Diário das pequenas descobertas da vida.
Quarta-feira, 12 de Outubro de 2005
Omnia factus mathematica
Platão é conhecido principalmente por ser a voz de Sócrates, pela sua obra A República (onde descreve uma sociedade «perfeita») e principalmente pela sua concepção de que o mundo em que vivemos não passa da sombra de um outro, esse sim perfeito, no qual existiriam as ideias de que os objectos reais eram apenas sombras.

Foi para ilustrar esta ideia que criou a célebre «Alegoria da caverna» (contida no livro VII do «A República»), na qual Sócrates descreve uma estranha caverna:
«Um grupo de pessoas está acorrentada no interior da caverna de tal forma que não conseguem nem mexer a cabeça. São prisioneiros e por trás deles há um caminho mais elevado e depois uma fogueira. Pelo caminho circulam pessoas, carregando todo o tipo de objectos. Mas tudo o que os prisioneiros conseguem ver é as sombras projectadas na parede e as vozes dos transeuntes (nem se conseguem ver uns aos outros). Para eles toda a realidade é constituída pelas sombras que passam e pelas vozes que ecoam. A dada altura um dos prisioneiros consegue soltar-se. Liberta-se e sai da caverna. Os seus olhos doem devido à luz do Sol que pela primeira vez na sua vida ele observa. Assim que se acostuma à luz vê pela primeira vez o mundo e compreende que a realidade que ele conhecia era uma mera ilusão. Há quem diga que voltou então à caverna e contou aos outros prisioneiros o que tinha visto. Riram-se dele. Tentou então mostrar-lhes que estavam presos e libertou-os. Eles então mataram-no. Há também quem diga que, tendo agora um maior conhecimento da realidade, apercebeu-se de qual seria o seu destino se voltasse à caverna. Optou então por não o fazer.»

Um dos parceiros de conversa de Sócrates, Glauco, exclama «Mostraste-me uma estranha imagem e uns estranhos prisioneiros.» Ao que Sócrates, pela pena de Platão, replica «São como nós...»

Um dos pontos relevantes desta noção de um mundo ideal é também a ideia de que os conceitos matemáticos, como o triângulo, a linha recta, os números, existem verdadeiramente e o que possuímos na nossa realidade são meras aproximações imperfeitas dessa «realidade» ideal. Assim, toda a Matemática é um processo de descoberta e não de invenção. Ainda hoje existe a dicotomia entre a visão de uma Matemática que o Homem inventa (de acordo com a inflexível regra de coerência com os resultados matemáticos já provados) e a visão de que a Matemática é um simples processo de descoberta de uma realidade ideal a que todos temos acesso através da nossa mente.

Uma das ideias matemáticas que mais apelou ao espírito de Platão e que o tornou um devoto apreciador da mais bela das ciências (ou da mais exacta das artes) foi o conceito de sólidos regulares, os sólidos constituídos por figuras geométricas iguais (a mesma figura com o mesmo comprimento de lados). Apesar de se puder pensar que seria possível construir tantos sólidos regulares quantos os que se quisessem, a verdade é que só há 5 (outras tentativas de «encaixar» polígonos regulares de forma a constituir um sólido não resultam, sendo impossível ligar todo o conjunto de forma coerente).

Estes 5 sólidos são:

~ Tetraedro: este sólido é formado por 4 triângulos com o mesmo lado (por outras palavras é uma pirâmide com a base triangular).

~ Cubo: este é um sólido que dispensa apresentações. É constituído por 6 quadrados (é também conhecido como hexaedro).

~ Octaedro: este sólido é constituído por 8 triângulos (é mais ou menos como 2 pirâmides de base quadrada unidas).


~ Dodecaedro: este sólido é constituído por 12 pentágonos (polígonos com 5 lados).


~ Isocaedro: este sólido é constituído por 20 triângulos.


Para ver os Sólidos Platónicos em 3D
O fascinante deste conceito é que não é possível formar outros sólidos, além destes, com as faces todas iguais. Não se sabe ao certo quem primeiro descreveu estes cinco sólidos. Puderão ter sido os primeiros Pitagóricos, fontes credíveis (incluindo o famoso matemático Euclides, fundador das bases demonstrativas e lógicas da geometria plana, que viria a dominar o pensamento dos homens sobre a forma do mundo durante milénios) indicam que terá sido um amigo de Platão. A obra fundamental de Euclides, a Bíblia da Geometria durante milénios, os seus «Elementos», constituído por vários volumes, inclui, no final do Livro XIII uma descrição dos 5 sólidos, conhecidos normalmente por Sólidos de Platão.

Esta visão de perfeição de construção, este desígnio de unicidade, capturaram a imaginação de artistas e cientistas por toda a história humana. Vários quadros de artistas do renascimento incluem desenhos dos Sólidos de Platão. Uma das influências que teve num famoso cientista foi a visão do Universo do conhecido astrónomo Kepler (o primeiro a descobrir que os corpos celestes não descrevem órbitas circulares, mas antes elipses. Pensava-se que os planetas, existindo no céu, seriam perfeitos. Como tal a sua órbita também seria uma perfeita circunferência. Kepler mostrou que na verdade era uma espécie «circunferência achatada», uma elipse).

Na altura apenas 6 planetas eram conhecidos e Kepler via o Universo como sendo constituído pelos 6 planetas girando à volta do Sol e com os Sólidos Platónicos entre cada par de planetas. Os valores que ele possuía para as órbitas dos planetas não eram muito exactos e só por isso as distâncias que ele previa entre os planetas correspondiam mais ou menos às dimensões dos sólidos (além de que a descoberta posterior dos outros planetas invalida esta bonita, mas errónea, visão do Universo). Além disso atribuía a forma de um dos sólidos aos «constituintes» da matéria como eram aceites na sua altura: terra, fogo, água, ar e o quinto elemento - a matéria perfeita de que era feito o celeste Universo (ainda a teoria atómica estava completamente esquecida).



Mas uma das mais curiosas demonstrações de que eses 5 sólidos fazem parte da imaginação colectiva da humanidade desde os nosso primórdios vem deste conjunto de 5 rochas talhadas, datadas do neolítico.
Estes conjuntos provêm da Escócia e datam de 2000 AC. Há vários conjuntos, com sólidos regulares e semi-regulares. Este, com os sólidos regulares, é um deles.
Os 5 sólidos estão aqui claramente presentes, esculpidos por mãos de um homem que, desconhecendo a Matemática, tinha já em si as ideias de perfeição e beleza que a constituem.



A minha visão sobre este assunto (se a Matemática é descoberta ou inventada) tem um pouco das duas perspectivas. A meu ver, a Matemática nasceu com o Big Bang, no sentido em que as proporções, as causalidades e as proporções foram estabelecidas nesse instante primordial. O Homem obviamente não nasce com conceitos matemáticos impressos na sua mente (funções, números, probabilidades, et caetera), estes são ferramentas inventadas pelo Homem para lidar com uma verdade subjacente à sua realidade e com a qual a sua mente foi também esculpida. Por isso estudar Matemática, para além de um prazer em si mesmo, é também revelar o que de mais primordial nos constitui: a nossa ligação a esse maravilhoso instante em que tudo «nasceu».
Não concordo com Pitágoras que disse «Tudo é números».
Mas no fundo «Tudo é Matemática», incluindo os números.

No título «Tudo é feito de Matemática»


Publicado por Mauro Maia às 23:38
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