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Mentes aplanadas

Olhando o longínquo horizonte, vejo que um barco se aproxima: primeiro surgem as velas, orgulhosas na sua alvura, depois timidamente se revela o casco, como uma tímida donzela na sua noite de núpcias: só após descobrir o alvo véu se entrega à rubra paixão.

Este é um fenómeno que qualquer um, tendo a isso prestado atenção, se terá já apercebido. Primeiro avista-se o topo de objectos distantes (as velas de um barco, o cume de distantes montanhas) e só depois a sua base. Isto ocorre pelo facto de a Terra ser uma esfera (na verdade uma elipsóide, uma elipse que, ao girar ao longo de um dos seus eixos, produz uma figura tridimensional como a de uma bola de Râguebi. Particularmente, trata-se de um esferóide, um elipsóide com dois eixos de igual comprimento, como notou «Fernando Vouga» no comentário que aqui deixou). A Terra, que se não rodasse seria uma esfera, gira sobre o seu eixo, desta forma distorcendo a sua forma (devido à força centrífuga, achata-se nos pólos). Devido também a essa rotação, existe a alternância entre dias e noites. Como o eixo de rotação da Terra não é perpendicular à sua órbita em volta do Sol, a rotação faz com que a inclinação em relação aos raios solares dos diferentes hemisférios varie ao longo do ano, o hemisfério Norte e o hemisfério Sul alternando as estações (quando a Norte é Inverno no Sul é Verão).

É um fenómeno facilmente observado e que não passa despercebido a quem olhe para o horizonte. Mas é comum a ideia de que, na Idade Média, se acreditava que a Terra era plana. Será que as pessoas não olhavam à sua volta? Não olhavam para o horizonte? E o que dizer sobre o papel da Religião Católica nisto tudo?

Bem, a verdade é que já no século IV AC (a Idade Média começou no século V DC, com a queda do Império Romano do Ocidente, à mãos de tribos germânicas fugidas às investidas hunas), filósofos naturalistas gregos (como Eudóxo de Cnides e Calipo de Cyzicus, na actual Turquia, propuseram o universo como formado por esferas, centradas na Terra; Heraclides propôs que a Terra girava sobre o seu eixo; Eratóstenes mediu a curvatura da Terra com grande precisão) tinham já afirmado que a Terra era esférica. Nesses perto de 900 anos que separam a Antiguidade Grega da Idade Média, esqueceu-se tão evidente observação? É também amplamente divulgada a história de que Colombo, contrariando a noção de que a Terra era plana, propôs a sua esfericidade e assim encontrar um caminho por Ocidente para a Ásia, diferente do caminho por Oriente depois encontrado pelos Portugueses, o que não corresponde à verdade histórica.
Ver mais sobre Eratóstenes e algumas das suas descobertas ver Campester numerus

Mas a verdade é que a visão de que a Terra era «redonda» (esférica ou elipsóide) era compreendida e aceite pela generalidade das pessoas ao longo da Idade Média. Seria até estranho que não o fosse: não só pela sua evidência ao olhar o horizonte como pelo facto de, na Idade Média, o conhecimento da Antiguidade Grega ser tida como autoridade máxima em muitas questões. Em 1945, a Associação Histórica, baseada na Inglaterra, com o propósito de apoiar o estudo e a fruição da História a todos os níveis, criando um atmosfera que promove o estudo continuado e dá resposta às necessidades emergentes das pessoas que partilham um interesse pela História) listou o mito «Colombo e a Noção da Terra Plana» como uma das concepções erradas sobre História mais populares (listada como a segunda maior entre vinte).

A questão perante a qual Colombo se defrontou para ganhar o apoio dos Monarcas espanhóis (depois de ver recusada a sua proposta de chegar à Índia pelo Ocidente pelo grande Monarca português, D. João II, o príncipe perfeito) não foi sobre a possibilidade de chegar à Índia pelo Ocidente (obviamente possível já que a Terra era redonda) mas sim quanto às distâncias envolvidas e se elas permitiriam a uma tripulação humana lá chegar. Teve a sorte de encontrar, a meio caminho, um Continente pela maioria dos Europeus desconhecido, que viria a receber o nome de América (ver o artigo Magnus Tellus para a origem do nome dos Continentes). Até ao fim da sua vida, Colombo pensou que tinha chegado à Índia e daí os povos que lá viviam terem recebido o nome de «Índios» (modernamente opta-se pela designação «Ameríndios», para evitar confusões). Sobre Colombo há ainda que referir que ele designou, a ilha depois chamada de «Cuba», de «Isla Juana» em homenagem ao filho varão dos Reis espanhóis, Juan, príncipe das Astúrias, que morreu com 19 anos (em 1497), a caminho do casamento da sua irmã mais velha, D. Isabel, que se casou com o sucessor de D. João II, D. Manuel I, o venturoso) pelo que a ideia de que Colombo era português, nascido em Cuba, Alentejo, e por isso ter assim chamado à ilha que descobriu, cai por Terra (pode até ter nascido português mas o nome de Cuba não remete para a localidade portuguesa). O nome «Cuba» terá vindo ou de «Cubao» (onde há terra fértil abundante) ou «Coabana» (grande local), da língua dos povos que moravam na ilha quando a expedição espanhol lá chegou.
A história de um Colombo a enfrentar a ideia generalizada de que a Terra seria plana terá surgido apenas no século 19, pelas mãos do ensaísta e autor norte-americano Washington Irving, numa ficção histórica de nome «A vida e viagens de Cristóvão Colombo» (The Life and Voyages of Christopher Columbus).

No entanto, apesar da noção de que a Terra era esférica (ou elipsóide) datar dos antigos Gregos, durante séculos não existiu a Matemática que permitisse estudar convenientemente a geometria desta Terra curva. Apesar de se saber que a Terra era curva, apenas a Geometria plana era conhecida. No século 3 AC, o matemático grego Euclides de Alexandria escreveu a sua obra «Elementos» (dividida em 13 livros) e a Matemática ainda hoje se desenvolve com o espírito que Euclides usou na sua obra.
Esquecida durante vários séculos, a sua obra foi dos primeiros livros a serem publicados, em 1482) usando a prensa recém-inventada (cujo primeiro livro que imprimiu, a Bíblia, em 1452) prensa de Gutemberg. Conjectura-se que, depois da Bíblia, é o livro mais vezes foi impresso, tamanho foi o seu sucesso e importância.
(Mais sobre Gutemberg e a origem da translinearização pode ser lido em 42 regras). Nesta importante obra, que dominou o pensamento matemático até hoje, Euclides parte de 5 axiomas (um axioma é uma proposição que não carece de demonstração por ser intuitivamente evidente, como o célebre axioma de Descartes «Penso logo existo» que é obviamente verdadeiro) básicos e incontestáveis e, com base neles, construía uma série de demonstrações.
Um pouco como se, usando 5 expressões de uma Língua estrangeira, se fosse a um país onde ela era falada e, a partir das 5 expressões que se tinha, se fosse reconstruindo e aprendendo toda a Língua. Podia ser, por exemplo, «Bom dia», «Que horas são?», «Quanto é?», «Sim» e «Não». Mas como poderia entender as respostas não entendendo a Língua? Talvez fosse melhor «Não compreendo porque não falo a vossa Língua», «Pode-me mostrar o caminho para...», «Indique-me onde posso comer e dormir», «Explique com sinais de mãos o que quer dizer» e «O que acabei de dizer está correcto?». Talvez se governasse melhor com estas expressões, para poder ir aprendendo a Língua interagindo com os seus falantes. Talvez a expressão «Como se chama isto para o qual estou a apontar?» pudesse dar jeito e substituir uma das outras. Podia haver ainda outras expressões que ajudariam o pobre visitante a aprender a Língua do País que visitava. Provavelmente cada um teria a sua opinião sobre quais seriam as 5 expressões mais úteis para ajudar alguém, sem assistência, a aprender uma Língua estrangeira.

Foi de uma base semelhante que Euclides partiu para demonstrar uma série de propriedades sobre várias figuras, fundando assim a Geometria como hoje a conhecemos, de uma forma tão sólida e incontestável que perdurou até aos dias de hoje como a única forma de se fazer Matemática (as relativamente recentes tentativas de utilizar demonstrações com base em cálculos gigantes efectuados por computadores não têm sido aceites pela comunidade matemática, como foi o caso do Mapa de 4 cores). Partindo dos axiomas, demonstrava outras afirmações, usando-as também para demonstrações posteriores, uma construção de um imenso edifício com base em apenas 5 alicerces.

Por exemplo, suponhamos que tínhamos estes axiomas, referentes a uma sala com 5 crianças e 10 brinquedos:
.: 1) Cada criança tem, pelo menos, um brinquedo;
.: 2) Cada criança demora o mesmo tempo a arrumar um brinquedo;
.: 3) As crianças só podem lanchar depois de arrumarem os brinquedos;
.: 4) O Leonardo tem 4 brinquedos;
.: 5) O último a chegar come pão com manteiga e não bolachas;
Daqui poderíamos então fazer a seguinte afirmação (teorema):
O Leonardo não comerá bolachas.
Demonstração:
Há 5 crianças e, pelo axioma 4, o Leonardo tem 4 brinquedos.
Assim, as outras crianças têm necessariamente menos de 4 brinquedos.
Se outra tivesse também 4 brinquedos, então ela e o Leonardo teriam 8 brinquedos, no total. Mas assim só sobrariam 2 brinquedos para as outras 3 crianças. Mas, pelo axioma 1, cada criança tem, pelo menos um brinquedo. Assim, as outras crianças têm todas menos de 4 brinquedos e o Leonardo é o que tem mais brinquedos. Como, pelo axioma 2, cada criança demora o mesmo tempo a arrumar cada brinquedo, o Leonardo, sendo a que tem mais brinquedos, é a que demorará mais tempo a arrumá-los. Assim, como pelo axioma 3, só poderá ir lanchar depois de arrumar todos os brinquedos, sendo o último. Pelo axioma 5, isso significa que comerá pão com manteiga e não bolachas, c.q.d. (como queríamos demonstrar).
Eu pessoalmente prefiro a expressão latina q.e.d. (quod erat demonstratum) que significa o mesmo.

A diferença entre este simples exemplo de deduções lógicas (como Sherlock Holmes faria, tendo o seu autor, Arthur Conan Doyle sido, como a generalidade dos seus contemporâneos letrados, fortemente influenciado pelas demonstrações de Euclides) e os Elementos de Euclides é grande: o exemplo refere apenas uma sala com condições especiais, enquanto Euclides se refere há totalidade das figuras geométricas. Os 5 axiomas que Euclides usa para fundar toda a Geometria (plana) são:
1) Dois pontos podem ser unidos por uma recta;
2) Um segmento de recta pode ser estendido tanto quanto se deseje;
3) Em qualquer segmento de recta, uma circunferência pode ser traçada, tendo o segmento de recta como raio e o seu centro como um dos extremos do segmento;
4) Todos os ângulos rectos são iguais;
5) Se duas rectas intersectam uma terceira e um dos ângulos for menor do que a soma de dois ângulos rectos, as duas rectas intersectam-se se estendidas suficientemente.
É importante realçar que os Gregos não tinham a noção de infinito nem de indefinidamente, pelo que referiam um segmento a ser estendido tanto quanto se deseje, em vez de referirem uma recta de comprimento infinito..

De todas as suas 5 proposições, era da quinta (realçada a negrito) que Euclides e os seus contemporâneos tinham mais reticências quanto à sua evidência lógica. Este proposição, conhecida também como o Postulado das Paralelas, é equivalente a dizer que duas rectas paralelas nunca se cruzam. E, ao longo da História, muitos foram os que procuraram tornar o 5.º axioma desnecessário e provado usando os outros 4. Mas todas as tentativas foram em vão. Isso porque o 5.º axioma prende-se com uma característica própria do espaço em que se está a concretizar a Geometria. Num espaço plano (como uma folha de papel), é verdade que rectas paralelas mantêm sempre a mesma distância entre si e nunca se cruzam. O que esses Matemáticos só tiveram noção, a partir sensivelmente do século 19, era que havia outras Geometrias, em espaços que não eram planos (Geometrias não-Euclidianas). Se o espaço for côncavo (curvo para fora de si, curvatura positiva) rectas paralelas têm a distância entre si sempre a diminuir e cruzam-se em infinitos pontos enquanto que, se o espaço for convexo (curva para dentro de si, curvatura negativa), rectas paralelas têm a distância entre si sempre a aumentar e nunca se cruzam. Um exemplo bom de uma curvatura positiva é o da superfície da Terra. Nela, rectas paralelas (os meridianos) cruzam-se nos pólos (infinitas vezes, já que têm comprimento infinito) e a soma dos ângulos internos de um triângulo é maior do que 180º.

E desde Einstein e a sua Relatividade Geral (que aborda a problemática da gravidade) que sabemos que a matéria encurva o espaço-plano e que não vivemos num Mundo plano, nem mesmo num Universo plano. Apenas localmente há aproximadamente áreas aparentemente planas...

A mente humana é como o nosso Mundo: só localmente é que pode dar a aparência de ser plana. Mas a nossa mente é elíptica e as rectas que traça para a vida cruzam-se infinitas vezes no espaço da sua vida... E infinitamente com os meridianos dos outros...