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Herão tão fáceis

Qualquer um que tenha pelo menos a escolaridade obrigatória sabe que a fórmula para calcular a área de um triângulo é A = b x h / 2, em que:
A é a área, b é o comprimento da base e h é a altura.


Esta fórmula é muito simples de usar quando o triângulo é rectângulo. Aí o comprimento da altura (h) é simplesmente um lado.

Mas quando o triângulo não é rectângulo, a altura já não é um dos lados.
Tem de se dividir o triângulo em 2 triângulos rectângulos e a altura será o lado recto. Usa-se então o Teorema de Pitágoras (ainda mais reconhecido) para calcular a altura e só depois se consegue calcular a Área do triângulo.

Não é difícil mas exige algumas contas.

Se ao menos houvesse uma fórmula que era só colocar os lados e dava logo o resultado da área... - suspiram muitos alunos (e não-alunos).

Pois não é que há realmente essa fórmula?! É só colocar os lados do triângulo que se quer calcular a Área e já está.

Essa fórmula chama-se Fórmula de Herão:

em que s é a soma de todos os lados a dividir por 2 e a, b, c são os lados do triângulo.

e.g. É preciso calcular a área de um pano triangular que tem de lados 10, 8 e 6 decímetros..
Na forma usual, teria de se encontrar a altura do triângulo (pelo Teorema de Pitágoras) e depois calcular a Área.

Mas com a Fórmula de Herão fica tudo mais fácil:
Podemos fazer a = 8, b = 10, c = 6 (a ordem dos lados não interessa. Como s é a metade da soma dos lados, s = (6 + 8 + 10)/2 = 24/2 = 12

A Área é então a raíz quadrada de 12 x (12 - 8) x (12 - 10) x (12 - 6).
Ou seja, é a raíz quadrada de 12 x 4 x 2 x 6 = 576.
Ou seja, a Área é 24 dm².

Não foi preciso dividir o triângulo, nem o Teorema de Pitágoras, nem calcular alturas.
Umas simples contas que se fazem numa calculadora vulgar e temos a resposta!

Herão de Alexandria (10AD-70AD) foi um Engenheiro e Matemático grego. Ficou célebre pelos seus autómatos que se moviam e agiam coordenadamente mediante simples leis da Física. Uma das mais conhecidas será o eolípila, uma esfera de metal, ligada, por dois tubos, a uma base onde água era aquecida. O vapor, ao sair através das saídas da esfera, fazia-a girar. Uma outra, as portas do templo que se abriam quando se acendia o fogo no altar (usando princípios da Pneumática, o ar quente deslocava-se e empurrava a água de um contentor. Esse deslocamento da água punha em movimento rodas e cordas escondidas que acabavam por abrir a porta). Ou então jardins adornados com pássaros metálicos que se moviam e cantavam (através do deslocamento de água de uma fonte subterrânea), a primeira máquina de venda automática que, colocada num templo, fornecia uma quantidade certa de água ao crente que nela colocasse uma moeda. Igualmente este teorema, que permite o cálculo de áreas de triângulos, conhecidos os seus três lados. E muitas mais invenções legou ao Mundo este fecundo polimático grego.