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Diário das pequenas descobertas da vida.
Domingo, 22 de Maio de 2005
Alea jacta est

Atenção Alguns erros que se cometem no uso da Língua portuguesa prendem-se por vezes com o desconhecimento dos contextos correctos de aplicação das palavras (a crescente confusão na aplicação de «derivado» e «devido» é somente um dos mais ouvidos).

 

Ouve-se por vezes poucas probabilidades de isso acontecer ,   o que é uma aplicação incorrecta do termo probabilidade e mostra simplesmente a ignorância do seu significado, confundindo «probabilidade» com «possibilidade». O correcto é dizer poucas possibilidades de isso acontecer ou então É pequena a probabilidade de isso acontecer .

 

Probabilidade é um número que se atribui a uma possibilidade de um acontecimento. Quanto maior é o número (entre 0 e 1 ou equivalentemente entre 0% e 100%) mais certo é que que aconteça. Possibilidade é uma das maneiras com que determinado acontecimento pode ocorrer. Cada possibilidade tem uma probabilidade de acontecer. A soma das probabilidades de todas as possibilidades de um acontecimento aleatório é 1 (ou 100%). Como a probabilidade é um número não «há poucas probabilidades», porque isso é o mesmo que dizer «há poucos números» e os números são infinitos.

 

Em termos simples, a forma de calcular a probabilidade da possibilidade de um acontecimento aleatório envolve a determinação do número de vezes em que pode ocorrer essa possibilidade e também o número total de possibilidades do acontecimento em causa. Geralmente essas contagens são complicadas de fazer em acontecimentos do quotidiano, e com formas mais ou menos elaboradas. Mas se a contagem total for possível usa-se a Regra de Laplace : para calcular a probabilidade de uma possibilidade basta dividir o número de vezes que ocorre essa possibilidade (n.º de acontecimentos favoráveis) pelo número total de possibilidades do acontecimento (nº de acontecimentos possíveis).

E.g. Um saco contém 5 bolas: tem 2 bolas pretas e 3 bolas vermelhas .

Qual é a probabilidade de ao retirar, sem ver, uma bola do saco obter 1 vermelha?

Saco com 5 bolas Há aqui um acontecimento (retirar uma bola) com algumas possibilidades; O número de possibilidades de sair uma bola vermelha é 3; O número total de possibilidades é 5 bolas; A probabilidade é então 3 / 5 (que é 60%).

~ A probabilidade de obter cara quando se atira uma moeda ao ar é 1 / 2 = 50%. (Há uma cara na moeda, que tem 2 faces possíveis); No entanto é necessário cautela no cálculo de probabilidades. Só se pode calcular probabilidades em acontecimentos aleatórios (acontecimentos em que não intervenha uma escolha humana consciente ou inconsciente); Só se pode calcular probabilidades quando cada uma das possibilidades tem a mesma probabilidade de ocorrer (são equiprováveis); Se assim não fosse poderiam ocorrer as seguintes situações a que se atribui uma probabilidade errada:

~ Se ao retirar uma bola do saco com 2 bolas pretas e 3 vermelhas se se espreitar pode-se sempre retirar uma bola vermelha. Então a probabiliade seria assim de 100% e não de 60%;

~ No totoloto só há duas possibilidades: ganhar ou não ganhar. Então a probabilidade de ganhar o totoloto é 1/2 = 50% ? Não, porque as duas possibilidades não são equiprováveis (não ganhar é mais provável do que ganhar);

 

Infelizmente a probabilidade do uso incorrecto de «probabilidade» quando se devia usar «possibilidade» é cada vez maior!

 

«Os dados estão lançados», de «Alea» - Dados; «jacta» - lançar; «est» - 3.ª Pessoa do verbo «esse» - ser, como bem chamou a atenção «Buba» no comentário que aqui deixou.

~ Frase dita por Júlio César quando atravessou o rio Rubicão em direcção a Roma.

(Ver Ao contrário da crença popular (Julius) para saber porquê)



Publicado por Mauro Maia às 21:10
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74 comentários:
De Mauro a 16 de Julho de 2009 às 14:12
Bem, a minha simulação mostra que cometi algum erro teórico ainda que o meu raciocínio esteja no caminho certo. As probabilidades aproximadas a duas casas decimais são p(A)=0,13; p(B)=0,125;p(C)=0,12;p(D)=0,125. Escolher o dado B ou D dá sempre mais mais vantagens. E confirmo que os acontecimentos {ganhar} e {não ganhar} são realmente equiprováveis. Assim que puder revererei os meus cálculos teóricos.


De . a 16 de Julho de 2009 às 16:02
De volta. OK, vamos admitir que tens razão quando dizes que escolher o dado B ou o dado D dá sempre mais vantagens. O jogador 1 decide, então, escolher o dado B. O jogador 2 opta pelo dado A. Jogam e o jogador 2 ganha com probabilidade de 2/3 pois, tal como demonstrado em comentário anterior (e por ti confirmado), no confronto entre A e B há 24 casos favoráveis a A num total de 36 casos possíveis.

Obter-se-ia um resultado idêntico se o jogador 1 escolhesse o dado D. Neste caso o jogador 2 optaria pelo C. Analisemos o que resulta do confronto entre estes dois dados: de um total de 36 casos possíveis, há apenas 12 que são favoráveis a D (quando sai uma face com "2" e uma face com "5"); os 24 restantes ("2" vs. "1", "6" vs. "1" e "6" vs. "5") são todos favoráveis a C. Logo, C (e, por conseguinte o jogador 2) vence mais uma vez D (jogador 1), com uma probabilidade de 24/36 = 2/3 :-)


De . a 16 de Julho de 2009 às 16:11
Vou só resumir, para tentar não me perder no meio desta confusão:

Escolher o dado B não parece ser boa ideia, pois A vence B com probabilidade de 2/3.


Escolher o dado D também não parece ser boa ideia, pois C vence D com probabilidade de 2/3.

Falta ver o que sucederá quando o jogador 1 escolher o dado A ou o dado C ;-)


De Mauro a 18 de Julho de 2009 às 02:29
Ando de facto com a cabeça em água. Estive então a rever os meus cálculos teóricos e também a minha simulação. A minha simulação tinha de facto erros, entretanto resolvidos. Na simulação, contemplei cada par possível de dados e números aleatórios eram gerados, sendo depois escolhido a face correspondente no dado. Depois eram contadas as vitórias. O que obtive nos cálculos teóricos foi que p(A)= 13/108 (0,12(037) ); p(B)=1/8 (0,125); p(C)=7/54 (0,12(962) ); p(D)=1/8 (0,125). Ou seja, o dado C tem uma ligeira maior probabilidade de ganhar, depois dado B ou D e por último o dado A. A simulação de 25 000 lançamentos de dados também o indica. Ou seja, o dado C é mesmo a melhor opção, ainda que muito ligeiramente. Testei a inha simulação para a situação de doados normais (com faces de 1 a 6). O resultado foi o esperado: nenhum dado tem vantagem. A probabilidade de o jogador 1 ganhar é de cerca de 41,7%, assim como é o de ganhar o jogador 2. A probabilidade de empatarem é de 16,6%,


De . a 18 de Julho de 2009 às 11:38
Olá Mauro. Estou numa posição privilegiada, pois tive a possibilidade de ler a solução no livro que referi. Mas não quero abusar do teu tempo nem da tua paciência. Se o estiver a fazer, diz e eu transmito-te imediatamente a solução. Vamos então considerar o dado C como sendo a melhor opção. O jogador 1 escolhe C. O jogador 2 escolhe B. Lançam os dados. Dos 36 casos possíveis, 24 são favoráveis a B (quando sai uma face com "3" e uma face com "2"), enquanto apenas 12 são favoráveis a C (quando sai uma face com "3" e uma face com "6"). Mais uma vez, o jogador 2 (dado B) vence o jogador 1 (dado C) com probabilidade 24/36 = 2/3 :-) Vou fazer novo resumo da situação: O dado A vence B com probabilidade de 2/3. O dado B vence C com probabilidade de 2/3. O dado C vence D com probabilidade de 2/3. O melhor de todos os dados não poderá, portanto, ser B, nem C, nem D. Resta apenas A. Será este o dado vencedor? ;-)


De Mauro a 26 de Julho de 2009 às 00:17
Nunca maças, «.«, é sempre um prazer receber-te no Cognosco e trocar ideias. Eu infelizmente nem sempre posso responder atempadamente. Revi as minhas simulações e cálculos teóricos. A única questão de que me aperceb foi que eu estava a utilizar um valor errado para os casos possíveis do jagador 1. Mas as conclusões mantêm-se, já que estava a usar o dobro do valor correcto. Assim o número de vezes que A ganha a B é 12; AC=20; AD=24; BA=24; B=12; BD=18; CA=16; CB=24; CD=12; DA=12; DB=18; DC=24. Com um número de casos possíveis para a escolha do jagador 1, escolher o dado A dá uma vantagem de 7/27 (25,926%); escolher B dá 1/4 (25%); escolher C dá 13/54 (22,074%); escolher D dá 1/4 (25%). Realmente o dado A é a melhor escolha. Ufa, isto é que foi uma sucessão de passos em falso (mas na direcção certa) ;)


De . a 26 de Julho de 2009 às 09:41
Ahaha, estamos a ir na direcção certa, mas ainda lá não chegámos. Agora é a parte verdadeiramente surpreendente do problema se começa a revelar. Admitamos que o dado A constitui, realmente, a melhor escolha. O jogador 1 escolhe A. O jogador 2 opta por D. Lançam os dados. Dos 36 casos possíveis, apenas 12 são favoráveis a A (quando sai uma face com "4" e uma face com "1"). Os restantes 24 casos são favoráveis a D. Mais uma vez, o jogador 2 (dado D) vence o jogador 1 (dado A) com probabilidade 24/36 = 2/3 :-) Vou fazer novo resumo da situação:

O dado A vence B com probabilidade de 2/3.
O dado B vence C com probabilidade de 2/3.
O dado C vence D com probabilidade de 2/3.
O dado D vence A com probabilidade de 2/3.

E esta? Parece que já não restam candidatos a "melhor de todos os dados" :-)


De . a 26 de Julho de 2009 às 10:13
Vou tentar estabelecer uma analogia com outra situação: considera a relação "X é mais pesado do que Y" aplicada a um conjunto de três animais. Por exemplo: o elefante, o cão e a formiga. Sabendo que o elefante é mais pesado do que o cão; e que o cão é mais pesado do que a formiga; podemos concluir, com base na aplicação de uma propriedade bem conhecida, que o elefante é mais pesado do que a formiga.

O que se está a passar com o problema dos dados equivale, nesta analogia, a considerar um quarto animal que é simultaneamente mais leve do que uma formiga e mais pesado do que um elefante. Estranho, não?


De Mauro a 28 de Julho de 2009 às 02:20
Bem, «.». estamos então aqui a entrar num campo matemático diferente. Primeiro estabeleçamos alguns pontos de apoio argumentativo. A pergunta era saber qual o dado que o jogador 1 deverá escolher para ter maior probabilidade de ganhar. A resposta é claramente o dado A, uma vez que ele desconhece qual o dado que o jagador 2 escolherá. Apesar de perder mais vezes com B, ganha mais vezes com C e com D. Já B só ganha a A, perdendo com C e D. Se o jagador 1 soubesse que o jogador 2 escolheria o dado B, então a probabilidade deixaria de ser simples, uma vez que há uma nova informação que altera a probabilidade. Dou um exemplo: suponhamos que passo uma noite num hotel em Portugal. Há 100 hóspedes portugueses hospedados nessa noite. Qual a probabilidade da média das alturas de todos ser superior a 1,80 metros? Tendo em conta que são portugueses e a média de alturas da população portuguesa, a pobabilidade seria pequena. Mas agora suponhamos que se está a realizar um campeonato português de basquetebol e que todas as equipas estão hospedadas no hotel. A probabilidade mantém-se pequena? Não, tendo a informação extra de que se tratam de jogadores de bassquetebol, a probabilidade de que a média de alturas dos hóspedes seja superior a 1,80 metros sobe imenso. A probabilidade simples requer apenas contar casos favoráveis e casos possíveis. Com informação extra a probabilidade passa a ser uma probabilidade condicionada e o valor é diferente. Um caso concreto e calculável: Num saco há 10 bolas numeradas de 1 a 10, cinco pintadas de preto e cinco de branco. Se eu retirar uma bola ao acaso, sem olhar, a probabilidade de que me saia o número 5 é 1/10. Mas se os números pares estiverem nas bolas pretas e os ímpares nas brancas e eu souber que retiro uma bola branca, a probabilidade de que me saia o número 5 já passa a ser 1/5 (há apenas 1 bola branca com o número 5 nas 5 bolas brancas). Probabilidade condicionada: P(A|B)= p(A&B)/P(B). Neste caso, a probabilidade de que me saia o número 5 sabendo que me saiu uma bola branca (probabilidade condicionada) é igual à probabilidade de que me saia uma bola branca com o número 5 (1/10) a dividir pela probabilidade de que me saia uma bola branca (1/2). Outro exemplo: tenho dois sacos com 4 bolas cada. No primeiro saco há 3 bolas brancas e uma preta e no segundo saco há 2 bolas brancas e 2 pretas. Se retirar uma bola sem ver qual o saco de que retiro, a probabilidade de que seja branca é 5/8. Mas se eu souber que retirei a bola do primeiro saco a probabilidade muda, passa a ser condicionada por esta informação extra. P(B|S1) = P(B&S1) / P(S1) = 3/8 (há apenas 3 bolas brancas que estão no saco 1 das 8 bolas possíveis) a dividir por 1/2 (um saco dos 2 possíveis). A probabilidade passa então a ser (3/8)/(1/2) = 3/4. Fica realmente uma fila probabilística curiosa, 2/3; 2/3; 2/3; 2/3. Ainda que, na verdade, P(AB) seja 1/3 e não 2/3 (A ganha a B 12 vezes em 36 possíveis). Uma relaçao como a que pretendes é atingida com AD; DC; CB; BA. Mas isto não é relevante em termos de probabilidades: a probabilidade total de A continua a ser 3/27, ainda que a probabilidade de AB seja de 1/3. Se o jogador 1 souber que o jogador 2 escolhe B (por exemplo) 3/4 das vezes que joga, a probabilidade passa a ser diferente. P(A|2B)=p(A&2B)/p(2B). A probabilidade de que A ganhe sabendo que o jogador 2 escolhe B 3/4 das vezes que joga é a probabilidade de A ganhar das vezes que o jogador 2 escoheu B a dividir pela probabilidade de o jogador 2 escolher B. p(A|2B)= (12/216) / (3/4) = 2/27. A lei da transitividade a que te referes, ainda que seja aplicável a muitas relações matemáticas entre números e objectos, não é universal. É verdade que se A é maior que B e B é maior que C então A é maior do que C. A relação {é maior do que} é transitiva, pelo que é impossível que A seja maior do que B, B maior do que C e C seja maior do que A. Estou a tentar lembrar-me de algumas relações intransitivas. Para já lembro-me do paradoxo de Condorcet, que pode surgir do método eleitoral que este matemático concebeu, no qual é possível um candidato A ganhar a B, B ganhar a C e C ganhar a A. Recordo-me dos verbos intransitivos (mas estes nada têm de relações matemáticas). Ocorre-me um exemplo mais simples: suponhamos a relação {ama}. A ama B, que ama C (faz lembrar o poema de Drummond!) Mas isso não implica que A ame C (as relações amorosas não são transitivas!) Nem todas as relações entre objectos matemáticos é transitiva, ainda que muitas sejam (e dê de facto muito jeito que assim seja). Fiz uma pesquisa breve e superficial no Google e os exemplos que obtive foram curiosamente estes mesmos. Se me ocorrer mais algum digo. Talvez só na Lógica consiga encontrar mais exemplos mas serão difíceis de descrever. A relação {bebe uma cerveja com}: A bebe uma cerveja com B; bebe uma cerveja com C; mas A não bebe necessariamente uma cerveja com C. A relação {é amigo de} é semelnate a {ama}. {ganha a }: a equipa A ganha a B; B ganha a C; mas A pode não ganhar a C. Em Geometria, a relação {dista 2 unidades de}: o vértice A dista 2 unidades a B, B dista 2 unidades de C mas A nao dista 2 unidades de C. Em Cálculo: a relação {é metade de}: A=3 é metade de B=6; B é metade de C=12. Mas A não é metade de C. Nem todas as relações entre objectos matemáticos são transitivas.


De . a 28 de Julho de 2009 às 09:28
Olá Mauro. A pergunta não consistia em saber qual o dado que o jogador 1 deverá escolher para ter maior probabilidade de ganhar. As perguntas eram as seguintes (vou copiar/colar do meu primeiro comentário): "Existe alguma estratégia ganhadora para este jogo? Em caso afirmativo, qual? Numa primeira abordagem ao problema, parece que o primeiro jogador dispõe de uma vantagem decisiva, na medida em que pode escolher o "melhor" de todos os dados. Ou não será assim?".

A resposta é que não será assim, pois não existe um dado que seja o "melhor" de todos os dados. E não existe porque a relação "o dado X vence o dado Y", quando aplicada ao universo específico destes quatro dados, não goza da propriedade transitiva :-) Obviamente os dados foram criteriosamente escolhidos de forma a ilustrar precisamente este aspecto. Segundo o livro, quem o fez foi um professor de Estatística da Universidade de Stanford, de seu nome Bradley Efron.

A situação é semelhante à do paradoxo de Condorcet, como bem referes: o dado A vence B; B vence C; C vence D; e D (contra-intuitiva e surpreendentemente) vence A.

A natureza não transitiva desta relação altera completamente o equilíbrio de forças entre os dois jogadores. É verdade que o jogador 1 dispõe de uma maior liberdade de escolha, mas o jogador 2 dispõe de mais informação, pois sabe qual foi o dado que o seu adversário escolheu.

A estratégia vencedora será, portanto, a seguinte: deixar o adversário escolher primeiro. Se o adversário escolher D, optar por C; se escolher C, optar por B; se escolher B, optar por A; e se escolher A, optar por D. Em qualquer dos casos, o jogador 2 vencerá o jogador 1 com probabilidade de 2/3 :-)

O livro que descreve este problema é este (passe a publicidade): http://www.gradiva.pt/livro.asp?L=16010 (http://www.gradiva.pt/livro.asp?L=16010) Inclui muitas variantes deste jogo, com dados (prismas regulares) de n faces, cartas de jogar, etc. Todas elas se baseiam no mesmo princípio da não-transitividade de algumas relações.

Infelizmente o livro encontra-se esgotado, mas há muita informação disponível na internet.

Na Wikipédia (inclui o exemplo de Efron): http://en.wikipedia.org/wiki/Intransitive_dice (http://en.wikipedia.org/wiki/Intransitive_dice)

Aqui até está disponível um simulador de dados intransitivos: http://edp.org/dice.htm (http://edp.org/dice.htm) Mas não são tão bons como os de Efron, pois a probabilidade de vitória é apenas de 5/9 :-)


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