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Diário das pequenas descobertas da vida.
Terça-feira, 19 de Fevereiro de 2013
Razão dividida

A Matemática é, na sua essência, a procura da estrutura que define a realidade (o que pode ou não incluir números).

Um dos (muitos) aspetos da vida quotidiana que foi analisado usando a lente matemática foi (e é ainda) o dos padrões esteticamente apelativos aos seres humanos. Parece fazer parte da nossa natureza procurar esses padrões a que chamamos «belos» ou «harmoniosos».

Entre eles, encontra-se o da Música e a constatação, por parte dos pitagóricos da Grécia Antiga, de que as notas musicais têm uma estreita ligação com os números racionais (as frações): os únicos sons que percebemos como não sendo ruído são os que têm um padrão fracionário (as sirenes, por exemplo, emitem sons fora do padrão fracionário. Dessa forma, o incómodo auditivo por elas provocado realça o sentido de urgência). Para mais sobre os tipos de números ver o artigo Simplesmente complexo 

 

Um outro padrão que alia a beleza estética à funcionalidade é o das proporções dos objetos que produzimos/usamos. Uma dessas célebres proporções é a chamada «razão de ouro», a que se atribuíram/atribuem várias propriedades «matemágicas», como visto no artigo Só phi é d’ouro

 

Mas os conceitos do que é belo/apelativo têm mudado ao longo das gerações (basta lembrar a frase «Gordura é formosura» e confrontá-la com os padrões estéticos atuais). As propriedades matemáticas de ϕ são incontornáveis (parte do apelo da Matemática é este caráter profundo e inalterável) mas as suas propriedades estéticas serão mais subjetivas e o que seria considerado «belo» numa altura pode mudar depois. A título de exemplo, considere-se os seguintes 3 retângulos. Um deles é um «retângulo de ouro» e os outros dois não são.

Qualquer um deles tem razões diferentes para ser considerado «belo». A noção estética moderna poderá preferir a figura que tem as mesmas proporções das folhas de papel que rotineiramente se usam na impressões (a série A, que agrupa folhas com dimensões crescentes em que todas têm a mesma proporção mas com tamanhos diferentes). Mas esta proporção «moderna» não é a razão de ouro privilegiada (aparentemente) desde os antigos gregos. É conhecida (injustamente talvez) como «razão de prata» e tem as suas (boas) razões para ser a proporção eleita para os tamanhos de papel atuais. As suas dimensões foram definidas pelo acordo internacional para a normalização do tamanho das folhas de papel ISO 216. A «razão de prata» tem a invejável qualidade de retângulos que a tenham como proporção dos seus lados  poderem ser divididos ao meio produzindo dois retângulos com a mesma proporção!

Daqui resulta que uma folha A3 corresponda a duas folhas A4, que uma folha A4 corresponda a duas folhas A5 e assim sucessivamente ao longo da série.

 

Para se conseguir esta permanência de proporção ao longo de cortes equitativos, os retângulos têm de ter uma proporção de 1 para √2 (se o lado menos medir 1, o lado maior medirá √2 ≈ 1,4142135623730950488016887242097... (compare-se com ϕ = (1+√5)/2 ≈ 1,6180339887498948482045868343656..., que produz um retângulo mais comprido...)

 

A ideia de ser usada a proporção 1 para √2 para a normalização dos tamanhos de papel (com óbvios benefícios económicos para o envio de cartas na altura ou para a impressão de documentos digitais modernamente) foi primeira registada, no século XVIII, pelo cientista alemão Georg Lichtenberg, conhecido no seu tempo como vigoroso oponente a pseudo-ciências e conceitos diáfonos e não testados sobre a realidade, tendo sido um dos fundadores do moderno método científico de experimentação como forma de conhecer o real. Colocou as suas descobertas e ideias numa conjunto de cadernos que lhe granjearam a admiração de personalidades (suas contemporâneas ou não) como os filósofos Schopenhauer, Nietzsche e Wittgenstein ou do pai da Psicologia Freud, o escritor russo Leon Tolstoy ou mesmo o estudioso chinês Qian Zhongshu.

 

Além da «criação» da razão de prata para as dimensões das folhas de papel (incluída nos seus famosos cadernos), Lichtenberg é também conhecido pelas figuras radiadas e ramificadas com características fratais que observou em fenómenos naturais em que descargas elétricas de alta voltagem percorrem a superfície ou o interior de materiais isolantes. Formas semelhantes podems ser encontradas na natureza na formação dos deltas de rios ou na estrutura dos pulmões.

 

 

 

Foi dada, a uma cratera na Lua, o nome Lichtenberg em sua homenagem.

 

Cratera Lichtenberg
Vídeo com a criação de uma «relâmpago congelado», uma figura de Lichtenberg


Publicado por Mauro Maia às 15:12
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