A quadratura do círculo é uma expressão que se usa comummente (uma das poucas palavras em Português que tem uma dupla consoante que não o r e o s (cç será uma dupla consoante?); outra é connosco) para expressar a impossibilidade de resolução de um problema.
Mas poucos dos que a usam compreendem verdadeiramente o que está (ou esteve) em causa. Geralmente pensarão que é algo que se prende com a forma do círculo ser impossível de transformar na forma de um quadrado. Basta com plasticina fazer um disco (círculo) e depois moldá-lo e fazer um quadrado. A questão não é problemática, nem difícil e qualquer criança consegue fazê-lo. A questão não é a forma, é a determinação da área.</br></br>

A quadratura do círculo é um de 3 problemas geométricos de que os Gregos procuraram uma solução que usasse somente uma régua não graduada e um compasso, os instrumentos que os Geómetras gregos possuíam.</br></br>

Os 3 problemas geométricos da Antiguidade usando régua não graduada e compasso:</br>
~ a quadratura do círculo;</br>
~ a duplicação do cubo;</br>
~ a trissecção do ângulo;</br></br>

~ O primeiro problema (Quadratura do Círculo) prende-se com a determinação de um quadrado que tenha a mesma área que um dado círculo</br></br>

(uma circunferência é a linha , o círculo é a linha e o seu interior ).
A área de um círculo é Pi vezes raio ao quadrado (π r²), em que Pi (π) é um número irracional, ou seja, uma dízima infinita não periódica. Depois da vírgula há infinitos algarismos. π = 3,1415926...</br></br>

É fácil determinar essa área usando uma simples resolução de uma equação.
(Como a área do círculo é πr², um quadrado com a mesma área tem de lado √π r).</br>
Apesar desta trivial solução provou-se, já o século XX, que de facto nenhum dos 3 problemas tem solução. </br></br>

Como assim?! Está resolvido! Há quadratura do círculo!</br></br>

A questão prende-se com a necessidade de apenas usar uma régua não graduada e um compasso. Como se constacta facilmente o lado de um quadrado com a mesma área que um círculo envolve a raíz quadrada de π.</br></br>

e.g. Se um círculo tem de área 1 cm², um quadrado com a mesma área (podem-se fazer aproximações com a régua e o esquadro mas não é o valor exacto) tem de lado √π cm.</br></br>

No século XX provou-se definitivamente que π é um número transcendental (não é solução de qualquer equação algébrica), o que impossibilita a sua determinação com uma régua não graduada e um esquadro.</br></br>

Curiosamente há uma forma de experimentalmente determinar o valor de π com valores progressivamente mais aproximados. A forma de o fazer é usar uma experiência conhecida com a Agulha de Buffon: Traçando linhas paralelas com uma distância de 1 cm e deixarmos cair consecutivamente uma agulha com 1 cm de comprimento sobre as linhas, a probabilidade de que a agulha intersecte uma linha aproxima-se do valor de π. Mas nunca se encontra o valor exacto...</br></br>

~ O segundo problema (Duplicação do Cubo) prende-se com a determinação do lado de um cubo que tenha o dobro do volume de uma Cubo dado.
A questão poderá parecer simples mas se se colocar apenas um cubo ao lado de outro (duplica o lado) deixamos de ter um cubo.</br>
Se fizermos um cubo colocando 8 cubos (2 para cada lado) obtemos um cubo mas com oito vezes o volume do anterior. Novamente obtém-se uma solução que envolve um número transcendental (a Constante de Délio, 2^1/3, ou seja a raíz quadrada de 2) impossível portanto de fazer com régua e esquadro.</br>
Este problema surge numa lenda grega onde os Atenienses, afligidos por uma doença, procuraram o conselho de um Oráculo. Este aconselhou-os a duplicar o volume do altar cúbico do deus Apolo para lhe apaziguar a ira. O Atenienses construíram então um novo altar cúbico com o dobro de cada lado. No entanto eles teriam de construir um novo altar com o dobro do volume e não do comprimento de cada lado. O novo altar tinha oito vezes o volume do original e não o dobro.</br>
Como pelos vistos os Deuses gregos eram bons a Matemática, não engoliram esta solução e a praga continuou. Mais uma vez é um problema impossível de resolver só com régua não graduada e esquadro.</br></br>

~ O terceiro problema (Trisecção do Ângulo) prende-se com um método para dividir um ângulo qualquer em 3 ângulos iguais usando apenas a régua não graduada e o esquadro.</br>
O verdadeiro problema aqui prende-se com a régua não graduada. É possível trissectar qualquer ângulo com régua graduada e um esquadro.
Há também alguns ângulos (90º, 180º,...) que são trissectáveis com a régua não graduada e o esquadro. Mas o problema é para o fazer a qualquer ângulo, não apenas a alguns...</br></br>

Assim a Quadratura do Círculo» é um problema impossível de resolver mas apenas perante as restrições que impõe. Qualquer aluno do ensino secundário (se não do básico) sabe o suficiente para o fazer em apenas uma linha de cálculo.</br></br>

~ Isso é tão impossível como a Quadratura do Círculo!</br></br>

Só se quiseres usar apenas uma régua não graduada.</br></br>

Quando se fala tem de se saber o que se diz, se não podemos obter respostas que não estamos preparados para responder...</br>