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Helius armentum

Arquimedes (d)escreveu, numa carta dirigida aos estudantes da cidade egípcia de Alexandria (fundada por Alexandre Magno e que continha a famosa Biblioteca de Alexandria) um problema relacionado com o cálculo do número de cabeças de gado do Deus Sol grego Hélio. O gado deste deus pastava na ilha da Sicília, na Itália, e era conhecida pelos Gregos como Trinácio («três cantos» em Grego). Na altura a ilha tinha colónias gregas e os gregos acreditavam que o gado divino pastava perto de Taormina (nome derivado da designação original dos colonos gregos «Tauromenion», 85 quilómetros a norte de Siracusa. «Tauro» significa touro em grego. Daí o Minotauro, o famoso monstro com cabeça de Touro que vivia no labirinto de Minos.

A origem e idade do problema não são conhecidas com exactidão, mas pensa-se que, de facto, terá a ver com Arquimedes. (Ver também a solução do problema da coroa do rei de Siracusa em Aurea corona)

A dificuldade do problema proposto é tal que a primeira solução (ainda que incompleta) só surgiu em 1880, pelas mãos de Amthor. Amthor conseguiu mostrar que o número total de animais da solução total tem 206 mil e 545 dígitos e conseguiu calcular alguns desses dígitos mas o cálculo completo não podia ser feito com os meios da altura.
Apenas com o advento dos computadores foi possível a Williams, German e Zarnke, em 1965, encontrar uma solução. No aetanto os autores apenas descreveram os passos para esse cálculo mas não a solução em si mesma.
O menor número de animais no gado de Hélio foi publicado por Harry Nelson em 1981, usando o supercomputador CRAY-1.
Mas uma solução geral para o problema foi encontrada em 2001 usando meios de cálculo mais modestos do que um supercomputador.

Em termos simplificados o problema é dividido em duas partes.
A primeira é basicamente a seguinte:
O Deus Sol Hélio tinha bois e vacas a pastar. O gado estava dividido em quatro partes: a primeira era Branca, a segunda Preta, a terceira era Malhada e a quarta Castanha e cada parte tinha bois e vacas.
Entre os bois, o número de bois brancos era um meio mais um terço dos bois pretos mais o de castanhos; o número de bois pretos era um quarto mais um quinto dos bois malhados mais o de castanhos; o número de bois malhados era um sexto mais um sétimo do de bois brancos mais o de castanhos.
Entre as vacas, o número de vacas Brancas era um terço mais um quarto do total de animais pretos; o número de vacas Pretas era um quarto mais um quinto do total de animais malhados; o número de vacas Malhadas um quinto mais um sexto do total de animais castanhos; o número de vacas Castanhas era um sexto mais um sétimo do total de animais brancos.
Quantos animais existiam ao todo de cada tipo?

A solução geral encontrada por Verdi em 2001 é a seguinte:

Seja «b» o número de bois brancos, «p» o de bois pretos, «m» o de bois malhados, «c» o de bois castanhos, «B» o de vacas Brancas, «P» o de vacas Pretas, «M» o de vacas malhadas e «C» o de vacas castanhas.

Teremos então as seguintes 7 equações:

b = (1/2 + 1/3)p + c <=> b = 5/6 p + c
p = (1/4 + 1/5)m + c <=> p = 9/40m + c
m = (1/6 + 1/7)b + c <=> m =13/42 + c
B = (1/3 + 1/4) (p + P) <=> B = 7/12 (p + P)
P = (1/4+ 1/5) (m + M) <=> P = 9/20 (m + M)
M = (1/5 + 1/6) (c + C) <=> M = 11/30 (c + C)
C = (1/6 + 1/7) (b + B) <=> C = 13/42 (b + B)

Como facilmente se constata, há 7 equações para 8 incógnitas.
Então ou o problema não tem solução ou então há infinitas soluções.
(para que um sistema de equações tenha apenas uma solução é necessário que haja tantas equações como incógnitas.
Deste forma só há três tipos de soluções para um sistema de equações:
0 soluções; 1 solução; ∞ soluções.

Neste caso concreto há soluções, logo há infinitas soluções para este problema.
Para as calcular é necessário o uso de um computador que permita resolver equações diofantinas (equações cujas soluções sejam inteiras, uma vez que o número de animais de qualquer tipo tem de ser inteiro).
Usando um programa desse tipo determina-se a seguinte solução:

b = 10 366 482 x k
p = 7 460 514 x k
m = 7 358 060 x k
c = 4 149 387 x k
B = 7 206 360 x k
P = 4 893 246 x k
M = 3 515 820 x k
C = 5 439 213 x k

em que o número k é um número inteiro positivo (1, 2, 3, ...)
Substituindo k, obtemos diferentes (e infinitas) soluções.

A mais pequena delas todas é quando k = 1.
Essa é a solução mais pequena conhecida deste problema e obtém-se:

b = 10 milhões 366 mil e 482 bois brancos
p = 7 milhões 460 mil e 514 bois pretos
m = 7 milhões 358 mil e 60 bois malhados
c = 4 milhões 149 mil e 387 bois castanhos
B = 7 milhões 206 mil e 360 vacas brancas
P = 4 milhões 893 mil e 246 vacas pretas
M = 3 milhões 515 mil e 820 vacas malhadas
C = 5 milhões 439 mil e 213 vacas castanhas

No total o gado de Hélio teria 50 milhões 389 mil e 82 animais.

Mas Arquimedes refere ainda, como continuação do problema, que:
Quando os bois brancos se juntam aos negros, podem formar um quadrado com tantos animais de comprimento como de largura. E quando os bois malhados se juntam aos castanhos, podem formar um triângulo, em qua a primeira fila tem 1 animal, a segunda 2 animais, e assim sucessivamente, cada fila com um animal mais do que a anterior.

Com mais estas duas equações, o número de animais cresce imenso.

Em termos de equações temos então que b + p = número quadrado.
(ou seja, o número de bois pretos mais o números de bois brancos tem de ser igual a um número ao quadrado). Ou seja, b + p = r², em que r é um número inteiro positivo qualquer.
Assim, 10 366 482 x k + 7 460 514 x k = r² <=>
<=> 17 826 996 x k = r² <=>
<=> 2x2x3x11x29x4 657 x k = r²

Para que isto ocorra, e uma vez que 2x2 é um número quadrado,
3x11x29x4 657xk = r² <=> 4 456 749 x r²

Além disso, m + c = número triangular.
Um número triangular é igual à soma 1 + 2 + 3+ ...
A soma de números consecutivos é dada pela fórmula n x (n+1) / 2
(descoberta por Gauss quando ainda era pequeno, como visto no artigo Simples mente ). Ou seja, m + c = n x (n+1) / 2, que que n é um número inteiro positivo qualquer.
Assim, 4 149 387 x k + 7 358 060 x k = n x (n + 1) / 2 <=>
<=> 11 507 447 x k = n x (n + 1) / 2

Unindo as duas equações que se obtiveram das duas condições, obtém-se:
11 507 447 x 4 456 749 x r² = n x (n + 1)/2 <=>
<=> 102 571 605 819 606 x r² = n x (n + 1)/2

O problema então consiste agora em encontrar dois números inteiros r e n com os quais isto ocorra.
O supracitado A. Amthor foi o primeiro a determinar que os valores r e n dão um valor para o número de animais com 206 545 dígitos que começa com 776.

Mais tarde, em 1889 e 1893, calcularam-se os primeiros 31 dígitos e e os 12 últimos.
Eram 7760271406486818269530232833213 . . . 719455081800

Mas o valor mais pequeno só foi publicado em 1981, por Harry Nelson, que usou um supercomputador para o cálculo do número com 206 545 dígitos que ocupava 47 páginas impressas.

Nunca um problema matemático tinha demorado 22 séculos a resolver!
Mas a questão é, sabendo que a solução envolve Álgebra, sistema de equações, supercomputadores, 47 páginas impressas, como terá Arquimedes solucionado a questão (se é que o fez)?

No título «O gado de Hélio»