Nos anos 70, nos EUA, havia um apresentador de nome Monty Hall que apresentava um programa chamado Let's make a deal («Vamos fazer negócio»).

Num dos jogos do concurso televisivo, o concorrente tinha de escolher entre 3 portas. Atrás de 2 delas havia um falso prémio (um par de meias, uma garrafa de água,...) e atrás da outra um carro novo. O concorrente ganhava o prémio que estivesse por detrás da porta que escolhesse.

Mas, quando o concorrente indicava uma das portas, o apresentador abria uma das outras duas, revelando um falso prémio e perguntava se o concorrente decidia manter a escolha que tinha feito ou escolher a 3ª porta (a que não tinha sido escolhida pelo concorrente inicialmente e que o apresentador não tinha aberto).

(Para uma simulação do jogo, em Java, ver Let's make a deal)

Tão singelo programa televisivo despertou uma grande polémica matemática.
Em Setembro de 1991 um leitor do jornal Sunday Parade dirigiu uma questão a
Marilyn Vos Savant, autora da coluna Ask Mary, colocando a questão de se seria mais vantajoso mudar a escolha da porta ou manter a opção original tendo em perspectiva ganhar o carro no célebre concurso.
A resposta de Marilyn (registada no Guinness Book of World Records como a mulher com o Q.I. mais elevado do mundo) foi a de que, para o concorrente, seria mais vantajoso mudar de porta. A esta réplica da autora da coluna 10 000 leitores enviaram um comentário à resposta, a maioria em desacordo com a autora.

A este problema foi dado o nome de Paradoxo de Monty Hall, devido ao apresentador do concurso que inspirou a questão.



~ Paradoxo porquê? Parece-me que agora ele só tem 2 portas para escolher. O carro está numa delas. Então a probabilidade é 50% de ganhar. Assim sendo, tanto faz mudar como não.

O raciocínio matemático por detrás do cálculo de probabilidades (já visto no artigo Alea jacta est) é que a probabilidade se calcula dividindo o número de situações em que ocorre aquilo de que se pretende calcular a probabilidade (casos favoráveis) pelo número total de situações que podem ocorrer (casos possíveis).
Poderia-se então pensar da seguinte maneira: com a eliminação de uma das portas (aquela que o apresentador abriu), só há duas portas. Atrás de uma delas está o carro. Então o número de casos favoráveis seria 1 e o número de casos possíveis seria 2. A probabilidade parece então ser 1/2 = 0,5 = 50%.

Mas na verdade não é isto que acontece. A probabilidade não será de 50% de ganhar ou perder.

Perante a primeira escolha (em que há 3 portas), a probabilidade de escolher a porta com o carro é 1/3 (33%). Em seguida o apresentador abre uma das outras portas (uma que tem um falso prémio). No entanto, a probabilidade (e aqui entra a parte contra-intuitiva da questão) de ganharmos o carro não se altera. Continuamos com 1/3 de proabilidades de ganhar o carro, perante as duas portas que agora temos, se mantivermos a nossa opção original. No entanto a probabilidade de que a outra porta seja aquela que tem o carro é agora 2/3 (66%). No início cada porta tinha 1/3 de probabilidades de ter o carro. Após a abertura de uma das portas que tem um falso prémio, as probabilidades mudam. A porta que escolhemos mantém a probabilidade de 1/3 de ter o carro. Mas agora, a probabilidade da 2ª porta ter o carro passa a ser 2/3.

A questão não é fácil de aceitar intuitivamente para quem lide com probabilidades e o seu cálculo. Muitos matemáticos (incluindo o conhecido Paul Erdös) fazem o raciocício de que a probabilidade, depois de revelada a 3ª porta como não tendo o carro, será de 50% para cada.

No entanto, se se repetir várias vezes a experiência de escolher 1 de 3 portas, em seguida 1 de 2, não tendo a 3ª o carro, constatamos que de facto a probabilidade de ganhar é 1/3 (33%) se se mantiver a primeira escolha e 2/3 (66%) se se alterar a porta escolhida. Devemos então mudar de porta.

Como referi, num comentário ao artigo Celer turtur, é necessário que qualquer teoria que tencione explicar algum fenómeno objectivo da realidade se adeque aos factos como eles ocorrem. Se a experiência de escolher 1 de 3 portas e em seguida escolher 1 entre 2 for feita várias vezes (por exemplo, recorrendo a um programa de computador que simule o jogo) verifica-se que se obtém as probabilidades referidas.

Uma probabilidade pode ser calculada de duas formas:
- pela lei de Laplace (referida no artigo Alea jacta est));
- pela Lei dos Grandes Números, que afirma que, quanto mais vezes se repetir uma experiência mais o valor da frequência relativa de um resultado se aproxima da probabilidade do mesmo.
Por exemplo, a probabilidade de obter o número «4» no lançamento de um dado (cúbico) é de 1/6 (≈ 16,667%). Mas se se lançar um dado 6 vezes, não é certo que obtenhamos uma vez o número «4». Por vezes não sai, por vezes sai mais de uma vez. Será que a probabilidade falha? Não, porque se se repetir 60 vezes, 600 vezes, 1 000 vezes, 23 000 vezes, ... verifica-se que a divisão do número de vezes que saiu «4» pelo número de lançamentos do dado vai sendo progressivamente mais próximo de 16,667%)

Fazendo então a experiência de escolher uma porta inicial e depois manter ou mudar e registar se se ganhou ou não, constatam-se estas contra-intuitivas probabilidades.


Como se pode constatar, em 6 000 jogadas, mudando a porta, ganhou-se entre 3928 e 4072 vezes; mantendo a porta, ganhou-se 1928 e 2072 vezes. Isto dá então a probabilidade de 4000/6000 = 2/3 de ganhar mudando a porta e 2000/6000 = 1/3 de ganhar mantendo a porta...

Se a teoria é o primeiro passo na caminhada para o edifício do conhecimento humano, a experiência é o último tijolo...

No título «A escolha da porta»