Cognosco

Pi

As formas geométricas acompanham o Homem desde que ele surgiu na Terra mas antecedem-no em milhares de milhões de anos (recorde-se, por exemplo, a forma hexagonal dos favos nas colmeias das abelhas, a trajectória dos planetas, a estrutura dos átomos e das moléculas, entre tantos outros exemplos das formas geométricas do Universo...). Já no artigo Omnia factus mathematica se abordou a presença das formas geométricas no mundo e a teoria de que tal se deve ao nascimento da Matemática no Big Bang.

Uma das formas geométricas mais apelativas, quer pela sua simplicidade que pela sua infinita simetria quer pela sua utilidade e versatilidade é a circunferência (a circunferência é a linha, a linha com o interior é o círculo). Esta é uma forma que tem suscitado a imaginação humana desde muito cedo, desde a pura utilidade da roda às divindades ligadas aos discos solares e lunares. Recorde-se a forma de Stonehenge...

Uma das características comuns a todas as circunferências é a razão entre o seu perímetro (comprimento da circunferência) e o seu diâmetro (a «largura» máxima da circunferência).
Qualquer que seja a circunferência, por muito grande ou pequena que seja, esta divisão dá sempre o mesmo valor, uma dízima infinita não periódica, um número que ganhou um nome no século XVIII, o número Pi.
Para qualquer circunferência, P = π x d, ou seja π (pi) = P/d.
(em que P é o comprimento do perímetro e d o comprimento do diâmetro).

Vários foram os povos que, ao longo da história, se fascinaram por este valor de aparência mística. Como era possível que o comprimento de toda e qualquer circunferência a dividir pela sua largura desse sempre o mesmo valor?

Os antigos Babilónios (ver Aevum decimale para outros contributos babilónicos) deixaram imensas placas de argila com a primeira forma de escrita conhecida: a escrita cuneiforme. Há placas com os mais diversos tipos de textos, desde poemas de amor, relatórios económicos e militares, lendas, histórias,... Há também registos da Matemática babilónica nalgumas dessas placas.
Numa delas surge a seguinte equação, relativa às circunferências: P = (3 + 1/8) x d.
Assim, para os Babilónios de há 4 000 anos, o valor de Pi era 25/8 = 3,125.
Não é muito exacto mas, ao menos, tem uma casa decimal correcta...

Para os Egípcios da mesma altura, o valor de Pi era √ 10 ≈ 3,162277.
Num dos mais famosos papiros que sobreviveu até aos tempos modernos, o chamado Papiro de Rhind, afirmava que a Área A de uma circunferência de diâmetro d é A = (d - d/9)². Recorde-se que a Área de uma circunferência é igual a Pi vezes o raio ao quadrado.
O raio é metade do diâmetro e, por isso, A = π x d²/4.
Assim A/d² = π / 4. Pelo Papiro de Rhind, isto resulta um valor para Pi de 3,160.

Estas duas civilizações conheciam já esta mítica constante e preocupavam-se em encontrá-la, apesar de não se saber se lhe davam algum nome em particular.

Mas a primeira tentativa sistemática para encontrar o valor de Pi foi desenvolvido pelo grego Arquimedes (conhecido matemático e inventor, de que já se falou de um outro feito em Aurea corona). Arquimedes colocou uma circunferência entre polígonos com n lados, de tal forma que n = 6x2^k, ou seja, o número de lados do polígono é sempre igual a 6 vezes uma potência de 2.
k = 0 → n = 6x2⁰ = 6 (hexágonos)
k = 1 → n = 6x2¹ = 12 (dodecágonos)
k = 2 → n = 6x2² = 24 (icosicaitetrágonos)
k = 3 → n = 6x2³ = 48 (tetracaioctágonos)
k = 4 → n = 6x2⁴ = 96 (Eneacontacaihexágonos)
...

Os nomes dos polígonos são formados pelos prefixos gregos para o número dos seus lados a que se junta o sufixo «gono», que significa lado.

Começou por colocar uma circunferência entre dois hexágonos, de tal forma que a circunferência fosse tangente a ambos. Calculou o perímetro de cada hexágono. Assim o perímetro da circunferência tinha um valor entre o perímetro do hexágono menor e do hexágono maior.
De seguida fez os mesmos cálculos mas com dois dodecágonos.
Depois com dois tetraicoságonos.
Depois...
Arquimedes calculou os perímetros dos polígonos que increviam e circunscreviam uma circunferência de raio 1 até aos polígonos com 96 lados. Se modernamente se pode fazer estes cálculos com relativa facilidade, imagine-se o trabalho que Arquimedes teve, não tendo nem a numeração hindu-árabe que usamos nem as fórmulas trignométricas modernas que permitem facilitar estes cálculos. Foi um trabalho de grande dedicação e paciência.
Para fazer os cálculos dos perímetros dos dois polígonos, chamemos a_k ao exterior e b_k ao interior, usam-se as fórmulas:
a_k = 2k . tg (π/2k)
b_k = 2k . sen (π/2k)
algo verdadeiramente impossível de fazer para uma civilização que desconhecia as funções trignométricas e apenas admirava, desconhecedora, o número Pi.

Arquimedes não prosseguiu os cálculos para além dos polígonos com 96 lados.
Dessa forma chegou à conclusão que 223/71 (3,14084...) < π <22/7 (3,14285...).
Fazendo o valor médio dos dois obtém-se π = 3123/994 ≈ 3,141851...

Mas outros prosseguiram-nos:
~ Ptolomeu (150 DC): 3,1416
~ Zu Chongzhi (450 DC): 355/113 ≈ 3,14159292...
~ al-Khwarizmi (800 DC): 3,1416
~ al-Kashi (1430): 3,14159265358979 (14 casas decimais)
~ Viète (1540-1603): 3,141592653 (9 casas decimais)
~ Roomen (1561-1615): 3,14159265358979323 (17 casas decimais)
~ Van Ceulen (1600): 3,1415926535897932384626433832795 (35 casas decimais)

Poucos progressos teóricos foram feitos ao longo dos séculos que sucederam a Aristóteles.
Os cálculos eram feitos pela inscrição e circunscrição de polígonos numa circunferência.
Até que a Renascença remodelou toda a cultura (europeia), não sendo a Matemática excepção.

Foi em 1706 que o matemático galês Jones usou o símbolo π com o sentido moderno (em 1647, Oughtred usou d/π para indicar a razão entre o diâmetro e o perímetro e, em 1697, Gregory usor π/r como a razão entre o perímetro e o raio). Euler adoptou o símbolo, que se tornou então a norma.
Entretanto novas formas de calcular Pi tinham sido criadas.
Uma delas (geralmente atribuida ao matemático Leibniz) usa um desenvolvimento em série de Pi:
π/4 = 1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ... + 1/(2n - 1)
Quanto mais valores se incluíssem mais casas decimais se encontreava de Pi.
Mas este processo é complicado e é parco em termos de casas decimais para Pi.
Para encontrar 4 casas decimais é necessário somar 10 000 termos.
Mas Gregory (que se pensa ser o verdadeiro criador da fórmula de Leibniz) aperfeiçoou-a e (usando a função trignométrica arctg) conseguia encontrar as 4 casas decimais com apenas 9 termos somados.
Machin aperfeiçoou ainda mais a fórmula, mas não a usou para calcular Pi.
Os cálculos exigidos eram imensos e tediosos e era preciso dispender enormes quantidades de tempo a uma tarefa de pouca utilidade (encontrar as casas decimais de Pi).
Mas, em 1873, o inglês Shanks, que pelo visto tinha pouco com que se entreter, publicou os seus resultados aplicando a fórmula de Machin. Após anos de trabalho calculou 707 casas decimais.

Até 1946 todos os cálculos eram feitos à mão, demorando anos a serem feitos.
Nesse ano Ferguson calculou 620 casas decimais.
Mas em 1947 o mesmo Ferguson utilizou uma calculadora para encontrar 710 c.d.
Isto marcou o início dos cálculos com o auxílio dos computadores.
Em Setembro de 1999, Kanada Takahashi usou um computador para calcular um número de casas decimais de 206 mil milhões, 158 milhões e 430 mil.
Além de iniciar o cálculo electrónico de Pi, Ferguson também mostrou que Shanks se tinha enganado ao calcular a 528ª casa decimal, pelo que todas as restantes estavam incorrectas.

Existe curiosamente uma forma experimental de calcular o valor de Pi.
Em 1777 o conde Leclerc de Buffon («it is I, Leclerc...»), acrescentou um suplemento à sua recentemente publicada obra de 36 volumes sobre História Natural.
O suplemento versava um curioso «Problema da agulha» conhecido mais tarde como «Agulha de Buffon».
Simplificadamene trata-se de descobrir a probabilidade (cuja forma de calcular se falou em Alea jacta est) de uma agulha com 2 cm de comprimento, lançada ao acaso sobre um plano com linhas paralelas separadas por 4 cm, atingir uma dessas linhas.
Depois de vários lançamentos, contacta-se que a probabilidade é 1/π.
É curioso como o número concreto Pi surge em algo que aparentemente é tão diferente, o cálculo da incerteza permitido pelas probabilidades...

Algumas outras curiosidades sobre Pi:
~ a soma dos primeiros 144 dígitos de Pi é 666. 144 = (6 + 6)x(6 + 6);
~ a altura de um elefante, da pata ao pescoço, é 2 x Pi x diâmetro da cada pata;
~ em 1995, Goto estabeleceu um novo recorde mundial ao dizer de cor, gastando perto de 9 horas, as primeiras 42 mil casas decimais de Pi;