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Diário das pequenas descobertas da vida.
Domingo, 22 de Maio de 2005
Alea jacta est

Atenção Alguns erros que se cometem no uso da Língua portuguesa prendem-se por vezes com o desconhecimento dos contextos correctos de aplicação das palavras (a crescente confusão na aplicação de «derivado» e «devido» é somente um dos mais ouvidos).

 

Ouve-se por vezes poucas probabilidades de isso acontecer ,   o que é uma aplicação incorrecta do termo probabilidade e mostra simplesmente a ignorância do seu significado, confundindo «probabilidade» com «possibilidade». O correcto é dizer poucas possibilidades de isso acontecer ou então É pequena a probabilidade de isso acontecer .

 

Probabilidade é um número que se atribui a uma possibilidade de um acontecimento. Quanto maior é o número (entre 0 e 1 ou equivalentemente entre 0% e 100%) mais certo é que que aconteça. Possibilidade é uma das maneiras com que determinado acontecimento pode ocorrer. Cada possibilidade tem uma probabilidade de acontecer. A soma das probabilidades de todas as possibilidades de um acontecimento aleatório é 1 (ou 100%). Como a probabilidade é um número não «há poucas probabilidades», porque isso é o mesmo que dizer «há poucos números» e os números são infinitos.

 

Em termos simples, a forma de calcular a probabilidade da possibilidade de um acontecimento aleatório envolve a determinação do número de vezes em que pode ocorrer essa possibilidade e também o número total de possibilidades do acontecimento em causa. Geralmente essas contagens são complicadas de fazer em acontecimentos do quotidiano, e com formas mais ou menos elaboradas. Mas se a contagem total for possível usa-se a Regra de Laplace : para calcular a probabilidade de uma possibilidade basta dividir o número de vezes que ocorre essa possibilidade (n.º de acontecimentos favoráveis) pelo número total de possibilidades do acontecimento (nº de acontecimentos possíveis).

E.g. Um saco contém 5 bolas: tem 2 bolas pretas e 3 bolas vermelhas .

Qual é a probabilidade de ao retirar, sem ver, uma bola do saco obter 1 vermelha?

Saco com 5 bolas Há aqui um acontecimento (retirar uma bola) com algumas possibilidades; O número de possibilidades de sair uma bola vermelha é 3; O número total de possibilidades é 5 bolas; A probabilidade é então 3 / 5 (que é 60%).

~ A probabilidade de obter cara quando se atira uma moeda ao ar é 1 / 2 = 50%. (Há uma cara na moeda, que tem 2 faces possíveis); No entanto é necessário cautela no cálculo de probabilidades. Só se pode calcular probabilidades em acontecimentos aleatórios (acontecimentos em que não intervenha uma escolha humana consciente ou inconsciente); Só se pode calcular probabilidades quando cada uma das possibilidades tem a mesma probabilidade de ocorrer (são equiprováveis); Se assim não fosse poderiam ocorrer as seguintes situações a que se atribui uma probabilidade errada:

~ Se ao retirar uma bola do saco com 2 bolas pretas e 3 vermelhas se se espreitar pode-se sempre retirar uma bola vermelha. Então a probabiliade seria assim de 100% e não de 60%;

~ No totoloto só há duas possibilidades: ganhar ou não ganhar. Então a probabilidade de ganhar o totoloto é 1/2 = 50% ? Não, porque as duas possibilidades não são equiprováveis (não ganhar é mais provável do que ganhar);

 

Infelizmente a probabilidade do uso incorrecto de «probabilidade» quando se devia usar «possibilidade» é cada vez maior!

 

«Os dados estão lançados», de «Alea» - Dados; «jacta» - lançar; «est» - 3.ª Pessoa do verbo «esse» - ser, como bem chamou a atenção «Buba» no comentário que aqui deixou.

~ Frase dita por Júlio César quando atravessou o rio Rubicão em direcção a Roma.

(Ver Ao contrário da crença popular (Julius) para saber porquê)



Publicado por Mauro Maia às 21:10
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De . a 9 de Agosto de 2010 às 19:30
A figura está bem feita e facilita a compreensão do problema. Obrigado :-)

A donzela não está em movimento. Não há corrente de água e as poucas energias que lhe restam são inteiramente gastas no esforço para se manter à superfície.

O percurso mais curto (linha recta) não será o mais rápido porque envolve uma extensão considerável de mar que terá de ser feita a nadar. E, recorde-se, a velocidade no mar é baixa.

O percurso em linha recta só seria o mais rápido nos seguintes casos especiais:

- se a donzela estivesse em frente ao nadador-salvador, ou seja, se a = 0 na figura. Tal não será, normalmente, o caso;
- se o nadador-salvador ou a donzela se encontrassem na margem. Também não será este o caso;
- se a velocidade do nadador-salvador na água fosse igual à verificada na areia, o que não é, mais uma vez, o caso.

Haverá uma melhor solução? :-)


De Mauro Maia a 10 de Agosto de 2010 às 11:59
Se o nadador-salvador corre mais depressa do que nada, então temos de maximizar o tempo no areal e minimizar o tempo na água num percurso que o leve à D e sem ultrapassar o tempo de percurso em linha recta? Em terra, tem uma velocidade v e na água uma velocidade w.

Se for directamente para a D, tem de percorrer y*cos(tg^-1(a/b) no areal à velocidade v e sqr (a^2 + b^2) - y*cos(tg^-1(a/b) na água à velocidade w, com v>w, y<b, a,b,y>=0

javascript:nicTemp();

Se for na diagonal no areal e a direito na água, tem de percorrer a^2 + y^2 no areal à velocidade v e b-y na água a uma velocidade w, com v>w, y<b, a,b,y>=0

javascript:nicTemp();

Trajecto 1. indo a direito, demora [y*cos(tg^-1(a/b)]/v + [sqr (a^2 + b^2) - y*cos(tg^-1(a/b)]/w unidades temporais.

Trajecto 2, indo na diagonal no areal e a direito na água, demora [a^2 + y^2]/v + (b - y)/w unidades temporais.

Agora seria uma questão de demonstrar que trajecto 1 >= trajecto 2, isso se a minha linha de raciocínio presente é um passo na direcção certa...

Mas isto poderá indicar-me SE este trajecto é mais rápido mas não me dá garantidamente o MAIS rápido...



De . a 12 de Agosto de 2010 às 22:12
Estás a raciocinar muito bem :-)

Se o trajecto 1 (linha recta) é ou não mais demorado do que o trajecto 2 (diagonal na areia e a direito no mar), depende dos dados concretos do problema, ou seja, dos valores que se atribuírem a a, b, y, v e w.

No entanto, nenhum dos trajectos será o MAIS rápido. O trajecto 1, pelas razões expostas no comentário anterior; e o trajecto 2 porque, não obstante o percurso no mar ser mínimo, a extensão total a percorrer (na areia e depois no mar) ser elevada. O trajecto 2 só seria o mais rápido se a velocidade na areia fosse infinita: o percurso na areia seria feito em tempo nulo e o percurso no mar em tempo mínimo, pelo que o trajecto seria óptimo.

Temos então duas situações extremas que só constituem a solução do problema nos seguintes casos particulares:

trajecto 1, se v = w
trajecto 2, se v = ∞

No caso geral em que w < v < ∞, a solução corresponderá a um trajecto intermédio entre os trajectos 1 e 2; ou seja, o trajecto óptimo consistirá numa linha quebrada (diagonal na areia e outra diagonal no mar) a ligar o nadador-salvador à donzela. Como determinar esta linha? Temos de parametrizar o problema e de calcular o valor do parâmetro para o qual o tempo total do percurso é mínimo.

Suponhamos então que o nadador-salvador entra na água no ponto de coordenadas (x, y). Recordo que y é constante e conhecido, pois representa a ordenada da margem. Só x é que varia e o seu valor óptimo é desconhecido. É o nosso parâmetro. Mais tarde gostaria de usar o ângulo de entrada do nadador-salvador na água, mas por agora não.

O tempo total do percurso será dado pelo tempo gasto a correr na areia + o tempo despendido a nadar no mar:

t(x) = tAREIA(x) + tMAR(x)

Sabendo que o tempo é calculado dividindo o espaço percorrido pela velocidade, temos:

t(x) = sAREIA(x) / v + sMAR(x) / w = √(x2 + y2) / v + √((a - x)2 + (b - y)2) / w

Como calcular o valor de x para o qual t(x) é mínimo? Determinamos a derivada da função t(x), anulamo-la e resolvemos a equação que daí resultar em ordem a x. Para finalizar, inspeccionamos o sinal da derivada à esquerda e à direita do valor assim obtido, de modo a garantir que o mesmo corresponde, de facto, a um mínimo local (e não a um máximo local :-p)

dt / dx = x / (v * √(x2 + y2)) - (a - x) / (w * √((a - x)2 + (b - y)2))

dt / dx = 0 sse x / (v * √(x2 + y2)) = (a - x) / (w * √((a - x)2 + (b - y)2))

Elevando ambos os membros da equação ao quadrado, obtemos

x2 / (v2 * (x2 + y2)) = (a - x)2 / (w2 * ((a - x)2 + (b - y)2))

Agora falta resolver em ordem a x. Vou tratar disso e depois direi alguma coisa. Abraço :-)


De . a 13 de Agosto de 2010 às 00:28
Mauro, aqui vai a continuação:

Multiplicando ambos os membros da equação por v2, temos

x2 / (x2 + y2) = v2 / w2 * (a - x)2 / ((a - x)2 + (b - y)2)

Dividindo o numerador e o denominador do lado esquerdo da equação por x2, temos

1 / (1 + y2 / x2) = v2 / w2 * (a - x)2 / ((a - x)2 + (b - y)2)

Dividindo o numerador e o denominador do lado direito da equação por (a - x)2, temos

1 / (1 + y2 / x2) = v2 / w2 * 1 / (1 + (b - y)2 / (a - x)2)

Passando a fracção existente no lado direito da equação para o lado esquerdo, temos

(1 + (b - y)2 / (a - x)2) / (1 + y2 / x2) = v2 / w2

É aqui que entram os ângulos :-). Chamemos alfa ao ângulo que a diagonal correspondente ao percurso na areia faz com o eixo dos XX. Analogamente, designemos por beta o ângulo que a diagonal correspondente ao percurso na água faz com o mesmo eixo. A ser assim, temos que

y / x = tg(alfa)

e que

(b – y) / (a – x) = tg(beta)

Substituindo na nossa equação, temos

(1 + tg2(beta)) / (1 + tg2(alfa)) = v2 / w2

Sabendo que 1 + tg2( ) = sec2( ), temos

sec2(beta) / sec2(alfa) = v2 / w2

Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros da equação, temos

sec(beta) / sec(alfa) = v / w

Sabendo que sec( ) = 1 / cos( ), temos

cos(alfa) / cos(beta) = v / w

Consideremos agora os seguintes ângulos: gama é o ângulo de entrada do nadador-salvador na água. Mais precisamente, é o ângulo que a diagonal correspondente ao percurso na areia faz com o eixo dos XX. Analogamente, designemos por delta o ângulo que a diagonal correspondente ao percurso na água faz com o mesmo eixo A ser assim, alfa = 90° - gama e beta = 90° - delta. Substituindo na nossa equação, temos

cos(90° - gama) / cos(90° - delta) = v / w

Isto é equivalente a

sin(gama) / sin(delta) = v / w

Ou seja, o trajecto óptimo será o trajecto cuja diagonal na areia faz um ângulo gama com o eixo dos YY e cuja diagonal na água faz um ângulo delta com o mesmo eixo, sendo que gama e delta terão de verificar a condição imposta pela equação anterior.

Era a esta equação que eu pretendia chegar, por razões que nada têm a ver com nadadores-salvadores ou com donzelas em risco de se afogarem. Passo a explicar no próximo comentário :-)


De . a 13 de Agosto de 2010 às 10:53
Olá Mauro. Antes de prosseguir, duas notas prévias.

A primeira é uma autocrítica. Analisando o meu comentário anterior, verifico que, após derivar a função e anular a derivada, compliquei desnecessariamente os cálculos. Elevei ambos os membros da equação ao quadrado para, mais tarde, extrair a raiz quadrada. Determinei tangentes e converti-as em secantes e posteriormente em co-senos e senos. Nada disto era necessário. Começando com a equação que resulta de anular a derivada da função t(x)

x / (v * √(x2 + y2)) = (a - x) / (w * √((a - x)2 + (b - y)2))

Se multiplicarmos ambos os membros da equação por v, obtemos

x / √(x2 + y2) = v / w * (a - x) / √((a - x)2 + (b - y)2)

Olhando para uma figura parecida com as que desenhaste anteriormente, é fácil verificar que x e √(x2 + y2) representam, respectivamente, um cateto e a hipotenusa de um triângulo rectângulo (o triângulo na areia), pelo que a sua razão designa o seno de um dos seus ângulos:

x / √(x2 + y2) = sin(gama)

O mesmo sucede com (a - x) e √((a - x)2 + (b - y)2). Representam, respectivamente, um cateto e a hipotenusa de outro triângulo rectângulo (o triângulo no mar), pelo que a sua razão designa o seno de um dos seus ângulos:

(a - x) / √((a - x)2 + (b - y)2) = sin(delta)

Substituindo na nossa equação, temos

sin(gama) = v / w * sin(delta)

Ou

sin(gama) / sin(delta) = v / w

Ou seja, a mesma equação de ontem, mas deduzida sem grandes complicações. Mas que falta de jeito a minha!

A segunda nota prévia prende-se com a aplicação da equação aos casos particulares descritos anteriormente. Repara: se impusermos que v = w, temos

sin(gama) / sin(delta) = 1

E como quer gama, quer delta são ângulos do primeiro quadrante, temos que

gama = delta

Concluímos que, quando as velocidades são iguais, as diagonais (na areia e no mar) têm o mesmo declive, reduzindo-se a uma única diagonal a ligar directamente o nadador-salvador à donzela. Trata-se do trajecto 1 que referiste no teu comentário.

Se impusermos que v tenda para ∞, temos

sin(gama) / sin(delta) → ∞

Tal só será possível se gama ≠ 0 e se delta → 0, ou seja, se o nadador-salvador correr na diagonal e nadar a direito. Trata-se do trajecto 2 que descreveste.

A equação é ainda suficientemente generalista para lidar com as situações (não abordadas) em que a velocidade na areia é inferior à velocidade no mar. Se impusermos que w tenda para ∞, temos

sin(gama) / sin(delta) → 0

Tal só será possível se gama → 0 e se delta ≠ 0, ou seja, se o nadador-salvador correr a direito e nadar na diagonal. Tratar-se-ia de um trajecto 3, não abordado.

Feitas estas considerações, vamos então olhar para o problema com uma ÓPTICA diferente ;-)


De . a 13 de Agosto de 2010 às 16:01
Ah! Faltou verificar se o extremo da função corresponde a um mínimo ou a um máximo local. Tomando a equação da primeira derivada e fazendo as substituições já referidas dos catetos e das hipotenusas, temos

dt / dx = sin(gama) / v - sin(delta) / w


Analisemos agora o sinal da derivada à esquerda e à direita do valor óptimo.

Considerar para x valores inferiores ao valor óptimo corresponde a atribuir a gama e a delta valores inferiores e superiores, respectivamente, aos impostos pela nossa equação. Recordo que os ângulos pertencem ao primeiro quadrante. Tal implica que os senos sejam sempre crescentes e positivos. Assim sendo, temos que

sin(gama) / sin(delta) < v / w

sin(gama) / v < sin(delta) / w

dt / dx < 0

Ou seja, a primeira derivada, à esquerda, é negativa, pelo que a função t(x) é decrescente à esquerda.

Do mesmo modo, considerar para x valores superiores ao óptimo equivale a atribuir a gama e a delta valores superiores e inferiores, respectivamente, aos estipulados pela nossa equação. Daqui resulta, portanto, que

sin(gama) / sin(delta) > v / w

sin(gama) / v > sin(delta) / w

dt / dx > 0

Ou seja, a primeira derivada, à direita, é positiva, pelo que a função t(x) é crescente à direita. Concluímos assim que o extremo corresponde, efectivamente, a um mínimo local :-)


De . a 13 de Agosto de 2010 às 16:03
(É espantoso as coisas que se conseguem fazer sem ter de calcular a expressão de x :-p )


De . a 13 de Agosto de 2010 às 17:42
Até aqui tudo bem. Vamos então aplicar as conclusões extraídas do problema do nadador-salvador a outro aparentemente bem distinto: a refracção da luz por um meio transparente.

Se ignorarmos os aspectos quânticos da interacção da luz com a matéria e considerarmos apenas a abordagem clássica, verificamos que a luz se comporta como um nadador-salvador: tende a “escolher” os trajectos mais rápidos em detrimento dos restantes. Creio que seria mais correcto dizer “os trajectos de menor acção” do que “os trajectos mais rápidos”, sendo que “acção”, neste contexto, designa um conceito físico bem definido que poderás encontrar aqui (http://en.wikipedia.org/wiki/Action_%28physics%29). Para o efeito desta discussão, no entanto, a distinção não deve ser relevante.

Nas situações em que a velocidade de propagação da luz não se altera, os trajectos mais rápidos correspondem aos trajectos mais curtos (o trajecto 1 que tu identificaste, quando a velocidade no mar for igual à verificada na areia). É por esta razão que se costuma dizer que “a luz se propaga em linha recta”.

As coisas são, porém, diferentes e um pouco mais complicadas quando a luz transita de um meio transparente para outro e sofre, assim, os efeitos de uma refracção. Diferentes meios propagam a luz a diferentes velocidades, pelo que também a direcção da luz se irá alterar. A trajectória seguida pelos raios luminosos passará a ser a de uma linha quebrada, tal como sucede com o nadador-salvador quando corre/nada para salvar a donzela em perigo. Estabeleçamos a seguinte analogia:

nadador-salvador → raio luminoso
areia → um qualquer meio transparente; o ar, por exemplo
mar → um qualquer meio transparente, diferente do anterior; um bloco de vidro, por exemplo
ângulo gama → ângulo de incidência do raio de luz sobre a superfície do vidro
ângulo delta → ângulo de refracção da luz
eixo dos YY → a normal à superfície do vidro no ponto de incidência do raio de luz

Tendo esta analogia em consideração, retomemos a nossa equação:

sin(gama) / sin(delta) = v / w

Agora v e w designam a velocidade de propagação da luz no ar e no vidro, respectivamente. Vamos introduzir uma grandeza adicional: a velocidade da luz no vácuo. Chamemos-lhe c. E vamos multiplicar o numerador e o denominador do segundo membro da equação por esta grandeza:

sin(gama) / sin(delta) = (c * v) / (c * w) = (c / w) / (c / v)

Acontece que (c / w) e (c / v) exprimem aquilo a que os físicos designam por índices de refracção do vidro e do ar, respectivamente. Podes encontrar a definição de índice de refracção aqui (http://en.wikipedia.org/wiki/Refractive_index). E podes encontrar uma tabela dos índices de refracção mais comuns aqui (http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_refractive_indices). O do vácuo é 1, por definição; o do ar é muito ligeiramente superior a 1; o do vidro é superior a 1.4; etc.

Designemos os índices de refracção do vidro e do ar por n e por m, respectivamente. Temos então que a equação que deduzimos do problema do nadador-salvador se passa a exprimir desta maneira:

sin(gama) / sin(delta) = n / m

A equação assim obtida é bem conhecida dos físicos. Exprime a chamada lei de Snell-Descartes. E para que serve esta lei? Serve para descrever, precisamente, o comportamento da luz refractada. Podes encontrá-la aqui (http://en.wikipedia.org/wiki/Snell%27s_law) e compará-la com a nossa equação. São iguaizinhas :-)

(continua no comentário seguinte, por imposição do Sapo)


De . a 13 de Agosto de 2010 às 17:43
Nos meus tempos de estudante do ensino secundário não se ensinava a lei de Snell. Aflorava-se apenas uma versão qualitativa da mesma, traduzida em duas ladainhas que eram recitadas vezes sem conta:

“Quando a luz passa de um meio menos refrangente para um meio mais refrangente, aproxima-se da normal”.

“Quando a luz passa de um meio mais refrangente para um meio menos refrangente, afasta-se da normal”.

Afinal bastava ir à praia para chegar à mesma conclusão. Apetece fazer um trocadilho: que faz um nadador-salvador para se comportar como um raio luminoso refractado? Resposta: NADA! As equações são idênticas.

Falta abordar a questão da ligação deste problema ao “gravlev”. Se não te importares, fá-lo-ei mais tarde, noutro comentário. E apresento desde já as minhas desculpas por me estar a alongar desta maneira. Abraço.


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