Cognosco

Provavelmente este o "blog" mais interessante que visito.Tank´s por tudo e também por estas informações despretensiosas e úteis para confirmar certezas, ou acentuar dúvidas. Cogitado por: kamaruana a maio 23, 2005 12:36 PM

É bom que esclareças determinadas coisas. Muito bom artigo. Cogitado por: Rata Zinger a maio 23, 2005 01:29 PM

De fato você está certo. Quando não se conhece o contexto, costuma-se cometer erros. Como no seu caso ao citar Júlio César, cuja expressão "alea jacta est" é traduzida como "a sorte está lançada", apesar de não dizer exatamente isso. Cogitado por: Buba a julho 6, 2009 09:32 PM

Olá Mauro. Enquanto não descubro o procedimento correcto para calcular um simples momento de inércia (é caso para dizer que a minha cabeça não pára de andar às voltas), proponho-te este desafio interessantíssimo, relacionado com o cálculo de probabilidades, que encontrei num velho livro da Gradiva. Trata-se de um jogo de dados a ser jogado por duas pessoas. Há quatro dados disponíveis, mas não são dados vulgares. Em vez dos habituais números de 1 a 6, as suas faces exibem as seguintes configurações: Dado A: 0, 0, 4, 4, 4 e 4. Dado B: 3, 3, 3, 3, 3 e 3. Dado C: 2, 2, 2, 2, 6 e 6. Dado D: 1, 1, 1, 5, 5 e 5. Considere-se que os dados são equilibrados, no sentido em que, quando lançados, a probabilidade de uma qualquer face ficar virada para cima é de 1/6. O primeiro jogador escolhe um dado deste conjunto. O segundo jogador escolhe um dos três dados restantes. Lançam-se ambos os dados e vence aquele a quem sair o maior número. Existe alguma estratégia ganhadora para este jogo? Em caso afirmativo, qual? Numa primeira abordagem ao problema, parece que o primeiro jogador dispõe de uma vantagem decisiva, na medida em que pode escolher o "melhor" de todos os dados. Ou não será assim? A resposta é surpreendente :-) Cogitado por: . a julho 8, 2009 10:34 AM

Obrigado, «Buba», por me chamares a atenção a essa tradução incorrecta. De facto, «Alea» é o nome em Latim para «dados», «jacta» é o verbo lançar e «est» do verbo «esse» (ser em Latim). »Os dados estão lançados» é a correcta tradução literal, que comporta o mesmo significado que a usual tradução «A sorte está lançada». Mudarei esta incorrecta tradução para a mais correcta. Agradeço-te teres-me chamado a atenção para isso. Também eu, «.», tenho andado (e ando) com a cabeça cheia de outras coisas, como se pode constatar pelo Cognosco. Realmente é uma pergunta interessante e o resultado, como em todos os problemas interessantes, é simultaneamente surpreendente e não. Não vi ainda com cuidado a justificação teórica, mas a probabilidade total de ganhar escolhendo A é p(A)=0,12037 (13/108); p(B)=p(C)=p(D)=0,115741 (25/216). A diferença é muito pequena (0,00462(962) ou perto de 0,463%). Não chega a meio de 1 porcento (se os meus cálculos estiverem bem). Perdi mais tempo a divertir-me um pouco a fazer uma folha de cálculo que apresentasse estes resultados como fracções irredutíveis (especialmente as somas das fracções já irredutíveis) tendo em conta os casos favoráveis e possíveis (fiz uma tabela de dupla entrada). Interessante a questão. A minha conclusão? É um jogo quase justo bom para jogar com os amigos mas será difíxil ficarmos ricos assim ;). E se puséssemos a hipótese de sermos nós os segundos a escolher, não tendo o nosso amigo noção desta escolha mais favorável? Gostava de pensar nisso mas tenho de me ir arranjar para um jantar. Cogitado por: Mauro a julho 8, 2009 02:33 PM

Não te esqueças de que, em cada jogada, há dois dados em confronto. Temos, portanto, de contar os casos favoráveis e os casos possíveis para cada par de dados em confronto. O número de casos possíveis é sempre de 6 x 6 = 36, pois cada dado tem 6 faces e são lançados 2 dados. Comecemos por confrontar, por exemplo, os dados A e B: dos 36 casos possíveis, 24 são favoráveis a A (quando sai uma face com "4" e uma face com "3"); 12 casos são favoráveis a B (quando sai uma face com "0" e uma face com "3"). Ou seja, podemos afirmar que o dado A vence o dado B com uma probabilidade de 24/36 = 2/3. Proponho agora que confrontes os dados B e C; em seguida, os dados C e D. E tira as tuas conclusões. Mas não deixes que isso te estrague a digestão do jantar. Bom apetite :-) Cogitado por: . a julho 8, 2009 08:40 PM

Desculpa o atraso da resposta mas estas últimas semanas têm sido cheias de trabalho. E as próximas também prometem... Vejamos então a situação: dois dados são lançados, cada um com 6 possibilidades, num total de 36 casos em cada lançamento. Mas a probabilidade aqui, penso, não se esgota só no lançamento de um par de dados. É necessário ter em conta também a escolha dos dados. Analisando esta probabilidade em termos de pares de dados, em que a ordem é relevante, já que ser o jogador 1 a ter o dado A é diferente de ser o jogador 2 a ter o dado A, teremos os casos AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB e DC. Em cada um deles há um número diferente de possibilidades. Assim, no par AB, temos os casos 03 (12x) e 43 (24x); no par AC, temos 02 (8x), 06 (4x), 42 (16x) e 46 (8x); AD, 01 (6x), 05 (6x), 41 (12x) e 4 5 (12x). Seria fastidioso enumerar todos os casos para todos os pares possíveis. Mas cada par tem 36 possibilidades e há 12 pares. 36x12=432. Quando os dados são lançados, o jogador 1 ganha se o seu par for vencedor. Se tiver escolhido o dado A, tem 52 casos em que vence (24AB, 16AC, 12AD). Se tiver escolhido o dado B, tem 54 (12BA, 24BC, 18BD). Se tiver escolhido o C, tem 56 (20CA, 12CB, 24CD). Se tiver escolhido o D, tem 54 (24DA, 18DB, 12DC). Então a probabilidade de ganhar se tiver escolhido A é p(A)=52/216=13/54; p(B)=54/216=1/4; p(C)=56/216=7/27; p(D)=54/216=1/4. De todas estas possibilidades, escolher o C é o que terá uma maior, ainda que ligeira, vantagem para ganhar. Há um total de 216 casos em que vence e um total de 216 casos em que perde. A probabilidade de ganhar se escolher ao acaso o dado é 50% e de perder se escolher ao acaso é 50%. Mas se escolher o dado C tem uma ligeira vantagem... Ou então tenho já a cabeça feita em água e só fazendo uma simulação estatística é que me ajudará a perceber se o meu raciocínio bate certo ou não. Cogitado por: Mauro a julho 16, 2009 11:51 AM

Não tens de pedir desculpa. Os teus cálculos aplicar-se-iam a uma situação em que a atribuição dos dados aos jogadores se efectuasse de uma maneira aleatória. Mas não é isso que sucede neste jogo. O jogador 1 tem total liberdade de escolha do dado com que pretende jogar; o jogador 2 também tem alguma liberdade, embora menos, pois não pode escolher o dado que já foi escolhido pelo adversário. Tenho de sair por umas horas, mas assim que regressar completo o raciocínio. Até logo :-) Cogitado por: . a julho 16, 2009 01:40 PM

Bem, a minha simulação mostra que cometi algum erro teórico ainda que o meu raciocínio esteja no caminho certo. As probabilidades aproximadas a duas casas decimais são p(A)=0,13; p(B)=0,125;p(C)=0,12;p(D)=0,125. Escolher o dado B ou D dá sempre mais mais vantagens. E confirmo que os acontecimentos {ganhar} e {não ganhar} são realmente equiprováveis. Assim que puder revererei os meus cálculos teóricos. Cogitado por: Mauro a julho 16, 2009 02:12 PM

De volta. OK, vamos admitir que tens razão quando dizes que escolher o dado B ou o dado D dá sempre mais vantagens. O jogador 1 decide, então, escolher o dado B. O jogador 2 opta pelo dado A. Jogam e o jogador 2 ganha com probabilidade de 2/3 pois, tal como demonstrado em comentário anterior (e por ti confirmado), no confronto entre A e B há 24 casos favoráveis a A num total de 36 casos possíveis. Obter-se-ia um resultado idêntico se o jogador 1 escolhesse o dado D. Neste caso o jogador 2 optaria pelo C. Analisemos o que resulta do confronto entre estes dois dados: de um total de 36 casos possíveis, há apenas 12 que são favoráveis a D (quando sai uma face com "2" e uma face com "5"); os 24 restantes ("2" vs. "1", "6" vs. "1" e "6" vs. "5") são todos favoráveis a C. Logo, C (e, por conseguinte o jogador 2) vence mais uma vez D (jogador 1), com uma probabilidade de 24/36 = 2/3 :-) Cogitado por: . a julho 16, 2009 04:02 PM

Vou só resumir, para tentar não me perder no meio desta confusão: Escolher o dado B não parece ser boa ideia, pois A vence B com probabilidade de 2/3. Escolher o dado D também não parece ser boa ideia, pois C vence D com probabilidade de 2/3. Falta ver o que sucederá quando o jogador 1 escolher o dado A ou o dado C ;-) Cogitado por: . a julho 16, 2009 04:11 PM

Ando de facto com a cabeça em água. Estive então a rever os meus cálculos teóricos e também a minha simulação. A minha simulação tinha de facto erros, entretanto resolvidos. Na simulação, contemplei cada par possível de dados e números aleatórios eram gerados, sendo depois escolhido a face correspondente no dado. Depois eram contadas as vitórias. O que obtive nos cálculos teóricos foi que p(A)= 13/108 (0,12(037) ); p(B)=1/8 (0,125); p(C)=7/54 (0,12(962) ); p(D)=1/8 (0,125). Ou seja, o dado C tem uma ligeira maior probabilidade de ganhar, depois dado B ou D e por último o dado A. A simulação de 25 000 lançamentos de dados também o indica. Ou seja, o dado C é mesmo a melhor opção, ainda que muito ligeiramente. Testei a inha simulação para a situação de doados normais (com faces de 1 a 6). O resultado foi o esperado: nenhum dado tem vantagem. A probabilidade de o jogador 1 ganhar é de cerca de 41,7%, assim como é o de ganhar o jogador 2. A probabilidade de empatarem é de 16,6%, Cogitado por: Mauro a julho 18, 2009 02:29 AM

Olá Mauro. Estou numa posição privilegiada, pois tive a possibilidade de ler a solução no livro que referi. Mas não quero abusar do teu tempo nem da tua paciência. Se o estiver a fazer, diz e eu transmito-te imediatamente a solução. Vamos então considerar o dado C como sendo a melhor opção. O jogador 1 escolhe C. O jogador 2 escolhe B. Lançam os dados. Dos 36 casos possíveis, 24 são favoráveis a B (quando sai uma face com "3" e uma face com "2"), enquanto apenas 12 são favoráveis a C (quando sai uma face com "3" e uma face com "6"). Mais uma vez, o jogador 2 (dado B) vence o jogador 1 (dado C) com probabilidade 24/36 = 2/3 :-) Vou fazer novo resumo da situação: O dado A vence B com probabilidade de 2/3. O dado B vence C com probabilidade de 2/3. O dado C vence D com probabilidade de 2/3. O melhor de todos os dados não poderá, portanto, ser B, nem C, nem D. Resta apenas A. Será este o dado vencedor? ;-) Cogitado por: . a julho 18, 2009 11:38 AM

Nunca maças, «.«, é sempre um prazer receber-te no Cognosco e trocar ideias. Eu infelizmente nem sempre posso responder atempadamente. Revi as minhas simulações e cálculos teóricos. A única questão de que me aperceb foi que eu estava a utilizar um valor errado para os casos possíveis do jagador 1. Mas as conclusões mantêm-se, já que estava a usar o dobro do valor correcto. Assim o número de vezes que A ganha a B é 12; AC=20; AD=24; BA=24; B=12; BD=18; CA=16; CB=24; CD=12; DA=12; DB=18; DC=24. Com um número de casos possíveis para a escolha do jagador 1, escolher o dado A dá uma vantagem de 7/27 (25,926%); escolher B dá 1/4 (25%); escolher C dá 13/54 (22,074%); escolher D dá 1/4 (25%). Realmente o dado A é a melhor escolha. Ufa, isto é que foi uma sucessão de passos em falso (mas na direcção certa) ;) Cogitado por: Mauro a julho 26, 2009 12:17 AM

Ahaha, estamos a ir na direcção certa, mas ainda lá não chegámos. Agora é a parte verdadeiramente surpreendente do problema se começa a revelar. Admitamos que o dado A constitui, realmente, a melhor escolha. O jogador 1 escolhe A. O jogador 2 opta por D. Lançam os dados. Dos 36 casos possíveis, apenas 12 são favoráveis a A (quando sai uma face com "4" e uma face com "1"). Os restantes 24 casos são favoráveis a D. Mais uma vez, o jogador 2 (dado D) vence o jogador 1 (dado A) com probabilidade 24/36 = 2/3 :-) Vou fazer novo resumo da situação: O dado A vence B com probabilidade de 2/3. O dado B vence C com probabilidade de 2/3. O dado C vence D com probabilidade de 2/3. O dado D vence A com probabilidade de 2/3. E esta? Parece que já não restam candidatos a "melhor de todos os dados" :-) Cogitado por: . a julho 26, 2009 09:41 AM

Vou tentar estabelecer uma analogia com outra situação: considera a relação "X é mais pesado do que Y" aplicada a um conjunto de três animais. Por exemplo: o elefante, o cão e a formiga. Sabendo que o elefante é mais pesado do que o cão; e que o cão é mais pesado do que a formiga; podemos concluir, com base na aplicação de uma propriedade bem conhecida, que o elefante é mais pesado do que a formiga. O que se está a passar com o problema dos dados equivale, nesta analogia, a considerar um quarto animal que é simultaneamente mais leve do que uma formiga e mais pesado do que um elefante. Estranho, não? Cogitado por: . a julho 26, 2009 10:13 AM

Bem, «.». estamos então aqui a entrar num campo matemático diferente. Primeiro estabeleçamos alguns pontos de apoio argumentativo. A pergunta era saber qual o dado que o jogador 1 deverá escolher para ter maior probabilidade de ganhar. A resposta é claramente o dado A, uma vez que ele desconhece qual o dado que o jagador 2 escolherá. Apesar de perder mais vezes com B, ganha mais vezes com C e com D. Já B só ganha a A, perdendo com C e D. Se o jagador 1 soubesse que o jogador 2 escolheria o dado B, então a probabilidade deixaria de ser simples, uma vez que há uma nova informação que altera a probabilidade. Dou um exemplo: suponhamos que passo uma noite num hotel em Portugal. Há 100 hóspedes portugueses hospedados nessa noite. Qual a probabilidade da média das alturas de todos ser superior a 1,80 metros? Tendo em conta que são portugueses e a média de alturas da população portuguesa, a pobabilidade seria pequena. Mas agora suponhamos que se está a realizar um campeonato português de basquetebol e que todas as equipas estão hospedadas no hotel. A probabilidade mantém-se pequena? Não, tendo a informação extra de que se tratam de jogadores de bassquetebol, a probabilidade de que a média de alturas dos hóspedes seja superior a 1,80 metros sobe imenso. A probabilidade simples requer apenas contar casos favoráveis e casos possíveis. Com informação extra a probabilidade passa a ser uma probabilidade condicionada e o valor é diferente. Um caso concreto e calculável: Num saco há 10 bolas numeradas de 1 a 10, cinco pintadas de preto e cinco de branco. Se eu retirar uma bola ao acaso, sem olhar, a probabilidade de que me saia o número 5 é 1/10. Mas se os números pares estiverem nas bolas pretas e os ímpares nas brancas e eu souber que retiro uma bola branca, a probabilidade de que me saia o número 5 já passa a ser 1/5 (há apenas 1 bola branca com o número 5 nas 5 bolas brancas). Probabilidade condicionada: P(A|B)= p(A&B)/P(B). Neste caso, a probabilidade de que me saia o número 5 sabendo que me saiu uma bola branca (probabilidade condicionada) é igual à probabilidade de que me saia uma bola branca com o número 5 (1/10) a dividir pela probabilidade de que me saia uma bola branca (1/2). Outro exemplo: tenho dois sacos com 4 bolas cada. No primeiro saco há 3 bolas brancas e uma preta e no segundo saco há 2 bolas brancas e 2 pretas. Se retirar uma bola sem ver qual o saco de que retiro, a probabilidade de que seja branca é 5/8. Mas se eu souber que retirei a bola do primeiro saco a probabilidade muda, passa a ser condicionada por esta informação extra. P(B|S1) = P(B&S1) / P(S1) = 3/8 (há apenas 3 bolas brancas que estão no saco 1 das 8 bolas possíveis) a dividir por 1/2 (um saco dos 2 possíveis). A probabilidade passa então a ser (3/8)/(1/2) = 3/4. Fica realmente uma fila probabilística curiosa, 2/3; 2/3; 2/3; 2/3. Ainda que, na verdade, P(AB) seja 1/3 e não 2/3 (A ganha a B 12 vezes em 36 possíveis). Uma relaçao como a que pretendes é atingida com AD; DC; CB; BA. Mas isto não é relevante em termos de probabilidades: a probabilidade total de A continua a ser 3/27, ainda que a probabilidade de AB seja de 1/3. Se o jogador 1 souber que o jogador 2 escolhe B (por exemplo) 3/4 das vezes que joga, a probabilidade passa a ser diferente. P(A|2B)=p(A&2B)/p(2B). A probabilidade de que A ganhe sabendo que o jogador 2 escolhe B 3/4 das vezes que joga é a probabilidade de A ganhar das vezes que o jogador 2 escoheu B a dividir pela probabilidade de o jogador 2 escolher B. p(A|2B)= (12/216) / (3/4) = 2/27. A lei da transitividade a que te referes, ainda que seja aplicável a muitas relações matemáticas entre números e objectos, não é universal. É verdade que se A é maior que B e B é maior que C então A é maior do que C. A relação {é maior do que} é transitiva, pelo que é impossível que A seja maior do que B, B maior do que C e C seja maior do que A. Estou a tentar lembrar-me de algumas relações intransitivas. Para já lembro-me do paradoxo de Condorcet, que pode surgir do método eleitoral que este matemático concebeu, no qual é possível um candidato A ganhar a B, B ganhar a C e C ganhar a A. Recordo-me dos verbos intransitivos (mas estes nada têm de relações matemáticas). Ocorre-me um exemplo mais simples: suponhamos a relação {ama}. A ama B, que ama C (faz lembrar o poema de Drummond!) Mas isso não implica que A ame C (as relações amorosas não são transitivas!) Nem todas as relações entre objectos matemáticos é transitiva, ainda que muitas sejam (e dê de facto muito jeito que assim seja). Fiz uma pesquisa breve e superficial no Google e os exemplos que obtive foram curiosamente estes mesmos. Se me ocorrer mais algum digo. Talvez só na Lógica consiga encontrar mais exemplos mas serão difíceis de descrever. A relação {bebe uma cerveja com}: A bebe uma cerveja com B; bebe uma cerveja com C; mas A não bebe necessariamente uma cerveja com C. A relação {é amigo de} é semelnate a {ama}. {ganha a }: a equipa A ganha a B; B ganha a C; mas A pode não ganhar a C. Em Geometria, a relação {dista 2 unidades de}: o vértice A dista 2 unidades a B, B dista 2 unidades de C mas A nao dista 2 unidades de C. Em Cálculo: a relação {é metade de}: A=3 é metade de B=6; B é metade de C=12. Mas A não é metade de C. Nem todas as relações entre objectos matemáticos são transitivas. Cogitado por: Mauro a julho 28, 2009 02:20 AM

Olá Mauro. A pergunta não consistia em saber qual o dado que o jogador 1 deverá escolher para ter maior probabilidade de ganhar. As perguntas eram as seguintes (vou copiar/colar do meu primeiro comentário): "Existe alguma estratégia ganhadora para este jogo? Em caso afirmativo, qual? Numa primeira abordagem ao problema, parece que o primeiro jogador dispõe de uma vantagem decisiva, na medida em que pode escolher o "melhor" de todos os dados. Ou não será assim?". A resposta é que não será assim, pois não existe um dado que seja o "melhor" de todos os dados. E não existe porque a relação "o dado X vence o dado Y", quando aplicada ao universo específico destes quatro dados, não goza da propriedade transitiva :-) Obviamente os dados foram criteriosamente escolhidos de forma a ilustrar precisamente este aspecto. Segundo o livro, quem o fez foi um professor de Estatística da Universidade de Stanford, de seu nome Bradley Efron. A situação é semelhante à do paradoxo de Condorcet, como bem referes: o dado A vence B; B vence C; C vence D; e D (contra-intuitiva e surpreendentemente) vence A. A natureza não transitiva desta relação altera completamente o equilíbrio de forças entre os dois jogadores. É verdade que o jogador 1 dispõe de uma maior liberdade de escolha, mas o jogador 2 dispõe de mais informação, pois sabe qual foi o dado que o seu adversário escolheu. A estratégia vencedora será, portanto, a seguinte: deixar o adversário escolher primeiro. Se o adversário escolher D, optar por C; se escolher C, optar por B; se escolher B, optar por A; e se escolher A, optar por D. Em qualquer dos casos, o jogador 2 vencerá o jogador 1 com probabilidade de 2/3 :-) O livro que descreve este problema é este (passe a publicidade): http://www.gradiva.pt/livro.asp?L=16010 Inclui muitas variantes deste jogo, com dados (prismas regulares) de n faces, cartas de jogar, etc. Todas elas se baseiam no mesmo princípio da não-transitividade de algumas relações. Infelizmente o livro encontra-se esgotado, mas há muita informação disponível na internet. Na Wikipédia (inclui o exemplo de Efron): http://en.wikipedia.org/wiki/Intransitive_dice Aqui até está disponível um simulador de dados intransitivos: http://edp.org/dice.htm Mas não são tão bons como os de Efron, pois a probabilidade de vitória é apenas de 5/9 :-) Cogitado por: . a julho 28, 2009 09:28 AM

Talvez a questão se prenda com o que queremos dizer com «estratégia ganhadora». Eu coloquei-me no papel do jogador 1, de frente a estes 4 curiosos dados e pensei que o melhor que eu poderia fazer era verificar todos os casos que podem ocorrer mediante a escolha dos dados. Presaupondo que as escolhas são aleatórias, seria o dado A o que mais vezes ganharia. Claro que o jogador B pode elaborar estratégias vencedoras em função da escolha do jogador 1. Eu acho este conceito dos dados intransitivos muito interessante ainda que, na perspectiva de um jogador confrontado com este jogo (e pressupondo que o jogador 2 desconhece o jogo/dados) optaria pelo dado A. Se o jogador 2 já conhecesse o jogo/dados, eu propunha que fosse ele o primeiro a escolher os dados e ficava a ver como descalçava ele/a esta bota... ;) O conceito de dados intransitivos é muito curioso (e mais um exemplo a juntar à lista das relações intransitivas), mas a questão que eu exploraria com eles talvez não fosse a de «estratégia vencedora», ainda que fique claro que, conhecendo os dois jogadores estes dados, nenhuma estratágia seria a vencedora, já que há semore um dado dentro dos 4 que é melhor do que qualquer um que escolhamos. É pena a edição portuguesa estar esgotada mas sempre temos a nossa fiel Amazon para nos ajudar (http://www.amazon.com/Wheels-Life-Other-Mathematical-Amusements/dp/0716715899/ref=sr_1_1?ie=UTF8&s=books&qid=1248814955&sr=1-1). Um conceito muito interessante que já adaptei para uma actividade para os alunos construirem os seus próprios dados com o objectivo de verificarmos qual é a melhor escolha feita por eles (números de 1 a 6, podendo haver repetições e a média das faces ser inferior a 4, para evitar os casos triviais 555555 e 666666). Estou em dívida para contigo pela semente da ideia desta actividade. :D Cogitado por: Mauro a julho 28, 2009 09:36 PM

Pois é, se o jogador 1 conhecer o jogo, não quererá ser o primeiro a escolher e lá se vai a estratégia de vitória do jogador 2. O livro também aborda este problema. Há conjuntos de dados intransitivos em que as probabilidades são mais difíceis de calcular. Aqui vai outro exemplo, também da autoria de Efron: dado A: 1, 2, 3, 9, 10, 11; dado B: 0, 1, 7, 8, 8, 9; dado C: 5, 5, 6, 6, 7, 7; dado D: 3, 4, 4, 5, 11, 12. Neste caso, existe a possibilidade de empate, pelo que a probabilidade de vencer é um pouco inferior a 2/3. É de 11/17. Há variantes deste jogo em que é possível escolher outro dado que não o que confere a maior probabilidade de vitória e, ainda assim, vencer com uma probabilidade superior a 50%. Isto permite diversificar a escolha do jogador 2 e, desta forma, dissimular um pouco a sua estratégia :-) Cogitado por: . a julho 29, 2009 10:10 AM

Só posso, «.», te agradecer pela menção a tão interessantes tópicos como este dos dados intransitivos (ou da lâmina circular cortante do Chapeleiro Louco. Ou da abordagem teórica à gravidade). Daqui te mando um abraço virtual e um grande obrigado pela tua constante e sempre apreciada presença no Cognosco. Os dados intransitivos são um conceito interessante em si si mesmo mas qual a sua profundidade em termos de ligação a outros conceitos interessantes matemáticos? Pergunta de leigo na matéria... Cogitado por: Mauro a agosto 1, 2009 08:47 PM

Olá Mauro. Este exemplo dos dados intransitivos revelou-se-me particularmente surpreendente porque, no meu desconhecimento destas matérias, sempre imaginei as relações simples, concretas, objectivas e facilmente mensuráveis/quantificáveis (tais como "X é mais pesado do que Y", ou "X é mais veloz do que Y") como sendo transitivas. Estava ao corrente da existência de relações intransitivas, mas atribuía sempre esse facto à existência de algo de vago, complexo, subjectivo ou dificilmente quantificável na essência dessas relações. Por exemplo, o jogo de ténis é intransitivo, na medida em que é possível o jogador A vencer B, B vencer C e C vencer A. Não obstante as regras do jogo de ténis serem concretas e objectivas, uma partida de ténis é muito complexa. Trata-se de um confronto entre estilos de jogo, capacidades técnicas e condições físicas distintas. E é, acima de tudo, uma guerra de nervos, pelo que a condição psicológica é importantíssima. Cada um destes factores é, em si mesmo, bastante complexo, pelo que não surpreende - pensava eu - que o ténis exiba características de não-transitividade. Pois bem, estava completamente enganado nas causas, como o jogo de dados veio demonstrar. Nada há de complexo neste último exemplo. Não há, sequer, um factor humano que possa introduzir alguma subjectividade no jogo, pois podemos colocar os jogadores de parte e encarar o problema apenas em termos de confrontos entre pares de dados. É tudo muito simples e, no entanto, intransitivo! Eu nem queria acreditar no que lia :-) Outro aspecto que me merece a pena destacar é a forma extremamente bem conseguida como Efron apresenta o problema. Consegue produzir consequências enormes a partir de algo que, à primeira vista, e para um incauto como eu, não passa de um mero pormenor técnico, uma reles minudência de matemáticos que dá pelo nome de propriedade transitiva. Repara: se os dados fossem transitivos, o jogador 1 venceria, pois teria a possibilidade de escolher sempre o melhor dado. Não sendo os dados transitivos, inverte-se o equilíbrio de forças e é o jogador 2 que, na possibilidade de escolher sempre o dado que supera o do adversário, passa à condição de vencedor. Resultados mais diferentes do que estes não há! E para passar da transitividade à não-transitividade basta, penso eu, alterar os valores de algumas, poucas, faces dos dados. Estava para aqui a pensar se seria possível explorar um eventual carácter não-transitivo de uma relação espacial. Um espaço euclidiano infinito é transitivo, no sentido em que a relação “X encontra-se mais próximo do que Y” o é. Mas num espaço com curvatura positiva, finito mas ilimitado, como, por exemplo, o equivalente tridimensional de uma superfície esférica, as coisas já não são bem assim. A galáxia A poderia encontrar-se mais próxima do que a galáxia B. E esta poderia encontrar-se mais próxima do que a galáxia C. Mas esta, paradoxalmente, poderia encontrar-se mais próxima do que A, pois poder-se-ia, eventualmente, "dar a volta pelo outro lado do Universo", qual Fernão de Magalhães cósmico :-) Se pudéssemos, de alguma forma, controlar a transitividade do espaço, poderíamos viajar para longe em pouco tempo. E se, em vez de espaço, pensarmos em espaço-tempo, e em vez de distância, pensarmos em intervalo, talvez pudéssemos viajar no tempo "em pouco espaço", ou seja, quase sem sairmos do sítio, como sucedia com H. G. Wells e a sua máquina do tempo. E verificar a existência ou não daqueles paradoxos bem conhecidos, como o de matarmos os nossos próprios avós (salvos sejam, coitados), etc. E pronto, por hoje chega de delírios. Acho que vou tomar as minhas gotinhas. Retribuo o teu abraço virtual, desejo-te boas férias (se for o caso) e renovo os votos de sucesso para o teu blog :-) Cogitado por: . a agosto 9, 2009 12:21 PM

Olá, «.». As relações intransitivas parecem ser um pouco contra-senso à primeira vista ams penso que dei bastantes exemplos num comentário anterior sobre relações intransitivas. Estamos habituados a lidar com relações transitivas na Ciência mas se pensarmos com mais cuidado muitas relações revelam-se intransitivas. Fico a pensar em que medida é que um jogo de ténis de pode comparar a um lançamento de moeda. Excepto pelo facto de ser um ou ser outro o vencedor. De qualquer forma, serão faces compostas de materiais diferentes e com pesos diferentes, tornando uma face mais provável de sair do que a outra. Ainda que surpresas possam surgir, claro. Um recém chegado pode derrotar um tenista de topo. Concordo contigo, Effron revelou uma imaginação e criatividade excelentes. Conseguir criar estes dados naquela estreita fronteira entre a maioria transitiva é surpreendente. Gostei dessa ideia do universo com curvatura positiva e fechado. É até uma das formas que se imagina que funcionem os hipotéticos wormholes e (tenho de procurar em que livro tenho essa referência) uma das soluções para as equações da teoria da relatividade encontra a possibilidade de se poder viajar no tempo apenas se o universo for fechado, curvo e em rotação. Mas podereoms usar alguma analogia mais «terrena»? Na superfície da Terra, será possível em 3 pontos na superfície, A está mais próximo de B, B mais próximo de C mas C estar mais próximo de A? Atravessando o manto, em vez dee viajar apenas na suoerfície? As viagens no tempo e no espaço ao longo do vastíssimo universo são interessantes. Além de H.G. Wells e da sua visita aos pacíficos Eloi e aos arrepiantes Morlock, recordo o conceito de viagem espacial explorado por Frank Herbert na série de livro «Dune»: a nave permanece parada, sendo o espaço em seu redor modificado pelo ficcionado campo de Holtszmann, que funciona como o canivete suíço científico, servindo para viagens espaciais, protecção física e parelho de anti-gravidade. A par da especiaria melange, é o faz tudo onde se alicerçam todas as histórias escritas. Juntando como ingredientes muita da história da I.ª Guerra Mundial passada nos territórios otomanos do Médio Oriente e da luta do povo árabe (Fremen) pela sua independência, ajudados, liderados e incentivados por um T.H. Lawrence que claramente inspirou a figura de Paul Atreides. Mas divago e a comparação entre a história de Dune e a luta árabe na I.ª Guerra Mundioal é pura especulação minha. O meu irmão contou-me, uma vez, um paradoxo ainda mais curioso e perturbador. Não recordo agora com exactidão todos os pormenores mas era algo assim: um sujeito A viaja no tempo e conhece uma mulher por quem se apaixona e de quem tem um filho. Viaja depois para o futuro onde descobre que a mudança de sexo é 100% alcançável (mesmo em termos de orgãos reprodutores). Decide então experimentar o que é ser mulher. Viaja para o passado, conhece um homem de quem tem um filho. Esse filho cresce e torna-se no sujeito A viajante do tempo! Cogitado por: Mauro a agosto 10, 2009 07:25 PM

Olá Mauro. Referi o exemplo do jogo de ténis porque, tal como o jogo de dados de Efron, se destina a ser jogado por duas partes; e porque também é intransitivo. Mas podemos seguir a tua sugestão e compará-lo ao lançamento de moedas não equilibradas. Imagina o seguinte conjunto de quatro moedas muito peculiares: a moeda A tem o valor 0 na "cara" e o valor 4 na "coroa"; além disso, a sua massa está distribuída de tal forma que, num lançamento, a probabilidade de a cara ficar virada para cima é de 1/3; a da coroa será, portanto, de 2/3. A moeda B tem o valor 3 quer na cara, quer na coroa; o equilíbrio da mesma é, por conseguinte, irrelevante. A moeda C tem os valores faciais 2 (com probabilidade de 2/3) e 6 (com probabilidade de 1/3). Por último, a moeda D tem os valores faciais 1 e 5 e é equilibrada (probabilidades de 1/2 e de 1/2). O jogador 1 escolhe uma moeda. Em seguida, o jogador 2 escolhe outra. Lançam as moedas ao ar e vence o jogador a quem sair o maior número. Se efectuares os cálculos verificarás que a moeda A vence B com probabilidade de 2/3; B vence C com probabilidade de 2/3; C vence D com probabilidade de 2/3; e D vence A com probabilidade de 2/3. Exactamente como no jogo de dados de Efron, o que não surpreende, pois ambos os jogos são matematicamente equivalentes. Só a "roupa" que os veste é que é diferente :-) Agora quanto ao carácter não-transitivo de um espaço fechado com curvatura positiva: creio que me enganei, que também neste caso a relação "X encontra-se mais próximo do que Y" é transitiva, não obstante poder medir-se a distância "pelo outro lado". É fácil chegar a esta conclusão se considerarmos o equivalente unidimensional deste exemplo e esboçarmos uma circunferência numa folha de papel. Esta representa o nosso universo fechado. Escolhemos um ponto fixo nessa circunferência para nos representar a nós. Chamemos-lhe T (de Terra). Em seguida escolhemos mais três pontos (móveis), representativos das galáxias A, B e C. Qualquer que seja a nossa escolha, penso que não será possível infringir a transitividade da relação de proximidade a T atrás referida. Resumindo: um espaço plano (euclidiano) é transitivo; um espaço fechado, com curvatura positiva, também o é; penso que um espaço aberto, com curvatura negativa (hiperbólico), também o será. Logo, não parece, de facto, ser possível mudar a natureza transitiva do espaço com base numa mera deformação contínua da sua curvatura. Será necessário introduzir algum tipo de descontinuidade que altere a sua topologia. Como a produzida por um buraco de verme, por exemplo, que permitisse atalhar por uma dimensão extra (estava a tentar evitar esta solução, mas parece que a mesma é incontornável). Ou, para fazer uso da tua analogia terrena, escavando um túnel rectilíneo através da crosta e do manto terrestres. A ser exequível, um tal metropolitano global permitiria viajar de um ponto para outro do nosso planeta de uma forma muito eficiente. A propósito deste exemplo: creio ter lido algures que, se desprezássemos o atrito e recorrêssemos apenas à gravidade para impelir o nosso metropolitano, o tempo de percurso seria constante, ou seja, independente dos pontos de partida e de chegada. Demoraria o mesmo tempo a viajar de Lisboa ao Porto ou de Londres aos antípodas. Eu atrevia-me a tentar demonstrar este aspecto curioso e pouco intuitivo mas, desde o meu desaire na tentativa de determinação do momento de inércia de uma certa lâmina circular que a minha autoconfiança nestas matérias não tem sido das mais elevadas :-) Mas não deve ser muito difícil. Considera-se um triângulo isósceles, em que um dos vértices é o ponto de partida, outro vértice constitui o ponto de chegada, e o terceiro vértice é o centro da Terra. A viagem será simétrica, no sentido em que será acelerada até meio do percurso e identicamente desacelerada durante o percurso restante. O módulo da aceleração tangencial (isto é, ao longo da corda que une os pontos de partida ao de chegada) será máximo à partida e à chegada, e nulo a meio do percurso. O metropolitano imobilizar-se-ia sozinho no ponto exacto da chegada. Para terminar este comentário, que já vai longo, refiro apenas o paradoxo contado pelo teu irmão. Se bem percebi, o viajante do tempo seria o pai e a mãe de si próprio. Muito estranho! Leva-me a pensar que, iterando mais uma vez semelhante procedimento, o viajante poderia ser avô de si mesmo. Mas para isso não são necessárias viagens no tempo, como se pode ver aqui: http://www.youtube.com/watch?v=q0s5Kn9QXtU Cogitado por: . a agosto 11, 2009 06:26 PM

A sugestão, «.», foi tua num comentário anterior. A minha questão foimesmo de que forma é que o lançamento de uma moeda podia ser comparado a um jogo de ténis... Mas explicaste agora, ainda que sinta que haja substanciais diferenças, começando pela introdução da complexidade da escolha humana no ténis. Esta questão faz lembrar o famoso paradoxo de Monty Hall e das portas do concurso. Também os valores 1/2 e 2/3 aí surgem. Desaires são, infelizmente, parte da nossa natureza humana, que nos permite o nosso melhor e o nosso pior. Não classificaria a questão da lâmina circular como desaire. Além de que salvaste o artigo sobre a gravidade de um desaire teórico a muitos níveis bem pior. Neste exemplo que referes, do metropolitano global, o metropolitano tem obrigatoriamente de passar pelo centro da Terra? Não estou a ver de que forma Lisboa-Porto seria o mesmo que Portugal-Nova-Zelândia (a nossa antípoda geográfica) em termos de duração... Pois, o paradoxo implicaria que ele fosse pai, mãe e filho numa trindade temporal muito estranha. Mas não será o descendente de um pai e mãe geneticamente iguais um clone? As duas metades que se unem na fecundação são metades do mesmo ser. Teria o crossing-over alguma preponderância? Talvez não se obtivesse um clone mas apenas uma versão alternativa de si mesmo, aquilo que o sujeito A também poderia tyer sido. Seria como lançar os dados genéticos de nós mesmos novamente... Cogitado por: Mauro a agosto 15, 2009 07:28 PM

Pois é, a principal dificuldade em construir um modelo matemático de um torneio de ténis residiria na forma de quantificar, ou seja, de traduzir num número (ou num conjunto de números) todos aqueles factores já referidos, tais como a condição física e psicológica de cada jogador, a capacidade técnica, o estilo de jogo, etc. Se tal fosse possível, talvez se pudesse adoptar o jogo de dados de Efron como ponto de partida para um tal modelo. Imagina que o potencial de jogo de um dado jogador de ténis podia ser traduzido num número, nunca inferior a 0 nem superior a 6. Além disso, cada jogador encontrar-se-ia, em cada encontro de ténis, num de dois estados possíveis de forma global (física, psicológica, etc.): um desses estados corresponderia ao máximo das suas capacidades, ou seja, ao seu potencial (o número atrás referido); o outro estado corresponderia a um valor inferior das suas capacidades. A cada um destes dois estados estaria associada uma dada probabilidade de o jogador se encontrar nesse estado. Por exemplo: o jogador A caracteriza-se por jogador ao nível 0 com probabilidade de 1/3 e ao nível 4 com probabilidade de 2/3. O jogador B é muito consistente: joga sempre ao nível 3. O jogador C joga aos níveis 2 (com probabilidade de 2/3) e 6 (com probabilidade de 1/3). Para finalizar, o jogador D exibe os níveis 1 e 5 com probabilidades de 1/2 e de 1/2. Este exemplo seria equivalente ao das moedas não equilibradas referido em comentário anterior, o qual, como se viu, é equivalente ao jogo de dados de Efron. Os resultados seriam, pois, os mesmos: A venceria B, B venceria C, C venceria D, e D venceria A. Com uma probabilidade de 2/3 em todos estes casos. Uma relação intransitiva, portanto. Poder-se-ia, numa fase posterior, pensar em refinar o modelo do jogo de ténis: para cada jogador, em vez de dois estados de forma global, existiria toda uma infinidade de estados possíveis, compreendidos entre 0 e 6. Ou seja, a nossa variável aleatória passaria a ser contínua, pelo que existiria também, para cada jogador, uma função de densidade de probabilidade que caracterizasse a distribuição de probabilidade da referida variável. Creio que este refinamento não poria em causa a intransitividade do modelo de jogo. Quanto ao assunto do metropolitano global: respondendo à tua pergunta, este não passaria obrigatoriamente pelo centro da Terra (só o faria no caso particular de o ponto de chegada estar nos antípodas do ponto de partida). O túnel do metropolitano seria sempre rectilíneo. Esquematicamente, se considerarmos o círculo máximo que contém os pontos de partida e de chegada, então o túnel será o segmento de recta (a corda) que une estes dois pontos. Logo aqui surge um aspecto curioso e pouco intuitivo: não obstante o túnel ser rectilíneo, a primeira metade do percurso seria percorrida "a descer", enquanto a segunda seria feita "a subir". Estranho, não é? Mas verdadeiro :-) Vou tentar explicar melhor a razão pela qual penso que o tempo de percurso seja constante, ou seja, independente dos pontos de partida e de chegada escolhidos. Vou considerar dois exemplos extremos: dois pontos localizados quase nos antípodas (Portugal - Nova Zelândia) e dois pontos situados muito próximos um do outro (Lisboa – Porto). O tempo de percurso depende não só da distância a percorrer, mas também do valor daquilo a que eu designei, num comentário anterior, por aceleração tangencial, ou seja, a aceleração medida ao longo do deslocamento. Lembras-te do triângulo isósceles que referi anteriormente? A ligar o ponto de partida, o ponto de chegada e o centro da Terra? Pois bem, dada a simetria do problema (metade do percurso é feita a descer, a outra metade a subir com aceleração igual mas de sinal contrário), podemos considerar apenas metade do percurso (por exemplo, a parte que desce) e, no final, multiplicar o tempo assim calculado por 2. Isto equivale a dividir o triângulo isósceles em dois triângulos rectângulos e a considerar apenas o triângulo que liga o ponto de partida, o ponto situado a meio do percurso e o centro da Terra. A aceleração gravitacional total no ponto de partida é um vector que aponta para o centro da Terra (ou seja, é medido ao longo da hipotenusa do referido triângulo); a aceleração tangencial, por sua vez, é um vector que aponta na direcção do percurso (isto é, é medido ao longo de um dos catetos do triângulo). Estas duas acelerações relacionam-se entre si pela equação simples Atangencial = Atotal * cos(alfa), em que alfa é o ângulo do vértice do triângulo correspondente ao ponto de partida. No caso do percurso entre dois pontos localizados quase nos antípodas um do outro (Portugal - Nova Zelândia), e não obstante a distância a percorrer ser grande, o ângulo alfa é quase nulo, pelo que o seu co-seno é quase unitário. Assim sendo, a aceleração tangencial inicial é elevada, pois é quase igual ao valor da aceleração total inicial de 9.8 m/s^2. Ou seja, o metropolitano, na primeira metade do percurso, está a efectuar uma queda livre quase vertical na direcção aproximada do centro da Terra. Já no caso de duas cidades situadas muito próximas uma da outra (Lisboa - Porto), a distância a percorrer é reduzida, mas a aceleração tangencial inicial também o é. E é-o porque, neste caso, o ângulo alfa é quase recto e, por conseguinte, o seu co-seno é quase nulo. Ou seja, o metropolitano desce com um declive muito suave, logo muito lentamente. Tudo contabilizado, estou convencido de que o tempo de percurso será o mesmo para ambos os casos. E creio tê-lo lido nalgum livro que para aqui tenho, mas não me consigo lembrar de qual :-( Hei-de procurá-lo. Será necessário calcular a aceleração total instantânea, pois esta depende da distância ao centro da Terra. Mas não se trata, penso eu, da dependência simples do inverso do quadrado da distância dada pela lei de Newton, pois a massa da Terra não pode ser considerada pontual. É preciso não esquecer que o viajante percorre as profundezas da Terra, pelo que parte da massa desta última se encontra "por baixo" do viajante (ou seja, numa esfera cujo raio é dado pela distância ao centro da Terra naquele instante); a parte restante encontrar-se-á "por cima" do viajante, isto é, numa concha esférica de espessura igual à diferença entre o raio da Terra e a referida distância ao centro da mesma. Para determinar a aceleração gravitacional total terei, portanto, de integrar para o volume de uma esfera a lei de Newton F = G * m * m' / r^2 ou, melhor ainda, a equação A = G * m / r^2, em que m (a massa) é uma função de r (é proporcional ao volume da esfera, ou seja, ao cubo de r). Uma vez calculada a aceleração total instantânea, podemos partir para a determinação da aceleração tangencial instantânea. Basta multiplicar por cos(alfa). Mas é preciso ter em conta que alfa não é constante. Varia ao longo do percurso. É mínimo no ponto de partida e recto a meio do percurso. Isto significa que, para calcular o tempo de percurso, vai ser necessário lidar, de novo, com equações diferenciais (sigh). Para finalizar, o paradoxo da viagem do tempo: perguntas se um descendente de um pai e mãe geneticamente iguais não será um clone. Não estou muito à vontade nestas matérias, mas creio que o descendente não teria, necessariamente, de ser um clone. Por exemplo, o pai poderia conter, na sua constituição genética, um gene que codificasse olhos castanhos e outro que codificasse olhos azuis. Dado o carácter dominante do primeiro e recessivo do segundo, o pai teria olhos castanhos. O mesmo sucederia com a mãe, pois esta seria geneticamente idêntica ao pai. Mas o filho de ambos teria uma probabilidade de 1/4 de herdar o gene que codifica olhos azuis quer do pai, quer da mãe, pelo que os seus olhos seriam dessa cor. Há, no entanto, que ter em consideração que o paradoxo, tal como o descreveste, é mais restritivo do que isto. Não só o pai e a mãe são geneticamente idênticos, o filho também o é, pois são todos a mesma pessoa. Logo, penso que terão todos, forçosamente, o mesmo genótipo. Na realidade talvez não seja bem assim, dada a possibilidade de se verificarem mutações genéticas ao longo do tempo de vida do viajante. Quando nasceu teria uma dada constituição genética, a qual sofreria mutações ao longo do tempo pelo que, no momento em que o indivíduo efectuasse a primeira viagem ao passado (para ser pai de si próprio), a constituição já não seria exactamente a mesma. E mais alterações poderiam verificar-se desde este instante até ao momento da segunda viagem ao passado (para ser mãe de si mesmo). Pelo que o pai, a mãe e o filho não seriam, em bom rigor, geneticamente iguais. Cogitado por: . a agosto 15, 2009 11:34 PM

Certamente que a busca de um modelo matemático que tenha em consideração os atributos e características de cada jogador há muito é procurado. Penso que os simuladores de jogos de ténis (ou outros) com personagens controladas por computador certamente usaram algoritmos semelhantes. Penso que a Teoria do Caos coloca uma fronteira clara para a determinação prévia de vencedores, o que dificulta ou impede modelos matemáticos precisos para uma partida. A borboleta que bate as asas em Tóquio não baterá sempre as asas ao mesmo tempo e no mesmo local pelo que o possível furacão que poderá originar nos EUA terá características, trajecto e velocidades diferentes. Neste modelo de uma partida entre humanos não seria preciso entrar cm conta com Atractores estranhos imprevisíveis? Quanto ao metropolitano global, é realmente contra-intuituvo que a ligação entre quaisquer doiz pontos da superfície terrestre seja sempre igual em termos de duração. A partir da própria definição de corda e diâmetro (sendo o diâmetro sempre a corda de maior comprimento), é claro que a distância entre dois pontos na superfície do Globo será diferente consoante a sua posição. E tendo em conta a limitação das velocidades dos metropolitanos, quanto maior a distância maior o tempo que demora. Porque é necessário "descer" e depois "subir"? É possível, através do interior da Terra, traçar cordas e diâmetros e não como 2 segmentos de recta com declives de sinais contrários. Em relação à questão do "clone", acho de grande relevância o crossing-over nesta questão. Quando há a formação dos gâmetas, estes têm metade da informação genética das células progenitoras. Ao contrário da mitose, pela qual uma célula faz uma cópia de si com a mesma informação genética, a formação dos gâmetas exige que se originem células com metade da iniformação genética para que a sua união com um gâmeta do elemento do sexo oposto produz um ser com a quantidade de material genético da espécie. O processo podia ser só a divisão da cadeia de ADN em duas, ficando uma metade para um gâmeta e a outra para outro gâmeta. Mas isso implicaria que um filho receberia "intacta" (descontando as mutações ocasionais que referes) do progenitor. Para aumentar as combinações genéticas na formação dos gâmetas, na meiose há um processo, conhecido como crossing-over. Eis o que acontece: a cadeia de ADN é dividida em 2, a parte que recebeu de um progenitor e a outra parte do outro progenitor. Depois de haver essa separação, há troca entre as cadeias de genes alelos. Assim, por exemplo, se recebeu do "pai" um tira de ADN com genes para olhos azuis e da mãe recebeu uma tira de ADN com informação para olhos castanhos, as informações da cor dos olhos pode ser trocada, pelo que o gâmeta contendo a tira de ADN "vinda" do "pai" contém genes da outra cadeia, que "veio" da "mãe". Desculpa se andar aqui às voltas com o assunto para me fazer perceber: desde o Secnuudário que não falo de crossing-over's... Suponhamos o sujeito 1 tem informação genética XY informação de cor dos olhos CA (castanho, azul); o sujeito 2 tem informação genética XX e informação de cor dos olhos AP (azul;preto). Aquando da meiose, há a divisão das cadeias de ADN. Sem o crossing-over, o sujeito 1 só produziria gâmetas XC e YA e o sujeito 2 só produziria XA e XP. Mas com o crossing-over, os alelos podem trocar na produção dos gâmetas e o sujeito 1 pode produzir gâmetas XC, XA, YA ou YC. O sujeito 2 pode produzir XA ou XP. Isto aumenta a variabilidade genética na descendência e explica como podem dois irmãos terem características tão díspares como um ser moreno e o outro louro tendo os mesmos pais ou um ser mais parecido com a avó materno e o outro mais com o tio paterno. Assim sendo, uma auto-fecundação (sempre indesejável porque há a passagem de defeitos geneticos para a descendência e produz um ser que tem as mesmas fraquezas que o progenitor). O crossing-over impediria que o filhos do viajante no tempo consigo mesmo fosse um clone do pai/mãe. Tanto quanto me recordo, somente o crossing-over não é suficientemente importante para garantir e justificar a evolução biológica mas é indispensável em termos de manter a saúde genética da população. A selecção natural produz os melhores resultados quanto maior a mistura de genes. A detestável Eugenia, nascida nos EUA e que foi usada como justificação para barbaridades como o Holocausto ou o racismo, está eivada dos mesmos erros de análise de que padecem os terroistas muçulmanos: o texto fonte é retalhado e apenas se concentram em partes do texto que servem os objectivos de quem faz essa selecção. Assim, um texto religioso de paz e tolerância como o Corão é usada como justificação para atentados terroristas (o contrário do que a globalidade textual prega) e uma teoria científica de amplo alcance é usada como justificação para a eugenia (o contrário do que a globalidade textual prega). Tenho uma edição moderna da "Origem das Esdpécies" de Darwin e ele logo ali é claro quando afirma que descendentes de progenitores com características genéticas semelhantes é inerentemente menos apto do que os progenitores (um efeito cumulativo ao longo das gerações) enquanto descendentes de progenitores com características genéticas diferentes é geralmente mais apto que os progenitores. Cada um poderá tirar daí conclusões sobre supostas linhas genéticas "puras" e mesmo o que isso revela sobre a viabilidade de sistemas políticos como a Monarquia... Cogitado por: Mauro a agosto 18, 2009 06:16 PM

Mauro, o túnel não é constituído por dois segmentos de recta com declives de sinais contrários. É um só segmento de recta a unir o ponto de partida ao ponto de chegada. E mesmo assim desce na primeira metade do percurso e sobe na segunda :-) Cogitado por: . a agosto 18, 2009 06:46 PM

Então algo me escapa: como pode o mesmo segmento de recto "descer" e depois "subir"? Em termos comparativos com a curvatura da superfície? Ainda assim, cordas diferentes terão módulos diferentes... O calor não me está a dar a clareza de espírito suficiente nesta questão para a entender. ;) Cogitado por: Mauro a agosto 18, 2009 07:13 PM

Exactamente, em termos comparativos com a curvatura da superfície :-) Andar "a direito" consiste, na realidade, em descrever um arco de circunferência ao longo da superfície da Terra. Quando percorremos o túnel, pelo contrário, estamos a caminhar em direcção às profundezas da Terra durante a primeira metade do percurso; ou seja, estamos a descer. E caminhamos em direcção à superfície durante a segunda metade do percurso; isto é, subimos. Quanto ao metropolitano propriamente dito, gostaria de frisar que não é um metropolitano convencional, com limite de velocidade. É um metropolitano sem motor, que é impelido unicamente por acção da força da gravidade. E sem atrito, claro. Agora vou ler o resto do teu comentário :-) É verdade que cordas diferentes têm módulos (comprimentos) diferentes. Mas também a aceleração (e, por conseguinte, a velocidade) serão diferentes. Repara: numa viagem aos antípodas a distância a percorrer será grande: a corda, neste caso corresponderá a um diâmetro da Terra. Mas o nosso metropolitano estaria, na realidade, a efectuar uma queda livre em direcção ao centro da Terra. Tratar-se-ia, portanto, de uma viagem realizada a uma velocidade vertiginosa. Já no caso de uma viagem Lisboa-Porto, a distância a percorrer (o comprimento da corda) é reduzida. Mas também o é a inclinação do túnel, pelo que a viagem será realizada a uma velocidade significativamente baixa. Agora quanto à questão da modelação matemática de um jogo de ténis: a ideia de usar o jogo de dados de Efron como inspiração para um tal modelo visava apenas garantir que a natureza intransitiva daquele tipo de jogo seria respeitada. Não tinha quaisquer pretensões de precisão. Não tenho dúvidas de que a dependência de um jogo de ténis das condições iniciais seja muito elevada, pelo que, mesmo que se conseguisse encontrar um sistema de equações diferenciais que reproduzisse fielmente a sua evolução (o equivalente, para um jogo de ténis, às equações de Lorenz de um sistema meteorológico), seria difícil, para não dizer impossível, prever com um mínimo de fiabilidade o seu vencedor. Não imagino o aspecto que o atractor daí resultante possa ter, mas lá que deve ser estranho, deve :-) Para finalizar, a questão do paradoxo do clone: também os meus conhecimentos de biologia foram adquiridos no secundário, pelo que estão muito esquecidos. Suponho que tudo o que afirmas acerca da reprodução sexuada, da meiose e da troca de material genético entre cromossomas homólogos seja verdade. Mas não concordo contigo quando dizes que "O crossing-over impediria que o filhos do viajante no tempo consigo mesmo fosse um clone do pai/mãe". O crossing-over reduziria extraordinariamente a probabilidade de o descendente ter exactamente o mesmo genótipo que os seus progenitores. Mas não excluiria essa possibilidade, por mais remota que a mesma pudesse ser. Penso que, do ponto de vista biológico, não há qualquer contradição. Mais ainda, estou convencido de que o paradoxo não é, verdadeiramente, um paradoxo, pois não existe na história desta dupla viagem no tempo qualquer contradição lógica que ponha em causa a sua própria existência. Trata-se de uma cadeia circular de eventos coerente, ou seja, que não se destrói a si própria. Pelo contrário, reforça-se a si mesma, pois é o equivalente a um sistema realimentado positivamente, de que é exemplo o assobio incomodativo produzido pelas instalações sonoras quando o microfone se encontra demasiado próximo das colunas de som, e que costuma designar-se por "feedback" (ou "fio de beque", para usar a expressão humorística de Carlos Tê/Rui Veloso em Mingos e os Samurais :-) ). O indivíduo realiza a primeira viagem ao passado; tem uma relação com uma mulher; muda de sexo e realiza uma segunda viagem ao passado; tem uma relação com um homem; dessa relação nasce um bebé; este cresce e realiza uma viagem ao passado, em sintonia com a premissa inicial. Não há quaisquer contradições envolvidas. O paradoxo do viajante que vai ao passado assassinar o seu próprio avô, pelo contrário, equivale a um sistema realimentado negativamente, que se destrói a si mesmo. Do assassínio do avô resulta que o viajante já não irá nascer; mas, se não nascer, não viajará no tempo e não assassinará o avô. Mas, se não assassinar o avô, o viajante irá nascer e viajar no tempo. Mas, se viajar no tempo, irá assassinar o avô. E assim sucessivamente... Cogitado por: . a agosto 18, 2009 07:28 PM

Mauro, tenho novidades acerca do metropolitano global. Penso que podemos considerá-lo equivalente a um pêndulo a oscilar. Tenho estado a pensar na questão do metropolitano sob uma perspectiva diferente. Em primeiro lugar, para evitar as confusões que resultam da comparação deste metropolitano sem motor com os realmente existentes, talvez seja boa ideia imaginá-lo, não como um metropolitano, mas como uma esfera (um berlinde ou uma bola de bowling) que é pousada, com velocidade inicial nula, à entrada do túnel no ponto de partida (Lisboa, por exemplo) e entregue aos caprichos da gravidade. Recordo que não há atrito. Que irá acontecer? Dado que o túnel desce (literalmente) durante a primeira metade do percurso e sobe (literalmente) ao longo da segunda, a esfera irá percorrê-lo na sua totalidade, imobilizando-se no ponto de chegada (Porto). E depois, o que irá suceder? O mesmo, mas em sentido contrário. Ou seja, a esfera irá percorrer de novo o túnel e imobilizar-se no ponto de partida (Lisboa). E assim sucessivamente, num movimento periódico de oscilação não amortecida entre Lisboa e o Porto. Semelhante ao de um pêndulo. Este exemplo parece-nos contra-intuitivo porque estamos habituados, em escalas pequenas, a considerar a superfície da Terra como sendo plana, quando na realidade é esférica. Podemos tornar a imagem mental deste problema mais familiar se deformarmos o espaço de modo a planificarmos a superfície da Terra. Agora, o nosso túnel já não é rectilíneo, tem a configuração de um arco de circunferência. O raio de curvatura do túnel será igual ao raio da Terra e agora já se consegue perceber bem que o mesmo "desça" durante a primeira parte do percurso e "suba" ao longo da segunda :-) A bola de bowling estará a percorrer este arco de circunferência, num movimento periódico em (quase) tudo idêntico ao de um pêndulo. O comprimento do pêndulo será sempre o mesmo (igual ao raio da Terra), independentemente dos pontos de partida e de chegada que escolhermos. Só a amplitude do movimento é que varia. O período do pêndulo será igual ao tempo necessário para percorrer o túnel em ambos os sentidos. Ou seja, o dobro do tempo necessário para realizar uma viagem. Se te deres ao trabalho de consultar a Wikipédia ( http://en.wikipedia.org/wiki/Pendulum ), verificarás que o referido período depende apenas de dois factores: o comprimento do pêndulo e a aceleração da gravidade. Não depende da amplitude da oscilação. Logo, não depende dos pontos de partida e de chegada escolhidos! O tempo de viagem será, por conseguinte, igual a metade do período, ou seja (ver Wikipédia), t = (2 * pi * sqrt(L / g)) / 2, em que L é o comprimento do pêndulo (o raio da Terra, igual a 6371 km) e g é a aceleração da gravidade (igual a 9.8 m/s^2). Fazendo os cálculos, obtemos t = cerca de 2533 segundos = cerca de 42 minutos. Ou seja, quaisquer que sejam os pontos de partida e de chegada escolhidos (Lisboa-Porto, Paris-Londres, etc.), o tempo do percurso será sempre de 42 minutos :-) Estas são as boas notícias. A primeira má notícia é a de que, mesmo que o metropolitano seja equivalente a um pêndulo, o período deste último não é rigorosamente independente da amplitude de oscilação. Só se pode assumir que assim é para valores pequenos da amplitude (ver Wikipédia). Para valores elevados, a equação é um pouco mais complicada, pois terá de ser multiplicada por um factor (1 + 1/16 * theta^2 + 11/3072 * theta^4 + ...), em que theta designa a amplitude da oscilação em radianos. Significa isto que o tempo de viagem de 42 minutos é válido para pequenas distâncias, tais como Lisboa-Porto ou Paris-Londres, pois as amplitudes que lhes estão associadas são pequenas. Mas já não é válido para uma viagem aos antípodas, em que a amplitude é de 90º (ou pi/2 radianos), um valor significativo. O tempo de percurso numa viagem aos antípodas seria, pois, de 42 minutos * (1 + 1/16 * (pi/2)^2 + 11/3072 * (pi/2)^4 + ...) = cerca de 50 minutos. Muito rápido, apesar de tudo :-) A segunda má notícia é a de que a equação do pêndulo que a Wikipédia reproduz assume que a aceleração da gravidade é uma constante. Isto é aproximadamente verdadeiro para um pêndulo localizado à superfície da Terra, mas já não o é para um metropolitano que atravessa, literalmente, o planeta (como se viu num comentário anterior). Mais uma vez, podemos considerar que a aceleração da gravidade é aproximadamente constante para pequenas viagens/amplitudes pois, nestes casos, o túnel mal penetra a superfície da Terra. Mas já não é assim no caso de uma viagem aos antípodas. Isto significa que o valor de 50 minutos acima calculado será, na realidade, maior. Mas não sei dizer de quanto :-( Cogitado por: . a agosto 19, 2009 09:16 AM

Mauro, vê isto :-) http://www.time.com/time/magazine/article/0,9171,842469,00.html Cogitado por: . a agosto 19, 2009 04:23 PM

Olá Mauro. O problema do metropolitano global também está descrito na Wikipédia :-) http://en.wikipedia.org/wiki/Gravity_train Cogitado por: . a agosto 20, 2009 12:00 PM

Eu percebo, «.», que são frustrantes as limitações nos comentários desta antiga plataforma do Sapo. Não permite parágrafos (e penso que poderá ter sido essa a tua intenção com os múltimois comentários) o que não é esticamente tão aprazível e dificulta a estruturação do raciocínio enquanto se escreve. Eu criei, há algum tempo, um blogue na nova plataforma do Sapo (o Cognoscere) mas não o consegui deixar com o «sabor» a Cognosco que queria. Também, após o imenso trabalho que me deu a aprender sozinho a «mexer» e ajustar o Cognosco para ficar mais como queria, não é facilmente que abdico desses pequenos pequenos ajustes pela facilidade dos novos blogues. Alas, restar-me-á de facto transferir o Cognosco para uma página pessoal... Em relação ao Metropolitano Global movido a gravidade (um Gravlev, por assim dizer) o conceito, sendo interessante, levanta-me questões (que provavelmente verei respondidas nos links que referiste). Excluindo a óbvia questão da temperatura no interior da Terra (e da radioactividade que a alimenta), em termos de velocidade como seria o Gravlev? A sensivelmente 10 m/s, faria 36 km/h, o que parece muito pouco. Terei de entrar em conta com a inércia e o momento inercial? É que com um diâmetro médio de 12 472 Km, demoraria 14 dias e 18 horas a atravessar o Globo? Bem, sempre era metade do tempo que Willis Fog demorou... E era energicamente perfeito e ambientalmente limpo (sem contar com toda a poluição necfessária para a sua construção. E onde se colocaria todo o solo retirado?!) E a mesma gravidade que impele o Gravlev para o seu interior permitir-lhe-ia chegar à superfície depois? E com que suavidade e segurança? E se percebo a viagem às antípodas por meio da gravidade, haveria forma de ir de Lisboa ao Porto? Ou quaisquer pontos situados no mesmo plano perpendicular ao eixo da Terra que a origem? Como se moveria o Gravlev nessas condições? Em relação ao Ténis de Effron, tens toda a razão: seria muito estranho realmente como atractor. Não imagino a Axa a fazer um desodorizante destes... lol ;) Ao contrário do nosso inesquecível corte de cabelo matemático, a simulação matemática ede eventos desportivos não é uma área onde eu encontre muito fascínio, talvez porque isso retira ao moldado a sua raison-d'etre: a emoção. A questão do auto-descendente não tem de facto um paradoxo lógico a ele inerente. Desconheço é se há de facto excepções (ou qual a frequência) ao crossing over durante a meiose. Se for uma característica mais química/física do que biológica, talvez não haja. mas não me devo pronunciar sobre aquilo sobre o qual não sei o suficiente para avançar com argumentos. A questão talvez seja o paradoxo linguístico de se ser pai, mãe e filho simultaneamente. A probabilidade de resultar num clone (cópia genética perfeita nossa), dada a extensão do ADN ao longo da qual se realizam crossing-overs que me parece muito próxima de zero. Acho curioso que o paradoxo que referes ser normalmente voltar ao passado e matar o seu próprio avô... Que tal voltar um minuto atrás no tempo e matar-se a si mesmo? Ou voltar atrás e destruir a máquina antes de ela ter sido usada? Porque terá sido introduzida a personagem do avô no paradoxo? É um pouco como «Todos os cretenses são mentirosos. Eu sou cretense. Logo minto. Logo todos os cretenses dizem verdade. Logo...» não resultaria mais sucinto dizer «Eu estou a mentir»? O paradoxo era o mesmo mas sem tanto alarido argumentativo... ;) Cogitado por: Mauro a agosto 20, 2009 08:42 PM

Pois, o meu comentário anterior sob o Gravlev foi feito com o paradigma do túnel rectilíneo quando, como bem referes, o rectilíneo numa superfície esférica é uma circunferência... A questão pendular é muito interessante mas entremos em consideração com o raio médio da Terra de 12 472 Km e percorramo-lo em 50 minutos. Começa com velocidade nula, acaba com velocidade nula mas alcança o centro da Terra a uma velocidade média de 249,44 Km/m = 898 200 Km/h! Não sei que passageiros sobreviveriam a tal velocidade e à aceleração sobre os seus corpos. Reparei agora que cometi um gravíssimo erro teórico no comentário anterior sobre a velocidade do Gravlev, ao confundir velocidade com acceleração. Por cada segundo, o corpo em queda livre aumenta em 9,8 m/s a sua velocidade. Tenfo em conta os teus cálculos de 50 minutos para a viagem total, demoraria cerca de 25 minutos(?) para o centro da Terra, que atingiria a uma velocidade de 882 Km/h. Ao chegar às antípodas, a sua velocidade seria nula. Mas como se impediria que todo o Gravlev caisse vertiginosamente assim que chegasse? Não iamgino que um Gravlev fosse propriamente leve. Encontrei o peso do Transrápido Alemão TR07 de 45 toneladas (http://american_almanac.tripod.com/maglev2.htm). Pressupondo esse peso como o do Gravlev, é certo que ele alcançaria as antípodas com velocidade zero, mas assim que chegasse imediatamente a gravidade se faria sentir. Um corpo com velocidade nula mantém-se nesse estado desde que não afectado por alguma força exterior. Ms neste caso há a gravidade. Que o puxaria de volta com uma aceleração de 9,8 m/s. Num segundo todo o Gravlev estaria 9,8 metros mais abaixo do que a estação de chegada se não houver um mecanismo que o sustente e páre. Mas como manter quase literalmente suspenso (assente sobre um supefície de atrito nulo seria ainda pior) no ar um comboio de 45 toneladas? Seria como olhar para um poço, ver um comboio a vir projectado para fora e imediatamente começar a cair... Cogitado por: Mauro a agosto 20, 2009 09:17 PM

Olá Mauro. Segundo a Wikipédia, o metropolitano global (eles designam-no por comboio da gravidade) é um exemplo de um oscilador linear. Este é mais simples do que o pêndulo (o pêndulo só pode ser considerado um oscilador linear para pequenos valores da amplitude de oscilação). Assim sendo, as más notícias que eu referi anteriormente deixam de ser válidas, pelo que o tempo de percurso será SEMPRE de 42 minutos, independentemente dos pontos de partida e de chegada. Ou seja, será válido mesmo para uma viagem aos antípodas. Os artigos referem muitos outros aspectos interessantes, que vale a pena debater. Vou estar ausente por um dia ou dois, mas prometo completar este comentário, bem como os referentes ao jogo de ténis e ao paradoxo das viagens no tempo assim que tal me for possível. Obrigado pela tua disponibilidade para conversar :-) Abraço. Cogitado por: . a agosto 20, 2009 10:58 PM

De facto são interessantes e imagino facilmente um uso na ficção-científica para este conceito. Será que uma nave capaz de resistir aos rigores do espaço exterior poderia sobreviver aos rigorosos do interior da Terra? Num planeta morto, por não ter um interior líquido capaz de criar as diferenças energéticas que alimentam a vida, poderia ser melhor usado para este projecto? Um Gravlev (sim, o comboio de gravidade mas gostei deste nome: Gravlev) poderia ser talvez uma solução futura mas para a Lua, quando a colonização humana lá começar. É certo que a Lua exige outros cálculos, já que o seu raio, composição, massa e densidade são diferentes. Penso que a existência ou não de magma no núcleo da Lua não está ainda estabelecida mas, a considerar as informações da wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Moon, o núcleo será muito pequeno. Sendo assim, talvez seja «contornável» pelo Gravlev lunar. É um conceito muito interessante este do Gravlev. Uma verdadeira fonta de imaginação para futuros cientistas e para a moderna ficção-científica. Recordo-me de um livro que tenho, «O Labirinto» (Robert Silverberg, 1969), onde pela primeira vez li sobre uma «fonte mágica» completamente automatizada. Colocando as mãos em forma de concha por baixo da saída, saía água dela até as mãos serem retiradas. Quando vi, nos centros comerciais, há alguns anos, as torneiras automática que basta colocar as mãos por baixo libertam água, lembrei-me desse livro. Não sei se o livro de Silverberg inspirou directamente ounão os criadores dessa torneira automática mas a história dda ciência está cheia de invenções inspiradas por livros de ficção-científica (apesar de, tanto quanto sei, as histórias de Júlio Verne terem muitas delas sido inspiradas em invenções já existentes na sua altura, como o caso do submarino). Tem uma boa viagem e um bom regresso. Que o Sol algarvio não te queime os dedos nem a mente... ;) Um abraço de volta. Cogitado por: Mauro a agosto 21, 2009 06:10 PM

Olá Mauro. Cá estou eu de volta. Espero que esteja tudo bem contigo e que as férias tenham sido boas :-) Quanto à transferência do Cognosco para uma página pessoal: se tal vier a acontecer, talvez pudesses pensar em embeber, na página reservada aos comentários, uma pequena aplicação (em Flash, talvez) que permitisse ao comentador desenhar diagramas ou esquemas complementares ao texto do comentário. Presumo que a plataforma do Sapo não permita fazer tal coisa... Quanto à utilização do jogo de dados de Efron como modelo matemático para a simulação de eventos desportivos (neste caso, um torneio de ténis), concordo contigo: não é fascinante por aí além e retira ao jogo uma parte significativa do que nele existe de mais importante, que é a emoção. Além disso, dada a pouca fiabilidade do modelo, nem sequer seria útil como ferramenta de previsão de resultados e de consequente realização de apostas. O facto de se tratar de um modelo não-transitivo, não impediria as poupanças do apostador de "transitar" muito rapidamente para os bolsos de outrem ;-) O interesse era puramente académico. Quanto ao paradoxo do viajante do tempo: também desconheço se há excepções à ocorrência de crossing-over durante a meiose mas, mesmo que não haja, talvez o descendente possa ser, ainda assim, um clone dos progenitores. Por exemplo, se cada cromossoma fosse rigorosamente igual ao seu homólogo, penso que a ocorrência (e a frequência) de crossing-over seria irrelevante (não sei é se semelhante organismo seria viável). Na realidade, os cromossomas não teriam de ser rigorosamente idênticos. Apenas as porções que fossem objecto de crossing-over teriam de ser iguais. Tal seria extremamente improvável, mas creio que não seria impossível. No entanto, o paradoxo que descreveste é ainda mais restritivo: diz que o pai, a mãe e o seu descendente teriam de ser a MESMA pessoa. Como tal, teriam de ser muito mais do que geneticamente idênticos. Teriam de ser a mesma consciência, o mesmo "eu". Como é que tal seria possível? Não faço a mais pequena ideia :-) Quanto ao facto de achares curioso o paradoxo de o viajante do tempo matar o próprio avô em vez de, por exemplo, se matar a si mesmo, ou qualquer outro dos seus antepassados, ou ainda destruir a máquina do tempo antes de a mesma ser usada, concordo contigo. Desconheço a razão para esta complicação desnecessária. Apenas sei que foi assim que o paradoxo foi inicialmente enunciado. (o seu autor, segundo a Wikipédia, foi o escritor de ficção científica René Barjavel, como se pode ler aqui: http://en.wikipedia.org/wiki/Grandfather_paradox ). Deixei o Gravlev para o fim. Se não te importares, farei o meu comentário acerca desse assunto em separado. Cogitado por: . a setembro 2, 2009 04:42 PM

A designação "Gravlev" parece-me apropriada, dada, por um lado, a força propulsora do comboio (a gravidade) e, por outro, a necessidade de recorrer à levitação magnética para minimizar, na medida do possível, o atrito com o carril. Seria necessário, também, eliminar o atrito com o ar (mas não no caso da Lua, que não tem atmosfera), o que iria dificultar ainda mais a realização e a manutenção do túnel. Já para não falar da necessidade de lidar com as elevadas pressões e temperaturas existentes nas profundezas do nosso planeta. A título de exemplo, o artigo da Time de 1960 que refere o trabalho do matemático Paul Cooper a este respeito (aquele cujo link indiquei em primeiro lugar em comentário anterior) refere que, para uma viagem entre Washington e Boston, o túnel mergulharia 5 milhas (cerca de 8 km) abaixo da superfície terrestre. A esta profundidade a temperatura seria de 265 ºF (cerca de 130 ºC). Para uma viagem entre Washington e Moscovo a profundidade seria de 716 milhas (cerca de 1150 km). O artigo não refere a temperatura correspondente a esta profundidade mas, considerando para o gradiente geotérmico um valor de cerca de 25 ºC/km de profundidade (ver aqui: http://en.wikipedia.org/wiki/Geothermal_gradient ), a temperatura rondaria os 30000 ºC. Os passageiros do Gravlev não necessitariam, pois, de viajar agasalhados ;-) Nas referências bibliográficas do artigo da Wikipédia surge, a par do já referido artigo da Time, este de Robin Davis: http://www.docstoc.com/docs/566538/Gravity-Train-Project Este autor demonstra como o Gravlev constitui, de facto, um exemplo de um oscilador linear em que o período depende, apenas, dos valores da densidade do planeta (a Terra, no nosso caso) e da constante gravitacional G. Em cada ponto do percurso, a aceleração da gravidade depende apenas da massa da sub-esfera que fica "por baixo" do comboio; não depende da massa da concha esférica que fica "por cima". Segundo o autor (ver a página 3 do artigo), o período de um tal oscilador seria dado pela equação T/2 = pi / sqrt(4/3 * pi * ró * G), em que T representa o período, ró a densidade do planeta e G a já referida constante gravitacional. Agora repara: a massa da Terra é dada pelo produto do volume de uma esfera de raio igual ao do nosso planeta pela sua densidade. Ou seja, M = 4/3 * pi * R^3 * ró, em que M e R designam, respectivamente, a massa e o raio da Terra. Por outro lado, a aceleração da gravidade à superfície do nosso planeta é, de acordo com a lei de Newton, dada pela equação g = G * M / R^2. Resolvendo a segunda equação em ordem a ró e a terceira equação em ordem a G, obtemos ró = M / (4/3 * pi * R^3) e G = g / M * R^2. Substituindo na primeira equação obtemos T/2 = pi / sqrt(4/3 * pi * M / (4/3 * pi * R^3) * g / M * R^2). Simplificando, obtemos T/2 = pi / sqrt(g / R). Ou seja, obtemos para o período T = 2 * pi * sqrt(R / g) que é, nada mais nada menos, do que a equação simplificada de um pêndulo de comprimento R :-) (confrontar com http://en.wikipedia.org/wiki/Pendulum#Period_of_oscillation ). O Gravlev constitui, portanto, uma versão mais simples de um pêndulo pois, contrariamente a este último, o período de oscilação é verdadeiramente independente da amplitude (ou seja, dos pontos de partida e de chegada escolhidos). Na realidade penso que não será bem assim, mas não pelas razões que referi num comentário anterior. Os cálculos pressupõem que a densidade da Terra (o parâmetro ró) é constante, mas tal não é, creio, eu, rigorosamente verdade. As densidades da crusta, do manto e do núcleo terrestres não são iguais. Tentando, agora, responder às tuas questões. Perguntas se os passageiros sobreviveriam às velocidades e acelerações envolvidas numa viagem a bordo do Gravlev. Penso que a velocidade, não importa quão elevada possa ser (o artigo que referi também indica como calculá-la), não constitui um problema. A aceleração, essa sim, poderia produzir desconforto ou, até, danos significativos no corpo humano, caso fosse excessiva. Mas não é. É sempre igual ou inferior a 9.8 m/s^2, o valor da aceleração gravitacional à superfície da Terra (1G, como é costume dizer-se). O caso extremo de uma viagem aos antípodas é, penso eu, semelhante à queda livre de um ascensor cujo cabo se partiu, mas sem o consequente impacto violento no solo. Ora segundo o princípio da equivalência de Galileu, usado por Einstein na formulação da sua teoria geral da relatividade, um referencial local em queda livre num campo gravitacional comporta-se como um referencial de inércia. Por outras palavras, a massa gravitacional e a massa inercial são iguais (lembras-te do artigo que escreveste acerca disto? :-) Está aqui: http://cognosco.blogs.sapo.pt/arquivo/796918.html ). Assim sendo, uma viagem aos antípodas a bordo do Gravlev não deveria ser muito diferente da experimentada pelos astronautas a bordo da Estação Espacial Internacional. Os nossos passageiros encontrar-se-iam num estado de imponderabilidade, uma condição de ausência de peso (mas não de massa) que poderia colocar algumas dificuldades caso pretendessem deslocar-se ao bar do comboio para tomar um café (ou qualquer outro líquido), mas que não seria, de forma alguma, prejudicial à sua saúde (recorde-se que a viagem demoraria apenas 42 minutos). Pelo contrário, a jornada deveria ser bem divertida :-) No caso de outra viagem que não aos antípodas, o vector aceleração teria duas componentes: uma com a direcção "para baixo" e outra com a direcção do movimento do comboio. Penso que o recurso a um mecanismo pendular, semelhante ao usado pelos comboios Alfa da CP, poderia minimizar os incómodos decorrentes de tal situação. Tentando, agora, responder à tua pergunta acerca de como se poderia impedir o Gravlev de cair vertiginosamente assim que chegasse ao seu destino: penso que esse problema não seria o mais difícil de resolver. Dada a impossibilidade de eliminar totalmente o atrito, o comboio não poderia ser movido única e exclusivamente pela gravidade. Teria de ter um motor que compensasse as perdas decorrentes do referido atrito. Teria, também, de possuir um eficiente sistema de travagem e de imobilização. Penso que o mecanismo de levitação magnética adoptado permitiria, a par da sustentação, satisfazer as necessidades de propulsão e de travagem. Além disso, o túnel poderia ser encurvado nos últimos quilómetros do percurso, de modo a reduzir o declive e, consequentemente, a suavizar e a facilitar a chegada à estação de destino. Para finalizar este já longo comentário (e pôr um fim à maçada que vai ser lê-lo), gostaria de realçar um aspecto interessante que li no artigo da Time: contrariamente ao que eu pensava, o tempo de 42 minutos não é o menor tempo possível para o percurso entre dois quaisquer pontos da Terra. Podemos reduzir este tempo se, em vez de escavarmos um túnel rectilíneo, construirmos uma passagem curva, com um declive inicial maior (e uma profundidade máxima também maior). De acordo com a Wikipédia, a curva descrita por semelhante túnel teria a configuração de uma hipociclóide (ver em http://en.wikipedia.org/wiki/Hypocycloid ) Cogitado por: . a setembro 2, 2009 10:20 PM

Faltou responder às questões do teu último comentário: estou convencido de que a realização de um Gravlev seria incomensuravelmente mais difícil do que a de uma nave espacial capaz de se deslocar ao espaço exterior. No caso particular da Lua seria mais fácil, não só por causa da sua presumível constituição interna, mas também pelo facto de não possuir atmosfera. O tempo de uma viagem, no caso da Lua, seria, de acordo com Paul Cooper, de 53 minutos aproximadamente (54 minutos, se fizermos os cálculos com o valor de densidade referido na Wikipédia). Cogitado por: . a setembro 2, 2009 10:36 PM

Olá, «.». Desculpa a demora em responder mas não tem dado mesmo. Ser auto-didacta tem destas complicações (e alegrias). Estou então a ver se autonomizo finalmente o Cognosco e lhe posso dar novas roupagens, mais de acordo com o que pretendo. Concordo contigo, tornar os comentários mais personalizáveis. A formatação é a mais básica, a inclusão se imagens seria fantástico. Mas tenho de ver o que consigo desenterrar da internet que me ponha no caminho certo. Em relação ao crossing-over, vejo uma forma pela qual podia não se dar uma cópia exacta do progenitor. Aqui faz mesmo falta a formatação de texto... Suponhamos uma amostra de ADN, das duas cadeias emparelhadas: A-1; B-2; C-3; D-4. O facto de serem letras e números não deve fazer esquecer que são pares alelos, para a mesma característica(?). Ocorre a meiose, nos dois indivíduos geneticamente iguais. Ocorre a meisose e, por exemplo, o indivíduo1 com gâmetas A; 2; C; 4 e 1; B; 3; D. Já o indivíduo 2 (à excepção do cromossoma sexual) fica com gâmetas A; B; 3; 4 e 1; 2; C; D. A união destes gâmetas produz ou filhos A-A; B-2; C-3; 4-4 ou A-1; 2-2; C-C; D-4 ou A-1; B-B; 3-3; D-4 ou 1-1; B-2; C-3; D-D, qualquer um deles com óbias diferenças genéticas em relação ao(s) progenitor(es). Parece-me, neste momento, claro que a meiose não se verifica em todos os milhares de milhões de pares alelos do ADN, ou a meiose deixaria de fazer sentido. Além disso, os cromossomas sexuais são bem diferentes entre si. A informação que se «cortaria» para fazer um cromossoma Y (caso fosse mulher para homem) ou que se «acrescentaria» para se fazer um cromossoma X tornariam inviável uma cópis exacta do progenitor. Até porque: seria uma cópia exacrta de qual das versões, a feminina ou a masculina? A a quantidade de informação presente nesses cruciais cromossomas podem ser facilmente atestados por doenças como a Hemofilis ou as nossas características sexuais primáricas e secundárias. Não só não vejo como seria provável que o filho fosse igual ao(s) progenitor(es) como nem sequer vejo como, de forma natural, ele poderia de facto ser uma cópia integral de uma das versões. Esmiuçando a minha ideia original, contato que era assaz difícil obter um gémeo geneticamente igual. O que levanta então paradoxos temporais: se o viajante A viaja para o futuro e se torna em B, com o qual tem como descente C e se C é geneticamente diferente de A e de B, então quando cresce e viaja no tempo não é A que o faz mas outra pessoa (A') que se torna outro B (B'), o filho que terão será C'. Quando esse viajar tornar-se-á C'', que se torna C''' e por aí fora. Ou seja, será que A viaja mesmo para se tornar C? De qualquer modo, parece-me realmente que o paradoxo fica visivelmente mais fácil se ele voltar atrás no tempo e destruir a máquina antes de a usar pela primeira vez. Em relação ao Gravlev, inicialmente apenas lhe chamei Gravlev para que tivesse um ponto de com o Maglev. Mas realmente, pensando no assunto, tens razão quanto à necessidade de levitação (provavelmente magnética) para tornar o atrito nulo. Viajar em túneis com vácuo nulo, o que seria complicado de construir e manter. A questão da necessidade de levitação apenas surge porque não estamos simplesmente a falar de ir para as antípodas. Se fosse este o caso, penso que o comboio, tendo o rigor matemático exacto na construção do túnel, poderia simplesmente cair pelo túnel abaixo, sem tocar nas paredes. Não havendo ar, o atrito é nulo. Talvez esta fosse uma boa solução para a Lua, como referes, já que o seu raio é menos de um terço do da Terra, o que tornaria a construção mais fácil e curta, a questão do vácuo total mais fácil de alcançar e manter, se apenas houvesse túneis a ligar algumas antípodas, seria mais fácil de viajar do ponto de saida para o destino pretendido. Com um sistema informatizado de gestão de tráfego, comboios vindos de pontos diferentes poderiam cruzar-se sem perigos no núcleo central (quenão sei se terá ou não magma). Penso que este conceito «Gravlev» seria muito interessante se explorado por um (bom) escritor de ficção científica. Infelizmente estes não abundam mas que os há, há. ;) Mais uma vez o meu pedido de desculpas pela demora da resposta. O conceito do «filho de si mesmo» e do «Gravlev» são bem curiosos e apelativos. Agradeço-te esta troca de pontos de vista. Cogitado por: Mauro a setembro 13, 2009 06:56 PM