Diário das pequenas descobertas da vida.
Segunda-feira, 30 de Janeiro de 2006
Circa spheram
Uma circunferência é o conjunto dos pontos que distam a mesma distância (o raio da circunferência) de um outro fixo (o centro da circunferência).
O círculo é o interior (o conjunto dos pontos que estão a uma distância ao centro menor do que o raio)</b>.


Uma superfície esférica é o conjunto dos pontos que distam a mesma distância (o raio da esfera) de um outro fixo (o centro da esfera).
O interior (o conjunto dos pontos que estão a uma distância ao centro menor do que o raio) é uma esfera.

A semelhança conceptual, gráfica e intuitiva entre os dois não escapará a ninguém.
É como se a esfera fosse um círculo a 3 dimensões ou como
se o círculo fosse uma esfera a 2 dimensões.

A área do círculo é πr2 e o volume da esfera é 4πr3/3.

Muitas vezes me interroguei sobre essa semelhança conceptual e de que forma estariam ligados o cálculo da área de um círculo e o do volume de uma esfera.
• O conjunto dos pontos que forma uma circunferência é dado por x2 + y2 = r2
• O conjunto dos pontos que forma uma esfera é dado por x2 + y2 + z2= r2
(na verdade é da superfície esférica e não da esfera. A superfície esférica é como a casca da laranja enquanta a esfera é o interior da laranja.

A 2 dimensões há 2 variáveis, a 3 dimensões há 3 variáveis.
O conjunto de semelhanças é muito grande para que não se cogite uma ligação matemática entre os dois.

Na verdade, há o conceito de hiper-esfera em Matemática, que é o conjunto de pontos que distam a mesma distância a um determinado ponto fixo a uma dada dimensão.
Assim uma 2-esfera é a esfera a 2 dimensões (chamada vulgarmente de círculo) e a 3-esfera é a esfera a 3 dimensões (chamada vulgarmente de esfera).
A 4-esfera tem 4 dimensões, a 5-esfera tem 5 dimensões...
E o raciocínio pode ser retroactivo: uma 1-esfera tem uma dimensão, uma 0-esfera nenhuma dimensão, a -1-esfera tem -1 dimensões...
(no artigo Decem dimensiones falou-se na possibilidade do Universo ter 10 dimensões, em vez das vulgares 3 dimensões espaciais e 1 temporal)

Basicamente, em termos de figuras geométricas a que se tem acesso pela experiência quotidiana, uma 1-esfera é o segmento de recta de comprimento 2r,
uma 2-esfera é a esfera de duas dimensões de raio r e a 3-esfera é a esfera de 3 dimensões com raio r.

A sequência dos «volumes» das hiperesferas de dimensão positiva é:
• 2r1, πr2, 4πr3,...
Cada fórmula tem o raio elevado à dimensão que se está a considerar.
A 4-esfera terá de volume ...r4, a 5-esfera terá volume ...r5,...

Até aqui tudo bem. Mas o problema é aquelas reticências no volume das esferas.
Haverá alguma fórmula que indique o volume de qualquer hiper-esfera, de acordo com a sua dimensão?
Existirá uma fórmula para o valor V(n), o volume da hiper-esfera de dimensão n?

Há! A fórmula generalizada para o volume da n-esfera é:


A função que está no denominador chama-se função gama Γ.
No artigo Caecus adnumeratio fez-se referência a uma função matemática chamada factorial, que se representa colocando um ponto de exclamação depois do número. (por exemplo 5! = 120)
O factorial de um número natural é a multiplicação desse número por todos os números naturais até 1. (5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120)

Como é fácil de constatar, só há factoriais de números naturais.
Mas, sendo os matemáticos irrequietos perante as impossibilidades como são, decidiram criar uma função que fosse equivalente ao factorial mas que funcionasse para qualquer número real. Essa função teria de funcionar como o factorial para os números naturais mas também daria valores para qualquer número real. A essa função chamaram «função gama», cuja letra é Γ, e para valores naturais Γ(n) = (n-1)!
5! = 120 e Γ(5) = (5-1)! = 4! = 4x3x2x1 = 24. Mas não há 2,5! mas há Γ(2,15).

ou


Para um leigo em Matemática, substituir a função Γ pelo símbolo ∫ não parecerá grande melhoria. A função ∫ chama-se integral e tem regras operatórias bem conhecidas e de fácil utilização. Daí a melhoria... Mas falar do integral é suficiente para um novo artigo, tal é a importância e universalidade do uso desta função. A seu tempo...


Este é o gráfico da função gama. Como se pode constatar, não há para 0 nem para valores negativos inteiros (não há Γ(0), Γ(-1), Γ(-2),...)

Alguns valores da função gama, que ocorrerão no cálculo dos volumes de algumas hiper-esferas, são:
• Γ(3/2) = √ π / 2 (para a 1-esfera)
• Γ(2) = 1 (para a 2-esfera)
• Γ(5/2) = 3√ π / 4 (para a 3-esfera)
• Γ(3) = 2 (para a 4-esfera)

Com estes valores em mente, podemos então achar as fórmulas para o cálculo da:
• 1-esfera: V(1) = π1/2.r / π1/2/2 = 2.r
• 2-esfera: V(2) = π.r 2/ 1 = π.r2
• 3-esfera: V(3) = π3/2.r3 / 3√ π / 4 = 4π.r3/3
• 4-esfera:V(4) = π4/2.r4 / 2 = π2.r4 / 2
• 5-esfera:V(5) = 2.r5 / 15
• 6-esfera:V(6) = π3.r6 / 6
• 7-esfera:V(7) = 16π3.r7 / 105
...

Continuando os cálculos, descobre-se supreendentemente que a hiper-esfera com o maior volume é a 5-esfera. A partir da dimensão 5 o volume vai diminuindo, tendendo para 0 à medida que as dimensões vão aumentando (e pressupondo sempre o mesmo valor para o raio).
É curioso como aumentando as dimensões o volume diminui, o que choca com o senso comum de que deveria aumentar.
Mas a Matemática não é o que parece, é o que é mesmo...

No título «Acerca da esfera»


Publicado por Mauro Maia às 20:08
Atalho para o Artigo | Adicionar aos favoritos

Comentar:
De
 
Nome

Url

Email

Guardar Dados?

Ainda não tem um Blog no SAPO? Crie já um. É grátis.

Comentário

Máximo de 4300 caracteres



O dono deste Blog optou por gravar os IPs de quem comenta os seus posts.

Cognosco ergo sum

Conheço logo sou

no Cognosco
 
Cogitações recentes
Olá Ribeiro. Eis um link atualizado para a folha d...
Seria possível fornecer um link atualizado para o ...
Obrigado, João, pela contribuição. Não está no art...
Estive lendo sua cogitação à respeito do cálculo d...
Obrigado, Aleff, pelo apreço pelo artigo. Exatamen...
Artigos mais cogitados
282 comentários
74 comentários
66 comentários
62 comentários
44 comentários
Artigos

Setembro 2018

Novembro 2017

Outubro 2017

Agosto 2017

Julho 2017

Junho 2017

Maio 2017

Abril 2017

Março 2017

Fevereiro 2017

Janeiro 2017

Dezembro 2016

Novembro 2016

Outubro 2016

Julho 2016

Março 2015

Dezembro 2014

Outubro 2013

Maio 2013

Fevereiro 2013

Outubro 2012

Setembro 2012

Agosto 2012

Junho 2012

Janeiro 2012

Setembro 2011

Abril 2011

Fevereiro 2011

Dezembro 2010

Maio 2010

Janeiro 2010

Abril 2009

Fevereiro 2009

Janeiro 2009

Novembro 2008

Outubro 2008

Agosto 2008

Julho 2008

Junho 2008

Abril 2008

Fevereiro 2008

Janeiro 2008

Novembro 2007

Outubro 2007

Agosto 2007

Julho 2007

Junho 2007

Maio 2007

Abril 2007

Março 2007

Fevereiro 2007

Janeiro 2007

Dezembro 2006

Novembro 2006

Outubro 2006

Setembro 2006

Agosto 2006

Julho 2006

Junho 2006

Maio 2006

Abril 2006

Março 2006

Fevereiro 2006

Janeiro 2006

Dezembro 2005

Novembro 2005

Outubro 2005

Setembro 2005

Julho 2005

Junho 2005

Maio 2005

Abril 2005

Março 2005

Fevereiro 2005