e substituir uma das outras. Podia haver ainda outras expressões que ajudariam o pobre visitante a aprender a Língua do País que visitava. Provavelmente cada um teria a sua opinião sobre quais seriam as 5 expressões mais úteis para ajudar alguém, sem assistência, a aprender uma Língua estrangeira. Foi de uma base semelhante que Euclides partiu para demonstrar uma série de propriedades sobre várias figuras, fundando assim a Geometria como hoje a conhecemos, de uma forma tão sólida e incontestável que perdurou até aos dias de hoje como a única forma de se fazer Matemática (as relativamente recentes tentativas de utilizar demonstrações com base em cálculos gigantes efectuados por computadores não têm sido aceites pela comunidade matemática, como foi o caso do Mapa de 4 cores).

 

Partindo dos axiomas, demonstrava outras afirmações, usando-as também para demonstrações posteriores, uma construção de um imenso edifício com base em apenas 5 alicerces. Por exemplo, suponhamos que tínhamos estes axiomas, referentes a uma sala com 5 crianças e 10 brinquedos:

 1) Cada criança tem, pelo menos, um brinquedo;

 2) Cada criança demora o mesmo tempo a arrumar um brinquedo;

 3) As crianças só podem lanchar depois de arrumarem os brinquedos;

4) O Leonardo tem 4 brinquedos;

5) O último a chegar come pão com manteiga e não bolachas;

Daqui poderíamos então fazer a seguinte afirmação (teorema):

O Leonardo não comerá bolachas.

Demonstração: Há 5 crianças e, pelo axioma 4, o Leonardo tem 4 brinquedos. Assim, as outras crianças têm necessariamente menos de 4 brinquedos. Se outra tivesse também 4 brinquedos, então ela e o Leonardo teriam 8 brinquedos, no total. Mas assim só sobrariam 2 brinquedos para as outras 3 crianças. Mas, pelo axioma 1, cada criança tem, pelo menos um brinquedo. Assim, as outras crianças têm todas menos de 4 brinquedos e o Leonardo é o que tem mais brinquedos. Como, pelo axioma 2, cada criança demora o mesmo tempo a arrumar cada brinquedo, o Leonardo, sendo a que tem mais brinquedos, é a que demorará mais tempo a arrumá-los. Assim, como pelo axioma 3, só poderá ir lanchar depois de arrumar todos os brinquedos, sendo o último. Pelo axioma 5, isso significa que comerá pão com manteiga e não bolachas, c.q.d. (como queríamos demonstrar). Eu pessoalmente prefiro a expressão latina q.e.d. (quod erat demonstratum) que significa o mesmo.

 

A diferença entre este simples exemplo de deduções lógicas (como Sherlock Holmes faria, tendo o seu autor, Arthur Conan Doyle sido, como a generalidade dos seus contemporâneos letrados, fortemente influenciado pelas demonstrações de Euclides) e os Elementos de Euclides é grande: o exemplo refere apenas uma sala com condições especiais, enquanto Euclides se refere há totalidade das figuras geométricas. Os 5 axiomas que Euclides usa para fundar toda a Geometria (plana) são: 1) Dois pontos podem ser unidos por uma recta; 2) Um segmento de recta pode ser estendido tanto quanto se deseje; 3) Em qualquer segmento de recta, uma circunferência pode ser traçada, tendo o segmento de recta como raio e o seu centro como um dos extremos do segmento; 4) Todos os ângulos rectos são iguais; 5) Se duas rectas intersectam uma terceira e um dos ângulos for menor do que a soma de dois ângulos rectos, as duas rectas intersectam-se se estendidas suficientemente. É importante realçar que os Gregos não tinham a noção de infinito nem de indefinidamente, pelo que referiam um segmento a ser estendido tanto quanto se deseje, em vez de referirem uma recta de comprimento infinito.. De todas as suas 5 proposições, era da quinta (realçada a negrito) que Euclides e os seus contemporâneos tinham mais reticências quanto à sua evidência lógica. Este proposição, conhecida também como o Postulado das Paralelas, é equivalente a dizer que duas rectas paralelas nunca se cruzam. E, ao longo da História, muitos foram os que procuraram tornar o 5.º axioma desnecessário e provado usando os outros 4. Mas todas as tentativas foram em vão. Isso porque o 5.º axioma prende-se com uma característica própria do espaço em que se está a concretizar a Geometria. Num espaço plano (como uma folha de papel), é verdade que rectas paralelas mantêm sempre a mesma distância entre si e nunca se cruzam. O que esses Matemáticos só tiveram noção, a partir sensivelmente do século 19, era que havia outras Geometrias, em espaços que não eram planos (Geometrias não-Euclidianas). Se o espaço for côncavo (curvo para fora de si, curvatura positiva) rectas paralelas têm a distância entre si sempre a diminuir e cruzam-se em infinitos pontos enquanto que, se o espaço for convexo (curva para dentro de si, curvatura negativa), rectas paralelas têm a distância entre si sempre a aumentar e nunca se cruzam. Um exemplo bom de uma curvatura positiva é o da superfície da Terra. Nela, rectas paralelas (os meridianos) cruzam-se nos pólos (infinitas vezes, já que têm comprimento infinito) e a soma dos ângulos internos de um triângulo é maior do que 180º. E desde Einstein e a sua Relatividade Geral (que aborda a problemática da gravidade) que sabemos que a matéria encurva o espaço-plano e que não vivemos num Mundo plano, nem mesmo num Universo plano. Apenas localmente há aproximadamente áreas aparentemente planas... A mente humana é como o nosso Mundo: só localmente é que pode dar a aparência de ser plana. Mas a nossa mente é elíptica e as rectas que traça para a vida cruzam-se infinitas vezes no espaço da sua vida... E infinitamente com os meridianos dos outros...



Publicado por Mauro Maia às 19:30
Atalho para o Artigo | Cogitar | Adicionar aos favoritos

11 comentários:
De Parafuso a 22 de Fevereiro de 2009 às 09:40
O "pai da Ínclita Geração" foi D. João I e não D. João II


De Mauro a 22 de Fevereiro de 2009 às 12:12
Tens toda a razão, «Parafuso», o pai da Ínclita Geração foi D. João I (o décimo Monarca português) e não D. João II (o décimo terceiro), seu bisneto. Obrigado pela chamada de atenção e a correcção foi já efectuada.


De Maresia a 14 de Março de 2009 às 19:13
Não li (ainda te lembras que não leio sempre?), ando só a ver quem ainda é vivo.


De Mauro a 15 de Março de 2009 às 11:01
Olá, «Maresia», que bom te ver. Já passou algum tempo, é verdade. Eu, como vês, continuo a esbracejar como um recém-nascido curioso quanto ao Mundo que vê. Vejo que também a tua maré continua a dar à costa, o que me deixa feliz. Um beijo e é com saudades que te espero.


De Maria Papoila a 16 de Março de 2009 às 15:49
Olá Mauro:
Sempre a aprender por aqui... e agradecera visita! Beijos


De Maresia a 17 de Março de 2009 às 21:50
Quando olhas assim o horizonte vês Matemática a correr de um lado para o outro?


De Marius70 a 21 de Março de 2009 às 02:23
Gn. 1:6-7-9 – Deus disse: «Haja um firmamento entre as águas para as manter separadas umas das outras». Deus fez o firmamento e separou as águas que estavam sob o firmamento. O firmamento - «raquia» em hebreu – é concebido como uma imensa placa azul, metida entre as águas. A razão é esta: o caos primordial é imaginado como uma mistura da terra com as águas eternas. Então Deus, depois de acender a luz (v. 3-5), começa o seu trabalho. O primeiro que faz é meter o firmamento entre as águas. Como a chuva cai do alto, os primitivos pensavam que, por cima do firmamento, considerado como uma placa, existia um mar de água doce. Sobre esse mar estava o palácio de Deus. Gn. 1.9 - Deus disse: «Reunam-se as águas que estão debaixo dos céus num único lugar, a fim de aparecer a terra seca». Então desconhecia-se que a terra era redonda e que o mar tinha limites. Pensava-se que a terra era um disco plano e circular a boiar sobre as águas do abismo. O mundo visto pelos Babilónicos. http://marius70.no.sapo.pt/MundoBabilonico.jpg (http://marius70.no.sapo.pt/MundoBabilonico.jpg) ... Sendo que tu Galileu, filho de Vincenzo Galilei, florentino, da idade de 70 anos, foste denunciado em 1615, neste Santo Ofício, por teres como verdadeira a falsa doutrina, ensinada por alguns, de que o Sol é o centro do mundo e está imóvel, e que a terra se move... que, às objecções que então te foram feitas, tiradas das Sagradas Escrituras, respondeste glosando as ditas Escrituras à tua maneira... Em 22 de junho de 1633, ano do Senhor – e numa quarta- feira – o Sacro Tribunal da Inquisição havia portanto decidido. A Terra – que ficasse bem claro – está imóvel; ela é o centro do universo, e a Igreja de Roma – que também isto ficasse bem claro - é o centro da Terra. E o Vaticano é o centro da Igreja. Roma locuta est, causa finita est. Roma falou, a causa está terminada. Se a Terra estava parada e era o centro do Universo também para o santo ofício a mesma era plana. Todos aqueles que dissessem o contrário lá o esperavam uma fogueira para queimar tamanha afronta às Escrituras divinas. Sempre aprendendo um pouco mais contigo Mauro. Um abraço!


De Marius70 a 21 de Março de 2009 às 02:31
Mauro, como abandonei a "velha" plataforma há muito tempo não me lembrei que o texto iria aparecer conforme está sem quebras de linha. Assim quem quiser ver o jpg que coloquei é melhor ler até ao fim o comentário e depois clicar no endereço do Mundo Babilónico. É que se clicarem no endereço lá se vai o resto do texto e terão que voltar de novo à página dos comentários. Mauro, admiro a tua persistência em continuares nesta plataforma. Os teus escritos merecem melhor que isto. Abraço!


De Mauro a 22 de Março de 2009 às 10:53
É sempre, «Papoila», um prazer receber uma visita orvalhada tua neste meu pequeno jardim à beira de mim plantado. Bem, «Maresia», quando olho para o horizonte poderei ver várias coisas a correr de um lado para o outro, dependendo de como está o meu estado de espírito. Posso ver uma noiva donzela na sua noite de núpcias, ver as careavelas portuguesas a partirem rumo ao mundo que desconhecem, posso ver apenas o sol que nasce e o calor dos seus raios. Procuro geralmente ter uma perspectiva mais alargada do que me rodeia, não apenas circunscrita a uma forma de pensamento (por muito importante e abrangente que seja o da Matemática). Aliás, o Cognosco tem sido bem a manifestação disso mesmo, penso. Bem, «Marius», agradeço-te essas citações religiosas. Há, como houve, aparentemente, várias formas de pensar sobre o Mundo que nos rodeia e a Religião (Católica, mas não só) não tem sido a mais fiel e coerente delas. Que assim o tivessem escrito os antigos Babilónios (num raciocínio decalcado para a Bíblia), no século 18 o tenham referido (não eram uma civilização de marinheiros e cresceram num mundo relativa e aparentemente plano como são as terras entre o Tigre e o Eufrates, pelo que as suas experiências com o horizonte não teriam grande peso na sua cultura) é compreensível. Que pessoas que passam a vida a olhar recorrentemente para o mesmo livro, heterogéneo de ideias, fontes e cronologias, tenham nisso insistido contra as evidências dos sentidos, também é. Que os marinheiros portugueses que partiram para o mundo desconhecido sabiam da sua esfericidade (mais elipcidade) é claro pelo grau de acuidade com que registavam as suas descobertas e a elas voltavam (se pensassem que o Mundo era plano, dificilmente lá conseguiriam votlar, só por sorte). O Tratado de Tordesilhas, forçado pelo papa espanhol Alexandre VI, foi originalmente escrito descrevendo uma linha imaginária a 100 léguas dos Açores e de Cabo Verde, o que não tem qualquer lógica num mundo curvo como o nosso. Para as cabeças pouco arejadas de algumas autoridades religiosas, podia ser natirual insistir num raciocínio ilógico como o do mundo plano mas sem dúvida que as mentes práticas de quem tinha de viver no mundo real viam o mundo curvo como ele é. Acho que o Cognosco merece mais do que uma plataforma mais actual, merece uma plataforma diferente daquela em que está, já que o Sapo persistentemente desleixa quem é seu cliente há anos, na sua insistente busca de novos clientes. Na verdade, farto deles estou eu e procuro outras alternativas. Obrigado pelas visitas dos três:foram um bem-vindo raio de sol.


De Fernando Vouga a 25 de Março de 2009 às 18:42
Caro amigo

Mais uma vez, somos presenteados com uma bela viagem às profundezas da ciência. É bom lembrar muitas coisas que aprendemos há décadas mas que, com o tempo e falta de uso, acabamos por deixar cair no esquecimento.
Porém, atrevo-me a fazer um reparo. Na minha cadeira de topografia aprendi que a Terra é um "esferóide" (corpo tridimensional) e não um elipsóide (que faz parte da geometria plana).
Estou certo ou estou errado?

Um abraço


Comentar artigo

Cognosco ergo sum

Conheço logo sou

Estatísticas

Nº de dias:
Artigos: 336
Comentários: 2358
Comentários/artigo: 7,02

Visitas:
(desde 26 de Abril de 2005)
no Cognosco
 
Cogitações recentes
Obrigado, João, pela contribuição. Não está no art...
Estive lendo sua cogitação à respeito do cálculo d...
Obrigado, Aleff, pelo apreço pelo artigo. Exatamen...
achei muito interessante essa sua forma de ver a l...
Obrigado, Desejo um bom 2014 também.
Artigos mais cogitados
282 comentários
74 comentários
66 comentários
62 comentários
44 comentários
Artigos

Junho 2017

Maio 2017

Abril 2017

Março 2017

Fevereiro 2017

Janeiro 2017

Dezembro 2016

Novembro 2016

Outubro 2016

Julho 2016

Março 2015

Dezembro 2014

Outubro 2013

Maio 2013

Fevereiro 2013

Outubro 2012

Setembro 2012

Agosto 2012

Junho 2012

Janeiro 2012

Setembro 2011

Abril 2011

Fevereiro 2011

Dezembro 2010

Maio 2010

Janeiro 2010

Abril 2009

Fevereiro 2009

Janeiro 2009

Novembro 2008

Outubro 2008

Agosto 2008

Julho 2008

Junho 2008

Abril 2008

Fevereiro 2008

Janeiro 2008

Novembro 2007

Outubro 2007

Agosto 2007

Julho 2007

Junho 2007

Maio 2007

Abril 2007

Março 2007

Fevereiro 2007

Janeiro 2007

Dezembro 2006

Novembro 2006

Outubro 2006

Setembro 2006

Agosto 2006

Julho 2006

Junho 2006

Maio 2006

Abril 2006

Março 2006

Fevereiro 2006

Janeiro 2006

Dezembro 2005

Novembro 2005

Outubro 2005

Setembro 2005

Julho 2005

Junho 2005

Maio 2005

Abril 2005

Março 2005

Fevereiro 2005