09 dezembro 2005Cogitar (21 cogitações anteriores)Natalis eademQuando se lança uma moeda ao ar, a probabilidade de que se obtenha «caras» é 1/2.
Uma probabilidade curiosa é a determinação da probabilidade de que, num grupo de pessoas, hajam duas que fazem anos no mesmo dia do ano. É claro que a probabilidade é diferente consoante o número de pessoas envolvidas. ~ Qual é então o número mínimo de pessoas que uma festa tem de ter para que a probabilidade de haver pelo menos 2 pessoas que façam anos no mesmo dia ?
Como a probabilidade do conjunto total (o designado espaço amostral) é 1 (ou 100%) e a junção de dois acontecimento contrários é igual ao espaço amostral, a soma das probabilidades dos dois é igual a 1 (ou 100%). Quanto maior a desproporção entre o tamanho dos acontecimentos contrários e quanto mais difícil é calcular a probabilidade de cada um, mais útil é utilizar o acontecimento mais pequeno para calcular a probabilidade do seu contrário, de maior tamanho. No caso do Problema do aniversário coincidente, em que é necessário calcular uma infinidade de probabilidades (uma para cada número de pessoas), é mais fácil calcular a probabilidade do acontecimento contrário a esse conjunto. Fazendo variar o n (o número de pessoas do conjunto), a probabilidade de que não hajam pelo menos duas que façam anos no mesmo vai diminuindo quanto maior é o número de pessoas, da mesma forma que vai aumentando a probabilidade de pelo menos duas pessoas fazerem anos no mesmo dia. Como se viu em Caecus adnumeratio, é possível obtermos este valor sem de facto contarmos o número em si mesmo. Casos favoráveis Casos possíveis. Então, a probabilidade de não haver pelo menos 2 pessoas a fazer anos no mesmo dia é Se se calcular a probabilidade para diferentes números de pessoas (variando n) é possível verificar que o número de pessoas a partir do qual a probabilidade de pelos menos 2 fazerem anos no mesmo dia é superior a 50 % (0,5) é 23.
Usando a mesma fórmula, verifica-se que A probabilidade vai subindo continuamente, sem nunca alcançar 100%. Ou seja, basta que numa festa estejam 57 pessoas para que seja muito improvável que duas não façam anos no mesmo dia... No título «Aniversários simultâneos» Cogitado por Mauro Maia às 20:22
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Olá Mauro, achei interessantíssimo este cálculo de probabilidades. É engraçado, porque no meu Centro de Saúde, somos 80 funcionários, e fazemos três anos no mesmo dia! Beijo
Cogitado por: Maria Papoila a dezembro 10, 2005 07:47 PM
Com 80 pessoas, Maria Papoila, a probabilidade de que pelo menos duas pessoas façam anos no mesmo dia é mesmo muito elevada(99,914332%). O curioso é que bastam 57 pessoas num grupo para que a possibilidade de que pelo menos duas façam anos no mesmo dia seja quase certa. Tendo em conta os 365 dias num ano (regular) é de facto um valor supreendente. Bastam 57 pessoas para os 365 dias...
Cogitado por: Mauro a dezembro 10, 2005 11:19 PM
E qual será o valor dessa probabilidade se o número de pessoas presentes na festa for de 366 ou maior?
Cogitado por: . a dezembro 12, 2005 11:07 AM
Obrigado pela questão, «.». É de facto muito pertinente. Não tinha ainda pensado nela (até porque, a partir de 120 pessoas, cálculos automatizados com calculadoras ou folhas de cálculo tornam-se intratáveis). A minha imediata tentação é a de inverter os arranjos, fazendo agora arranjos de n 365 a 365. Mas é uma tentação de que me devo precaver, evitando o risco da precipitação. Se houver mais pessoas do que dias do ano, a probabilidade de 2 fazerem anos no mesmo dia passa a ser de 100 %. Se 365 pessoas fizerem anos em dias diferente, a tricentésima sexagésima sexta terá de fazer num dos 365 dias onde já alguém faz anos. Ou seja, passa a ser certo que duas façam anos no mesmo dia. Sendo assim, uma modificação do artigo é indispensával, no ponto em que refiro que a probabilidade nunca é de 100%. De facto nunca é até 365 pessoas, acima desse valor torna-se sempre 100%, independentemente do número de pessoas (acima do dito 365). Obrigado pela chamada de atenção, «.» Como sempre os teus comentários são de uma extraordinária valia para o Cognosco e o artigo será de imediato reformulado nesse pequeno ponto.
Cogitado por: Mauro a dezembro 12, 2005 09:01 PM
Exactamente ;-) Há um teorema que diz isso mesmo, mas não me lembro do nome do seu autor. Tenho-o num livro. Vou procurá-lo e depois direi alguma coisa. Cumprimentos
Cogitado por: . a dezembro 12, 2005 09:23 PM
Afinal não é um teorema, é um princípio e leva os nomes de princípio de Dirichlet (um matemático do séc. XIX) e de princípio do pombal. Dirichlet "utilizou-o muito nos seus trabalhos em teoria dos números e conseguiu com ele resultados curiosos, surpreendentes e profundos" [Miguel de Guzmán, "Aventuras Matemáticas", 1986]. Por exemplo, "em Madrid, neste preciso momento, há mais de 20 pessoas que têm exactamente o mesmo número de cabelos" [idem]. E muitos outros. Talvez não fosse uma má ideia para um artigo...
Cogitado por: . a dezembro 14, 2005 12:09 PM
Faltou referir, na referência bibliográfica do comentário acima, a editora: trata-se da Editorial Labor S. A., mas existe uma edição portuguesa de 1990 da Editorial Gradiva
Cogitado por: . a dezembro 14, 2005 12:20 PM
A Gradiva continua a ser o bastião da cultura científica em Portugal. Não que não haja outras editoras que publicam obras igualmente meritórias, mas a colecção da Gradiva «Ciência Aberta» é algo fabuloso. São os livros que imediatamente procuro quando entro numa livraria.
Daria de facto um artigo interessante o que referes. Não tenho é material (para já pelo menos) de pesquisa para o supracitado item. Fico curioso é para saber como se pode calcular o número de cabelos na cabeça de alguém. Seguramente por métodos estatísticos. Nunca vi foi algo relacionado com isso. Seria pedir muito, «.», que me esclarecesses um pouco mais sobre esse tópico (enquanto não me ofereço, como prenda de Natal, a edição da Gradiva das «Aventuras matemáticas)?
Cogitado por: Mauro a dezembro 14, 2005 01:57 PM
O livro não responde à tua pergunta, referindo apenas que "não há ninguém cujo número de cabelos atinja 200 000. Para isso seria precisa uma cabeça descomunal, de um tamanho impossível". Aqui vai a forma segundo a qual eu imagino que semelhante cálculo tenha sido obtido :-p
1 - começa-se por contar os cabelos existentes em 1 cm2 de couro cabeludo de algum indivíduo particularmente cabeludo; obtém-se, deste modo, uma estimativa grosseira da densidade máxima (em cabelos / cm2) de cabelos do ser humano;
2 - em seguida mede-se a superfície do couro cabeludo de algum indivíduo particularmente cabeçudo; obtém-se, desta vez, uma estimativa não menos grosseira do tamanho máximo (em cm2) da cabeça do ser humano;
3 - multiplicam-se ambos os números e obtém-se uma estimativa do número máximo de cabelos do ser humano; digamos que são 100 000;
4 - soma-se a esse valor outro tanto, de modo a garantir, pelo exagero, que a grandeza assim obtida (200 000) constitui, realmente, um majorante do número de cabelos do ser humano.
Daí em diante é fácil e vem explicado no livro: sabendo que em Madrid vivem (ou viviam, à data em que o livro foi publicado), mais de 4 milhões de habitantes, e aplicando o referido princípio de Dirichlet, divide-se este número por 200 000 e obtém-se 20, o número de madrilenos que terá, forçosamente, de ter um idêntico número de cabelos nas suas ilustres cabeças :-)
Cogitado por: . a dezembro 15, 2005 07:34 AM
Que raio de passatempo, os destes matemáticos: andar a contar os cabelos de outrem...
Cogitado por: . a dezembro 15, 2005 07:47 AM
A minha curiosidade é sobre a morosidade de contar o número de cabelos que alguém tem na cabeça. A dado ponto, como se sabe se determinado cabelo já foi contado ou não, mesmo contando uma amostra e usando princípios estatísticos para inferir o número total? É algo bem pior do que andar a ver matrículas para inferir o número de carros vendidos em Portugal, que fiz para o artigo «Lammina licentiae» (http://cognoscomm.com.sapo.pt/arquivo/759141.html)...
Cogitado por: Mauro a dezembro 15, 2005 02:03 PM
Não sei responder. E o livro também não satisfaz essa tua curiosidade. Tenho alguma dificuldade em levar a sério este tipo de problemas, não obstante o valor teórico inegável dos princípios (neste caso o de Dirichlet) que presidem à sua resolução. Mas vou tentar: talvez se consiga, numa amostra suficientemente pequena, manter os cabelos já contados separados dos que ainda estão por contar; ou, em alternativa, convencer a cobaia a deixar que lhe arranquem os cabelos à medida que estes vão sendo contados; ou ainda, se tal não for possível, recorrer ao cadáver de alguém que tivesse doado o corpo à Ciência.
Cogitado por: . a dezembro 15, 2005 03:29 PM
A melhor solução parece ser de facto contar o número de cabelos retirados a uma cabeça. Mas contar (digamos) 10 000 cabelos não parece, mesmo assim, uma tarefa fácil. Talvez uma outra forma seria determinar o diâmetro médio de um cabelo humano e a distância média entre cabelos no couro cabeludo. Com esses valores obter o número média de cabelos por cm2. Basta então, para diferentes áreas de couro cabeludo, fazer o cálculo do número de cabelos que em média terá na totalidade. Pelo menos não seria necessário arrancar cabelos (só mesmo de frustração). ;)
Cogitado por: Mauro a dezembro 15, 2005 08:27 PM
Julgo compreender o teu ponto de vista. Mas será mesmo necessário conhecer o diâmetro médio do cabelo humano? Não seria suficiente medir-se a distância média entre cabelos do couro cabeludo e a forma como os mesmos se dispõem ao longo da sua superfície? Por exemplo, se os cabelos se dispusessem segundo uma grelha rectangular com d milímetros de lado, a densidade seria de 1 / d2 cabelos por mm2, independentemente do valor da espessura de cada cabelo. Ou talvez o arranjo não fosse rectangular, mas antes hexagonal, à semelhança do que sucede com os favos de mel numa colmeia. Nesse caso a densidade seria outra. Ou talvez a disposição não fosse de todo hexagonal, nem tão-pouco rectangular, mas antes irregular, e lá teríamos nós de contar os cabelos existentes numa determinada amostra. E para que o resultado obtido fosse minimamente credível do ponto de vista estatístico, receio que a amostra não pudesse ser muito mais pequena do que 1 cm2 e que, por conseguinte, o número de cabelos a contar não andasse longe dos 10 000 que referes.
Cogitado por: . a dezembro 15, 2005 09:51 PM
Já ontem pretendia comentar a tua cogitação, «.», mas acabei por não ter a disponibilidade que pretendia. Eis então as minhas considerações: julgo ser importante o diâmetro do cabelo porque 2 cabelos com 0,5 mm de diâmetro separados por 1 mm ocupam menos espaço do que dois cabelos com 0,8 mm separados por 1 mm. Dessa forma, numa área de digamos 100 mm2, parece-me que cabem mais cabelos com um diâmetro de 0,5 mm do que cabelos com 0,8 mm. Em termos práticos parece-me relevante a espessura de um cabelo para a determinação do seu número médio numa cabeça. Que te parece?
Cogitado por: Mauro a dezembro 16, 2005 07:10 PM
Creio ter compreendido. Ou seja, segundo o teu ponto de vista, os cabelos mais finos conseguem preencher de uma forma mais eficiente a superfície do couro cabeludo, levando a que os interstícios (inevitáveis, dada a geometria circular da secção transversal de cada cabelo) sejam mais pequenos e que, portanto, o número de cabelos por unidade de área seja maior. Certo?
Bem visto. Tentemos, então, ser exaustivos.
Haveria, pelo menos em princípio, que considerar duas situações extremas: na primeira teríamos cabelo esparso, sendo a densidade do mesmo ditada pelo modelo de distribuição adoptado (rectangular, hexagonal...) e pela separação entre cabelos adjacentes (a espessura seria irrelevante); na segunda situação estaríamos em presença de uma farta cabeleira, sendo a sua densidade especificada de novo pelo modelo de distribuição e, desta vez, pela espessura do cabelo (o valor da separação teria de ser idêntico ao do diâmetro: não poderia ser menor, por impossibilidade física; nem poderia ser maior, pois nesse caso a situação que se está a descrever deixaria de ser extrema).
E haveria, pelo menos em princípio, que considerar toda uma infinidade de situações intermédias.
Digo em princípio, pois no caso particular deste exemplo (e só deste exemplo), em que o que se pretende é majorar a densidade do cabelo humano, só uma situação interessa: aquela em que o cabelo está tão "empacotado" quanto possível, ou seja, a correspondente a uma separação de valor igual ao do diâmetro do mesmo. E qual o modelo de distribuição a adoptar? Creio (mas posso estar redondamente enganado) que a disposição hexagonal será a que melhor permite "empacotar" o cabelo. Senão vejamos:
1 - distribuição rectangular (ou melhor, quadrada): se for d o diâmetro médio, em milímetros, do cabelo, a área de cada quadrícula terá o valor de d^2; e a da secção transversal do cabelo, o valor de PI * (d / 2)^2; a eficiência desta distribuição será dada pela razão do segundo valor pelo primeiro, sendo igual a PI / 4 (lembras-te do tiro ao alvo? :-)). A densidade será igual a 1 / d^2 cabelos por mm2;
2 - distribuição hexagonal: a eficiência será, desta vez, dada pelo quociente entre a área do círculo e a do hexágono no qual o círculo se inscreve. Esta última será, se não me enganei nos cálculos, igual a (sqrt(3) / 2) * d^2, pelo que a eficiência assumirá o valor de PI / (2 * sqrt(3)) e a densidade o de 2 / (sqrt(3) * d^2) cabelos por mm2; ou seja, mais eficiente e mais denso do que na situação correspondente ao arranjo rectangular do cabelo.
Será necessário, portanto, determinar a espessura mínima (e não média, pois pretende-se maximizar a densidade) do cabelo humano. Como o fazer? Creio que teremos de seleccionar uma amostra de pessoas com cabelo muito fino, de lhes arrancar uns quantos apêndices capilares e de escolher o mais fino de entre os mais finos de todos os cabelos. Mais parece a história da Gata Borralheira, mas com cabelos em substituição dos pés delicados :-p Cumprimentos.
Cogitado por: . a dezembro 16, 2005 11:25 PM
Referi a questão da média de espessura pensando num hipotético modelo que constituiria uma aproximação aceitável do maioria dos couros cabeludos. A questão é de facto diferente da perspectiva de uma majoração na qual, como bem referes, teríamos de considerar a distância inter-capilar como nula. A questão da majoração e a questão da média (neste caso mais uma mediana em termos de modelo final) são ambos modelos para a mesma situação, cada um com as suas vantagens e as suas desvantagens: a vantagem do modelo «média» é, após calculado, apresentar um modelo imediato; a vantagem do modelo «majorante» é que permite cálculos matemáticos mais facilitados (há um máximo mas, num modelo «média», há uma infinda quantidade de valores intermédios). Uma coisa escapou-me, no entanto, no teu modelo de distribuição capilar. Se se pressupõe um densidade absoluta, que importância tem a forma da área capilar? Ao nível da pele, não serão ambos os modelos iguais e indistinguíveis? Se pegarmos num couro cabeludo maximizado hexagonal, podemos cortar uma porção circular, que tem a mesma densidade (a máxima, na qual a distância entre quaisquer 2 cabelos é nula); da mesma forma posso cortar uma porção hexagonal de um couro maximizado circular. Continua-me a parecer relevante a espessura do cabelo (a área de um corte transversal): a quantidade de cabelos presentes numa cabeça não é função desse valor? Num modelo «majorante» (com a distância inter-capilar nula), se um cabelo tivesse 1 mm de diâmetro existiriam 10 000*Pi numa área de 1 dm2. Se um cabelo tivesse 0,5 mm de diâmetro existiriam 20 000*Pi numa área de 1 dm2. Num modelo «média» se a distância inter-capilar fosse 0,5 mm e diâmetro capilar 1 mm, poderíamos considerá-lo equivalente a um modelo «majorante» em que o diâmetro capilar seria de 1,5 mm. Aí existiriam (20 000*Pi)/3 cabelos. Não bastaria então achar um valor adequado para o diâmetro médio de um cabelo e a área ocupada pelo cabelo para determinar essa quantidade? Ou então, pelo que seria uma falha minha, falhei na interpretação do que constitui o teu modelo «majorante», caso no qual te peço que me elucides.
Cogitado por: Mauro a dezembro 17, 2005 12:37 AM
1 - Quando refiro que se pretende encontrar um majorante da densidade de cabelo humano, quero simplesmente dizer que se deseja encontrar um número que seja, seguramente, maior do que a densidade máxima de cabelo humano, pois só assim se poderá garantir, neste problema, o número mínimo de madrilenos que partilham o mesmo número de cabelos. Se, em vez dos valores máximos, se usassem valores médios, não seria possível, usando o princípio de Dirichlet, assegurar a veracidade desse valor.
2 - Pelo teu comentário ficou-me a impressão de que interpretaste os modelos de distribuição (rectangular e hexagonal) capilar que referi como a forma geométrica aproximada do couro cabeludo na sua globalidade. Mas não. Trata-se, ao invés, de considerar o couro cabeludo como sendo composto por uma grelha de pequenos rectângulos ou hexágonos, ocupando cada cabelo o espaço correspondente a um só desses polígonos. Será essa a origem da confusão?
3 - A espessura do cabelo é, sem dúvida, relevante e já o referi no comentário anterior. Tinhas razão nesse aspecto. Mas não é suficiente, pois não podes estimar o número total de cabelos dividindo simplesmente a área total do couro cabeludo pela área da secção transversal de cada cabelo. Ao dispor os cabelos lado a lado, e tendo em conta que a referida secção transversal tem a forma de um círculo, haverá, por entre os círculos, inúmeros pequenos espaços do couro cabeludo que não foram preenchidos por cabelo e que não estarão, nessa perspectiva, a ser aproveitados. Trata-se dos interstícios que referi logo no início do comentário. Estes interstícios poderão ser maiores ou menores, consoante a forma como os cabelos se dispõem ao longo da superfície da pele. Se considerarmos a forma hexagonal, o espaço não aproveitado será mínimo e a densidade capilar resultante será, por consequência, máxima. Não é por acaso que os favos de mel numa colmeia têm esta disposição. A selecção natural ditou, na minha modesta opinião de não especialista nessa matéria, que a evolução das abelhas se processasse no sentido de se maximizar o aproveitamento do espaço disponível na colmeia. Ora a configuração mais eficiente sob este ponto de vista e a que, por conseguinte, confere mais vantagens a estes insectos, parece ser, precisamente, a hexagonal.
Cogitado por: . a dezembro 17, 2005 01:49 AM
De facto não tinha entendido correctamente o teu ponto de vista (como receei no meu anterior comentário). Confundi a forma capilar com a distribuição capilar. Peço desculpa, «.» A confusão não se prendeu com a definição de majorante (bastante elementar) mas apenas com a interpretação do modelo porque infelizmente não é possível integrar imagens nos comentários. De facto, se a forma da secção transversal fosse hexagonal, a densidade seria a máxima possível (daí, como bem lembras, a forma hexagonal dos favos de mel.) O tipo de modelo que procurei explicitar foi um que fosse uma aproximação válida à distribuição capilar numa cabeça humana. Uma forma hexagonal dá um majorante eficaz, mas a secção transversal de um cabelo humano é, como já verificado, aproximadamente circular, pelo que os interstícios são significativos. Entendo agora melhor o teu modelo «majorante» (coloco entre aspas apenas por ser o nome do modelo, tal como cololoco «média» no meu) A minha questão é agora saber qual a magnitude da diferença entre um couro cabeludo majorado hexagonalmente e um couro cabeludo real. Nada garante que a metade desse valor é uma aproximação realista (eg, na distribuição 1; 1; 1; 2; 2; 10 o majorante é 10, mas 5 não é um valor representativo da distribuição. É uma situação propositadamente exagerada mas nada me indica que a majoração hexagonal não seja uma situação acidentalmente exagerada. A média, 2,8(3), não é também absolutamente representativo mas está mais próximo. Mas a mediana é 1,5 o que é mais representativo). Como desconheço a magnitude dessa diferença, optei por procurar um modelo aproximadamente realista. A valor real muito provavelmente situar-se-á entre o valor do modelo «média» e o valor do modelo «majorante», tendo em conta a irregularidade dos cabelos. Mas quanto e para que lado pende mais é, a meu ver, a questão relevante na escolha do modelo mais útil para a questão. A espessura «majorada» será irrelevante mas a espessura «média» parece-me essencial.
Cogitado por: Mauro a dezembro 17, 2005 01:23 PM
Olá, encontrei esta página no google quando estava à procura de informação sobre a densidade do cabelo. Gostei de ler os vossos comentários. Algum cabeleireiro profissional ou da área ou são matemáticos/conhecedores de matemática? Há efectivamente algum método para contar cabelos?
Cogitado por: JB a julho 10, 2007 09:29 PM
Não sei, «JB», quais as habilitações profissionais de «.». Pelo que me é dado perceber pelo seu «discurso» escrito, independentemente disso, trata-se de alguém com forte inclinação/gosto pela Matemática, tal como eu.
Cogitado por: Mauro a julho 11, 2007 08:09 AM
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O facto de a probabilidade ser 1/2 de que se obtenha «caras» não significa que, se se atirar 2 vezes uma moeda ao ar obtemos de certeza 1 vez «cara», tal como se se atirar 6 vezes um dado, não se obtém de certeza uma vez cada face.
Repare-se que há 365 dias num ano (não bissexto).
p(A) = p({1}) + p({2}) + p({3}) + p({4}) e p(B) = p({5}) + p({6}).
