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Segunda-feira, 30 de Maio de 2005

Simples mente

Local: sala de aula alemã do 1º Ciclo;
Altura: fins do século XVIII;
Situação: uma turma barulhenta e um castigo do professor;
Tarefa: somar todos os números de 1 até 100;
Reacção: desalento resignado da turma, a braços com esta tarefa (ainda não havia calculadoras...)

Dirige-se o professor à cadeira, antecipando os largos minutos de descanso e silêncio que a tarefa exigirá...

Em poucos segundos um aluno de 7 anos levanta o braço: 5050 - grita.

Espanto do professor! Como o fez tão rápido? Batota? Tinha cábulas? Segredaram-lhe ao ouvido? Nenhuma das hipóteses é possível mas a resposta está correcta!
Dirige-se ao aluno para inquirir como tal feito foi alcançado.

~ Simples, herr professor.

Se escrevermos todos os números de 1 até 100 e por baixo escrevermos a mesma sequência por ordem inversa obtemos:

É fácil ver que a soma de cada coluna é sempre 101.
Obtemos 100 vezes 101. 100 x 101 = 10100.
Mas como temos duas vezes a mesma linha temos que dividir o resultado por 2: 10100 / 2 = 5050, que é a resposta!

Um pequeno episódio de um brilhante Matemático que aos 3 anos aprendeu a contar e a quem o Mundo deve tanto matematicamente, Karl Gauss.

Eis um resultado brilhante, mesmo sem ter em conta a precocidade do seu criador.

A generalização para qualquer série de números em que a diferença entre dois números seguidos é sempre constante (progressão aritmética) é:

em que:
u₁ é o primeiro número que se quer somar;
u_n é o último número que se quer somar;
n é quantos números se quer somar;

e.g. Somar todos estes números 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20.

Como é fácil de verificar cada número é sempre o anterior mais 2. É então uma progressão aritmética (se não houvesse um número que somado a um termo dá o seguinte não se podia usar a fórmula).

u₁ = 2;
u_n = 20;
em que n = 10;

Então a soma destes dez números é:
2 + 20 = 22;
22 / 2 = 11;
11 x 10 = 110;

Eis a generalização de um resultado matemático que uma criança de 7 anos descobriu para evitar uma tarefa chata...

Este constitui, a meu ver, um simples exemplo de que:
a Matemática não é fazer contas,
é saber como as evitar ou simplificar!

Publicado por Mauro Maia às 20:40
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4 comentários:

De Lady Nox a 30 de Maio de 2005 às 21:26

É sempre interessante recordar esta história... lembrou-me Erdös, que descobriu sozinho (com uns 4 anos, julgo eu) os números negativos...
Bom trabalho no blog, parabéns.

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De Paralaxe a 1 de Junho de 2005 às 21:57

Amigo Mauro,

Há miúdos inteligentes e espertos que resolvem assuntos que só muito mais tarde se vai encontrar uma razão lógica para a acutilância das sua resoluções; tomemos como exemplo esta de um miúdo a quem foi pedido para escrever a tabuada dos nove no caderno.
O miúdo, cábola, aprontou o caderno e começou:
9 x 1 = 9 (esta sei)
9 x 2 = 1 (uma que não sei)
9 x 3 = 2 (duas que não sei)
9 x 4 = 3 (três que não sei)
9 x 5 = 4 (quatro que não sei)
9 x 6 = 5 (cinco que não sei)
9 x 7 = 6 (seis que não sei)
9 x 8 = 7 (sete que não sei)
9 x 9 = 8 (oito que não sei)
Depois começou de baixo para cima e continuou:
9 x 9 = 81 (uma que não sei)
9 x 8 = 72 (duas que não sei)
9 x 7 = 63 (três que não sei)
9 x 6 = 54 (quatro que não sei)
9 x 5 = 45 (cinco que não sei)
9 x 4 = 36 (seis que nbão sei)
9 x 3 = 27 (sete que não sei)
9 x 2 = 18 (oito que não sei)
9 x 1 = 9 (ah! esta sei...)
..................
Na linha de baixo da sua explicação a sequência está 100,101,102,103,104 - deve ser 100,99,98,97,etc.
............pormenores........
Um abraxe do Paralaxe

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De Mauro a 1 de Junho de 2005 às 22:08

Obrigado pela chamada de atenção. O artigo encontra-se já corrigido. A questão da tabuada dos 9 é antiga e penso que não será factual mas uma pequena história criada para ilustrar o curioso facto de os valores da tabuada dos 9 seguirem este curioso padrão. Penso que muitos ao longo da história o notaram (desde que, claro, se passou a usar a numeração hindu-árabe e a base decimal). De qualquer forma é curiosa e realça bem a como a Matemática é a busca de padrões e de relações entre entidades (números ou não) e não as contas em si.

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De . a 9 de Junho de 2005 às 22:23

Se a memória não me falha, a números como 5050 também se dá o nome de números triangulares. Imaginemos a sequência dos números de 1 a 100 representados da seguinte maneira numa folha de papel quadriculado: na primeira linha da folha pintamos a primeira quadrícula; na segunda linha pintamos as duas primeiras quadrículas; na terceira pintamos três; e assim sucessivamente, até à centésima linha, na qual pintamos 100 quadrículas consecutivas. Obtemos assim uma forma triangular. Se, ao lado desse triângulo, imaginarmos um outro de iguais dimensões mas invertido, obtemos um rectângulo com 100 linhas de altura por 101 colunas de largura. A sua área será de 100 x 101 = 10100 quadrículas; a área do triângulo será exactamente metade (base x altura / 2), ou seja, as 5050 quadrículas gritadas por Gauss ao seu professor. Parabéns pelo blog.

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