25 março 2006Cogitar (18 cogitações anteriores)Cantor infinito
Uma das coisas que mais poderá surpreender as pessoas será a de que: ~ Como assim «um maior do que o outro»? Se os dois são infinitos nenhum pode ser maior do que o outro! Há o mais infinito e o menos infinito mas esses têm o mesmo tamanho... Os dois infinitos de que falo não são os infinitos que qualquer aluno de Matemática do Ensino secundário está habituado a ver e a trabalhar, a noção matemática de infinito. (Sobre o uso da maiúscula no substantivo «Matemática» e da minúscula no adjectivo «matemática» ver Quom maiores aut minores.)
Cantor, entre outras grandes contribuições para o desenvolvimento da Matemática, fundou e realizou importantes trabalhos na Teoria dos Conjuntos. Os conjuntos podem ter um tamanho finito ou um tamanho infinito. ~ Como assim, contar o número de elementos de um conjunto infinito? Pois se é infinito, é infinito. Nunca se acaba de contar. Por isso é infinito!
No conjunto {martelo, elefante, martelo, locomotiva} cada elemento pode ser associado, por ordem, a um número natural.
Cantor começou então a verificar se outros conjuntos infinitos também tinham o mesmo cardinal (isto é, o mesmo número de elementos). Teriam todos os conjuntos infinitos cardinal O conjunto dos números inteiros
Conjunto dos números racionais Este conjunto colocou algum problema quanto ao método de contagem. É que entre quaisquer dois números inteiros há infindos números racionais. Não era já possível associar facilmente cada fracção a um número natural por ordem crescente. Mas então Cantor lembrou-se de imaginar as fracções numa grelha. Podia-se associar cada fracção da grelha a um número natural fazendo um percurso «enviesado» mas consistentemente lógico para a célula seguinte. Cada fracção numa célula corresponderia ao número natural seguinte. Desta forma Cantor mostrou que também Conjunto dos números reais Este conjunto de números reais era ainda mais bicudo do que o anterior mas Cantor, mais uma vez, imaginou uma forma inteligente de determinar o cardinal de Imagine-se que se colocam todos os números reais numa lista. Parte da lista poderia ser: Esta lista deve conter todos os números reais! Obviamente que este número também é real. Mas no entanto não está nesta lista que supostamente contém todos os números reais. Há uma contradição: como pode uma lista que contém todos os números reais não conter este? ~ Não faz mal, é só juntar esse número e a lista fica completa...
Esta contradição diz-nos então que não é possível fazer um lista ordenada com todos os números reais. Dessa forma se constata que é não é possível associar a cada número real um número natural. O cardinal de Há então dois números infinitos, em que Assim, o «velhinho» Um problema matemático que está ainda por resolver é a de saber se há algum cardinal maior do que «aleph-zero» mas menor do que «c». Assim, quando se ouvir dizer «Eu tenho infinitos problemas!», já podemos retorquir «Os teus problemas são «aleph-zero» mas os meus são os teus elevados a si mesmos. Se os teus são «aleph-zero» os meus são «c»! Pedindo licença a George Orwell, «Todos os números são iguais, mas alguns são mais infinitos do que outros» ( Alguns dos resultados que Cantor viu mas não quis acreditar: Nas palavras do matemático David Hilbert: «Ninguém nos expulsará do paraíso que Cantor criou» Cogitado por Mauro Maia às 10:11
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Esqueceu-se de um infinito: o tempo em que o Dr. Alberto João vai governar a Madeira. E não me parece que seja um infinito menor... Pelo menos para mim.
Cogitado por: deprofundis a março 27, 2006 12:33 AM
Por muito grande que a figura de Alberto João Jardim seja na Madeira, penso que um pouco de indução matemática permite aferir que tem um cardinal que se poderá abeirar do aleph-zero, não chegando a ter essa dimensão completa. Mas compreendo que, para quem no seu jardim viva, possa parecer um «c»... ;)
Cogitado por: Mauro a março 27, 2006 11:11 AM
Costumo sentir-me infinitamente "pequena" quando te leio, pelo modo fluente e quase ligeiro com que abordas temas desta profundidade...Mas agora saber que o infinito, contém em si outro infinito! Deliciosa a tua conclusão e não esquecerei que há tantos números pares como números naturais, que há tantas fracções como números pares, que há dois infinitos, um maior que outro. Beijo
Cogitado por: Maria Papoila a março 28, 2006 10:49 AM
E todos os comentários são iguais mas alguns são mais infinitos do que outros... ;)
Cogitado por: Mauro a março 28, 2006 07:48 PM
Sempre gostei de Matemática, mas entretanto o meu caminho divergiu e deixei-a lá longe... o resultado é que, agora, custa-me muito mais ter um raciocínio lógico, mas enfim. De qualquer modo, gostei muito do artigo, como habitual :)
Cogitado por: Nox a março 28, 2006 10:30 PM
É infinita a sabedoria e deveria ser proporcional à vontade de aprender!E seriamos quase uns sábios! Ainda que nunca saibamos tudo, felizmente, senão perderíamos o interesse, mas por aqui ainda me surpreendendo aprendendo!Que bom!Dois infinitos!?!?!?!?Boa... resta-me despedir e fazer lembrar que tambem estou no http://utilidades.blogs.sapo.pt
Cogitado por: Elsita a março 29, 2006 01:49 PM
Na vida o que se deve fazer é aquilo que mais custa, «nox». Espero que o «emperro» lógico não se estenda ao Cognosco, que tanto se esforça por aclarar os poços por onde floresce a Matemática. Mas penso que as tuas regulares visitas esclarecem e corrigem-me o receio. ;) A sabedoria, «Elsita», penso que nunca é infinita. A vontade de saber é que convém que seja. E isso por diversas vezes tens revelado nas tuas visitas a este cantinho... E parabéns (se nunca tos antes dei) pelo espaço que criaste no «Utilidades». É certo de extrema relevância e interesse.
Cogitado por: Mauro a março 29, 2006 07:33 PM
Mauro isto é muita areia para a minha camioneta. Só de imaginar o infinito sem finito até me passo. Prefiro o Paraíso com ou sem Cantor. :)) Tudo de bom.
Cogitado por: marius70 a março 30, 2006 02:21 AM
Quem tiver a sorte de lá chegar, certamente conhecerá Cantor, «marius»...
Cogitado por: Mauro a março 30, 2006 06:20 PM
Será o Universo limitado ou infinitamente grande? Pegando no exemplo por ti dado sobre o Aleph 0. Na cosmogénese, o nada existiu e existe ainda se, juntamente com a criação se se reduzir o espaço-tempo à sua expressão mais simples: zero.
Se no universo primordial, onde o mais e o menos estariam ausentes, identifica-se ao zero, ou seja ao nada, mas onde esse nada repletos de mais e de menos em potência no futuro, assim como o zero supõe a série dos números um, dois, três, etc.. Somos asim levados a conceber um começo que não foi um, mas sim um «vazio-cheio» neutro, contendo o positivo e o negativo. Não esquecer que o símbolo do Universo é graficamente representado por um traço horizontal pegado a um círculo donde parte um traço horizontal cortado por outro vertical: menos, zero, mais (-0+). Por esse motivo Mauro depois de ler atentamente este teu tema verifiquei a anologia entre o infinito de Cantor e a "formação" do próprio universo. Assim temos uma espiral que evoluiu a partir de um nada (0). http://marius1.no.sapo.pt/infinito_pps.zip . Um abraço
Cogitado por: marius70 a março 30, 2006 06:35 PM
Não acho que se deva fazer o que mais custa. Acho que se deve seguir o que mais se gosta, mas por vezes os interesses são tantos que, forçosamente, alguns ficam para trás... e, em vez de fazermos deles escolhas de vida, deixamo-los para de vez em quando, quando há tempo...
Cogitado por: Nox a março 30, 2006 08:17 PM
É de facto de cogitar a questão da ligação entre o Zero e o Infinito na cosmologia, «marius70». Uma vez escrevi, há já algum tempo, um artigo em que filosoficamente contesto a existência física do Nada. Apreciei bastante esse conceito que referes do «vazio-cheio». É curioso. É naturalmente mais fácil à limitação da nossa existência sentirmos o Universo como limitado (há uma teoria que refere até que o Universo é fechado sobre si mesmo, pelo que, quando olhamos para o fundo do Universo, estamos a olhar para trás de nós). Há também a tradicional teoria do Universo aberto, infinito e em expansão (mesmo que o facto de ser infinito E estar em expansão seja um aparente paradoxo). O que acho sempre incrível na Cosmologia (e na Matemática) é a capacidade de seres limitados como nós somos de lidarmos com a vastidão do Universo. Talvez seja porque de facto somos todos «filhos das estrelas», criados a partir dos remanescentes da explosão de um super-nova ocorrida neste cantinho do Universo há bem mais de 4,4 mil milhões de anos (a idade da Terra)... A questão de se fazer o que nos custa, «nox», é algo que não aconselho nem recomendo. É um simples traço psicológico que me tem mantido de pé quando tanto me puxa para tombar. E sim, infelizmente as escolhas da nossa vida fecham outras possiilidades, mesmo aquelas que na altura da tomada de decisão ainda não tínhamos consciência... Será a vida, talvez (apesar de isto soar excessivamente, a meus ouvidos, a desculpa...)
Cogitado por: Mauro a março 30, 2006 09:10 PM
Claro que se tem de fazer coisas que nos custam, de tempos a tempos, por vezes até para alcançar determinados objectivos. Mas, como tudo (ou muito) na vida, é uma questão de prioridades...
Cogitado por: Nox a março 30, 2006 11:16 PM
É uma questão também de perspectiva perante a vida, perspectiva em tudo ligada à personalidade que vamos desenvolvendo ao longo da vida (mas em particular na infância). Mesmo a questão de ter prazer nas tarefas que realizamos, há prazer em conseguir efectuar algo que à partida nos custava. O que tenho constatado é que, muitas vezes, os chamados problemas sociais surjem primeiramente pela incapacidade de as pessoas dizerem «não» a si mesmas... Claro que se deve gerir esses «não», saberquando «sim» ou quando «não», mas não vejo dificuldades nas pessoas a dizer «sim», não conseguem é dizer-se «não». E isso é má gerência... ;)
Cogitado por: Mauro a março 31, 2006 08:28 AM
Cantor apercebeu-se de mais do que dois infinitos e clamou que existe um número infinito de infinitos no infinito. E estou do lado dele embora actualmente já se percebeu isso. Mas eu por mim mesmo descobri esta maravilhosa afirmação numa só palavra e na relatividade da gravidade. A palavra é a noção de «contínuo». Esta noção leva-nos a qualquer porção que se considere contínua como aparenta o tempo é infinita. Assim na hierarquia de tamanhos a seguinte é sempre um infinito maior que outro. Mas há mais, em movimento um objecto adquire massa aparentemente do nada e logo o infinito se torna mais infinito. Mas uma vez que toquei no nada devo dizer que o nada verdadeiro seria ninguém ter consciência do nada, como até qualquer criança sabe o significado de nada, logo, o nada existe. E ainda coloco três hipóteses, o nada neutro (absoluto) e os dois nadas positivo e negativo mas provisoriamente até se descobrir outros pólos. A minha tendência filosófica é fortemente criacionista, o que poderia significar que o infinito criado (natureza) foi criado pelo Infinito Absoluto (Deus), mas existe na minha obra de cosmologia a possibilidade de ter sido criado por uma supercivilização associado a dimensões superiores, é que, um objecto tridimensional «imbuído» num espaço a seis dimensões vale pela metade e colocando outras seis dimensões invertidamente o tempo tridimensional «vale» zero e tudo é previsível do princípio ao fim não tendo esse universo de doze dimensões outra alternativa se não serem nosso Deus. Se alguém está interessado em publicar a minha obra, contactem-me.
Carlos Rodrigues, luislirio@hotmail.com
Cogitado por: Carlos Rodrigues a janeiro 20, 2007 10:54 PM
Obrigado, «Carlos Rodrigues», pela visita e pelo comentário. Parece-me contudo que contém uma mistura aleatória de conceitos pertencentes a domínios bem diferentes e que apenas se conjugam com um enorme esforço de vontade. A hipótese do contínuo, que Cantor criou e que se encontra referida no comentário, advoga que, entre Alef-0 (o «tamanho» dos números racionais) e Alef-1 (o «tamanho» dos números reais) não existe qualquer conjunto que tenha um «tamanho» maior do que Alef-0 e menor do que Alef-1. Kurt Godel mostrou, em 1940, que esta hipótese não pode ser demonstrada como sendo falsa ou verdadeira. Mas a questão dos infinitos Alef (Alef-alfa) é uma questão que se encontra no domínio da Teoria sobre as Teorias Matemáticas, uma Teoria sobre como a Matemática é feita e não propriamente sobre a forma da Matemática em si mesma. Parece-me uma extrapolação excessiva aplicar conceitos meta-matemáticos a conceitos físicos, em especial quando estão tão crivados de contradições. Como já referi num artigo anterior («Imaginário escocês»), a massa criada num objecto em movimento é devida à sua intereacção com o Bosão de Higgs, que, mesmo tendo massa nula, tem uma existência que o distingue do «Nada» referido. Há ainda o salto argumentativo que se faz entre contínuo=infinito (que é uma verdade matemática) para uma massa=infinito. Tendo em conta o vastíssimo espaço que separa os átomos de uma massa, não se lhe pode aplicar a noção matemática de contínuo. Nem sequer de infinito, pois muitos problemas teria a Humanidade em lidar com objectos de massa infinita. Segue-se que o postulado do infinito que se torna mais infinito não se aplica à maioria dos corpos do Universo (que são não-relativistas). Portanto, a haver um Criador, não terá sido por intermédio da Hipótese do Contínuo (que se aplica apenas à criação de Teorias Matemáticas) nem pela hierarquização de massas infinitas (uma vez que elas não existem) através de interações com as finitas partículas do Campo de Higgs. A afirmação de que o «Nada» existe porque todos têm a noção do «Nada» está envolta numa corrente de raciocínios inválidos (o «Nada» existe porque há a noção do «Nada» parece-me equivalente a afirmar que Deus existe porque há quem acredite ou que a Terra é plana porque há quem nisso acredite). E não será o que se segue raciocínios fundamentados apenas em crenças pessoais? Os três tipos de Nada referidos parecem-me apenas Deus/Mais Infinito/Menos Infinito com outros nomes mas o mesmo conteúdo. A criação do infinito por uma civilização associada a dimensões superiores é ma outra crença alicerçada em conceitos pessoais? E que grande a confusão entre dimensões e inversão de dimensões... O que é exactamente uma dimensão invertida? Será outra confusão com os infinitos do cálculo algébrico, cuja inversão é 0? Obrigado pela visita, mas o comentário que aqui deixou parece-me apenas um aglomerado desconexo de conceitos fracamente e ilogicamente ligados para servir como objectivo «demonstrar» visões pessoais sobre o Universo, sem preocupação pelo rigor, pela correcção das definições ou pela lógica dos argumentos. Respeito-o contudo, razão porque aqui deixo o seu comentário e a referência ao seu livro.
Cogitado por: Mauro a janeiro 21, 2007 01:24 AM
Saudações Mauro, excelente artigo, meus parabéns. Estou agora a estudar teoria dos conjuntos e este artigo ajuda a esclarecer bastante o conceito de alef-zero. Congratulações brasileiras... Sérgio.
Cogitado por: Sérgio a maio 27, 2008 04:40 AM
Agradeço, «Sérgio», as saudações brasileira e um obrigado português, deste lado do oceano, pela visita e pelo apreço pelo artigo.
Cogitado por: Mauro a maio 27, 2008 09:14 PM
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O infinito é um conceito que já se tornou bastante comum na linguagem do dia-a-dia, principalmente como «sinónimo» de «enorme».
A história destes dois irmãos separados à nascença começa com um senhor alemão de nome Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor. Georg Cantor nasceu em São Petersburgo, filho de Georg Waldemar Cantor, negociante dinamarquês e da russa Maria Anna Böhm.
Para contar conjuntos infinitos, Cantor imaginou uma estratégia engenhosa:
No caso dos números pares, podemos associar cada um deles a um número natural individual e diferente. Dessa forma o conjunto dos números pares também é infinito mas, eis algo de surpreendente, há tantos números pares quanto números naturais (em vez da metade que se esperaria. No conjunto de 6 números 1, 2, 3, 4, 5, 6 há 3 números pares: 2, 4, 6. Os números pares (3) são metade dos números considerados (6)). Com os números ímpares passa-se o mesmo.
Assim o cardinal dos números naturais ( # 
) é igual ao cardinal dos números pares (e ao dos números ímpares)
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Poderia pensar-se que a lista ficaria completa se se adicionasse à lista esse número.