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Diário das pequenas descobertas da vida.
Domingo, 22 de Maio de 2005
Alea jacta est

Atenção Alguns erros que se cometem no uso da Língua portuguesa prendem-se por vezes com o desconhecimento dos contextos correctos de aplicação das palavras (a crescente confusão na aplicação de «derivado» e «devido» é somente um dos mais ouvidos).

 

Ouve-se por vezes poucas probabilidades de isso acontecer ,   o que é uma aplicação incorrecta do termo probabilidade e mostra simplesmente a ignorância do seu significado, confundindo «probabilidade» com «possibilidade». O correcto é dizer poucas possibilidades de isso acontecer ou então É pequena a probabilidade de isso acontecer .

 

Probabilidade é um número que se atribui a uma possibilidade de um acontecimento. Quanto maior é o número (entre 0 e 1 ou equivalentemente entre 0% e 100%) mais certo é que que aconteça. Possibilidade é uma das maneiras com que determinado acontecimento pode ocorrer. Cada possibilidade tem uma probabilidade de acontecer. A soma das probabilidades de todas as possibilidades de um acontecimento aleatório é 1 (ou 100%). Como a probabilidade é um número não «há poucas probabilidades», porque isso é o mesmo que dizer «há poucos números» e os números são infinitos.

 

Em termos simples, a forma de calcular a probabilidade da possibilidade de um acontecimento aleatório envolve a determinação do número de vezes em que pode ocorrer essa possibilidade e também o número total de possibilidades do acontecimento em causa. Geralmente essas contagens são complicadas de fazer em acontecimentos do quotidiano, e com formas mais ou menos elaboradas. Mas se a contagem total for possível usa-se a Regra de Laplace : para calcular a probabilidade de uma possibilidade basta dividir o número de vezes que ocorre essa possibilidade (n.º de acontecimentos favoráveis) pelo número total de possibilidades do acontecimento (nº de acontecimentos possíveis).

E.g. Um saco contém 5 bolas: tem 2 bolas pretas e 3 bolas vermelhas .

Qual é a probabilidade de ao retirar, sem ver, uma bola do saco obter 1 vermelha?

Saco com 5 bolas Há aqui um acontecimento (retirar uma bola) com algumas possibilidades; O número de possibilidades de sair uma bola vermelha é 3; O número total de possibilidades é 5 bolas; A probabilidade é então 3 / 5 (que é 60%).

~ A probabilidade de obter cara quando se atira uma moeda ao ar é 1 / 2 = 50%. (Há uma cara na moeda, que tem 2 faces possíveis); No entanto é necessário cautela no cálculo de probabilidades. Só se pode calcular probabilidades em acontecimentos aleatórios (acontecimentos em que não intervenha uma escolha humana consciente ou inconsciente); Só se pode calcular probabilidades quando cada uma das possibilidades tem a mesma probabilidade de ocorrer (são equiprováveis); Se assim não fosse poderiam ocorrer as seguintes situações a que se atribui uma probabilidade errada:

~ Se ao retirar uma bola do saco com 2 bolas pretas e 3 vermelhas se se espreitar pode-se sempre retirar uma bola vermelha. Então a probabiliade seria assim de 100% e não de 60%;

~ No totoloto só há duas possibilidades: ganhar ou não ganhar. Então a probabilidade de ganhar o totoloto é 1/2 = 50% ? Não, porque as duas possibilidades não são equiprováveis (não ganhar é mais provável do que ganhar);

 

Infelizmente a probabilidade do uso incorrecto de «probabilidade» quando se devia usar «possibilidade» é cada vez maior!

 

«Os dados estão lançados», de «Alea» - Dados; «jacta» - lançar; «est» - 3.ª Pessoa do verbo «esse» - ser, como bem chamou a atenção «Buba» no comentário que aqui deixou.

~ Frase dita por Júlio César quando atravessou o rio Rubicão em direcção a Roma.

(Ver Ao contrário da crença popular (Julius) para saber porquê)



Publicado por Mauro Maia às 21:10
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74 comentários:
De Mauro a 28 de Julho de 2009 às 21:36
Talvez a questão se prenda com o que queremos dizer com «estratégia ganhadora». Eu coloquei-me no papel do jogador 1, de frente a estes 4 curiosos dados e pensei que o melhor que eu poderia fazer era verificar todos os casos que podem ocorrer mediante a escolha dos dados. Presaupondo que as escolhas são aleatórias, seria o dado A o que mais vezes ganharia. Claro que o jogador B pode elaborar estratégias vencedoras em função da escolha do jogador 1. Eu acho este conceito dos dados intransitivos muito interessante ainda que, na perspectiva de um jogador confrontado com este jogo (e pressupondo que o jogador 2 desconhece o jogo/dados) optaria pelo dado A. Se o jogador 2 já conhecesse o jogo/dados, eu propunha que fosse ele o primeiro a escolher os dados e ficava a ver como descalçava ele/a esta bota... ;) O conceito de dados intransitivos é muito curioso (e mais um exemplo a juntar à lista das relações intransitivas), mas a questão que eu exploraria com eles talvez não fosse a de «estratégia vencedora», ainda que fique claro que, conhecendo os dois jogadores estes dados, nenhuma estratágia seria a vencedora, já que há semore um dado dentro dos 4 que é melhor do que qualquer um que escolhamos. É pena a edição portuguesa estar esgotada mas sempre temos a nossa fiel Amazon para nos ajudar (http://www.amazon.com/Wheels-Life-Other-Mathematical-Amusements/dp/0716715899/ref=sr_1_1?ie=UTF8&s=books&qid=1248814955&sr=1-1). (http://www.amazon.com/Wheels-Life-Other-Mathematical-Amusements/dp/0716715899/ref=sr_1_1?ie=UTF8&s=books&qid=1248814955&sr=1-1).) Um conceito muito interessante que já adaptei para uma actividade para os alunos construirem os seus próprios dados com o objectivo de verificarmos qual é a melhor escolha feita por eles (números de 1 a 6, podendo haver repetições e a média das faces ser inferior a 4, para evitar os casos triviais 555555 e 666666). Estou em dívida para contigo pela semente da ideia desta actividade. :D


De . a 29 de Julho de 2009 às 10:10
Pois é, se o jogador 1 conhecer o jogo, não quererá ser o primeiro a escolher e lá se vai a estratégia de vitória do jogador 2. O livro também aborda este problema. Há conjuntos de dados intransitivos em que as probabilidades são mais difíceis de calcular. Aqui vai outro exemplo, também da autoria de Efron: dado A: 1, 2, 3, 9, 10, 11; dado B: 0, 1, 7, 8, 8, 9; dado C: 5, 5, 6, 6, 7, 7; dado D: 3, 4, 4, 5, 11, 12. Neste caso, existe a possibilidade de empate, pelo que a probabilidade de vencer é um pouco inferior a 2/3. É de 11/17. Há variantes deste jogo em que é possível escolher outro dado que não o que confere a maior probabilidade de vitória e, ainda assim, vencer com uma probabilidade superior a 50%. Isto permite diversificar a escolha do jogador 2 e, desta forma, dissimular um pouco a sua estratégia :-)


De Mauro a 1 de Agosto de 2009 às 20:47
Só posso, «.», te agradecer pela menção a tão interessantes tópicos como este dos dados intransitivos (ou da lâmina circular cortante do Chapeleiro Louco. Ou da abordagem teórica à gravidade). Daqui te mando um abraço virtual e um grande obrigado pela tua constante e sempre apreciada presença no Cognosco. Os dados intransitivos são um conceito interessante em si si mesmo mas qual a sua profundidade em termos de ligação a outros conceitos interessantes matemáticos? Pergunta de leigo na matéria...


De . a 9 de Agosto de 2009 às 12:21
Olá Mauro. Este exemplo dos dados intransitivos revelou-se-me particularmente surpreendente porque, no meu desconhecimento destas matérias, sempre imaginei as relações simples, concretas, objectivas e facilmente mensuráveis/quantificáveis (tais como "X é mais pesado do que Y", ou "X é mais veloz do que Y") como sendo transitivas. Estava ao corrente da existência de relações intransitivas, mas atribuía sempre esse facto à existência de algo de vago, complexo, subjectivo ou dificilmente quantificável na essência dessas relações. Por exemplo, o jogo de ténis é intransitivo, na medida em que é possível o jogador A vencer B, B vencer C e C vencer A. Não obstante as regras do jogo de ténis serem concretas e objectivas, uma partida de ténis é muito complexa. Trata-se de um confronto entre estilos de jogo, capacidades técnicas e condições físicas distintas. E é, acima de tudo, uma guerra de nervos, pelo que a condição psicológica é importantíssima. Cada um destes factores é, em si mesmo, bastante complexo, pelo que não surpreende - pensava eu - que o ténis exiba características de não-transitividade. Pois bem, estava completamente enganado nas causas, como o jogo de dados veio demonstrar. Nada há de complexo neste último exemplo. Não há, sequer, um factor humano que possa introduzir alguma subjectividade no jogo, pois podemos colocar os jogadores de parte e encarar o problema apenas em termos de confrontos entre pares de dados. É tudo muito simples e, no entanto, intransitivo! Eu nem queria acreditar no que lia :-)

Outro aspecto que me merece a pena destacar é a forma extremamente bem conseguida como Efron apresenta o problema. Consegue produzir consequências enormes a partir de algo que, à primeira vista, e para um incauto como eu, não passa de um mero pormenor técnico, uma reles minudência de matemáticos que dá pelo nome de propriedade transitiva. Repara: se os dados fossem transitivos, o jogador 1 venceria, pois teria a possibilidade de escolher sempre o melhor dado. Não sendo os dados transitivos, inverte-se o equilíbrio de forças e é o jogador 2 que, na possibilidade de escolher sempre o dado que supera o do adversário, passa à condição de vencedor. Resultados mais diferentes do que estes não há! E para passar da transitividade à não-transitividade basta, penso eu, alterar os valores de algumas, poucas, faces dos dados.

Estava para aqui a pensar se seria possível explorar um eventual carácter não-transitivo de uma relação espacial. Um espaço euclidiano infinito é transitivo, no sentido em que a relação “X encontra-se mais próximo do que Y” o é. Mas num espaço com curvatura positiva, finito mas ilimitado, como, por exemplo, o equivalente tridimensional de uma superfície esférica, as coisas já não são bem assim. A galáxia A poderia encontrar-se mais próxima do que a galáxia B. E esta poderia encontrar-se mais próxima do que a galáxia C. Mas esta, paradoxalmente, poderia encontrar-se mais próxima do que A, pois poder-se-ia, eventualmente, "dar a volta pelo outro lado do Universo", qual Fernão de Magalhães cósmico :-) Se pudéssemos, de alguma forma, controlar a transitividade do espaço, poderíamos viajar para longe em pouco tempo. E se, em vez de espaço, pensarmos em espaço-tempo, e em vez de distância, pensarmos em intervalo, talvez pudéssemos viajar no tempo "em pouco espaço", ou seja, quase sem sairmos do sítio, como sucedia com H. G. Wells e a sua máquina do tempo. E verificar a existência ou não daqueles paradoxos bem conhecidos, como o de matarmos os nossos próprios avós (salvos sejam, coitados), etc.

E pronto, por hoje chega de delírios. Acho que vou tomar as minhas gotinhas. Retribuo o teu abraço virtual, desejo-te boas férias (se for o caso) e renovo os votos de sucesso para o teu blog :-)


De Mauro a 10 de Agosto de 2009 às 19:25
Olá, «.». As relações intransitivas parecem ser um pouco contra-senso à primeira vista ams penso que dei bastantes exemplos num comentário anterior sobre relações intransitivas. Estamos habituados a lidar com relações transitivas na Ciência mas se pensarmos com mais cuidado muitas relações revelam-se intransitivas. Fico a pensar em que medida é que um jogo de ténis de pode comparar a um lançamento de moeda. Excepto pelo facto de ser um ou ser outro o vencedor. De qualquer forma, serão faces compostas de materiais diferentes e com pesos diferentes, tornando uma face mais provável de sair do que a outra. Ainda que surpresas possam surgir, claro. Um recém chegado pode derrotar um tenista de topo. Concordo contigo, Effron revelou uma imaginação e criatividade excelentes. Conseguir criar estes dados naquela estreita fronteira entre a maioria transitiva é surpreendente. Gostei dessa ideia do universo com curvatura positiva e fechado. É até uma das formas que se imagina que funcionem os hipotéticos wormholes e (tenho de procurar em que livro tenho essa referência) uma das soluções para as equações da teoria da relatividade encontra a possibilidade de se poder viajar no tempo apenas se o universo for fechado, curvo e em rotação. Mas podereoms usar alguma analogia mais «terrena»? Na superfície da Terra, será possível em 3 pontos na superfície, A está mais próximo de B, B mais próximo de C mas C estar mais próximo de A? Atravessando o manto, em vez dee viajar apenas na suoerfície? As viagens no tempo e no espaço ao longo do vastíssimo universo são interessantes. Além de H.G. Wells e da sua visita aos pacíficos Eloi e aos arrepiantes Morlock, recordo o conceito de viagem espacial explorado por Frank Herbert na série de livro «Dune»: a nave permanece parada, sendo o espaço em seu redor modificado pelo ficcionado campo de Holtszmann, que funciona como o canivete suíço científico, servindo para viagens espaciais, protecção física e parelho de anti-gravidade. A par da especiaria melange, é o faz tudo onde se alicerçam todas as histórias escritas. Juntando como ingredientes muita da história da I.ª Guerra Mundial passada nos territórios otomanos do Médio Oriente e da luta do povo árabe (Fremen) pela sua independência, ajudados, liderados e incentivados por um T.H. Lawrence que claramente inspirou a figura de Paul Atreides. Mas divago e a comparação entre a história de Dune e a luta árabe na I.ª Guerra Mundioal é pura especulação minha. O meu irmão contou-me, uma vez, um paradoxo ainda mais curioso e perturbador. Não recordo agora com exactidão todos os pormenores mas era algo assim: um sujeito A viaja no tempo e conhece uma mulher por quem se apaixona e de quem tem um filho. Viaja depois para o futuro onde descobre que a mudança de sexo é 100% alcançável (mesmo em termos de orgãos reprodutores). Decide então experimentar o que é ser mulher. Viaja para o passado, conhece um homem de quem tem um filho. Esse filho cresce e torna-se no sujeito A viajante do tempo!


De . a 11 de Agosto de 2009 às 18:26
Olá Mauro. Referi o exemplo do jogo de ténis porque, tal como o jogo de dados de Efron, se destina a ser jogado por duas partes; e porque também é intransitivo. Mas podemos seguir a tua sugestão e compará-lo ao lançamento de moedas não equilibradas. Imagina o seguinte conjunto de quatro moedas muito peculiares: a moeda A tem o valor 0 na "cara" e o valor 4 na "coroa"; além disso, a sua massa está distribuída de tal forma que, num lançamento, a probabilidade de a cara ficar virada para cima é de 1/3; a da coroa será, portanto, de 2/3. A moeda B tem o valor 3 quer na cara, quer na coroa; o equilíbrio da mesma é, por conseguinte, irrelevante. A moeda C tem os valores faciais 2 (com probabilidade de 2/3) e 6 (com probabilidade de 1/3). Por último, a moeda D tem os valores faciais 1 e 5 e é equilibrada (probabilidades de 1/2 e de 1/2). O jogador 1 escolhe uma moeda. Em seguida, o jogador 2 escolhe outra. Lançam as moedas ao ar e vence o jogador a quem sair o maior número. Se efectuares os cálculos verificarás que a moeda A vence B com probabilidade de 2/3; B vence C com probabilidade de 2/3; C vence D com probabilidade de 2/3; e D vence A com probabilidade de 2/3. Exactamente como no jogo de dados de Efron, o que não surpreende, pois ambos os jogos são matematicamente equivalentes. Só a "roupa" que os veste é que é diferente :-)
Agora quanto ao carácter não-transitivo de um espaço fechado com curvatura positiva: creio que me enganei, que também neste caso a relação "X encontra-se mais próximo do que Y" é transitiva, não obstante poder medir-se a distância "pelo outro lado". É fácil chegar a esta conclusão se considerarmos o equivalente unidimensional deste exemplo e esboçarmos uma circunferência numa folha de papel. Esta representa o nosso universo fechado. Escolhemos um ponto fixo nessa circunferência para nos representar a nós. Chamemos-lhe T (de Terra). Em seguida escolhemos mais três pontos (móveis), representativos das galáxias A, B e C. Qualquer que seja a nossa escolha, penso que não será possível infringir a transitividade da relação de proximidade a T atrás referida.
Resumindo: um espaço plano (euclidiano) é transitivo; um espaço fechado, com curvatura positiva, também o é; penso que um espaço aberto, com curvatura negativa (hiperbólico), também o será. Logo, não parece, de facto, ser possível mudar a natureza transitiva do espaço com base numa mera deformação contínua da sua curvatura. Será necessário introduzir algum tipo de descontinuidade que altere a sua topologia. Como a produzida por um buraco de verme, por exemplo, que permitisse atalhar por uma dimensão extra (estava a tentar evitar esta solução, mas parece que a mesma é incontornável). Ou, para fazer uso da tua analogia terrena, escavando um túnel rectilíneo através da crosta e do manto terrestres. A ser exequível, um tal metropolitano global permitiria viajar de um ponto para outro do nosso planeta de uma forma muito eficiente. A propósito deste exemplo: creio ter lido algures que, se desprezássemos o atrito e recorrêssemos apenas à gravidade para impelir o nosso metropolitano, o tempo de percurso seria constante, ou seja, independente dos pontos de partida e de chegada. Demoraria o mesmo tempo a viajar de Lisboa ao Porto ou de Londres aos antípodas. Eu atrevia-me a tentar demonstrar este aspecto curioso e pouco intuitivo mas, desde o meu desaire na tentativa de determinação do momento de inércia de uma certa lâmina circular que a minha autoconfiança nestas matérias não tem sido das mais elevadas :-) Mas não deve ser muito difícil. Considera-se um triângulo isósceles, em que um dos vértices é o ponto de partida, outro vértice constitui o ponto de chegada, e o terceiro vértice é o centro da Terra. A viagem será simétrica, no sentido em que será acelerada até meio do percurso e identicamente desacelerada durante o percurso restante. O módulo da aceleração tangencial (isto é, ao longo da corda que une os pontos de partida ao de chegada) será máximo à partida e à chegada, e nulo a meio do percurso. O metropolitano imobilizar-se-ia sozinho no ponto exacto da chegada.
Para terminar este comentário, que já vai longo, refiro apenas o paradoxo contado pelo teu irmão. Se bem percebi, o viajante do tempo seria o pai e a mãe de si próprio. Muito estranho! Leva-me a pensar que, iterando mais uma vez semelhante procedimento, o viajante poderia ser avô de si mesmo. Mas para isso não são necessárias viagens no tempo, como se pode ver aqui:

http://www.youtube.com/watch?v=q0s5Kn9QXtU (http://www.youtube.com/watch?v=q0s5Kn9QXtU)


De Mauro a 15 de Agosto de 2009 às 19:28
A sugestão, «.», foi tua num comentário anterior. A minha questão foimesmo de que forma é que o lançamento de uma moeda podia ser comparado a um jogo de ténis... Mas explicaste agora, ainda que sinta que haja substanciais diferenças, começando pela introdução da complexidade da escolha humana no ténis. Esta questão faz lembrar o famoso paradoxo de Monty Hall e das portas do concurso. Também os valores 1/2 e 2/3 aí surgem. Desaires são, infelizmente, parte da nossa natureza humana, que nos permite o nosso melhor e o nosso pior. Não classificaria a questão da lâmina circular como desaire. Além de que salvaste o artigo sobre a gravidade de um desaire teórico a muitos níveis bem pior. Neste exemplo que referes, do metropolitano global, o metropolitano tem obrigatoriamente de passar pelo centro da Terra? Não estou a ver de que forma Lisboa-Porto seria o mesmo que Portugal-Nova-Zelândia (a nossa antípoda geográfica) em termos de duração... Pois, o paradoxo implicaria que ele fosse pai, mãe e filho numa trindade temporal muito estranha. Mas não será o descendente de um pai e mãe geneticamente iguais um clone? As duas metades que se unem na fecundação são metades do mesmo ser. Teria o crossing-over alguma preponderância? Talvez não se obtivesse um clone mas apenas uma versão alternativa de si mesmo, aquilo que o sujeito A também poderia tyer sido. Seria como lançar os dados genéticos de nós mesmos novamente...


De . a 15 de Agosto de 2009 às 23:34
Pois é, a principal dificuldade em construir um modelo matemático de um torneio de ténis residiria na forma de quantificar, ou seja, de traduzir num número (ou num conjunto de números) todos aqueles factores já referidos, tais como a condição física e psicológica de cada jogador, a capacidade técnica, o estilo de jogo, etc. Se tal fosse possível, talvez se pudesse adoptar o jogo de dados de Efron como ponto de partida para um tal modelo. Imagina que o potencial de jogo de um dado jogador de ténis podia ser traduzido num número, nunca inferior a 0 nem superior a 6. Além disso, cada jogador encontrar-se-ia, em cada encontro de ténis, num de dois estados possíveis de forma global (física, psicológica, etc.): um desses estados corresponderia ao máximo das suas capacidades, ou seja, ao seu potencial (o número atrás referido); o outro estado corresponderia a um valor inferior das suas capacidades. A cada um destes dois estados estaria associada uma dada probabilidade de o jogador se encontrar nesse estado. Por exemplo: o jogador A caracteriza-se por jogador ao nível 0 com probabilidade de 1/3 e ao nível 4 com probabilidade de 2/3. O jogador B é muito consistente: joga sempre ao nível 3. O jogador C joga aos níveis 2 (com probabilidade de 2/3) e 6 (com probabilidade de 1/3). Para finalizar, o jogador D exibe os níveis 1 e 5 com probabilidades de 1/2 e de 1/2. Este exemplo seria equivalente ao das moedas não equilibradas referido em comentário anterior, o qual, como se viu, é equivalente ao jogo de dados de Efron. Os resultados seriam, pois, os mesmos: A venceria B, B venceria C, C venceria D, e D venceria A. Com uma probabilidade de 2/3 em todos estes casos. Uma relação intransitiva, portanto. Poder-se-ia, numa fase posterior, pensar em refinar o modelo do jogo de ténis: para cada jogador, em vez de dois estados de forma global, existiria toda uma infinidade de estados possíveis, compreendidos entre 0 e 6. Ou seja, a nossa variável aleatória passaria a ser contínua, pelo que existiria também, para cada jogador, uma função de densidade de probabilidade que caracterizasse a distribuição de probabilidade da referida variável. Creio que este refinamento não poria em causa a intransitividade do modelo de jogo.
Quanto ao assunto do metropolitano global: respondendo à tua pergunta, este não passaria obrigatoriamente pelo centro da Terra (só o faria no caso particular de o ponto de chegada estar nos antípodas do ponto de partida). O túnel do metropolitano seria sempre rectilíneo. Esquematicamente, se considerarmos o círculo máximo que contém os pontos de partida e de chegada, então o túnel será o segmento de recta (a corda) que une estes dois pontos. Logo aqui surge um aspecto curioso e pouco intuitivo: não obstante o túnel ser rectilíneo, a primeira metade do percurso seria percorrida "a descer", enquanto a segunda seria feita "a subir". Estranho, não é? Mas verdadeiro :-) Vou tentar explicar melhor a razão pela qual penso que o tempo de percurso seja constante, ou seja, independente dos pontos de partida e de chegada escolhidos. Vou considerar dois exemplos extremos: dois pontos localizados quase nos antípodas (Portugal - Nova Zelândia) e dois pontos situados muito próximos um do outro (Lisboa – Porto). O tempo de percurso depende não só da distância a percorrer, mas também do valor daquilo a que eu designei, num comentário anterior, por aceleração tangencial, ou seja, a aceleração medida ao longo do deslocamento. Lembras-te do triângulo isósceles que referi anteriormente? A ligar o ponto de partida, o ponto de chegada e o centro da Terra? Pois bem, dada a simetria do problema (metade do percurso é feita a descer, a outra metade a subir com aceleração igual mas de sinal contrário), podemos considerar apenas metade do percurso (por exemplo, a parte que desce) e, no final, multiplicar o tempo assim calculado por 2. Isto equivale a dividir o triângulo isósceles em dois triângulos rectângulos e a considerar apenas o triângulo que liga o ponto de partida, o ponto situado a meio do percurso e o centro da Terra. A aceleração gravitacional total no ponto de partida é um vector que aponta para o centro da Terra (ou seja, é medido ao longo da hipotenusa do referido triângulo); a aceleração tangencial, por sua vez, é um vector que aponta na direcção do percurso (isto é, é medido ao longo de um dos catetos do triângulo). Estas duas acelerações relacionam-se entre si pela equação simples Atangencial = Atotal * cos(alfa), em que alfa é o ângulo do vértice do triângulo correspondente ao ponto de partida. No caso do percurso entre dois pontos localizados quase nos antípodas um do outro (Portugal - Nova Zelândia), e não obstante a distância a percorrer ser grande, o ângulo alfa é quase nulo, pelo que o seu co-seno é quase unitário. Assim sendo, a aceleração tangencial inicial é elevada, pois é quase igual ao valor da aceleração total inicial de 9.8 m/s^2. Ou seja, o metropolitano, na primeira metade do percurso, está a efectuar uma queda livre quase vertical na direcção aproximada do centro da Terra. Já no caso de duas cidades situadas muito próximas uma da outra (Lisboa - Porto), a distância a percorrer é reduzida, mas a aceleração tangencial inicial também o é. E é-o porque, neste caso, o ângulo alfa é quase recto e, por conseguinte, o seu co-seno é quase nulo. Ou seja, o metropolitano desce com um declive muito suave, logo muito lentamente. Tudo contabilizado, estou convencido de que o tempo de percurso será o mesmo para ambos os casos. E creio tê-lo lido nalgum livro que para aqui tenho, mas não me consigo lembrar de qual :-( Hei-de procurá-lo. Será necessário calcular a aceleração total instantânea, pois esta depende da distância ao centro da Terra. Mas não se trata, penso eu, da dependência simples do inverso do quadrado da distância dada pela lei de Newton, pois a massa da Terra não pode ser considerada pontual. É preciso não esquecer que o viajante percorre as profundezas da Terra, pelo que parte da massa desta última se encontra "por baixo" do viajante (ou seja, numa esfera cujo raio é dado pela distância ao centro da Terra naquele instante); a parte restante encontrar-se-á "por cima" do viajante, isto é, numa concha esférica de espessura igual à diferença entre o raio da Terra e a referida distância ao centro da mesma. Para determinar a aceleração gravitacional total terei, portanto, de integrar para o volume de uma esfera a lei de Newton F = G * m * m' / r^2 ou, melhor ainda, a equação A = G * m / r^2, em que m (a massa) é uma função de r (é proporcional ao volume da esfera, ou seja, ao cubo de r). Uma vez calculada a aceleração total instantânea, podemos partir para a determinação da aceleração tangencial instantânea. Basta multiplicar por cos(alfa). Mas é preciso ter em conta que alfa não é constante. Varia ao longo do percurso. É mínimo no ponto de partida e recto a meio do percurso. Isto significa que, para calcular o tempo de percurso, vai ser necessário lidar, de novo, com equações diferenciais (sigh).
Para finalizar, o paradoxo da viagem do tempo: perguntas se um descendente de um pai e mãe geneticamente iguais não será um clone. Não estou muito à vontade nestas matérias, mas creio que o descendente não teria, necessariamente, de ser um clone. Por exemplo, o pai poderia conter, na sua constituição genética, um gene que codificasse olhos castanhos e outro que codificasse olhos azuis. Dado o carácter dominante do primeiro e recessivo do segundo, o pai teria olhos castanhos. O mesmo sucederia com a mãe, pois esta seria geneticamente idêntica ao pai. Mas o filho de ambos teria uma probabilidade de 1/4 de herdar o gene que codifica olhos azuis quer do pai, quer da mãe, pelo que os seus olhos seriam dessa cor. Há, no entanto, que ter em consideração que o paradoxo, tal como o descreveste, é mais restritivo do que isto. Não só o pai e a mãe são geneticamente idênticos, o filho também o é, pois são todos a mesma pessoa. Logo, penso que terão todos, forçosamente, o mesmo genótipo. Na realidade talvez não seja bem assim, dada a possibilidade de se verificarem mutações genéticas ao longo do tempo de vida do viajante. Quando nasceu teria uma dada constituição genética, a qual sofreria mutações ao longo do tempo pelo que, no momento em que o indivíduo efectuasse a primeira viagem ao passado (para ser pai de si próprio), a constituição já não seria exactamente a mesma. E mais alterações poderiam verificar-se desde este instante até ao momento da segunda viagem ao passado (para ser mãe de si mesmo). Pelo que o pai, a mãe e o filho não seriam, em bom rigor, geneticamente iguais.


De Mauro a 18 de Agosto de 2009 às 18:16
Certamente que a busca de um modelo matemático que tenha em consideração os atributos e características de cada jogador há muito é procurado. Penso que os simuladores de jogos de ténis (ou outros) com personagens controladas por computador certamente usaram algoritmos semelhantes. Penso que a Teoria do Caos coloca uma fronteira clara para a determinação prévia de vencedores, o que dificulta ou impede modelos matemáticos precisos para uma partida. A borboleta que bate as asas em Tóquio não baterá sempre as asas ao mesmo tempo e no mesmo local pelo que o possível furacão que poderá originar nos EUA terá características, trajecto e velocidades diferentes. Neste modelo de uma partida entre humanos não seria preciso entrar cm conta com Atractores estranhos imprevisíveis?
Quanto ao metropolitano global, é realmente contra-intuituvo que a ligação entre quaisquer doiz pontos da superfície terrestre seja sempre igual em termos de duração. A partir da própria definição de corda e diâmetro (sendo o diâmetro sempre a corda de maior comprimento), é claro que a distância entre dois pontos na superfície do Globo será diferente consoante a sua posição. E tendo em conta a limitação das velocidades dos metropolitanos, quanto maior a distância maior o tempo que demora. Porque é necessário "descer" e depois "subir"? É possível, através do interior da Terra, traçar cordas e diâmetros e não como 2 segmentos de recta com declives de sinais contrários. Em relação à questão do "clone", acho de grande relevância o crossing-over nesta questão. Quando há a formação dos gâmetas, estes têm metade da informação genética das células progenitoras. Ao contrário da mitose, pela qual uma célula faz uma cópia de si com a mesma informação genética, a formação dos gâmetas exige que se originem células com metade da iniformação genética para que a sua união com um gâmeta do elemento do sexo oposto produz um ser com a quantidade de material genético da espécie. O processo podia ser só a divisão da cadeia de ADN em duas, ficando uma metade para um gâmeta e a outra para outro gâmeta. Mas isso implicaria que um filho receberia "intacta" (descontando as mutações ocasionais que referes) do progenitor. Para aumentar as combinações genéticas na formação dos gâmetas, na meiose há um processo, conhecido como crossing-over. Eis o que acontece: a cadeia de ADN é dividida em 2, a parte que recebeu de um progenitor e a outra parte do outro progenitor. Depois de haver essa separação, há troca entre as cadeias de genes alelos. Assim, por exemplo, se recebeu do "pai" um tira de ADN com genes para olhos azuis e da mãe recebeu uma tira de ADN com informação para olhos castanhos, as informações da cor dos olhos pode ser trocada, pelo que o gâmeta contendo a tira de ADN "vinda" do "pai" contém genes da outra cadeia, que "veio" da "mãe". Desculpa se andar aqui às voltas com o assunto para me fazer perceber: desde o Secnuudário que não falo de crossing-over's... Suponhamos o sujeito 1 tem informação genética XY informação de cor dos olhos CA (castanho, azul); o sujeito 2 tem informação genética XX e informação de cor dos olhos AP (azul;preto). Aquando da meiose, há a divisão das cadeias de ADN. Sem o crossing-over, o sujeito 1 só produziria gâmetas XC e YA e o sujeito 2 só produziria XA e XP. Mas com o crossing-over, os alelos podem trocar na produção dos gâmetas e o sujeito 1 pode produzir gâmetas XC, XA, YA ou YC. O sujeito 2 pode produzir XA ou XP. Isto aumenta a variabilidade genética na descendência e explica como podem dois irmãos terem características tão díspares como um ser moreno e o outro louro tendo os mesmos pais ou um ser mais parecido com a avó materno e o outro mais com o tio paterno. Assim sendo, uma auto-fecundação (sempre indesejável porque há a passagem de defeitos geneticos para a descendência e produz um ser que tem as mesmas fraquezas que o progenitor). O crossing-over impediria que o filhos do viajante no tempo consigo mesmo fosse um clone do pai/mãe. Tanto quanto me recordo, somente o crossing-over não é suficientemente importante para garantir e justificar a evolução biológica mas é indispensável em termos de manter a saúde genética da população. A selecção natural produz os melhores resultados quanto maior a mistura de genes. A detestável Eugenia, nascida nos EUA e que foi usada como justificação para barbaridades como o Holocausto ou o racismo, está eivada dos mesmos erros de análise de que padecem os terroistas muçulmanos: o texto fonte é retalhado e apenas se concentram em partes do texto que servem os objectivos de quem faz essa selecção. Assim, um texto religioso de paz e tolerância como o Corão é usada como justificação para atentados terroristas (o contrário do que a globalidade textual prega) e uma teoria científica de amplo alcance é usada como justificação para a eugenia (o contrário do que a globalidade textual prega). Tenho uma edição moderna da "Origem das Esdpécies" de Darwin e ele logo ali é claro quando afirma que descendentes de progenitores com características genéticas semelhantes é inerentemente menos apto do que os progenitores (um efeito cumulativo ao longo das gerações) enquanto descendentes de progenitores com características genéticas diferentes é geralmente mais apto que os progenitores. Cada um poderá tirar daí conclusões sobre supostas linhas genéticas "puras" e mesmo o que isso revela sobre a viabilidade de sistemas políticos como a Monarquia...


De . a 18 de Agosto de 2009 às 18:46
Mauro, o túnel não é constituído por dois segmentos de recta com declives de sinais contrários. É um só segmento de recta a unir o ponto de partida ao ponto de chegada. E mesmo assim desce na primeira metade do percurso e sobe na segunda :-)


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