21 maio 2006

Cogitar (14 cogitações anteriores)

Divisa matemática

Na sequência do artigo Inveja matemática, ficou em aberto a forma de fazer a divisão manualmente. Igualmente a questão da radiciação e até a prova dos 9, quer da soma quer da multiplicação.

Estando abordada a questão das multiplicações (isto é, das formas como o processo pode ser acelerado, uma vez que verdadeiramente não passa de uma série de somas) fica por abordar a questão das divisões, a operação inversa da multiplicação.

Assim, se tivermos 2 grupos de berlindes, tendo cada grupo 3 berlindes, há um total de 2x3 = 6 berlindes no total (multiplicação).
Alternativamente, se tivermos 6 berlindes em 2 grupos, cada grupo tem 6:2 = 3 berlindes cada grupo (divisão).

O número que será dividido é o dividendo.
O número que irá dividir é o divisor.
O resultado da divisão é o quociente.
O que sobra do dividendo que não é dividido pelo divisor é o resto.

Há, pelo menos, 2 algoritmos diferentes (podendo-se dizer que há 3, dois deles iguais na sua essência): a divisão curta (a que se aprende em Portugal), a divisão longa (que se ensina na Inglaterra e nas suas antigas colónias, como a África do Sul) e a divisão egípcia.

Apesar dos nomes diferentes, a divisão curta e a divisão longa são essencialmente a mesma, mudando unicamente a disposição dos números. A divisão egípcia segue outra forma, na qual a divisão é transformada numa série de somas (do mesmo modo que a multiplicação egípcia, como visto em Inveja matemática)

Nestes exemplos apenas foi considerada a chamada divisão inteira, isto é, divisões cujo resultado é um número inteiro (ver Simplesmente complexo sobre os diversos «tipos» de números, como os inteiros). Mas qualquer uma delas pode ser adaptada para a divisão com números racionais.

Vejamos então como funciona cada um dos algoritmos de divisão:

~ divisão curta/longa:
Colocam-se os dividendo e divisor lado a lado. É importante verificar o número de algarismos do divisor. Considera-se os primeiros algarismos do dividendo de forma a que o grupo formado seja maior do que o divisor. Em seguida tem de se procurar o número que, multiplicado pelo divisor, fica o mais próximo do dividendo sem o ultrapassar. Faz-se a dita multiplicação e coloca-se o resultado por baixo do dividendo, alinhado à direita com o último algarismo do grupo considerado. Subtraem-se então os dois. O resultado da subtracção é sempre inferior ao divisor, por isso acrescentam-se os algarismos seguintes do dividendo a seguir ao grupo, até que o número seja superior ao divisor (geralmente basta 1) e repete-se.
Para a divisão inteira o processo termina quando o número mais abaixo do dividendo é menor do que o divisor.
Para a divisão comum acrescenta-se ao dividendo zeros (depois da vírgula) de acordo com o número de casas decimais pretendidas no resultado.

Pode-se alternativamente, quanto às casas decimais, esquecer as vírgulas e fazer a divisão sem elas (345678 : 234 = 147725...).
Após encontrar tantos algarismos para o quociente quantos os pretendidos contam-se o número de casas decimais do quociente («o número de algarismos depois da vírgula») subtraindo o número de casas decimais do dividendo pelo número de casas decimais do divisor (no caso de exemplo acima o dividendo tinha originalmente 2 casas decimais e foram acrescentados 2 zeros. O dividendo tem 4 casas decimais e o divisor tem 1 casa decimal. O quociente terá 4 - 1 = 3 casas decimais, contadas a partir do fim do quociente.)

~ divisão egípcia:
Este divisão é, em muitos aspectos semelhante à multiplicação egípcia.
Colocam-se os números a dividir lado a lado, dividendo à esquerda, divisor à direita.
Por baixo do dividendo escreve-se 1, por baixo do divisor repete-se o seu valor.
Soma-se então os números consigo mesmo em cada coluna (1+1 e divisor+divisor).
Repete-se a soma dos últimos números de cada coluna até que a soma seguinte na coluna do divisor seja maior do que o dividendo. Somam-se então os números que, na coluna do divisor, dão o dividendo ou fiquem o mais próximo possível dele. Como na multiplicação, vão-se subtraindo ao dividendo os maiores números da coluna do divisor sem que o resultado seja negativo. Após a escolha dos números da coluna do divisor verificam-se a que númeos correspondem na coluna do dividendo. Somam-se esses valores. O resultado da soma é a divisão pretendida. A diferença entre o dividendo e a soma dos números que se escolheram na coluna do divisor é o resto.
No exemplo ao lado, a divisão tem quociente 57 e o resto é 92.
Ou seja, o quociente será 57 + 92/98

Cogitado por Mauro Maia às 23:00 | Cogitar (14)
Cogitações anteriores
Olá, bom dia, e reencontro-te bem, numa merecida "descoberta" da divisão e os seus encantos, perdidos algures na descoberta de uma máquina de calcular...Voltarei; até lá: continua bem. Cogitado por: Elsita a maio 23, 2006 09:58 AM
A extracção manual da raiz quadrada...! Por muito incrível que pareça, só tive uma demonstração, por curiosidade, de como se fazia, no 11º ou 12º ano, por uma das melhores professoras de Matemática que passou no meu percurso escolar. Claro que já não me lembro de como se faz. Por isso fico à espera :) Cogitado por: Nox a maio 23, 2006 05:45 PM
Obrigado, «Elsita», pela visita e pelas palavras. Cá, como sempre, te esperarei. Faremos então a jornada de (re)descoberta da extracção manual da raíz quadrada «Nox». Cá estará o Cognosco também por ti aguardando... Cogitado por: Mauro a maio 23, 2006 09:29 PM
Também vou imprimir Cogitado por: maresia a maio 24, 2006 08:22 PM
Claro, «maresia», não está é ainda acabado... Falta a extracção da raíz e as provas dos 9. Pelo andar da coisa, lá para o fim-de-semana... Cogitado por: Mauro a maio 24, 2006 09:22 PM
Desconhecia a divisão egípcia e gostei de aqui aprender mais um método de divisão manual, particularmente interessante. Aguardo a raiz quadrada, e a prova dos nove... essa quase sempre fundamental (lol) Beijo Cogitado por: Maria Papoila a maio 24, 2006 10:29 PM
É espectacular como este "blogueiro" dispõe de uma paciência para explicar estas coisas da matemática, que sempre foi um quebra-cabeças para muita gente. Obrigado Mauro pelo bem que tens feito e irás fazer. Cogitado por: augusto a maio 24, 2006 11:29 PM
Obrigado pelas tuas palavras, «Maria Papoila». É de facto interessante a divisão egípcia (que dispensa por completo a tabuada), tal como a sua complementar multiplicação. A raíz quadrada será uma mera questão de curiosidade de como era feita e as provas dos 9, como veremos, apesar de geralmente correctas, permitiam, em alguns casos (como depois se verá), que resultados errados fossem considerados correctos por estas provas... Também obrigado, «Augusto», pela passagem por esta cantinho virtual. Posso-te assegurar que só tenho paciência para escrever aqui porque falo de toda esta gama de assuntos de que gosto. Não teria paciência era para escrever aqui caso não fosse assim (de vez em quando ainda dá, sempre ser-me-ia impossível). Um abraço e volta/em sempre. Cogitado por: Mauro a maio 25, 2006 08:48 PM
Ok, vim ler o teu comentário e ver se havia novidades. E já agora comentar a tua preferência pelo ritmos, em prejuizo do utilidades...Ok rsssssssss, bfs Cogitado por: Elsita a maio 26, 2006 06:25 PM
Tenho lido de igual forma ambos, «Elsita». Apreciei o artigo dos sumos e dos tira-nódoas. Não tive foi o que dizer, não foi falta de interesse. No Ritmos tendo fi-lo. Obrigado pela visita. ;) Cogitado por: Mauro a maio 26, 2006 10:21 PM
Hum... fico à espera da continuação porque nunca me ensinaram a fazer a prova dos 9. Cogitado por: PN a maio 27, 2006 01:16 AM
Peço desculpa, «PxN», mas as provas dos 9 terão de ficar para depois. As raízes quadradas e cúbicas extrairam-me a energia por hoje. Mas seguidamente falarei sobre elas. Cogitado por: Mauro a maio 28, 2006 01:14 AM
Mauro, já escrevi algumas cogitações e nunca te agradeci por ter encontrado o teu maravilhoso blog, é como uma papoila numa seara inóspita, nem todos a encontram. Fico quase eufórico com esta parte da inveja matemática e agora outras alternativas para a divisão. Aqui está no mundo uma famosa frase « sigam por caminhos diferentes, ainda é cedo para se unirem» quem disse isto percebeu a necessidade de procurar a máquina perfeita na Matemática, circunscrever, resolver os problemas dos infinitos em que qualquer robot «inteligente» ficava a interrogar-se da palavra infinito, mas penso que o silício terá de ser substituido pelos super átomos da mecânica quântica para o ser humano se transcender e reconhecer-se a si mesmo como obsoleto. Mas já estou a desviar-me, o importante é compreender o luxuriante mundo da Matemática e vou continuar a procurar no teu blog enquanto na vontade tiver sagueza. Carlos Rodrigues Cogitado por: Carlos Rodrigues a janeiro 27, 2007 10:09 PM
O agradecimento, «Carlos Rodrigues», é todo meu, pelo teu interesse e curiosidade. Na medida do possível, tentarei corresponder. Também acho maravilhosos os algoritmos diferentes para a Multiplicação (e para a Divisão). A gelosia, em particular, é uma das minhas favoritas (e a que eu mais confio para fornecer resultados manuais de multiplicações com vários dígitos). E também eu continuarei a procurar temas de interesse para o Cognosco. Cogitado por: Mauro a janeiro 28, 2007 11:34 AM