Cognosco

Pessoa (in)completa

O Binómio de Newton é tão belo rigado pela chamada de atenção, como a Vénus de Milo,
o que há é poucos para perceber isso


Eis uma das citações de um famoso poeta português, Fernando Pessoa, pela "mão" de um seu heterónimo, Álvaro de Campos (Obrigado pelo chamada de atenção, Francisco Dias). Fernando Pessoa conhecia, usava e gostava do Binómio de Newton porque este era uma valiosa ferramenta nos seus cálculos astrológicos (cada um com a sua idiossincracia. Até os seus ortónimos foram criados de acordo com um mapa astral...)

Mas quantos do que já estudaram Português alguma vez se perguntaram o que é o Binómio de Newton? E quantos de facto alguma vez chegaram a ter uma resposta a essa questão? Ou a saber porque o achava Pessoa?

O que é o Binómio de Newton é uma questão simples, de resposta simples mas que necessita de alguns pozinhos de perlim-pim-pim matemáticos que qualquer criança com 12 anos possui no seu saco de pozinhos mágicos que leva todos os dias para a escola.

~Primeiro: o Binómio de Newton é uma forma de fazer contas grandes, complexas e chatas de uma forma simples e rápida. São contas que, se não fosse por este método, eram compridas de fazer e escrever mesmo usando uma calculadora.
(por exemplo, quanto é (18 + 5)⁷ ou (x - 2)⁵)

~Segundo: foi de facto Newton quem desenvolveu este método (que tem justamente o seu nome) como forma de simplificar contas que necessitava fazer mas para as quais tinha pouco tempo ou paciência para fazer. E fê-lo de uma forma simples, bonita, elegante e que ligava a Matemática contemporânea com a chinesa de milhares de anos A.C.

~Terceiro: os Chineses entram nesta história porque gostavam de brincar com os números, de os colocar de formas diferentes numa folha de papel e achar padrões bonitos ou engraçados. Uma dessas formas que descobriram foi o denominado, milhares de anos depois, de Triângulo de Pascal, assim chamado porque o Filósofo/Matemático Pascal redescobriu-o pensando ter sido o primeiro a fazê-lo.
Este triângulo é simples de fazer e compreender. Trata-se de filas de números umas por baixo das outras, cada fila com mais um número do que a anterior, cada fila a começar e a acabar em 1 e cada fila a ser formada somando dois números consecutivos da fila anterior e colocando o resultado por baixo dos dois, desta forma:

(os hexágonos da figura servem apenas como auxiliar visual. O Triângulo de Pascal são só os números e o triângulo pode ser aumentado quanto se queira.)

~Quarto: Entram os pozinhos. É preciso lembrar o que são variáveis e como se fazem contas com elas. Por exemplo, x + x = 2x, x x x = x². O Triângulo de Pascal serve também para fazer contas parecidas mas mais chatas (e quanto mais compridas são mas chatas são). Por exemplo:
(x + 1)⁰ = 1
(x + 1)¹ = x + 1
(x + 1)² = x² + 2x + 1
(x + 1)³ = x³ + 3x² + 3xx + 1
(x + 1)⁴ = x⁴ + 4x³ + 6x² + 4x + 1
...
(como estas contas dão este resultado é mais demorado de explicar, mas ³ significa que se multiplica por si mesmo 3 vezes).
~Quinto: mas o que tem a ver aquele triângulo de cima com estas avantesmas de contas? Aí é que entre o Binómio de Newton. Se se reparar no triângulo e nas contas é fácil de reparar que:
~ quando está elevado a 0 (⁰) o resultado é 1 (1ª linha do triângulo);
~ quando é ¹ dá 1 x x + 1 x 1 (2ª linha);
~ quando é ² dá 1 x x + 2 x x + 1 (3ª linha)
~ quando é ³ dá 1 x x³ + 3x² + 3 x x² + 1 x 1 (4ª linha)
E este padrão repete-se indefinidamente. Se se quisesse ⁷ era só: ~ verificar os números da 7ª linha ( 1 7 21 35 35 21 7 1);
~ escrever o x⁷ + 7 x x⁶ + 21 x x⁵ + 35 x x⁴ + 35 x x³ + 21 x x² + 7 x x + 1
~ cada x está elevado a um número cada vez mais pequeno, começando naquele ao qual se estava a elevar o (x + 1)
Isto também se aplica a outros binómios, como (x - 3) ou (2x +5)...
A fórmula matemática é

em que o sigma inicial representa a sucessão de somas a fazer.

Eis porque o Binómio de Newton é tão belo como a Vénus de Milo. Contas chatas e compridas (aquela do ⁷ gastaria à vontade um página A4 para se fazer completa) são magicamente trnasformadas, e usando um triângulo simples e curioso de escrever, num resultado fácil de escrever e pequeno (uma só linha).
Se bem que na minha opinião o Binómio de Newton é mais belo do que a Vénus de Milo. Além de que não lhe falta nem braços nem as cores originais...