Últimas atualizações
Novo endereço do Cognosco: http://www.cognoscomm.com
Diário das pequenas descobertas da vida.
Sábado, 15 de Julho de 2006
Erros normais
Há, na estrutura do Mundo, padrões e valores que unem as coisas mais aparentemente díspares. No Cognosco referiu-se o exemplo da razão de ouro, φ, no artigo Só phi é d'ouro

Curva de GaussMas há outros padrões imersos na estrutura da realidade que são comuns a uma grande variedade de fenómenos.
Uma delas é a justificação matemática do conhecido provérbio «No meio está a virtude».
(Não sou grande amigo de provérbios, como expliquei em Provérbios e Adivinhas, o que não significa que, nos contextos apropriados, não possam ter a sua validade...)
A chamada Curva de Gauss.
(Gauss foi um profícuo Matemático do final do século 18 e início do 19. Para se ter uma ideia da sua importância, há perto de 200 termos matemáticos que ostentam o seu nome. Ver o artigo Simples mente para uma história curiosa sobre a sua infância.)

Esta curva (também chamada Curva Normal ou em Forma de Sino) tem um aspecto singelo mas contém a chave para muitos segredos e mistérios do Mundo.

~ Será surpreendente saber que a altura de um grupo de pessoas está ligada, por esta curva, ao peso dos leões existentes em África?
~ Será surpreendente saber que o número de erros tipográficos dos livros publicados por uma editora está ligada, por esta curva, à duração dos jogos da Taça do Mundo de Futebol?
~ Será surpreendente saber que as notas nos exames de acesso à Universidade estão ligadas, por esta curva, ao número de ramos que uma árvore tem?
~ Será surpreendente saber que o QI (Quociente de Inteligência) dos Portugueses está ligado, por esta curva, ao comprimento dos Tubarões-Brancos existentes no Mundo?
~ Será surpreendente saber que a relação do número de filhas e filhos dos casais europeus está ligada, por esta curva, ao número de cabelos existentes na cabeça dos seus pais?
~ Será surpreendente saber que o número de gotas de chuva que cai durante uma tempestade está ligado, por esta curva, ao número diário de leitores de um jornal?

Para perceber estas ligações (e muitas mais, que muitos mais exemplos se podiam dar) é necessário primeiro compreender o que é a Curva de Gauss, qual a sua História, como tem o nome que tem, quais as suas características, como surge e como é construída.

Esta curva está ligada a dois valores que, em qualquer conjunto de valores, podem ser calculados: a média e o desvio-padrão.
A média (μ) pode ser entendida como um valor que está o mais próximo possível de todos os valores estudados;
O desvio-padrão (δ) é basicamente a média das diferenças de cada valor à média do conjunto;

As características mais significativas desta curva são:
~ é simétrica em relação ao seu centro (que é a sua média);
~ a média é também o valor mais frequente (moda) e a valor central (mediana);
~ 68,27% de todos os valores situa-se entre a média menos o desvio-padrão e a média mais o desvio-padrão;
~ </b>95,45%</b> situam-se entre a média menos 2 vezes o desvio padrão e a média mais 2 vezes o desvio-padrão;
~ 99,73% situam-se entre a média menos 3 vezes o desvio-padrão e a média mais 3 vezes o desvio-padrão;

de MoivreA primeira referência que se conhece a esta curva surge num artigo de Abraham De Moivre em 1734. A intenção de De Moivre era a de estudar de que forma distribuições binomiais à medida que o número de observações aumentava.
(Uma distribuição binomial é o estudo do número de acontecimentos em que só há duas possibilidades: ou ocorre ou não ocorre. Por exemplo, uma distribuição binomial pode ser formada pela pontuação que se obtem no lançamento de 10 dados. O que De Moivre procurava compreender, com o seu artigo, ao que acontecia à medida que mais e mais lançamentos do dado eram feitos: 10, 100, 1 000, 10 000, 100 000,...)
Laplace (1749-1827), outro importante Matemático, complementou o artigo de De Moivre em 1812.

Laplace usou depois a Distribuição normal (o nome da distribuição de valores associada à Curva de Gauss) para estudar a distribuição de erros em experiências.
Outro Matemático, de nome Legendre, introduziu, em 1805, o Método dos Mínimos Quadrados, um método pelo qual se procura uma função que melhor se aproxime de um conjunto aleatório de valores para, desta forma, permitir fazer previsões.
Suponha-se a título de exemplo, que se estudava o número de fumadores em Portugal em diferentes anos. Colocando os valores obtidos num gráfico obter-se-ia uma nuvem mais ou menos dispersa de pontos. Mas, usando o Métodos dos Mínimos Quadrados, podia-se encontrar uma função que permitiria prever, com alguma certeza, quantos fumadores existirão em Portugal em 2100...)
Mas o já citado Carl Friedrich Gauss afirmou, aquando da publicação de Legendre, que já usava um método semelhante desde 1794 e, em 1809, usou a Distribuição Normal para demonstrar rigorosamente o método.

Vários foram os Matemáticos que foram nomeando esta curva e a distribuição a ela associada: Joufrett criou a designação «Curva em Forna de Sino» em 1872, Galton introduziu o nome «distribuição normal». O nome «Curva de Gauss» foi sendo progressivamente usada desde o seu uso, por Gauss, para demonstrar o Método dos Mínimos Quadrados. Gauss não a criou, não a nomeou, não a complementou... No entanto, ficou com o seu nome associado a esta universal curva. Ironias da História...

Como surge então esta famosa curva de tantos fenómenos diferentes?
Suponha-se que se tem 2 dados, com seis faces cada.
Lançam-se 10 vezes os dados e soma-se o número de pintas.
Lançam-se 100 vezes os dados e soma-se o número de pintas.
Lançam-se 1 000 vezes os dados e soma-se o número de pintas.
Lançam-se 10 000 vezes os dados e soma-se o número de pintas.

Colocando num gráfico de barras os valores obtidos constata-se que, à medida que aumenta o número de lançamentos que se efectua, mais se aproxima a forma do gráfico da Curva de Gauss.
Em termos práticos, acima de meia dúzia de lançamentos, a forma da distribuição dos valores obtidos é suficientemente semelhante à curva de Gauss para se poder usar as suas características especiais para fazer previsões e cálculos.

Por exemplo, sabendo que os QI's de um grupo de 1 000 pessoas têm uma Distribuição Normal e que o QI médio é 110 e o desvio-padrão 12 então sabemos que:
~ 68,27% dessas pessoas têm um QI entre 98 (110-12) e 122 (110+12). Ou seja, 682 pessoas têm um QI entre 98 e 112. Ou ainda a probabilidade de uma pessoa desse grupo ter um QI entre 98 e 112 é 68,27%;
~ 95,45% (954) das pessoas têm um QI entre 86 e 134;
~ 99,73% (997) das pessoas têm um QI entre 74 e 146;

O curioso é que a maioria dos fenómenos, em que há um conjunto de valores com uma característica aleatória, têm uma distribuição aproximadamente normal

Isto é garantido, sem margem para dúvidas, por um teorema matemático chamado
Teorema do Limite Central que afima (em termos latos) que:
qualquer distribuição de suficientes valores aleatórios tem uma distribuição aproximadamente normal e quanto maior for o número de valores maior é a aproximação à distribuição normal.
(A partir de 30 valores a distribuição pode-se considerar, em termos práticos, Normal)

A altura de um grupo de mais de 30 pessoas tem uma distribuição normal, logo em termos gráficos desenha uma Curva de Gauss;
O peso dos leões existentes em África é uma Curva de Gauss;
O número de erros tipográficos dos livros publicados por uma editora é uma Curva de Gauss;
A duração dos jogos da Taça do Mundo de Futebol é uma Curva de Gauss;
As notas nos exames de acesso à Universidade é uma Curva de Gauss;
O número de ramos que uma árvore tem é uma Curva de Gauss;
O QI (Quociente de Inteligência) é uma Curva de Gauss;
O comprimento dos Tubarões-Brancos existentes no Mundo é uma Curva de Gauss;
A relação do número de filhas e filhos é uma Curva de Gauss;
O número de cabelos existentes na cabeça das pessoas é uma Curva de Gauss;
O número de gotas de chuva que cai durante tempestades é uma Curva de Gauss;
O número diário de leitores de um jornal é uma Curva de Gauss;
(Talvez a questão da aleatoriedade dos jogos do Mundial pareça estranha. Afinal os jogos duram 90 minutos... Mas a verdadeira duração depende do tempo de desconto dado pelos árbitros e este é um fenómeno aleatório em cada jogo...

A maioria dos fenómenos têm um padrão comum, a Curva de Gauss
Apesar de parecerem imprevisíveis e sem ligação nem regularidade há uma padrão regular que surge em grupos suficientemente grandes (claro que «grande» é subjectivo: há mais de 6 mil e 600 milhões de pessoas no Mundo e basta um grupo de 30 para começar a surgir o «padrão normal»)...

Mas a diferença entre a razão de ouro e a distribuição normal é que a primeira surge de forma incoerente entre fenómenos diferentes mas a segunda determina um padrão comum entre fenómenos que em si nada têm em comum de uma forma rigorosa e demonstrada.
Ambos surgem de forma aproximada em situações reais mas a curva de Gauss precisa de menos aproximações para se encontrar e é, de facto, mais abrangente...

Na verdade:
95,45% está entre μ-1,96δ e μ+1,96δ (e não 2δ);
99,73% está entre μ-2,58δ e μ+2,58δ (e não 3δ);
Mas, para facilitar os cálculos, considera-se os valores arredondados...


Publicado por Mauro Maia às 10:44
Atalho para o Artigo | Adicionar aos favoritos

Comentar:
De
 
Nome

Url

Email

Guardar Dados?

Ainda não tem um Blog no SAPO? Crie já um. É grátis.

Comentário

Máximo de 4300 caracteres



O dono deste Blog optou por gravar os IPs de quem comenta os seus posts.

Cognosco ergo sum

Conheço logo sou

Estatísticas

Nº de dias:
Artigos: 336
Comentários: 2358
Comentários/artigo: 7,02

Visitas:
(desde 26 de Abril de 2005)
no Cognosco
 
Cogitações recentes
Olá Ribeiro. Eis um link atualizado para a folha d...
Seria possível fornecer um link atualizado para o ...
Obrigado, João, pela contribuição. Não está no art...
Estive lendo sua cogitação à respeito do cálculo d...
Obrigado, Aleff, pelo apreço pelo artigo. Exatamen...
Artigos mais cogitados
282 comentários
74 comentários
66 comentários
62 comentários
44 comentários
Artigos

Setembro 2018

Novembro 2017

Outubro 2017

Agosto 2017

Julho 2017

Junho 2017

Maio 2017

Abril 2017

Março 2017

Fevereiro 2017

Janeiro 2017

Dezembro 2016

Novembro 2016

Outubro 2016

Julho 2016

Março 2015

Dezembro 2014

Outubro 2013

Maio 2013

Fevereiro 2013

Outubro 2012

Setembro 2012

Agosto 2012

Junho 2012

Janeiro 2012

Setembro 2011

Abril 2011

Fevereiro 2011

Dezembro 2010

Maio 2010

Janeiro 2010

Abril 2009

Fevereiro 2009

Janeiro 2009

Novembro 2008

Outubro 2008

Agosto 2008

Julho 2008

Junho 2008

Abril 2008

Fevereiro 2008

Janeiro 2008

Novembro 2007

Outubro 2007

Agosto 2007

Julho 2007

Junho 2007

Maio 2007

Abril 2007

Março 2007

Fevereiro 2007

Janeiro 2007

Dezembro 2006

Novembro 2006

Outubro 2006

Setembro 2006

Agosto 2006

Julho 2006

Junho 2006

Maio 2006

Abril 2006

Março 2006

Fevereiro 2006

Janeiro 2006

Dezembro 2005

Novembro 2005

Outubro 2005

Setembro 2005

Julho 2005

Junho 2005

Maio 2005

Abril 2005

Março 2005

Fevereiro 2005