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Diário das pequenas descobertas da vida.
Domingo, 22 de Maio de 2005
Alea jacta est

Atenção Alguns erros que se cometem no uso da Língua portuguesa prendem-se por vezes com o desconhecimento dos contextos correctos de aplicação das palavras (a crescente confusão na aplicação de «derivado» e «devido» é somente um dos mais ouvidos).

 

Ouve-se por vezes poucas probabilidades de isso acontecer ,   o que é uma aplicação incorrecta do termo probabilidade e mostra simplesmente a ignorância do seu significado, confundindo «probabilidade» com «possibilidade». O correcto é dizer poucas possibilidades de isso acontecer ou então É pequena a probabilidade de isso acontecer .

 

Probabilidade é um número que se atribui a uma possibilidade de um acontecimento. Quanto maior é o número (entre 0 e 1 ou equivalentemente entre 0% e 100%) mais certo é que que aconteça. Possibilidade é uma das maneiras com que determinado acontecimento pode ocorrer. Cada possibilidade tem uma probabilidade de acontecer. A soma das probabilidades de todas as possibilidades de um acontecimento aleatório é 1 (ou 100%). Como a probabilidade é um número não «há poucas probabilidades», porque isso é o mesmo que dizer «há poucos números» e os números são infinitos.

 

Em termos simples, a forma de calcular a probabilidade da possibilidade de um acontecimento aleatório envolve a determinação do número de vezes em que pode ocorrer essa possibilidade e também o número total de possibilidades do acontecimento em causa. Geralmente essas contagens são complicadas de fazer em acontecimentos do quotidiano, e com formas mais ou menos elaboradas. Mas se a contagem total for possível usa-se a Regra de Laplace : para calcular a probabilidade de uma possibilidade basta dividir o número de vezes que ocorre essa possibilidade (n.º de acontecimentos favoráveis) pelo número total de possibilidades do acontecimento (nº de acontecimentos possíveis).

E.g. Um saco contém 5 bolas: tem 2 bolas pretas e 3 bolas vermelhas .

Qual é a probabilidade de ao retirar, sem ver, uma bola do saco obter 1 vermelha?

Saco com 5 bolas Há aqui um acontecimento (retirar uma bola) com algumas possibilidades; O número de possibilidades de sair uma bola vermelha é 3; O número total de possibilidades é 5 bolas; A probabilidade é então 3 / 5 (que é 60%).

~ A probabilidade de obter cara quando se atira uma moeda ao ar é 1 / 2 = 50%. (Há uma cara na moeda, que tem 2 faces possíveis); No entanto é necessário cautela no cálculo de probabilidades. Só se pode calcular probabilidades em acontecimentos aleatórios (acontecimentos em que não intervenha uma escolha humana consciente ou inconsciente); Só se pode calcular probabilidades quando cada uma das possibilidades tem a mesma probabilidade de ocorrer (são equiprováveis); Se assim não fosse poderiam ocorrer as seguintes situações a que se atribui uma probabilidade errada:

~ Se ao retirar uma bola do saco com 2 bolas pretas e 3 vermelhas se se espreitar pode-se sempre retirar uma bola vermelha. Então a probabiliade seria assim de 100% e não de 60%;

~ No totoloto só há duas possibilidades: ganhar ou não ganhar. Então a probabilidade de ganhar o totoloto é 1/2 = 50% ? Não, porque as duas possibilidades não são equiprováveis (não ganhar é mais provável do que ganhar);

 

Infelizmente a probabilidade do uso incorrecto de «probabilidade» quando se devia usar «possibilidade» é cada vez maior!

 

«Os dados estão lançados», de «Alea» - Dados; «jacta» - lançar; «est» - 3.ª Pessoa do verbo «esse» - ser, como bem chamou a atenção «Buba» no comentário que aqui deixou.

~ Frase dita por Júlio César quando atravessou o rio Rubicão em direcção a Roma.

(Ver Ao contrário da crença popular (Julius) para saber porquê)



Publicado por Mauro Maia às 21:10
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74 comentários:
De . a 20 de Agosto de 2010 às 20:00
Quando tratámos do gravlev fiz referência, se bem te lembras, a um artigo da Time de Fevereiro de 1966. Intitula-se “Mathematics: To Everywhere in 42 Minutes” e podes encontrá-lo aqui:

http://www.time.com/time/magazine/article/0,9171,842469,00.html

Nele, o jornalista escreve o seguinte:

“Cooper has also set up and solved by computer a set of differential equations for curved tunnels that would provide minimum gravity-powered travel time between any two cities on earth. These tunnels would swoop into the ground at steeper angles and penetrate to even greater depths. Though travel times would vary, all would be less than the 42.2 minutes required for straight-line trips.”

Por outras palavras, o percurso rectilíneo é o mais curto e, no caso do gravlev, tem a particularidade de garantir sempre o mesmo tempo de viagem - cerca de 42 minutos, para a Terra - independentemente das cidades de origem e de destino que se escolherem. Mas não é o percurso mais rápido. Este será curvo, descendo, de uma forma mais pronunciada, a uma profundidade maior do que a alcançada pelo correspondente percurso rectilíneo, e subindo depois simetricamente até alcançar de novo a superfície.
Só se escolhermos duas cidades situadas nos antípodas uma da outra é que estaremos em presença de um caso particular em que o percurso mais rápido se identifica com o rectilíneo.

As semelhanças entre o problema do nadador-salvador e o do gravlev já começam a aparecer: em ambos as situações existe um percurso mais curto, em linha recta, que, excepção feita aos casos particulares, não coincide com o percurso mais rápido.
Para prosseguir com esta tentativa de explicação vou ter de efectuar uma pequena digressão e de consultar um livro que aqui tenho. Depois retomarei o problema. Antes que o Sapo se queixe, vou iniciar um novo comentário :-)


De . a 20 de Agosto de 2010 às 21:27
O livro em questão intitula-se “Aventuras Matemáticas” e foi escrito por um matemático chamado Miguel de Guzmán. A versão portuguesa foi editada pela Gradiva em 1990. E inclui as equações :-) Infelizmente encontra-se esgotado. Podes encontrá-lo aqui:

http://www.gradiva.pt/livro.asp?L=16001

A título de curiosidade, trata-se do mesmo livro que usei para descrever, há uns anos e num comentário a um artigo teu, o princípio de Dirichlet, ou princípio do pombal, que esteve na base da nossa conversa acerca do número médio de cabelos que podem existir na cabeça de uma pessoa :-)

Noutro capítulo deste livro é abordada uma classe de curvas matemáticas que dá pelo nome de ciclóides. Imagina uma pessoa a passear de bicicleta pela rua. Considera um qualquer ponto situado na periferia de uma das rodas da bicicleta. A curva descrita por esse ponto à medida que a roda gira e que a bicicleta avança, é uma ciclóide. Mais informação (e até uma animação ilustrativa) aqui:

http://en.wikipedia.org/wiki/Cycloid

As ciclóides exibem inúmeras propriedades curiosíssimas. Por exemplo, a área compreendida entre um arco de ciclóide e a linha recta (a rua) sobre a qual rodou o círculo (a roda da bicicleta) que lhe deu origem é exactamente igual a três vezes a área do referido círculo. E o comprimento do arco de ciclóide é exactamente igual a quatro vezes o diâmetro do círculo.
Há, no entanto, duas outras propriedades das ciclóides que nos interessam particularmente: a “tautocronia” (que palavrão! Vê aqui: http://en.wikipedia.org/wiki/Tautochrone_curve ) e a “braquistocronia” (ainda pior! Vê aqui: http://en.wikipedia.org/wiki/Brachistochrone_curve ).

Uma curva tautócrona caracteriza-se pelo seguinte: se fizeres deslizar ao longo da mesma um objecto sem atrito - um berlinde, por exemplo - por acção de uma gravidade uniforme, o tempo despendido a atingir o ponto mais baixo da curva não depende do ponto que se tiver escolhido para a partida.
Lembra-te alguma coisa? Cerca de 42 minutos para atingir o seu destino, independente da origem e do destino escolhidos? Hum? :-)
Há, no entanto, uma diferença: no caso do gravlev a gravidade não é uniforme. Varia em módulo (diminui com a diminuição da distância ao centro da Terra) e em direcção (é radial). Tal explica, penso eu, a razão pela qual o percurso tautócrono, no caso do gravlev, ser o definido por uma linha recta e não por uma ciclóide.

Vejamos agora a outra propriedade, a braquistocronia. Considera um dado ponto de partida e um dado ponto de chegada, mais abaixo do que o anterior. Qual o percurso que leva o nosso berlinde sem atrito, por acção de uma gravidade uniforme, a viajar do primeiro para o segundo no menor intervalo de tempo possível? Trata-se do percurso definido por uma curva braquistócrona.
Tal como anteriormente, há uma diferença que decorre de, no caso do gravlev, a gravidade não ser uniforme. Tal implicará, creio eu (mas não quero pôr as mãos no fogo por isso) que o percurso braquistócrono, no caso do nosso comboio gravitacional, não corresponda ao definido por uma ciclóide. E penso haver um argumento, embora meramente circunstancial, a favor desta ideia: o artigo da revista Time que citei no comentário anterior refere que o matemático Paul Cooper recorreu a um computador para resolver o sistema de equações diferenciais que estabelece os percursos mais rápidos. Certamente este matemático conhecia a ciclóide e a sua propriedade braquistócrona. Por que motivo não a usou? Por que razão complicou as coisas? Resposta: porque a gravidade não é uniforme e a resposta correcta não será, penso eu sem querer garantir, uma ciclóide.

(mudança de comentário)


De . a 20 de Agosto de 2010 às 22:44
Como determinar a resposta correcta? Dada uma cidade de origem e outra de destino, como calcular o trajecto mais rápido do gravlev para essas duas cidades?

O livro que aqui tenho faz referência a diversas formas de abordar o chamado problema da braquistócrona. Surgiram como resposta a um desafio proposto por Johann Bernouilli em 1696. De entre os matemáticos que o resolveram no prazo que foi estipulado destacam-se Newton, De l’Hôpital, Leibniz e Jakob Bernouilli, irmão de Joahnn. A mais fecunda e geral foi a de Jakob, tendo dado origem a todo um ramo da matemática moderna: o cálculo das variações. Mas a mais curiosa de todas foi a do próprio Johann. Tratava-se de uma mistura de física e geometria e baseava-se, nada mais nada menos, no comportamento da luz refractada :-)

Em vez de um berlinde sem atrito a deslocar-se entre dois pontos por acção de uma gravidade uniforme, Joahnn Bernouilli imaginou um raio luminoso a viajar através de um meio transparente constituído por uma “sanduíche” de inúmeras lâminas horizontais muito finas dispostas umas sobre as outras. Cada uma dessas lâminas teria um índice de refracção diferente, de tal forma que, em cada uma delas, a velocidade de propagação da luz seria igual à do berlinde nesse mesmo ponto. No livro são apresentadas as equações: os cálculos iniciam-se com a nossa já bem conhecida lei de Snell e terminam na equação da ciclóide :-)

Assim sendo, como é que deveremos proceder para determinar, por exemplo, o percurso mais rápido do gravlev entre Paris e Nova Iorque? Raciocinando por analogia, talvez não fosse má ideia imaginar a Terra como sendo uma cebola transparente, composta por inúmeras camadas esféricas, concêntricas e muito finas. Cada uma dessas camadas teria um índice de refracção criteriosamente escolhido de tal forma que a velocidade de propagação da luz nessa camada seria idêntica à do gravlev nesse mesmo ponto. Lançamos um raio luminoso de Paris e orientamo-lo de modo a que o mesmo apareça em Nova Iorque. O percurso percorrido pela luz será o mais rápido possível entre essas duas cidades. Agora é só começar a escavar o túnel.

Resumindo: parece ser possível determinar o percurso braquistócrono do gravlev com base na lei de Snell ( dito assim até parece importante :-p ). E esta, por sua vez, pode ser deduzida do problema do nadador-salvador. Está feita a ligação.

Espero não ter estragado nenhum fusível por esses lados. Os mesmos rebentaram há muito :-) Amanhã comento o teu comentário.


De . a 21 de Agosto de 2010 às 18:27
Na sequência do teu comentário, estive a rever outro livro que aqui tenho. Trata-se de "QED - A Estranha Teoria da Luz e da Matéria", de Richard Feynman. Foi editado em português pela Gradiva, em Agosto de 1988. É talvez o melhor livro de divulgação de ciência que alguma vez li, embora haja outros também muito bons. Felizmente parece não estar esgotado :-) Podes encontrá-lo aqui, se quiseres:

http://www.gradiva.pt/livro.asp?L=2025

Não tem equações e consegue explicar uma teoria tão complexa como a da electrodinâmica quântica a qualquer pessoa com a ajuda de algumas setas e, mais adiante no livro, dos famosos diagramas de Feynman.
De entre os diversos fenómenos da natureza que Feynman explica destaca-se o da difracção da luz por uma rede.

Iniciando a sua palestra com um vulgar espelho plano, Feynman começa por demonstrar que, contrariamente ao que se pensa, a reflexão da luz se processa em toda a extensão do espelho e não apenas na parte central do mesmo, onde os ângulos de incidência e de reflexão dos raios luminosos são iguais (e, já agora, onde o tempo de percurso é menor ;-) ). Fá-lo em toda a extensão do espelho e com igual probabilidade.
Com a ajuda de setas desenhadas numa folha de papel e de um cronómetro imaginário, Feynman revela que, nas zonas periféricas do espelho, as amplitudes de probabilidade (as tais setas) dos eventos de reflexão têm fases (indicadas pela direcção do ponteiro do cronómetro imaginário) de tal forma diferentes umas das outras que têm tendência a anular-se mutuamente. Na parte central do espelho, pelo contrário, as fases das amplitudes de probabilidade diferem apenas ligeiramente umas das outras, pelo que tendem a reforçar-se mutuamente.

A amplitude total do acontecimento de reflexão (e, por conseguinte, a probabilidade do mesmo, que mais não é do que o quadrado da amplitude) é calculada somando todas as amplitudes (setas) parciais. Uma vez que, na periferia do espelho, as setas têm tendência para se anularem umas às outras, o principal contributo para a amplitude total é dado pela reflexão na parte central do espelho, onde as setas tendem a reforçar-se. Parece assim, ao nível macroscópico, que a luz percorre apenas o caminho mais rápido (ou de menor acção), reflectindo-se apenas na zona do espelho para o qual os ângulos de incidência e de reflexão são iguais.

(continua no comentário seguinte)


De . a 21 de Agosto de 2010 às 18:29
Na sequência do teu comentário, estive a rever outro livro que aqui tenho. Trata-se de "QED - A Estranha Teoria da Luz e da Matéria", de Richard Feynman. Foi editado em português pela Gradiva, em Agosto de 1988. É talvez o melhor livro de divulgação de ciência que alguma vez li, embora haja outros também muito bons. Felizmente parece não estar esgotado :-) Podes encontrá-lo aqui, se quiseres:

http://www.gradiva.pt/livro.asp?L=2025

Não tem equações e consegue explicar uma teoria tão complexa como a da electrodinâmica quântica a qualquer pessoa com a ajuda de algumas setas e, mais adiante no livro, dos famosos diagramas de Feynman.
De entre os diversos fenómenos da natureza que Feynman explica destaca-se o da difracção da luz por uma rede.

Iniciando a sua palestra com um vulgar espelho plano, Feynman começa por demonstrar que, contrariamente ao que se pensa, a reflexão da luz se processa em toda a extensão do espelho e não apenas na parte central do mesmo, onde os ângulos de incidência e de reflexão dos raios luminosos são iguais (e, já agora, onde o tempo de percurso é menor ;-) ). Fá-lo em toda a extensão do espelho e com igual probabilidade.
Com a ajuda de setas desenhadas numa folha de papel e de um cronómetro imaginário, Feynman revela que, nas zonas periféricas do espelho, as amplitudes de probabilidade (as tais setas) dos eventos de reflexão têm fases (indicadas pela direcção do ponteiro do cronómetro imaginário) de tal forma diferentes umas das outras que têm tendência a anular-se mutuamente. Na parte central do espelho, pelo contrário, as fases das amplitudes de probabilidade diferem apenas ligeiramente umas das outras, pelo que tendem a reforçar-se mutuamente.

A amplitude total do acontecimento de reflexão (e, por conseguinte, a probabilidade do mesmo, que mais não é do que o quadrado da amplitude) é calculada somando todas as amplitudes (setas) parciais. Uma vez que, na periferia do espelho, as setas têm tendência para se anularem umas às outras, o principal contributo para a amplitude total é dado pela reflexão na parte central do espelho, onde as setas tendem a reforçar-se. Parece assim, ao nível macroscópico, que a luz percorre apenas o caminho mais rápido (ou de menor acção), reflectindo-se apenas na zona do espelho para o qual os ângulos de incidência e de reflexão são iguais.

Feynman prossegue fazendo algo de muito curioso: produz diversos buracos no espelho, com dimensões e espaçamentos criteriosamente escolhidos (os quais dependem do comprimento de onda da luz que está a ser usada na experiência), de modo a eliminar os eventos de reflexão nessas partes do espelho. À primeira vista seria de esperar que a quantidade de luz reflectida diminuísse. Mas não, aumenta! Como é que isto é possível? Como é que menos espelho produz mais luz reflectida?
O que Feynman fez foi anular as amplitudes de probabilidade responsáveis pelo cancelamento mútuo acima referido. Uma vez eliminadas estas setas, as que restam têm orientações idênticas, pelo que se reforçam umas às outras numa amplitude total (e, consequentemente, numa probabilidade) substancialmente maior do que a anteriormente verificada.
Ou seja, Feynman consegue, com a sua teoria, explicar com corpúsculos (fotões) o que anteriormente só a teoria ondulatória da luz, com os seus mecanismos de interferência construtiva e destrutiva, conseguia explicar. É caso para dizer que foi BRILHANTE ;-)

O fenómeno que referes também parece magia: com duas barreiras de vidro polarizado, a luz não passa. Acrescenta-se uma terceira barreira e a luz já passa. Feynman refere, logo no início do livro, que optou por não referir os aspectos ligados à polarização da luz para não complicar as coisas. Penso, portanto, que não lhe seria possível explicar este fenómeno apenas com base nas setas e no cronómetro imaginário. Não queres desvendar tu um pouco da explicação que encontraste nesse teu livro? Teria muito interesse em lê-la. Bom fim de semana.


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