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Conor explicare gravitatem

Na sequência do artigo «Apolo não favoreceu Aristóteles» e à luz das questões levantadas por «.» num seu comentário penso que devo aprofundar a questão levantada pelo artigo.

Na sua essência o que o artigo relembra é o princípio de Galileu de que objectos sujeitos ao mesmo campo gravitacional são sujeitos à mesma aceleração, independentemente da sua massa. A fórmula para a distância percorrida por um corpo em queda sobre a influência exclusiva da gravidade é d = g.t²/2,
em que d é a distância percorrida, g o valor da aceleração devida à gravidade e t o tempo decorrido. Esta fórmula é independente da massa do corpo em queda.
Como a velocidade é distância a dividir pelo tempo decorrido, segue-se que corpos com massas diferentes caem à mesma velocidade.

Geralmente confunde-se massa com peso. Na linguagem corrente existe essa mistura de conceitos. Dizemos «um quilograma de carne» para indicar a quantidade de carne que pretendemos e a balança regista «1 Kg». Mas a quantidade de carne e o seu peso são coisas diferentes. O mesmo 1 Kg de carne seriam:
.: 0,378 Kg em Mercúrio; 0,907 Kg em Vénus;
.: 0,166 Kg na Lua; 0,377 Kg em Marte;
.: 2,533 Kg em Júpiter; 1,064 Kg em Saturno;
.: 0,889 Kg em Urano; 1,125 em Neptuno;
.: 0,067 Kg em Plutão;
.: 27,02 Kg no Sol;
.: 1 milhão e 300 mil Kg numa Anã Branca;
.: 140 mil milhões num buraco negro
(nota: os valores indicados são os pesos na superfície do corpo celeste em questão. Para os corpos gasosos com os planetas Júpiter e Saturno são os pesos no topo das suas nuvens. Os planetas Urano, Neptuno e Plutão são também somente gasosos mas como o gás está congelado têm uma superfície sólida).
Esta diferença acontece porque a quantidade de massa (cuja unidade de media é o Kg) é a mesma mas o seu peso (medido em Kg/N, em que Newton é a unidade de força SI) varia. A mesma massa sujeita a forças diferentes tem pesos diferentes.
(por isso nos sentimos «puxados» para baixo quando estamos num elevador a subir. A força exercida sobre a nossa massa é maior).
Por comodidade geralmente consideramos o peso em Kg somente, mas em termos físicos são claramente diferentes.
(Já agora, para calcular o nosso peso nos diferentes corpos celestes basta multiplicar o nosso peso pelos valores relativos a cada um).

Ora a massa é uma propriedade dos objectos que, de uma forma lata e sem grande precisão, mede a quantidade de matéria que o objecto contém.
Há 3 tipos diferentes de quantidades a que se chama «massa»:

~ massa inercial: é a medida da inércia do objecto (a resistência à mudança do seu estado de repouso para o de movimento rectilíneo uniforme) quando sujeito à força de gravidade. Um objecto com uma pequena massa inercial oferece menos resistência à actuação da força da gravidade do que um com uma massa inercial maior.

~ Massa gravitacional passiva: é a medida da intensidade da interacção do objecto com o campo gravitacional. No mesmo campo gravitacional, um objecto com uma massa gravitacional passiva é sujeito a uma intensidade de força menor do que a que um objecto com maior massa gravitacional passiva (geralmente é a esta massa gravitacional passiva que se chama «peso». Mas as suas quantidades são diferentes. A massa gravitacional passiva é constante em qualquer campo gravitacional, mas o peso varia.)

~ Massa gravitacional activa: é a intensidade da força do campo gravítico relativo ao objecto em questão. Assim o campo gravitacional em Júpiter é maior do que o de Mercúrio porque Júpiter tem uma massa gravitacional activa maior do que a de Mercúrio.

Apesar de serem 3 conceitos distintos, a massa inercial, a massa gravitacional passiva e a massa gravitacional activa, são difíceis de destinguir entre si e não há ainda registo de nenhuma experiência objectiva que os distinga uns dos outros. Em termo práticos são equivalentes.

Uma das consequências da equivalência « massa inercial - massa gravitacional passiva» é o facto registado no artigo que conduziu ao comentário que levou a este artigo:
como demonstrado por Galileu, usando esferas de diferentes tamanhos deslizando por planos de inclinação diferentes (na mitologia urbana lançando pesos da Tore Inclinada de Pisa, o que dificilmente terá ocorrido), objectos com massas diferentes caem com a mesma velocidade (descontando a resistência do fluido em que está imerso).

As massas gravitacionais activa e passiva são consideradas equivalentes à luz da Terceira Lei do Movimento de Newton.
As 3 Leis do Movimento de Newton são:
~ 1ª - Lei da Inércia - Um corpo não sujeito a nenhuma força externa (atrito, gravidade, empurrão,...) permanecerá em repouso ou em movimento rectilíneo uniforme;
~ 2ª - a aceleração de um corpo é igual à força exercida dividida pela sua massa; a = F/m
~ 3ª - Lei da acção-reacção - quando um corpo exerce uma força sobre outro, este exerce uma força com a mesma intensidade e sentido oposto o primeiro;

A equivalência entre a massa inercial e as massas gravitacionais (o chamado «princípio de equivalência fraco» ou «princípio de Galileu») é a directa responsável pela igualdade da queda de corpos com massas diferentes no mesmo campo gravítico.

Pela Lei da Gravitação de Newton sabemos que a força da gravidade exercida entre dois corpos A e B é proporcional às suas massas e é inversamente proporcional ao quadrado da distância que os separa.
F = - G . m_A . m_B / r², em que G é a Constante de Gravitação Universal.
(G =6,6720 x 10^-11 N.m²/Kg²)

No caso da queda de um corpo sobre a Terra, F = -G . m_A . m_Terra / r².

Pela 2ª Lei F = m_A.g (em que F é a força, m a massa e g a aceleração devida à gravidade)

Combinando as duas obtemos que a massa inercial (M) e as massas gravitacionais (m) são proporcionais, logo são equivalentes.
No campo gravítico terrestre M . g / m é uma constante. Através das suas experiências Galileu provou que corpos de massas diferentes caem à mesma velocidade e logo as duas são equivalentes.

Tenho estado a matar a cabeça já lá vão algumas horas (é agora meia noite) a tentar pegar em fórmulas matemáticas para provar que corpos com massas diferentes caem à mesma velocidade. Não o consegui. Somente realizando as experiências de Galileu. Gostava de ver uma demonstração matemática deste facto porque não a logrei alcançar nem encontrar na net.
O exercício não foi contudo irrelevante. Permitiu-me aprofundar algumas questões relacionadas com a Gravitação.
Uma simples curiosidade é que a aceleração de um corpo devido a uma campo gravítico é g=m/4.c_m.d².π,

em que m é a massa do corpo, c_m = 299792458 kg/m³,
d a distância do corpo ao centro de massa e π = 3,1415926...

Em relação ao artigo «Apolo não favoreceu Aristóteles»,
~ o astronauta era o Capitão David Scott;
~ o martelo era de alumínio e tinha uma massa de 1,32 Kg
~ a pena era de falcão e tinha uma massa de 0,03 Kg.

O propósito que me levou a começar a escrita deste artigo foi uma. O resultado, como em tantas coisas na vida, foi outro.
Quis provar matematicamente que a velocidade de queda num campo gravítico era igual para corpos de massas diferentes. Não consegui.
Tentei depois encontrar uma demonstração já feita. Não consegui.
Este artigo é o produto das minhas tentativas.
Não passa de uma colagem de coisas interessantes que tinha uma finalidade não cumprida.
Mas cada pedaço eu considero tão importante como o resultado que pretendia,
da mesma forma que um indivíduo é tão importante como o total da humanidade.

No título «Tento explicar a gravidade»

Graças ao comentário de «.», as pontas soltas deste artigo ficam finalmente atadas.
Talvez pelo adiantado da hora falhei em constatar que tudo estava já falado. Bastava ligar as pontas. Parei a poucos metros da meta. Mas graças a este valioso contributo o objectivo a que me propus quando comecei o artigo foi alcançado. Aparentemente tinha instintivamente as ideias certas mas chegada a hora de as ligar falhou-se a intuição. Mais uma vez obrigado. Segue-se então o contributo de «.»:

por um lado, a segunda lei de Newton diz-nos que a aceleração de um corpo é directamente proporcional à força que sobre ele actua e inversamente proporcional à sua massa. Julgo que, neste caso, se trata da massa inercial. Chamemos-lhe M:

Com base neste princípio, desenvolveu Einstein a relatividade generalizada, a qual interpreta a acção gravitacional em termos de deformações na geometria do espaço e do tempo. E é precisamente do carácter geométrico desta teoria que decorre a lei do inverso do quadrado que Newton não soube explicar :)