Diário das pequenas descobertas da vida.
Domingo, 22 de Maio de 2005
Alea jacta est

Atenção Alguns erros que se cometem no uso da Língua portuguesa prendem-se por vezes com o desconhecimento dos contextos correctos de aplicação das palavras (a crescente confusão na aplicação de «derivado» e «devido» é somente um dos mais ouvidos).

 

Ouve-se por vezes poucas probabilidades de isso acontecer ,   o que é uma aplicação incorrecta do termo probabilidade e mostra simplesmente a ignorância do seu significado, confundindo «probabilidade» com «possibilidade». O correcto é dizer poucas possibilidades de isso acontecer ou então É pequena a probabilidade de isso acontecer .

 

Probabilidade é um número que se atribui a uma possibilidade de um acontecimento. Quanto maior é o número (entre 0 e 1 ou equivalentemente entre 0% e 100%) mais certo é que que aconteça. Possibilidade é uma das maneiras com que determinado acontecimento pode ocorrer. Cada possibilidade tem uma probabilidade de acontecer. A soma das probabilidades de todas as possibilidades de um acontecimento aleatório é 1 (ou 100%). Como a probabilidade é um número não «há poucas probabilidades», porque isso é o mesmo que dizer «há poucos números» e os números são infinitos.

 

Em termos simples, a forma de calcular a probabilidade da possibilidade de um acontecimento aleatório envolve a determinação do número de vezes em que pode ocorrer essa possibilidade e também o número total de possibilidades do acontecimento em causa. Geralmente essas contagens são complicadas de fazer em acontecimentos do quotidiano, e com formas mais ou menos elaboradas. Mas se a contagem total for possível usa-se a Regra de Laplace : para calcular a probabilidade de uma possibilidade basta dividir o número de vezes que ocorre essa possibilidade (n.º de acontecimentos favoráveis) pelo número total de possibilidades do acontecimento (nº de acontecimentos possíveis).

E.g. Um saco contém 5 bolas: tem 2 bolas pretas e 3 bolas vermelhas .

Qual é a probabilidade de ao retirar, sem ver, uma bola do saco obter 1 vermelha?

Saco com 5 bolas Há aqui um acontecimento (retirar uma bola) com algumas possibilidades; O número de possibilidades de sair uma bola vermelha é 3; O número total de possibilidades é 5 bolas; A probabilidade é então 3 / 5 (que é 60%).

~ A probabilidade de obter cara quando se atira uma moeda ao ar é 1 / 2 = 50%. (Há uma cara na moeda, que tem 2 faces possíveis); No entanto é necessário cautela no cálculo de probabilidades. Só se pode calcular probabilidades em acontecimentos aleatórios (acontecimentos em que não intervenha uma escolha humana consciente ou inconsciente); Só se pode calcular probabilidades quando cada uma das possibilidades tem a mesma probabilidade de ocorrer (são equiprováveis); Se assim não fosse poderiam ocorrer as seguintes situações a que se atribui uma probabilidade errada:

~ Se ao retirar uma bola do saco com 2 bolas pretas e 3 vermelhas se se espreitar pode-se sempre retirar uma bola vermelha. Então a probabiliade seria assim de 100% e não de 60%;

~ No totoloto só há duas possibilidades: ganhar ou não ganhar. Então a probabilidade de ganhar o totoloto é 1/2 = 50% ? Não, porque as duas possibilidades não são equiprováveis (não ganhar é mais provável do que ganhar);

 

Infelizmente a probabilidade do uso incorrecto de «probabilidade» quando se devia usar «possibilidade» é cada vez maior!

 

«Os dados estão lançados», de «Alea» - Dados; «jacta» - lançar; «est» - 3.ª Pessoa do verbo «esse» - ser, como bem chamou a atenção «Buba» no comentário que aqui deixou.

~ Frase dita por Júlio César quando atravessou o rio Rubicão em direcção a Roma.

(Ver Ao contrário da crença popular (Julius) para saber porquê)



Publicado por Mauro Maia às 21:10
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74 comentários:
De Mauro Maia a 19 de Agosto de 2010 às 18:48
Obrigado, «.», pelas sempre interessantes e pertinentes viagens ao mundo da Física. Terei de digerir um pouco mais a Matemática desta tua análise ao problema do «nadador refractado» ;). Algumas linhas parecem-me estranhas e eu não sei se o problema é a limitada linguagem matemática passível de ser usada aqui no Sapo ou se é apenas a necessidade de que eu nada em águas matemáticas mais profundas ao ler o teu comentário. Sem dúvida, merece o empenho de mais  leituras. Fiquei com uma questão (talvez a resposta esteja já contida no teu comentário, necessitando apenas do supracitado aprofundamento meu): o trajecto óptimo é refractado, dois segmentos de recta unidos e a ligar NS a D. Mas que ângulo devem ambos fazer entre si? Certamente dependente da posição de D, que é «conhecido (a; b).
Tenho estado a reler um livro bastante interessante intitulado «o Código Secreto». à partida o título não me convida à sua leitura (ou aquisição) mas se o fiz foi porque um breve relance a algumas páginas do livro me revelou que «há mais entre a capa e a contracapa do que sonha a minha vã Filosofia, Horácio» ;) O livro é uma colectânea de artigos de autores portugueses sobre uma grande variedade de assuntos relacionados com a Física e a Matemática. Recordo o primeiro artigo: aborda a Mecânica Quântica (ou melhor, como referido no artigo, a Física Quântica) de uma forma apropriada a um leigo sem abdicar das importantíssimas equações e descrições matemáticas (se não as tivesse dificilmente teria comprado o livro). Nesse artigo, a Física Quâtica é trazia para a nossa «Realidade macroscópica». O artigo encerra com esta pequena experiência, acessível a qualquer um, e que permite explorar a noção de spin de partículas quânticas. Como diz o autor, que eu subscrevo amplamente, é uma experiência que devia ser realizada em todas as salas de aulas: coloque-se dois vidros polarizados afastados e de forma a que o segundo vidro tenha uma rotação de 90º em relação ao primeiro, bloqueando a passagem da luz através dos dois vidros. Se colocarmos um 3 vidro polarizado entre os dois, com uma rotação em relação ao primeiro, vemos que agora a luz já passa entre os dois vidros polarizados, que não foram alterados de qualquer forma com a introdução do 3.º vidro. Os spins dos fotões explicam o porquê...
Terei bastante interesse em ler também a ligação entre o «gravlev» e o «humilde» NS e a sua D...


De . a 19 de Agosto de 2010 às 22:42
Talvez o problema decorra, de facto, das restrições que o Sapo impõe à formulação de equações matemáticas. Ou talvez estejas a visualizar os comentários usando uma codificação de caracteres diferente da que eu estou a usar (Unicode UTF-8, segundo o meu navegador). Em todo o caso, vou tentar explicar melhor:

"∞" significa "infinito", obviamente :-)

"√" significa "raiz quadrada de". Tive o cuidado de exprimir o radicando dentro de parênteses para delimitar bem o seu âmbito.

Todas as ocorrências do algarismo "2" designam "ao quadrado". Deveria ter escrito "^2" em vez de "2"

"→" significa "tende para", excepto na parte em que eu procuro estabelecer a analogia entre o problema do nadador-salvador e o da refracção da luz por um meio transparente. Nessa parte designa simplesmente "é análogo a".

Espero que ajude :-)

Quanto à tua questão: que ângulo devem os segmentos de recta fazer entre si? Se fizeres uma figura representativa do trajecto óptimo, composto por dois segmentos de recta em diagonal, poderás verificar que o ângulo entre os mesmos será de (180° + delta - gama), em que gama e delta representam, recordo, o ângulo de incidência e o ângulo refractado, ou seja, os ângulos que as referidas diagonais formam com a normal (o eixo dos YY).

Prosseguindo com a tua questão: o ângulo depende da posição (a, b) da donzela? Esta pergunta é extraordinariamente pertinente e tem gerado uma grande confusão na minha mente ao longo dos últimos tempos. Passo a explicar:

Como referi num comentário anterior, eu já conhecia a lei da refracção da luz, primeiro na sua versão simplificada, meramente qualitativa, que me foi ensinada no secundário; e, mais tarde, de forma quantitativa, na lei de Snell.
Também já tinha conhecimento do problema do nadador-salvador. Um professor meu resolveu-o no quadro, já lá vão muitos anos.
Mas nunca me tinha ocorrido que os problemas pudessem estar relacionados.
Há uns tempos tive a necessidade de estudar um documento que está disponível na Internet. Este:

http://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-837-computer-graphics-fall-2003/lecture-notes/06_raytrace.pdf

Nele (páginas 32 a 42; as restantes páginas são irrelevantes) é estabelecida (mas não demonstrada) a ligação entre o problema da refracção da luz e o do nadador-salvador. Chamo especialmente a atenção para a página 42, onde este problema se encontra ilustrado. Verás que é idêntico ao que aqui descrevi. A única diferença reside no facto de a donzela "deles" ter barba :-p Talvez seja politicamente mais correcta do que a "nossa", mas a nossa, na sua abstracção física e matemática, é incomparavelmente mais bonita! Piadas à parte, penso que a "donzela" deles se trata, na realidade, de Frédo Durand, professor no MIT e um dos autores do documento :-)

(continua no próximo comentário por imposição do Sapo)


De . a 19 de Agosto de 2010 às 22:43
Não obstante os problemas estarem relacionados, eu estava convencido de que não seriam rigorosamente equivalentes. Porquê? Precisamente pelas razões que decorrem da tua questão. Vejamos:

No caso do problema do nadador-salvador pretende-se minimizar o tempo do percurso. Este terá, por conseguinte, de ser finito, o que implica que, quer o nadador-salvador, quer a donzela, ocupem posições bem definidas.
No caso da refracção da luz, pelo contrário, tal não se verifica. Não importa a posição da fonte de luz; assume-se que a luz provém do infinito, através do ar. Só a direcção da mesma (o ângulo de incidência) é importante. Analogamente, uma vez verificada a refracção, também não importa o destino da luz; assume-se que é o infinito, desta vez através do vidro. Só a direcção da mesma (o ângulo de refracção) é importante. E se a luz provém do infinito e se dirige para o infinito, o tempo de percurso será, também ele, infinito; E, por conseguinte, na minha modesta compreensão, não minimizável.

No entanto, as equações não mentem: contrariamente ao que eu pensava, os dois problemas são rigorosamente equivalentes, no sentido em que o trajecto óptimo do nadador salvador é, tal como sucede com a luz refractada, o descrito pela lei de Snell/Descartes. Como resolver então este aparente imbróglio?
Penso que a resposta será a seguinte: é verdade que as posições do nadador-salvador e da donzela determinam o ângulo que os segmentos de recta formam entre si, mas o contrário já não se verifica: para um dado ângulo, há uma infinidade de posições possíveis quer para o nadador-salvador, quer para a donzela. Ou seja, o que realmente importa não são os valores das abcissas e das ordenadas das posições dos nossos personagens, mas as razões entre elas (ou seja, as tangentes dos ângulos). Repara: se substituíres cada um dos segmentos de recta por uma semi-recta com idêntico declive, poderás "deslocar" livremente as posições do nadador-salvador e da donzela ao longo das correspondentes semi-rectas, aproximando-os ou afastando-os da margem, sem que a solução obtida perca a sua validade. O trajecto previamente determinado continua a ser o óptimo e o ângulo que lhe está associado permanece inalterado. No limite, podes afastar infinitamente quer o nadador-salvador (na areia), quer a donzela (na água), obtendo, desta forma, uma situação exactamente idêntica à da luz que provém do infinito (através do ar), se refracta, e se dirige para o infinito (através do vidro) :-)


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