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Diário das pequenas descobertas da vida.
Sábado, 11 de Novembro de 2006
Imaginário escocês
Às voltas com os seus números imaginários, não se apercebeu da súbita travagem. Felizmente tinha o cinto de segurança ou teria atravessado o vidro e só parado na estrada.
«Que irónico» pensou «foram estes números tão inocentes que estou a estudar que quase me atiraram pelo pára-brisas do carro!»
</br></br>

Mas que ligação pode haver entre números imaginários e algo tão real como uma travagem brusca?</br></br>

Para responder a esta questão é preciso primeiro compreender o que são exactamente números imaginários. O nome é enganador e são, na verdade, tão «reais» como qualquer outro número. Veja-se o artigo Simplesmente complexo para mais sobre diversos tipos de números. Os números «reais» são aqueles que habitualmente se usa no dia-a-dia (23; 45,34343; -234234,25245345; 5/6; ...) Os números «imaginários» são aqueles que correspondem a raízes quadradas (e de outros índices pares) de números negativos e sublinha-se a sua natureza «diferente» juntando-lhe um «i» minúsculo (23i; 45,34343i; -234234,25245345i; 5i/6; ...)</br>
Um número «real» pode ser colocado numa recta de tal forma que quanto mais à direita se situa maior é, quanto mais à esquerda menor é.</br>
Um número «imaginário» pode ser colocado numa recta perpendicular à recta «real», de tal forma que quanto mais para cima se situa maior é e quanto mais para baixo menor é.</br></br>

Mas os dois, mesmo diferentes, juntam-se num todo a que se chama Corpo dos Números Complexos (). Um número complexo é formado pela junção de um número real e de um número imaginário (sublinho energicamente que os termos «real» e «imaginário» são meros rótulos para o número, ambos têm tanta realidade uns como os outros, só existem nas mentes humanas). Enquanto os números «reais» e «imaginários» se situam em duas rectas perpendiculares, os número complexos situam-se no plano definido pelas duas rectas (o Plano de Argand). Devido à natureza dual dos complexos, não é possível definir qual é o maior (2 + i é menor que 1 + 2i?)</br>
Exemplos de números complexos: 2 + i; -45,3434 - 5665,24245i; 4/5 - 2i/3; 0 + 2i...</br></br>

Galileo GalileiNos processos físicos da Natureza, os físicos, desde pelo menos Galileu (1564-1642), medem grandezas, atribuem valores numéricos a fenómenos, comparam acontecimentos usando a sua intensidade numérica,... A Matemática é de tal forma imprescindível à Física para compreender o Mundo que estudar a Natureza é estudar Matemática. Ver os artigos:</br>
~
Omnia factus mathematica para uma reflexão pessoal sobre a razão pela qual a Matemática é tão inerente à compreensão do Mundo;</br>
~
Apolo não favoreceu Aristóteles sobre Galileu e a queda à mesma velocidade de todos os corpos, independentemente da sua massa;</br>
Quando foram «descobertos» (ou criados), os números ditos «imaginários» ou «complexos» surgiam unicamente na resolução de equações em que surgiam (a meio do cálculo ou no final) raízes pares de números negativos.</br>
Ver o artigo É radical para o algoritmo para a extracção manual das raízes quadradas e cúbicas. E mantiveram a sua aura de «meras ferramentas» teóricas durante bastante tempo, de tal forma que o epíteto «imaginários» ficou, apesar de já não ser correcto (como o termo «desastre», que significa «má estrela», num tempo em que se pensava que as estrelas podiam afectar acontecimentos na Terra).</br></br>

Acelerador de Partículas Fermilab, Chicago, EUAMas há hoje aplicações dos números «complexos» na Física que lhe conferem uma realidade que os iguala aos restantes números. E não é unicamente em Aceleradores de Partículas (para quem tenha dúvidas sobre se é «aceleração» ou «acelaração», basta recordar que a raíz da palavra é o latino «celere») ou em rebuscados cálculos.</br>
Sabe-se, desde que Newton formulou as suas Leis do Movimento, que um corpo parado fica parado até sobre ele se exercer uma força ou que um corpo com movimento rectilíneo uniforme (ou seja, sempre com a mesma velocidade) se mantém em movimento rectilíneo uniforme até sobre ele se exercer uma força (como, por exemplo, o atrito do ar).</br>
Ver o artigo Conor explicare gravitatem para uma pequena descrição das Leis do movimento de Newton e a gravidade.</br></br>

O que ninguém, até à década de 60 do século XX, sabia como explicar era porque razão os corpos tinham essa tendência de se manterem ou parados ou em movimento rectilíneo uniforme, porque razão resistem à mudança de velocidade, num fenómeno a que se chama inércia (não confundir o termo físico «inércia», que engloba movimento parado e rectilíneo uniforme, com o termo comum «inércia», que engloba apenas o movimento parado). Além disso, quanto mais massa um objecto tem mais inércia possui. Assim, travar um automóvel ligeiro é mais fácil e rápido do que parar um camião de carga.
É também mais fácil pôr um carro em movimento do que pôr o camião...</br>
Além disso, num carro em movimento, se há uma travagem brusca, o corpo dos seus ocupantes parece ser projectado para a frente (daí a necessidade de cintos de segurança). Na verdade o que acontece, é que o corpo se mantém em movimento até sobre ele se exercer uma força (se se for esperto pelo cinto de segurança, se não pelo pára-brisas).</br></br>

Peter HiggsNa década de 60 do século XX, um físico escocês de nome Peter Higgs (nascido em 1929 e ainda vivo, em 2006, com 77 anos) avançou com uma Teoria que viria a dar resposta a esta questão que nem Newton nem Einstein tinham resolvido (ou querido resolver). A sua solução foi o Campo de Higgs. Higgs teorizou (ainda não há provas concretas de que esteja correcto tal como não há provas concretas de que não esteja, após 50 anos de pesquisa) que a razão pela qual as partículas materiais resistem à modificação do seu movimento é devido à sua interacção com um campo, até antão insuspeito, criado por uma partícula ainda por descobrir. Este Campo de Higgs explica, se estiver correcto, muitas das propriedades do Universo, e será necessário uma prova esmagadora para ser desacreditado.</br>
Outros campos na natureza são o campo gravítico, gerado pelo ainda-por-descobrir gravitão, ou a luz/campo electro-magnético, gerado pelo fotão.</br></br>

Da mesma forma que agitar a mão através do ar é mais fácil do que agitá-la dento de um balde de cola, as partículas, como os quarks e os electrões, «sentem» uma resistência ao seu movimento. Esta é provocada pela sua interacção com este Campo de Higgs, que permeia tudo no Universo, desde o espaço interestelar à mais funda mina ao interior de uma bola de ferro ou da mão de alguém. Tudo se encontra imerso no Oceano de Higgs (termo pelo qual também é conhecido o Campo de Higgs), a sua influência é sentida em qualquer ponto do Cosmos e é gerado pelo ainda-não-descoberto bosão de Higgs. Todas as partículas são afectadas pelo Campo de Higgs e o seu movimento é afectado de formas diferentes. Quanto maior é a influência, maior é a resistência e mais massa a partícula adquire devido a complementariedade energia-massa de Einstein (E=mc2).</br></br>

Um aspecto curioso sobre os diversos campos gerados por partículas é que a sua intensidade oscila de acordo com a temperatura a que estão sujeitos.</br>
À temperatura actual média do Universo (2,7k = -270,45ºC) ou à temperatura média da Terra (288,15k = 288,15ºC) ou mesmo à temperatura no centro do Sol (13 600 000k = 13 599 726,85ºC) esta oscilação é imperceptível. Ver o artigo Está frio por aqui para mais sobre as temperaturas Kelvin (k) e Celsius (ºC)</br>
Quando o Universo surgiu, após o Big Bang, a sua temperatura era imensa. 10-43 segundos após Big Bang a temperatura era 1032K (100 quintiliões de graus Celsius). Ver Cardinando sobre a contagem de milhões, biliões, ...</br>
Os campos de todas as partículas oscilavam furiosamente, entre valores extremados negativos e positivos e também o Oceano de Higgs tinha gigantescas ondas. Nesta época, como o Campo de Higgs não tinha estabilizado, as diferentes partículas não estavam ainda sujeitas à sua influência. Não havia assim resistência ao seu movimento e, por isso, todas tinham massas nulas e eram indistinguíveis (nessa altura, luz e electricidade eram uma e a mesma coisa).</br></br>

Mas, 10-11 segundos após o Big Bang, a temperatura tinha descido até aos 1015K (1 mil biliões de graus Celsius). A esta temperatura, o Campo de Higgs estabilizou num valor não nulo (246 GeV, gigaelectronvolts). Tinha-se formado o Oceano de Higgs que ainda hoje nos submerge a todos. As diferentes partículas começaram a sentir resistência aos seus movimentos e foi aí que surgiram as diferenças entre os campos das diferentes partículas: as forças nucleares separam-se, a gravidade e a electricidade seguiram caminhos opostos...</br></br>

As partículas começaram a sentir resistência ao seu movimento e ganharam massas diferentes. A massa de um electrão em repouso é 9,11-31 kg e a do quark «topo» ficou 3,1885-25 kg (350 mil vezes superior).</br></br>

Porque razão partículas que eram iguais inicialmente reagiram de formas tão diferentes ao mesmo Campo de Higgs ainda é uma incógnita. Mas a resposta está ligada ao facto de o Campo de Higgs assumir valores «complexos» em vez de «reais».
A electricidade pode assumir, por exemplo, o valor «real» 60 volts (se bem que, como referido por «.», poder ser descrita, no caso de uma corrente alternada, por um número complexo), mas o Campo de Higgs assume valores como, por exemplo, 60 + 45,454i.</br>
A componente «imaginária» do Campo de Higgs confere às partículas massas diferentes...</br></br>

Os números «imaginários» são o que confere realidade a coisas como sentir a brisa no rosto quando se viaja num descapotável num quente dia de Verão...</br></br>

Para uma explicação acessível sobre o Campo de Higgs, ver, no livro O tecido do Cosmos, o capítulo 9 «Vaporizar o vácuo».
Nele se explica o Campo de Higgs e como, devido ao facto de o Oceano de Higgs ter assumido um valor não nulo, o vácuo perfeito livre de quaisquer matéria ou energia, é impossível. O Campo de Higgs está sempre presente e para o remover é preciso adicionar mais de mil biliões de graus Celsius. Ou se tem o Campo de Higgs ou a energia necessária para o remover...</br>
Também se esclarece que a teoria do Campo de Higgs, apesar de ter este nome, necessitou da participação de Thomas Kibble, Philip Anderson, R. Brout, François Englert para se estabelecer como teoria válida.


Publicado por Mauro Maia às 14:19
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16 comentários:
De . a 11 de Novembro de 2006 às 21:59
A possibilidade de algumas grandezas físicas poderem exibir valores imaginários é muito interessante. Por exemplo, uma partícula com massa imaginária deslocar-se-ia, segundo a relatividade restrita de Einstein, sempre a velocidades superiores à da luz. Ou seja, o limite da velocidade da luz continuaria a existir para esta partícula, mas tratar-se-ia de um limite inferior, não superior. Quanto mais a "empurrássemos", mais devagar a partícula se deslocaria. A conversão das vulgares partículas de massa real - que, neste contexto, se designam por tardiões - nas hipotéticas partículas imaginárias correspondentes - denominadas taquiões - tem sido aproveitada por alguns escritores de Ficção Científica para transpor esse irritante limite cósmico de velocidade.


De . a 11 de Novembro de 2006 às 22:35
Olha, desculpa lá a chamada de atenção, mas a comparação que foi feita com a electricidade talvez não tenha sido das mais felizes. É que a electricidade constitui precisamente uma área da física onde os números complexos são de grande utilidade. A única diferença é que a raiz quadrada de -1 é representada por "j" e não por "i", pois esta última letra serve para designar a intensidade da corrente eléctrica. Só para dar um exemplo, a corrente alternada existente nas tomadas eléctricas das nossas casas é matematicamente representada por um número complexo variável, cujo vector de posição, no plano de Argand, tem o valor eficaz de 220 V e roda à velocidade de 50 voltas por segundo.


De . a 11 de Novembro de 2006 às 22:57
No caso das baterias dos automóveis, a corrente eléctrica, sendo contínua, não é matematicamente representada por números complexos. Caso contrário, o condutor poderia pensar algo como "foram estes números tão inocentes que estou a estudar que quase me atiraram pelo pára-brisas do carro! E foram eles também que, por acção do pré-tensor do cinto de segurança (ou do disparo do airbag) impediram que tal acontecesse!" :-)


De Mauro a 12 de Novembro de 2006 às 10:07
Obrigado pela chamada de atenção, «.», de facto o propósito do artigo é dar «realidade» aos números «imaginários», em especial a sua ligação ao Campo de Higgs e a fenómenos do dia-a-dia como a inércia. Os taquiões são de facto ficção-cientificamente interessantes, se bem que fica a questão, no caso de velocidades «warp», de saber em que medida poderiam as partículas que compõem a nave e os seus tripulantes ser convertidas em taquiões, viajar a distância pretendida e seguidamente voltarem a ser convertidas nos quarks e electrões perfeitamente alinhados nos átomos e moléculas organizados. Mas não nego que gostaia que fosse verdade... Podendo, como referes, a corrente alternada ser representada por números complexos é de facto curioso. Mais um bom exemplo da «realidade» «imaginária» e algo a que vou dedicar atenção... E é pena a bateria de um automóvel não ser alternada, ou mais uma boa razão pela qual os números complexos podem tirar ou salvar vidas... ;)


De . a 12 de Novembro de 2006 às 11:10
A questão relativa à conversão de tardiões nos taquiões correspondentes e vice-versa seria, com efeito, muito difícil de ser respondida (compreensivelmente os escritores de FC não nos dão grandes pormenores a este respeito). O problema não será, provavelmente, de cariz meramente tecnológico. O processo de conversão implicaria, possivelmente, o conhecimento completo do estado de cada uma das partículas que compõem a nave espacial e os corpos dos seus tripulantes o que, de acordo com o princípio da incerteza de Heisenberg, não seria de todo possível. Quando, por exemplo, o dispositivo - chamemos-lhe scanner - responsável por esse processo medisse a posição de uma dada partícula, alteraria irremediavelmente a velocidade da mesma; se, ao invés, optasse por medir a velocidade, seria a posição da partícula que veria o seu valor modificado. Um problema de difícil - para não dizer impossível - resolução que afecta, também, o processo de teletransporte da série Star Trek.


De . a 12 de Novembro de 2006 às 11:20
Deixo aqui uma chamada de atenção a mim próprio (calha a todos): o disparo dos airbags dos automóveis é, sem dúvida alguma, electricamente controlado. Tanto quanto sei existe um sistema informático que processa a informação recolhida por diversos sensores - acelerómetros e outros, provavelmente - e decide se deve ou não promover o accionamento dos airbags. Mas já não tenho tanta certeza no que se refere aos pré-tensores dos cintos de segurança. Sei que há os puramente mecânicos, nos quais a electricidade não desempenha qualquer papel, e os pirotécnicos. Talvez tu ou algum dos teus leitores nos possam elucidar a este respeito...


De . a 12 de Novembro de 2006 às 11:31
Ah! E já agora, não obstante a corrente eléctrica das baterias dos automóveis ser contínua, o mesmo não sucede com a corrente que é produzida para as manter carregadas. É gerada por um alternador, que, como o próprio nome indica, gera corrente alternada. Creio, por conseguinte, que se pode dizer com toda a propriedade que os números imaginários também estão envolvidos no salvamento de vidas em acidentes de viação :-)


De Mauro a 12 de Novembro de 2006 às 12:50
Em relação ao «warp», é curioso também o limite que a série que referes indica para a velocidade acima de «warp» 1: o limite máximo atingível é, no contexto da série, «warp» 10, sendo este um limite apenas assimptoticamente atingível. Mas, como «warp» 10 é uma velocidade 10 vezes superior à da luz, penso que isto compromete os fundamentos teóricos das viagens espaciais da Enterprise: o diâmetro da nossa Via Láctea é de 100 mil anos-luz. Para a percorrer, a «warp» 10, seriam necessários 10 mil anos. A distância do Sol ao centro da Via Láctea é aproximadamente 26 mil anos-luz. Para a percorrer seriam necessários 2 mil e 600 anos, a «warp» 10. Mesmo a estrela mais próxima, depois do Sol, o conjunto estelar Alfa de Centauro, a 4,35 anos-luz da Terra, demoraria 5 meses a ser alcançada. Ou seja, mesmo que a velocidade «warp» fosse possível, um limite teórico de 10c para a sua velocidade, prender-no-ia às galáxias mais próximas e a exploração da grande maioria da Galáxia seria impraticável. Isso, claro está, pressupondo esse máximo teórico de 10c. Por muito que aprecie a série, sem dúvida que a imposição do limite de velocidade 10c foi um tiro no próprio pé: não seria possível conhecer, colonizar ou estabelecer comércio com a maioria dos sistemas planetários da Via Láctea, como é ponto assente no contexto da série. Claro, estou à partida a excluir o uso de «wormholes» (pouco citados ou usados na série) e a possibilidade de a velocidade «warp» ser exponencial e não linear como a mach. Se «warp» 10 fosse dez vezes superior a «warp» 9, esta dez vezes superior a «warp» 8,... a exploração galáctica seria mais viável. Com um limite máximo 10 mil milhões de vezes superior à velocidade da luz, bastariam 5 minutos para percorrer todo o diâmetro galáctico a «warp» 10...


De Maria Papoila a 12 de Novembro de 2006 às 14:58
Olá Mauro:
Hoje vou ter que imprimir e reler todos os artigos de referência para melhor entender o artigo embora os exemplos citados sejam explícitos em relação à inércia.
Felicito-te pela verdadeira prosa poética deste excerto
"Os números "imaginários" são o que confere realidade a coisas como sentir a brisa no rosto quando se viaja num descapotável num quente dia de Verão..."
Beijo


De Mauro a 12 de Novembro de 2006 às 15:38
Olá, «Maria Papoila». Como sempre, é um prazer receber tão orvalhada visita. A ideia de um Oceano no qual estamos todos mergulhados e que nos dá sensações tão agradáveis como a brisa no nosso rosto ou a elegância de uma nadadora numa lagoa de água límpida é bastante atraente...


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